Giải Toán 10 Hình Bài 2 Trang 59 SGK (Kết nối tri thức)

by Thầy Đông · January 15, 2026

Rate this post

Trong chương trình Toán học lớp 10, việc nắm vững các khái niệm và phương pháp giải bài tập là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho Giải Toán 10 Hình Bài 2 Trang 59 SGK, thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống. Chúng tôi sẽ tập trung vào việc phân tích đề bài, trình bày kiến thức nền tảng cần thiết, hướng dẫn giải từng bước cụ thể, cùng với những mẹo kiểm tra và lỗi thường gặp, giúp học sinh tự tin chinh phục dạng bài này. Các khái niệm quan trọng như tích vô hướng của hai vectơ, tọa độ vectơ, và ứng dụng của tích vô hướng sẽ được làm rõ.

Đề Bài

Cho hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ khác vectơ không.
a) Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ bằng 0?
b) Tìm điều kiện để tích vô hướng của hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ là một số dương.
c) Tìm điều kiện để tích vô hướng của hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ là một số âm.

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu chúng ta xác định các điều kiện liên quan đến dấu của tích vô hướng hai vectơ, dựa trên mối quan hệ giữa hai vectơ đó. Cụ thể, chúng ta cần xem xét các trường hợp khi tích vô hướng bằng 0, là số dương, và là số âm. Dữ kiện quan trọng là hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ đều khác vectơ không.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa và các tính chất của tích vô hướng hai vectơ.

1. Định nghĩa tích vô hướng:
Tích vô hướng của hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ là một số, được ký hiệu là $vec{a} \cdot vec{b}$ , xác định bởi công thức:
$vec{a} \cdot vec{b} = |vec{a}| |vec{b}| \cos (alpha)$
trong đó $|vec{a}|$ và $|vec{b}|$ là độ dài (độ lớn) của hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ , còn $alpha$ là góc giữa hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ ( $0^\circ \le alpha \le 180^\circ$ ).

2. Tích vô hướng theo tọa độ:
Nếu $vec{a} = (a_1; a_2)$ và $vec{b} = (b_1; b_2)$ trong hệ tọa độ Oxy, thì tích vô hướng của chúng là:
$vec{a} \cdot vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$
Nếu trong không gian Oxyz, với $vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$ và $vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$ , thì:
$vec{a} \cdot vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

3. Mối liên hệ giữa tích vô hướng và góc giữa hai vectơ:
Từ định nghĩa tích vô hướng, ta có thể suy ra mối liên hệ giữa dấu của tích vô hướng và góc $alpha$ giữa hai vectơ:

Nếu $vec{a} \cdot vec{b} > 0$ , thì $\cos (alpha) > 0$ , suy ra $0^\circ \le alpha < 90^\circ[/katex]. Hai vectơ có cùng hướng (hoặc tạo góc nhọn).</li> <li>Nếu [katex]vec{a} \cdot vec{b} = 0$ , thì $\cos (alpha) = 0$ , suy ra $alpha = 90^\circ$ . Hai vectơ vuông góc với nhau.
Nếu $vec{a} \cdot vec{b} < 0[/katex], thì [katex]\cos (alpha) < 0[/katex], suy ra [katex]90^\circ < alpha \le 180^\circ[/katex]. Hai vectơ có ngược hướng (hoặc tạo góc tù).</li> </ul> Lưu ý quan trọng: Vì đề bài cho [katex]vec{a}$ và $vec{b}$ khác vectơ không, nên $|vec{a}| > 0$ và $|vec{b}| > 0$ . Do đó, dấu của tích vô hướng $vec{a} \cdot vec{b}$ hoàn toàn phụ thuộc vào dấu của $\cos (alpha)$ .
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Chúng ta sẽ lần lượt trả lời từng câu hỏi a), b), c) dựa trên các kiến thức đã nêu.
Câu a) Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ bằng 0?
Dựa vào định nghĩa tích vô hướng:
$vec{a} \cdot vec{b} = |vec{a}| |vec{b}| \cos (alpha)$
Để tích vô hướng này bằng 0, ta cần:
$|vec{a}| |vec{b}| \cos (alpha) = 0$
Vì đề bài cho $vec{a}$ và $vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ không, nên $|vec{a}| \ne 0$ và $|vec{b}| \ne 0$ . Do đó, điều kiện để tích vô hướng bằng 0 là:
$\cos (alpha) = 0$
Điều này xảy ra khi góc $alpha$ giữa hai vectơ bằng $90^\circ$ . Nói cách khác, hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ vuông góc với nhau.
Nếu xét theo tọa độ, giả sử $vec{a} = (a_1; a_2)$ và $vec{b} = (b_1; b_2)$ . Tích vô hướng là:
$vec{a} \cdot vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$
Vậy, tích vô hướng bằng 0 khi:
$a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0$
Đây chính là điều kiện để hai vectơ vuông góc với nhau trong mặt phẳng Oxy. Tương tự cho không gian Oxyz.
Mẹo kiểm tra: Nếu hai vectơ vuông góc, ví dụ $vec{a} = (1; 0)$ và $vec{b} = (0; 1)$ , thì $vec{a} \cdot vec{b} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ .
Lỗi hay gặp: Quên mất điều kiện hai vectơ phải khác vectơ không. Nếu một trong hai vectơ là vectơ không, tích vô hướng luôn bằng 0 bất kể góc nào.
Câu b) Tìm điều kiện để tích vô hướng của hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ là một số dương.
Ta có:
$vec{a} \cdot vec{b} = |vec{a}| |vec{b}| \cos (alpha)$
Để tích vô hướng này là một số dương, ta cần:
$|vec{a}| |vec{b}| \cos (alpha) > 0$
Vì $|vec{a}| > 0$ và $|vec{b}| > 0$ , điều kiện tương đương là:
$\cos (alpha) > 0$
Trong khoảng $[0^\circ, 180^\circ]$ , $\cos (alpha) > 0$ khi $0^\circ \le alpha < 90^\circ[/katex]. Điều này có nghĩa là góc giữa hai vectơ [katex]vec{a}[/katex] và [katex]vec{b}[/katex] là một góc nhọn. Nếu xét theo tọa độ, giả sử [katex]vec{a} = (a_1; a_2)$ và $vec{b} = (b_1; b_2)$ . Tích vô hướng là:
$vec{a} \cdot vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$
Vậy, tích vô hướng là số dương khi:
$a_1 b_1 + a_2 b_2 > 0$
Mẹo kiểm tra: Xét hai vectơ cùng hướng hoặc tạo góc nhọn. Ví dụ, $vec{a} = (1; 1)$ và $vec{b} = (2; 2)$ . Chúng cùng hướng. $vec{a} \cdot vec{b} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 4 > 0$ . Góc giữa chúng là $0^\circ$ , $\cos (0^\circ)=1 > 0$ .
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa "cùng hướng" và "tạo góc nhọn". Hai vectơ cùng hướng thì tạo góc $0^\circ$ , là trường hợp đặc biệt của góc nhọn. Tuy nhiên, hai vectơ không cùng hướng vẫn có thể tạo góc nhọn.
Câu c) Tìm điều kiện để tích vô hướng của hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ là một số âm.
Ta có:
$vec{a} \cdot vec{b} = |vec{a}| |vec{b}| \cos (alpha)$
Để tích vô hướng này là một số âm, ta cần:
$|vec{a}| |vec{b}| \cos (alpha) < 0[/katex] Vì [katex]|vec{a}| > 0$ và $|vec{b}| > 0$ , điều kiện tương đương là:
$\cos (alpha) < 0[/katex] Trong khoảng [katex][0^\circ, 180^\circ][/katex], [katex]\cos (alpha) < 0[/katex] khi [katex]90^\circ < alpha \le 180^\circ[/katex]. Điều này có nghĩa là góc giữa hai vectơ [katex]vec{a}[/katex] và [katex]vec{b}[/katex] là một góc tù hoặc góc bẹt (khi hai vectơ ngược hướng). Nếu xét theo tọa độ, giả sử [katex]vec{a} = (a_1; a_2)$ và $vec{b} = (b_1; b_2)$ . Tích vô hướng là:
$vec{a} \cdot vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$
Vậy, tích vô hướng là số âm khi:
$a_1 b_1 + a_2 b_2 < 0[/katex] Mẹo kiểm tra: Xét hai vectơ tạo góc tù hoặc ngược hướng. Ví dụ, [katex]vec{a} = (1; 1)$ và $vec{b} = (-2; -2)$ . Chúng ngược hướng. $vec{a} \cdot vec{b} = 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) = -4 < 0[/katex]. Góc giữa chúng là [katex]180^\circ[/katex], [katex]\cos (180^\circ)=-1 < 0[/katex]. Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa "ngược hướng" và "tạo góc tù". Hai vectơ ngược hướng thì tạo góc [katex]180^\circ$ , là trường hợp đặc biệt của góc tù. Tuy nhiên, hai vectơ không ngược hướng vẫn có thể tạo góc tù.
Đáp Án/Kết Quả
Tóm lại, dựa trên định nghĩa tích vô hướng $vec{a} \cdot vec{b} = |vec{a}| |vec{b}| \cos (alpha)$ và giả thiết $vec{a}, vec{b}$ khác vectơ không:
a) Tích vô hướng $vec{a} \cdot vec{b} = 0$ khi và chỉ khi hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ vuông góc với nhau ( $alpha = 90^\circ$ ). Theo tọa độ, điều này tương đương với $a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0$ (trong Oxy).
b) Tích vô hướng $vec{a} \cdot vec{b} > 0$ khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ là một góc nhọn ( $0^\circ \le alpha < 90^\circ[/katex]). Theo tọa độ, điều này tương đương với [katex]a_1 b_1 + a_2 b_2 > 0$ (trong Oxy).
c) Tích vô hướng vec{a} \cdot vec{b} góc tù (90^\circ
Bài viết này đã giải quyết Giải Toán 10 Hình Bài 2 Trang 59 SGK, cung cấp cái nhìn rõ ràng về mối liên hệ giữa dấu của tích vô hướng và góc giữa hai vectơ. Việc hiểu rõ các điều kiện này không chỉ giúp hoàn thành bài tập mà còn là nền tảng cho các bài toán phức tạp hơn liên quan đến hình học và vật lý.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 15, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.