Giải Toán 10 Trang 87 Tập 1 Cánh Diều: Tổng Hợp Chi Tiết Các Bài Tập

by Thầy Đông · Tháng 1 8, 2026

Rate this post

Giải toán 10 trang 87 Tập 1 Cánh diều bao gồm các bài tập quan trọng về tổng và hiệu của hai vectơ, là kiến thức nền tảng cho nhiều chủ đề nâng cao. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải từng dạng bài. Cùng khám phá các bài tập toán 10, lời giải toán 10 Cánh diều và vectơ ngay trong nội dung dưới đây.

Đề Bài

Bài 1 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm M, N, P. Vectơ u→=NP→+MN→ bằng vectơ nào sau đây?
A. PN→;
B. PM→;
C. MP→;
D. NM→.

Bài 2 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm D, E, G. Vectơ v→=DE→+−DG→ bằng vectơ nào sau đây?
A. EG→;
B. GE→;
C. GD→;
D. ED→.

Bài 3 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh:
a) AB→+CD→=AD→+CB→;
b) AB→+CD→+BC→+DA→=0→.

Bài 4 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) AB→+AD→=AC→;
b) AB→+BD→=CB→;
c) OA→+OB→=OC→+OD→.

Bài 5 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đường tròn tâm O. Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện cần và đủ để hai vectơ OA→ và OB→ đối nhau.

Bài 6 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh MB→−MA→=MC→−MD→ với mọi điểm M trong mặt phẳng.

Bài 7 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính độ dài của các vectơ sau:
a) DA→+DC→;
b) AB→−AD→;
c) OA→+OB→ với O là giao điểm của AC và BD.

Bài 8 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba lực F1→=OA→, F2→=OB→ và F3→=OC→ cùng tác động vào một vật tại điểm O và vật đứng yên. Cho biết cường độ của F1→, F2→ đều là 120 N và AOB^=120° . Tìm cường độ và hướng của lực F3→ .

Bài 9 trang 87 Toán lớp 10 Tập 1: Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là 10 km/h. Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc 40 km/h so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trang 87 tập trung vào việc áp dụng quy tắc cộng, trừ vectơ trong các trường hợp cụ thể như ba điểm bất kỳ, hình bình hành, hình vuông, và các bài toán vật lý liên quan đến lực và vận tốc. Yêu cầu chung là sử dụng định nghĩa và tính chất của phép cộng, trừ vectơ để rút gọn biểu thức hoặc chứng minh đẳng thức. Đặc biệt, bài toán về vận tốc yêu cầu áp dụng quy tắc cộng vectơ trong một hệ quy chiếu tương đối.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Quy tắc cộng vectơ

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có:
$vec{AB} + vec{BC} = vec{AC}$
Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành, ta có:
$vec{AB} + vec{AD} = vec{AC}$

2. Quy tắc trừ vectơ

Với điểm O tùy ý, ta có:
$vec{AB} = vec{OB} - vec{OA}$
Hay nói cách khác, với hai vectơ có chung điểm đầu A, ta có:
$vec{AB} - vec{AC} = vec{CB}$ (hoặc vec{AC} - vec{AB} = vec{BC})

3. Vectơ đối

Vectơ đối của $vec{a}</code> là vectơ <code>[]-vec{a}</code> sao cho <code>[]vec{a} + (-vec{a}) = vec{0}</code>.</li> <li>Hai vectơ đối nhau cùng phương, cùng độ dài nhưng ngược hướng. <code>[]vec{AB} = -vec{BA}$ .

4. Tính chất của hình bình hành và hình vuông

Hình bình hành: Các cạnh đối song song và bằng nhau ( $vec{AB} = vec{DC}$ , $vec{AD} = vec{BC}$ ). Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hình vuông: Là trường hợp đặc biệt của hình bình hành, có thêm hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.

5. Vectơ trong bài toán vật lý

Nguyên lý cộng vận tốc: Vận tốc của vật so với bờ bằng tổng vectơ vận tốc của vật so với nước và vận tốc của nước so với bờ ( $vec{v}_{\text{vật/bờ}} = vec{v}_{\text{vật/nước}} + vec{v}_{\text{nước/bờ}}$ ).
Nguyên lý cộng lực: Nếu nhiều lực tác động vào một vật và vật đứng yên, tổng các vectơ lực bằng vectơ không ( $vec{F}_1 + vec{F}_2 + vec{F}_3 + dots = vec{0}$ ).

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 1: Tổng hai vectơ với ba điểm

Phân tích: Đề bài yêu cầu tính tổng hai vectơ $vec{NP}</code> và <code>[]vec{MN}</code>. Ta nhận thấy điểm cuối của vectơ thứ nhất (<code>P</code>) không trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai (<code>M</code>). Tuy nhiên, điểm cuối của <code>[]vec{MN}</code> (<code>N</code>) trùng với điểm đầu của <code>[]vec{NP}</code>.</li> <li>Kiến thức cần dùng: Quy tắc ba điểm <code>[]vec{AB} + vec{BC} = vec{AC}$ .
Hướng dẫn giải:
Ta có $vec{u} = vec{NP} + vec{MN}$ .
Áp dụng quy tắc cộng ba điểm, ta đổi thứ tự hai vectơ để điểm cuối của vectơ đầu tiên trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai:
$vec{u} = vec{MN} + vec{NP}$
Theo quy tắc ba điểm, $vec{MN} + vec{NP} = vec{MP}$ .
Vậy, $vec{u} = vec{MP}$ .
Đáp án: C. MP→.
Mẹo kiểm tra: Luôn sắp xếp lại các vectơ sao cho điểm cuối của vectơ trước là điểm đầu của vectơ sau.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn thứ tự điểm hoặc áp dụng sai quy tắc cộng.

Bài 2: Tổng hai vectơ có vectơ đối

Phân tích: Đề bài cho tổng $vec{DE} + (-vec{DG})$ . Ta cần hiểu -DG là vectơ đối của $vec{DG}</code>.</li> <li>Kiến thức cần dùng: Vectơ đối, quy tắc ba điểm.</li> <li>Hướng dẫn giải: Ta có <code>[]vec{v} = vec{DE} + (-vec{DG})$ .
Vectơ đối của $vec{DG}</code> là <code>[]vec{GD}</code>. Do đó, <code>[]vec{v} = vec{DE} + vec{GD}$ .
Để áp dụng quy tắc ba điểm, ta đổi thứ tự hai vectơ:
$vec{v} = vec{GD} + vec{DE}$
Theo quy tắc ba điểm, $vec{GD} + vec{DE} = vec{GE}$ .
Vậy, $vec{v} = vec{GE}$ .
Đáp án: B. GE→.
Mẹo kiểm tra: Khi gặp dấu trừ trước một vectơ, hãy chuyển nó thành phép cộng với vectơ đối.
Lỗi hay gặp: Quên đổi chiều hoặc nhầm lẫn với $vec{DG}</code>.</li> </ul> <h3>Bài 3: Chứng minh đẳng thức vectơ</h3> <ul> <li> Phân tích: Bài toán yêu cầu chứng minh hai đẳng thức vectơ. Cần sử dụng các quy tắc cộng, trừ vectơ và tính chất giao hoán, kết hợp. </li> <li> Kiến thức cần dùng: Quy tắc ba điểm, quy tắc trừ vectơ, tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng vectơ. </li> <li> Hướng dẫn giải: a) Chứng minh <code>[]vec{AB} + vec{CD} = vec{AD} + vec{CB}$ .
Ta xuất phát từ một vế và biến đổi để có vế còn lại. Xét vế trái:
$vec{AB} + vec{CD}$
Ta chèn điểm D vào $vec{AB}</code> và điểm B vào <code>[]vec{CD}</code> (hoặc các điểm khác sao cho xuất hiện <code>AD</code> và <code>CB</code>). <code>[]vec{AB} + vec{CD} = (vec{AD} + vec{DB}) + (vec{CB} + vec{BD})$
$= vec{AD} + vec{CB} + vec{DB} + vec{BD}$
Vì $vec{DB}</code> và <code>[]vec{BD}</code> là hai vectơ đối nhau, nên <code>[]vec{DB} + vec{BD} = vec{0}$ .
$= vec{AD} + vec{CB} + vec{0}$
$= vec{AD} + vec{CB}$
Vế phải là $vec{AD} + vec{CB}$ . Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Chứng minh $vec{AB} + vec{CD} + vec{BC} + vec{DA} = vec{0}$ .
Ta sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp để nhóm các vectơ có thể cộng lại theo quy tắc ba điểm.
$vec{AB} + vec{CD} + vec{BC} + vec{DA} = (vec{AB} + vec{BC}) + (vec{CD} + vec{DA})$
Áp dụng quy tắc ba điểm cho từng nhóm:
$vec{AB} + vec{BC} = vec{AC}$
$vec{CD} + vec{DA} = vec{CA}$
Vậy, biểu thức trở thành:
$vec{AC} + vec{CA}$
Vì $vec{CA}</code> là vectơ đối của <code>[]vec{AC}</code> (hoặc <code>[]vec{AC} + (-vec{AC}) = vec{0}</code>), nên: <code>[]vec{AC} + vec{CA} = vec{0}$
Đẳng thức được chứng minh.
Mẹo kiểm tra: Trong các bài chứng minh, hãy thử chèn điểm hoặc nhóm các vectơ có điểm cuối và điểm đầu liên tiếp nhau.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn các điểm, sai quy tắc cộng/trừ hoặc áp dụng sai tính chất.

Bài 4: Vectơ trong hình bình hành

Phân tích: Bài toán liên quan đến hình bình hành ABCD và giao điểm hai đường chéo O. Cần xác định tính đúng sai của các mệnh đề về tổng, hiệu vectơ.
Kiến thức cần dùng: Quy tắc hình bình hành, tính chất hình bình hành, quy tắc trừ vectơ.
Hướng dẫn giải:

a) $vec{AB} + vec{AD} = vec{AC}$ .
Theo quy tắc hình bình hành ABCD, tổng hai vectơ cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh A là vectơ đường chéo xuất phát từ đỉnh đó. Do đó, $vec{AB} + vec{AD} = vec{AC}$ .
Khẳng định này đúng.

b) $vec{AB} + vec{BD} = vec{CB}$ .
Theo quy tắc ba điểm, $vec{AB} + vec{BD} = vec{AD}$ .
Vì ABCD là hình bình hành, ta có $vec{AD} = vec{BC}$ .
Do đó, $vec{AB} + vec{BD} = vec{AD} = vec{BC}$ .
Yêu cầu của đề là bằng $vec{CB}$ . Mà $vec{BC} = -vec{CB}$ .
Vậy, $vec{AB} + vec{BD} = vec{BC} = -vec{CB}$ .
Khẳng định $vec{AB} + vec{BD} = vec{CB}$ là sai.

c) $vec{OA} + vec{OB} = vec{OC} + vec{OD}$ .
Do O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, O là trung điểm của AC và BD.
Theo tính chất trung điểm, ta có: $vec{OA} = -vec{OC}$ hay $vec{OC} = -vec{OA}$ .
Và $vec{OB} = -vec{OD}$ hay $vec{OD} = -vec{OB}$ .
Xét vế trái: $vec{OA} + vec{OB}$ .
Xét vế phải: $vec{OC} + vec{OD} = (-vec{OA}) + (-vec{OB}) = -(vec{OA} + vec{OB})$ .
Do đó, $vec{OA} + vec{OB} = vec{OC} + vec{OD}$ chỉ đúng khi $vec{OA} + vec{OB} = vec{0}$ , tức là $vec{OA} = -vec{OB}$ . Điều này chỉ xảy ra khi A, O, B thẳng hàng và OA = OB, tức là AC và BD là hai đường chéo vuông góc và bằng nhau, điều này chỉ đúng với hình vuông hoặc hình thoi đặc biệt, không đúng với mọi hình bình hành.
Tổng quát, $vec{OA} + vec{OB}</code> là một vectơ khác <code>[]vec{OC} + vec{OD}</code>. Khẳng định này là sai. <img src="https://dehocsinhgioi.com/wp-content/uploads/2026/01/bai-4-trang-87-toan-lop-10-tap-1.webp" alt="Hình bình hành ABCD" width="311" height="169" />Hình bình hành ABCD</li> <li> Mẹo kiểm tra: Vẽ hình ra giấy và áp dụng các quy tắc một cách cẩn thận. </li> <li> Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn hướng của vectơ đường chéo hoặc quy tắc hình bình hành. </li> </ul> <h3>Bài 5: Vectơ đối trên đường tròn</h3> <ul> <li>Phân tích: Yêu cầu tìm điều kiện để hai vectơ <code>[]vec{OA}</code> và <code>[]vec{OB}</code> là đối nhau, với A, B là hai điểm trên đường tròn tâm O.</li> <li>Kiến thức cần dùng: Định nghĩa vectơ đối, tính chất bán kính đường tròn, điều kiện hai vectơ cùng phương, ngược hướng.</li> <li>Hướng dẫn giải: Hai vectơ <code>[]vec{OA}</code> và <code>[]vec{OB}</code> đối nhau khi chúng có cùng độ dài và ngược hướng. <ol> <li>Cùng độ dài: Vì A và B nằm trên đường tròn tâm O, nên OA và OB đều là bán kính của đường tròn. Do đó, độ dài <code>[]|vec{OA}| = |vec{OB}| = R$ (R là bán kính). Điều kiện về độ dài luôn được thỏa mãn.
Ngược hướng: Hai vectơ ngược hướng khi chúng cùng phương và có chiều ngược nhau. Cùng phương nghĩa là giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Giá của $vec{OA}</code> là đường thẳng OA, giá của <code>[]vec{OB}</code> là đường thẳng OB. Vì hai đường thẳng này cùng đi qua O, chúng phải trùng nhau. Điều này có nghĩa là ba điểm O, A, B thẳng hàng. Khi O, A, B thẳng hàng và OA = OB, hai vectơ <code>[]vec{OA}</code> và <code>[]vec{OB}</code> sẽ ngược hướng. Điều này xảy ra khi A và B nằm trên hai đầu đối diện của một đường kính đi qua O. Nói cách khác, AB là đường kính của đường tròn tâm O.</li> </ol> </li> <li>Đáp án: AB là đường kính của đường tròn (O).</li> <li>Mẹo kiểm tra: Nhớ lại định nghĩa vectơ đối: cùng độ dài, ngược hướng.</li> <li>Lỗi hay gặp: Chỉ xét điều kiện cùng độ dài mà quên mất điều kiện ngược hướng.</li> </ul> <h3>Bài 6: Chứng minh đẳng thức vectơ với mọi điểm M</h3> <ul> <li> Phân tích: Chứng minh một đẳng thức liên quan đến hiệu hai vectơ, áp dụng cho mọi điểm M. Bài toán này thường sử dụng quy tắc trừ vectơ hoặc chèn điểm. </li> <li> Kiến thức cần dùng: Quy tắc trừ vectơ (<code>[]vec{AB} = vec{OB} - vec{OA}$ ), tính chất hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
Ta cần chứng minh $vec{MB} - vec{MA} = vec{MC} - vec{MD}$ với mọi điểm M.
Ta sử dụng quy tắc trừ vectơ, lấy điểm cuối trừ điểm đầu:
- Vế trái: $vec{MB} - vec{MA}$ . Ta có thể chèn điểm B hoặc A vào, nhưng dễ nhất là sử dụng định nghĩa trừ: $vec{MB} - vec{MA} = vec{AB}$ (với M là điểm gốc chung).
- Vế phải: $vec{MC} - vec{MD}$ . Tương tự, $vec{MC} - vec{MD} = vec{DC}$ (với M là điểm gốc chung).
Do ABCD là hình bình hành, ta biết $vec{AB} = vec{DC}$ .
Vì $vec{MB} - vec{MA} = vec{AB}$ và $vec{MC} - vec{MD} = vec{DC}$ , mà $vec{AB} = vec{DC}$ , suy ra $vec{MB} - vec{MA} = vec{MC} - vec{MD}$ .
Đẳng thức được chứng minh.

Hình bình hành ABCD và điểm M
Mẹo kiểm tra: Luôn nhớ rằng hiệu hai vectơ có cùng gốc là một vectơ nối từ điểm đầu đến điểm cuối theo quy tắc trừ.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa $vec{AB}</code> và <code>[]vec{BA}</code> hoặc áp dụng sai quy tắc trừ. </li> </ul> <h3>Bài 7: Tính độ dài vectơ trong hình vuông</h3> <ul> <li> Phân tích: Bài toán yêu cầu tính độ dài của các vectơ được tạo thành từ phép cộng, trừ các cạnh hoặc đường chéo của hình vuông. </li> <li> Kiến thức cần dùng: Định lý Pythagore, quy tắc cộng/trừ vectơ, tính chất hình vuông. </li> <li> Hướng dẫn giải: Cho hình vuông ABCD có cạnh <code>a</code>. a) Tính độ dài <code>[]|vec{DA} + vec{DC}|$ .
Trong hình vuông ABCD, hai cạnh $vec{DA}</code> và <code>[]vec{DC}</code> vuông góc với nhau tại D. Áp dụng quy tắc cộng hình bình hành (ở đây ABCD là hình vuông nên cũng là hình bình hành), ta có: <code>[]vec{DA} + vec{DC} = vec{DB}$ .
DB là đường chéo của hình vuông. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $triangle{DAB}</code> (hoặc <code>[]triangle{DCB}</code>): <code>[]DB^2 = DA^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ .
Suy ra $DB = \sqrt{2a^2} = asqrt{2}$ .
Vậy, độ dài của $vec{DA} + vec{DC}</code> là <code>[]asqrt{2}$ .

b) Tính độ dài $|vec{AB} - vec{AD}|$ .
Áp dụng quy tắc trừ vectơ: $vec{AB} - vec{AD} = vec{DB}$ .
Độ dài của vectơ này là độ dài đoạn thẳng DB, tức là $asqrt{2}$ (như đã tính ở câu a).

c) Tính độ dài $|vec{OA} + vec{OB}|</code> với O là giao điểm của AC và BD. Trong hình vuông ABCD, O là trung điểm của AC và BD. Tam giác AOB vuông tại O. Độ dài đường chéo AC = BD = <code>[]asqrt{2}$ .
Do đó, $OA = OB = \frac{1}{2} BD = \frac{asqrt{2}}{2}$ .
Xét tam giác AOB vuông tại O:
$vec{OA} + vec{OB}$ là vectơ đường chéo của hình bình hành OAPB (với P là điểm sao cho OAPB là hình bình hành). Tuy nhiên, trong trường hợp này, OA và OB vuông góc.
Áp dụng quy tắc cộng cho hai vectơ vuông góc:
$|vec{OA} + vec{OB}|^2 = |vec{OA}|^2 + |vec{OB}|^2$ (vì $vec{OA}</code> và <code>[]vec{OB}</code> là hai cạnh của hình chữ nhật OAPB có đường chéo là <code>vec{OP}</code> hoặc <code>vec{AB}</code> nếu OAPB là hình thoi). Chính xác hơn, ta xét hình bình hành OAPB. <code>vec{OA} + vec{OB}</code> là vectơ đường chéo <code>vec{OP}</code>. Nhưng đây không phải là hình bình hành OAPB. <code>vec{OA} + vec{OB}</code> có thể xem là phép cộng hai vectơ trong tam giác vuông AOB. Nếu ta xem xét hình thoi OAEB (với E là điểm thứ tư), thì <code>vec{OA}+vec{OB}=vec{OE}</code>. Xét lại: <code>[]vec{OA} + vec{OB}$ . Ta có $vec{OA} = vec{CO}$ và $vec{OB} = vec{DO}$ .
$vec{OA} + vec{OB}$ . Vì O là tâm hình vuông, tam giác AOB vuông tại O và OA=OB.
$vec{OA} + vec{OB}$ là vectơ đường chéo của hình thoi tạo bởi $vec{OA}</code> và <code>[]vec{OB}</code>. Độ dài của <code>[]vec{OA} + vec{OB}$ bằng độ dài đường chéo của hình thoi có hai cạnh là OA, OB và góc giữa chúng là 90 độ.
Hoặc đơn giản hơn, $vec{OA} + vec{OB}$ là vectơ vec{OC} nếu ABCD là hình bình hành và O là trung điểm BD, AC? Không đúng.
Thực tế, $vec{OA} + vec{OB}</code> là một vectơ có hướng từ O đến một điểm P nào đó. Xét tam giác AOB vuông cân tại O. <code>vec{OA} + vec{OB}</code> là vectơ đường chéo của hình vuông OAPB. Độ dài OP có thể tính bằng Pythagoras. <code>|vec{OA} + vec{OB}|^2 = |vec{OA}|^2 + |vec{OB}|^2 = (\frac{asqrt{2}}{2})^2 + (\frac{asqrt{2}}{2})^2 = \frac{2a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = a^2</code>. Vậy <code>|vec{OA} + vec{OB}| = \sqrt{a^2} = a</code>. <ul> <li>Kiểm tra lại: Ta thấy <code>[]vec{OA} = vec{CO}</code>. <code>[]vec{OB} = vec{DO}</code>. Nên <code>[]vec{OA} + vec{OB} = vec{CO} + vec{DO}</code>. Thật ra, <code>vec{OA} + vec{OB} = vec{OC}</code> là sai. Ta có <code>vec{OB} = -vec{OD}</code>. Vậy <code>vec{OA} + vec{OB} = vec{OA} - vec{OD}</code>. <code>vec{OA} - vec{OD} = vec{DA}</code>. Độ dài <code>|vec{DA}| = a</code>. Vậy <code>|vec{OA} + vec{OB}| = a</code>.</li> <li>Đáp án: a) <code>[]asqrt{2}$ .
b) $asqrt{2}$ .
c) a.

Mẹo kiểm tra: Vẽ hình vuông và các vectơ. Sử dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông liên quan.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn độ dài đường chéo với cạnh, áp dụng sai quy tắc vectơ cho hình dạng đặc biệt.

Bài 8: Bài toán tổng hợp lực

Phân tích: Vật đứng yên dưới tác động của ba lực $vec{F}_1, vec{F}_2, vec{F}_3</code>. Điều này có nghĩa là tổng các vectơ lực bằng vectơ không. Cần tìm cường độ và hướng của lực thứ ba. </li> <li> Kiến thức cần dùng: Nguyên lý cộng lực, quy tắc hình bình hành, tính chất hình thoi, tam giác đều. </li> <li> Hướng dẫn giải: Vì vật đứng yên, ta có: <code>[]vec{F}_1 + vec{F}_2 + vec{F}_3 = vec{0}$ .
Suy ra $vec{F}_3 = -(vec{F}_1 + vec{F}_2)$ .
Ta cần tìm vectơ $vec{F}_1 + vec{F}_2</code> trước. Cho <code>[]vec{F}_1 = vec{OA}</code> và <code>[]vec{F}_2 = vec{OB}</code>. Độ lớn <code>[]|vec{F}_1| = |vec{OA}| = 120, \text{N}$ , $|vec{F}_2| = |vec{OB}| = 120, \text{N}$ . Góc giữa hai vectơ là $angle{AOB} = 120^\circ$ .
Ta dựng hình bình hành OADB với OA và OB là hai cạnh. Vì $|vec{OA}| = |vec{OB}|$ , hình bình hành này là hình thoi.
Đường chéo OD của hình thoi OADB biểu diễn vectơ tổng $vec{OA} + vec{OB}$ .
Trong hình thoi, đường chéo OD đồng thời là tia phân giác của góc AOB.
Do đó, $angle{AOD} = angle{BOD} = \frac{1}{2} angle{AOB} = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$ .
Xét tam giác OAD: OA = OD (chính là đường chéo hình thoi). Vậy tam giác OAD cân tại A.
Do $angle{AOD} = 60^\circ$ , tam giác OAD là tam giác đều.
Suy ra $OD = OA = AD = 120, \text{N}$ .
Do đó, $|vec{F}_1 + vec{F}_2| = |vec{OA} + vec{OB}| = |vec{OD}| = 120, \text{N}$ .
Ta có $vec{F}_3 = -(vec{F}_1 + vec{F}_2) = -vec{OD}$ .
Điều này có nghĩa là $vec{F}_3</code> có hướng ngược với <code>[]vec{OD}</code> và có cường độ bằng cường độ của <code>[]vec{OD}</code>. Cường độ của <code>[]vec{F}_3</code> là <code>[]|vec{F}_3| = |-vec{OD}| = |vec{OD}| = 120, \text{N}$ .
Hướng của $vec{F}_3</code> là ngược hướng với <code>[]vec{OD}</code>. <img src="https://dehocsinhgioi.com/wp-content/uploads/2026/01/bai-8-trang-87-toan-lop-10-tap-1.webp" alt="Ba lực tác động vào vật" width="368" height="338" />Ba lực tác động vào vật</li> <li> Đáp án: Cường độ lực <code>[]vec{F}_3</code> là 120 N, hướng ngược với vectơ tổng <code>[]vec{F}_1 + vec{F}_2</code> (ngược hướng với OD). </li> <li> Mẹo kiểm tra: Khi có hai lực cùng tác động và biết góc giữa chúng, hãy nghĩ đến việc sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm hợp lực. </li> <li> Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa hướng của lực tổng và lực cần tìm, tính toán sai trong hình học. </li> </ul> <h3>Bài 9: Bài toán vận tốc tương đối</h3> <ul> <li> Phân tích: Một chiếc ca nô di chuyển trên dòng sông. Cần tìm vận tốc của ca nô so với bờ, biết vận tốc của ca nô so với nước và vận tốc của nước so với bờ. </li> <li> Kiến thức cần dùng: Nguyên lý cộng vận tốc, quy tắc hình bình hành. </li> <li> Hướng dẫn giải: Gọi <code>[]vec{v}_{\text{ca nô/bờ}}</code> là vận tốc của ca nô so với bờ. Gọi <code>[]vec{v}_{\text{ca nô/nước}}</code> là vận tốc của ca nô so với mặt nước. Gọi <code>[]vec{v}_{\text{nước/bờ}}</code> là vận tốc của dòng nước so với bờ. Theo nguyên lý cộng vận tốc, ta có: <code>[]vec{v}_{\text{ca nô/bờ}} = vec{v}_{\text{ca nô/nước}} + vec{v}_{\text{nước/bờ}}$ .

Dữ kiện đề bài:
- Vận tốc dòng sông (nước so với bờ) từ Bắc xuống Nam: $|vec{v}_{\text{nước/bờ}}| = 10, \text{km/h}$ .
- Vận tốc ca nô so với mặt nước từ Đông sang Tây: $|vec{v}_{\text{ca nô/nước}}| = 40, \text{km/h}$ .
 Hai hướng này vuông góc với nhau.
Ta cần tìm độ lớn của $vec{v}_{\text{ca nô/bờ}}$ .
Ta dựng hình bình hành với hai cạnh liên tiếp là hai vectơ vận tốc $vec{v}_{\text{ca nô/nước}}</code> và <code>[]vec{v}_{\text{nước/bờ}}</code>. Do hai vectơ này vuông góc, hình bình hành này là hình chữ nhật. Giả sử <code>[]vec{v}_{\text{ca nô/nước}}</code> là vectơ AC (hướng Tây) và <code>[]vec{v}_{\text{nước/bờ}}</code> là vectơ AB (hướng Nam). Thì <code>[]vec{v}_{\text{ca nô/bờ}} = vec{AC} + vec{AB} = vec{AD}$ , trong đó ACDB là hình chữ nhật.
Độ lớn của $vec{v}_{\text{ca nô/bờ}}</code> chính là độ dài đường chéo AD của hình chữ nhật. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ACD (hoặc ABD): <code>[]AD^2 = AC^2 + CD^2$ .
Vì ACDB là hình chữ nhật, $CD = AB = 10, \text{km/h}$ và $AC = BD = 40, \text{km/h}$ .
$AD^2 = 40^2 + 10^2 = 1600 + 100 = 1700$ .
$AD = \sqrt{1700} = \sqrt{100 \times 17} = 10sqrt{17}, \text{km/h}$ .

Ca nô trên sông
Đáp án: Vận tốc của ca nô so với bờ sông là $10sqrt{17}, \text{km/h}$ .
Mẹo kiểm tra: Vẽ sơ đồ vectơ thể hiện các vận tốc và áp dụng quy tắc hình bình hành.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa các hệ quy chiếu (so với nước, so với bờ) hoặc áp dụng sai định lý Pythagore.

Kết Luận

Việc nắm vững các quy tắc cộng, trừ vectơ, đặc biệt là cách áp dụng chúng trong các bài toán hình học và vật lý, là chìa khóa để giải quyết thành công các dạng bài tập. Bài viết này đã cung cấp một cái nhìn chi tiết về cách giải quyết từng bài tập trong giải toán 10 trang 87 Tập 1 Cánh diều, nhấn mạnh vào việc xác định đúng kiến thức cần áp dụng và các bước thực hiện. Hy vọng rằng những hướng dẫn này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về vectơ.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất Tháng 1 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.

Giải Toán 10 Trang 87 Tập 1 Cánh Diều: Tổng Hợp Chi Tiết Các Bài Tập

Đề Bài

Phân Tích Yêu Cầu