Giải Toán 10 Trang 87: Chi Tiết Bài 4 Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ Sách Cánh Diều

Việc tìm kiếm giải toán 10 trang 87 cho thấy nhu cầu cấp thiết về lời giải chi tiết và chính xác các bài tập trong sách giáo khoa Toán 10 tập 1, bộ sách Cánh Diều. Bài viết này cung cấp phân tích chuyên sâu cho 9 bài tập thuộc Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ. Nắm vững tổng hai vectơ và hiệu hai vectơ là nền tảng quan trọng nhất để giải quyết các vấn đề liên quan đến quy tắc ba điểm và ứng dụng vật lí của vectơ. Chúng ta sẽ áp dụng linh hoạt kiến thức hình học phẳng, bao gồm cả định lí Pytago, để đưa ra lời giải toàn diện nhất, giúp học sinh củng cố kiến thức một cách vững chắc.

---

Kiến Thức Nền Tảng: Tổng Và Hiệu Hai Vectơ (Bài 4 – Toán 10 Cánh Diều)

Định Nghĩa Tổng Hai Vectơ và Quy Tắc Ba Điểm

Tổng của hai vectơ là một khái niệm cơ bản trong hình học vectơ. Nó được định nghĩa là một vectơ mới thu được từ việc nối tiếp hai vectơ ban đầu. Việc xác định chính xác tổng hai vectơ thường dựa trên các quy tắc hình học.

Vectơ Tổng

Cho hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$. Để xác định vectơ tổng $vec{a} + vec{b}$, ta chọn một điểm $A$ bất kỳ. Ta dựng vectơ $vec{AB} = vec{a}$. Từ điểm cuối $B$ của vectơ $vec{AB}$, ta dựng vectơ $vec{BC} = vec{b}$. Vectơ nối từ điểm đầu $A$ đến điểm cuối $C$ chính là vectơ tổng.

$$vec{a} + vec{b} = vec{AB} + vec{BC} = vec{AC}.$$

Quy tắc này được gọi là Quy tắc ba điểm. Nó là công cụ cơ bản nhất cho phép thực hiện phép cộng vectơ. Quy tắc ba điểm cho thấy phép cộng vectơ có tính chất bắc cầu, tương tự như phép cộng số thông thường.

Tính Chất Của Phép Cộng Vectơ

Phép cộng các vectơ tuân theo các tính chất tương tự như phép cộng số thực. Các tính chất này bao gồm tính giao hoán và tính kết hợp.

Tính giao hoán cho phép đổi chỗ các vectơ trong phép cộng mà không làm thay đổi kết quả. Tức là:
$$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}.$$

Tính kết hợp cho phép nhóm các vectơ lại khi thực hiện phép cộng nhiều vectơ. Tức là:
$$(vec{a} + vec{b}) + vec{c} = vec{a} + (vec{b} + vec{c}).$$

Ngoài ra, vectơ không ($vec{0}$) đóng vai trò là phần tử trung hòa trong phép cộng vectơ.
$$vec{a} + vec{0} = vec{a}.$$

Định Nghĩa Hiệu Hai Vectơ và Vectơ Đối

Hiệu của hai vectơ $vec{a} – vec{b}$ được định nghĩa thông qua phép cộng với vectơ đối. Điều này giúp chuyển đổi phép trừ thành phép cộng.

Vectơ Đối

Vectơ đối của vectơ $vec{a}$, ký hiệu là $-vec{a}$, là một vectơ có cùng độ dài với $vec{a}$. Tuy nhiên, vectơ đối có hướng ngược lại với vectơ $vec{a}$.

Nếu $vec{a} = vec{AB}$, thì vectơ đối của nó là $vec{BA}$. Tức là:
$$vec{BA} = -vec{AB}.$$

Tổng của một vectơ và vectơ đối của nó luôn bằng vectơ không.
$$vec{AB} + vec{BA} = vec{AA} = vec{0}.$$

Phép Trừ Hai Vectơ (Quy Tắc Hiệu)

Hiệu của hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ được tính bằng cách cộng $vec{a}$ với vectơ đối của $vec{b}$.
$$vec{a} – vec{b} = vec{a} + (-vec{b}).$$

Trong thực hành, để tìm $vec{AB} – vec{AC}$, ta sử dụng quy tắc hiệu. Hai vectơ này có cùng điểm gốc $A$.
$$vec{AB} – vec{AC} = vec{CB}.$$
Vectơ hiệu là vectơ nối từ điểm cuối của vectơ trừ ($vec{AC}$) đến điểm cuối của vectơ bị trừ ($vec{AB}$).

Quy Tắc Hình Bình Hành Trong Phép Cộng Vectơ

Quy tắc hình bình hành là một phương pháp hình học thay thế cho quy tắc ba điểm. Nó đặc biệt hữu ích khi hai vectơ có cùng điểm gốc.

Định Lý Về Hình Bình Hành

Nếu $OADB$ là một hình bình hành, thì tổng của hai vectơ $vec{OA}$ và $vec{OB}$ có cùng điểm gốc $O$ chính là vectơ đường chéo $vec{OD}$.
$$vec{OA} + vec{OB} = vec{OD}.$$

Quy tắc này xuất phát từ Quy tắc ba điểm. Vì $OADB$ là hình bình hành, ta có $vec{OB} = vec{AD}$. Do đó:
$$vec{OA} + vec{OB} = vec{OA} + vec{AD} = vec{OD}.$$

Việc nắm vững ba quy tắc này (Quy tắc ba điểm, Quy tắc hiệu, Quy tắc hình bình hành) là chìa khóa để giải toán 10 trang 87. Các bài tập trong sách giáo khoa Toán 10 Cánh Diều, Bài 4, đều xoay quanh việc áp dụng linh hoạt những kiến thức này.

---

Phân Tích Chi Tiết giải toán 10 trang 87 – Bài Tập Cơ Bản

Các bài tập đầu tiên ở trang 87 giúp học sinh làm quen với việc xác định vectơ tổng và hiệu bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc cơ bản.

Lời Giải Bài 1 Trang 87: Ứng Dụng Quy Tắc Ba Điểm (M, N, P)

Đề bài: Cho ba điểm $M, N, P$. Vectơ $vec{u} = vec{NP} + vec{MN}$ bằng vectơ nào sau đây?
A. $vec{PN}$; B. $vec{PM}$; C. $vec{MP}$; D. $vec{NM}$.

Phân tích và Giải pháp:
Bài toán yêu cầu tính tổng của hai vectơ. Ta nhận thấy hai vectơ $vec{NP}$ và $vec{MN}$ không cùng điểm gốc. Điểm cuối của vectơ $vec{MN}$ là $N$, và điểm đầu của vectơ $vec{NP}$ cũng là $N$. Đây chính là cấu trúc lý tưởng để áp dụng Quy tắc ba điểm.

Đầu tiên, ta sử dụng tính chất giao hoán của phép cộng vectơ để sắp xếp lại biểu thức.

$$vec{u} = vec{NP} + vec{MN} = vec{MN} + vec{NP}.$$

Tiếp theo, áp dụng Quy tắc ba điểm cho chuỗi $M to N to P$.
$$vec{MN} + vec{NP} = vec{MP}.$$

Vectơ $vec{u}$ chính là $vec{MP}$.
Đáp án đúng là: C.

Lời Giải Bài 2 Trang 87: Kết Hợp Vectơ Đối và Quy Tắc Hiệu

Đề bài: Cho ba điểm $D, E, G$. Vectơ $vec{v} = vec{DE} + (-vec{DG})$ bằng vectơ nào sau đây?
A. $vec{EG}$; B. $vec{GE}$; C. $vec{GD}$; D. $vec{ED}$.

Phân tích và Giải pháp:
Bài toán này thực chất là phép trừ vectơ được viết dưới dạng phép cộng với vectơ đối. Ta cần chuyển đổi biểu thức để dễ dàng áp dụng các quy tắc đã học.

Vectơ đối của $vec{DG}$ là $vec{GD}$.
$$-vec{DG} = vec{GD}.$$

Thay thế vectơ đối vào biểu thức ban đầu.
$$vec{v} = vec{DE} + (-vec{DG}) = vec{DE} + vec{GD}.$$

Sau đó, ta sử dụng tính chất giao hoán để đưa về dạng Quy tắc ba điểm.
$$vec{v} = vec{GD} + vec{DE}.$$

Áp dụng Quy tắc ba điểm cho chuỗi $G to D to E$.
$$vec{GD} + vec{DE} = vec{GE}.$$

Vectơ $vec{v}$ chính là $vec{GE}$.
Đáp án đúng là: B.

Ngoài ra, ta có thể nhận dạng đây là Quy tắc hiệu.
$$vec{v} = vec{DE} – vec{DG}.$$
Hai vectơ $vec{DE}$ và $vec{DG}$ cùng điểm gốc $D$. Áp dụng Quy tắc hiệu:
$$vec{DE} – vec{DG} = vec{GE}.$$

Lời Giải Bài 3 Trang 87: Chứng Minh Đẳng Thức Vectơ Tổng Quát

Đề bài: Cho bốn điểm $A, B, C, D$. Chứng minh:
a) $vec{AB} + vec{CD} = vec{AD} + vec{CB}$;
b) $vec{AB} + vec{CD} + vec{BC} + vec{DA} = vec{0}$.

Phân tích và Giải pháp:
Các bài tập chứng minh đẳng thức vectơ yêu cầu sử dụng linh hoạt Quy tắc ba điểm để biến đổi một vế thành vế còn lại. Hoặc biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức trung gian.

a) Chứng minh $vec{AB} + vec{CD} = vec{AD} + vec{CB}$

Ta bắt đầu biến đổi vế trái ($text{VT}$).
$$text{VT} = vec{AB} + vec{CD}.$$

Áp dụng Quy tắc ba điểm cho $vec{AB}$ bằng cách chèn điểm $D$ vào giữa $A$ và $B$. Tuy nhiên, cách tối ưu hơn là áp dụng quy tắc chèn điểm $D$ vào $vec{AB}$ và điểm $B$ vào $vec{CD}$ để xuất hiện các vectơ của vế phải.

Cách 1: Biến đổi vế trái
Ta chèn điểm $D$ vào $vec{AB}$ và chèn điểm $B$ vào $vec{CD}$.
$$vec{AB} = vec{AD} + vec{DB}.$$
$$vec{CD} = vec{CB} + vec{BD}.$$

Thay thế vào $text{VT}$:
$$text{VT} = (vec{AD} + vec{DB}) + (vec{CB} + vec{BD}).$$

Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp:
$$text{VT} = vec{AD} + vec{CB} + (vec{DB} + vec{BD}).$$

Ta nhận thấy $vec{DB}$ và $vec{BD}$ là hai vectơ đối nhau.
$$vec{DB} + vec{BD} = vec{0}.$$

Vậy:
$$text{VT} = vec{AD} + vec{CB} + vec{0} = vec{AD} + vec{CB} = text{VP}.$$
Đẳng thức đã được chứng minh.

Cách 2: Biến đổi cả hai vế về cùng một vectơ trung gian
Áp dụng Quy tắc ba điểm (chèn điểm $C$):
$$text{VT} = vec{AB} + vec{CD} = (vec{AC} + vec{CB}) + vec{CD}.$$
$$text{VP} = vec{AD} + vec{CB} = (vec{AC} + vec{CD}) + vec{CB}.$$

Ta thấy cả hai vế đều bằng $vec{AC} + vec{CB} + vec{CD}$.
Vậy $text{VT} = text{VP}$.

b) Chứng minh $vec{AB} + vec{CD} + vec{BC} + vec{DA} = vec{0}$

Đây là một bài toán cơ bản về tính chất chu trình vectơ. Ta cần sắp xếp lại các vectơ để áp dụng Quy tắc ba điểm liên tiếp.

Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng vectơ. Ta nhóm các vectơ có sự tiếp nối về điểm đầu/cuối.
$$text{VT} = vec{AB} + vec{CD} + vec{BC} + vec{DA}.$$

Nhóm lại theo thứ tự chu trình:
$$text{VT} = (vec{AB} + vec{BC}) + (vec{CD} + vec{DA}).$$

Áp dụng Quy tắc ba điểm cho từng cặp trong ngoặc.
$$vec{AB} + vec{BC} = vec{AC}.$$
$$vec{CD} + vec{DA} = vec{CA}.$$

Thay vào $text{VT}$:
$$text{VT} = vec{AC} + vec{CA}.$$

Hai vectơ $vec{AC}$ và $vec{CA}$ là hai vectơ đối nhau.
$$vec{AC} + vec{CA} = vec{AA} = vec{0}.$$

Vậy $text{VT} = vec{0}$.
Đẳng thức đã được chứng minh. Đây là tính chất tổng quát: tổng các vectơ tạo thành một chu trình khép kín luôn bằng vectơ không.

---

Giải Các Bài Toán Hình Học Vectơ Trang 87 (Hình Bình Hành, Đường Tròn)

Các bài toán tiếp theo yêu cầu vận dụng kiến thức về vectơ vào các hình học cụ thể như hình bình hành và đường tròn, đòi hỏi sự kết hợp giữa tính chất hình học và đại số vectơ.

Phân Tích Bài 4 Trang 87: Kiểm Tra Khẳng Định Trong Hình Bình Hành

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) $vec{AB} + vec{AD} = vec{AC}$;
b) $vec{AB} + vec{BD} = vec{CB}$;
c) $vec{OA} + vec{OB} = vec{OC} + vec{OD}$.

Lời Giải Chi Tiết:

a) Khẳng định $vec{AB} + vec{AD} = vec{AC}$

Trong hình bình hành $ABCD$, hai vectơ $vec{AB}$ và $vec{AD}$ có cùng điểm gốc $A$.
Áp dụng Quy tắc hình bình hành cho $vec{AB} + vec{AD}$.
Tổng của chúng phải là vectơ đường chéo xuất phát từ $A$, đó chính là $vec{AC}$.
$$vec{AB} + vec{AD} = vec{AC}.$$
Khẳng định a) Đúng.

b) Khẳng định $vec{AB} + vec{BD} = vec{CB}$

Ta biến đổi vế trái ($text{VT}$) bằng cách áp dụng Quy tắc ba điểm cho chuỗi $A to B to D$.
$$text{VT} = vec{AB} + vec{BD} = vec{AD}.$$

Bây giờ ta so sánh $vec{AD}$ với vế phải ($text{VP}$) là $vec{CB}$.
Trong hình bình hành $ABCD$, ta biết $vec{AD}$ và $vec{BC}$ là hai vectơ bằng nhau (cùng độ dài và cùng hướng).
$$vec{AD} = vec{BC}.$$

Mặt khác, vectơ $vec{CB}$ là vectơ đối của $vec{BC}$.
$$vec{CB} = -vec{BC}.$$

Do đó, $vec{AD} = vec{BC} = -vec{CB}$.
Như vậy, $text{VT} = vec{AD}$ và $text{VP} = vec{CB}$. Chúng là hai vectơ đối nhau (khác vectơ không), nên chúng không bằng nhau.
Khẳng định b) Sai.

c) Khẳng định $vec{OA} + vec{OB} = vec{OC} + vec{OD}$

Điểm $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Trong hình bình hành, $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$.

Ta xét mối quan hệ vectơ từ $O$ đến các đỉnh.
Vì $O$ là trung điểm của $AC$, ta có $vec{OA}$ và $vec{OC}$ là hai vectơ đối nhau.
$$vec{OA} = -vec{OC} quad text{hay} quad vec{OA} = vec{CO}.$$

Vì $O$ là trung điểm của $BD$, ta có $vec{OB}$ và $vec{OD}$ là hai vectơ đối nhau.
$$vec{OB} = -vec{OD} quad text{hay} quad vec{OB} = vec{DO}.$$

Xét vế trái ($text{VT}$): $vec{OA} + vec{OB}$.
Xét vế phải ($text{VP}$): $vec{OC} + vec{OD}$.

Thay thế $vec{OA}$ bằng $-vec{OC}$ và $vec{OB}$ bằng $-vec{OD}$ vào $text{VT}$.
$$text{VT} = (-vec{OC}) + (-vec{OD}) = -(vec{OC} + vec{OD}).$$

Do đó, $text{VT}$ và $text{VP}$ là hai vectơ đối nhau.
$$vec{OA} + vec{OB} = -(vec{OC} + vec{OD}).$$
Trừ khi cả hai vế đều bằng vectơ không (tức $vec{OA} + vec{OB} = vec{0}$), nếu không thì $text{VT} neq text{VP}$.
Khẳng định c) Sai.

Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Các khẳng định

Phân Tích Bài 5 Trang 87: Điều Kiện Hai Vectơ Đối Nhau Trên Đường Tròn

Đề bài: Cho đường tròn tâm $O$. Giả sử $A, B$ là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện cần và đủ để hai vectơ $vec{OA}$ và $vec{OB}$ đối nhau.

Lời Giải Chi Tiết:

Điều kiện để hai vectơ $vec{u}$ và $vec{v}$ đối nhau là:

1. Chúng phải có cùng độ dài (cùng mô đun).
2. Chúng phải cùng phương nhưng ngược chiều.

Phân Tích Điều Kiện Độ Dài

$A$ và $B$ là hai điểm nằm trên đường tròn tâm $O$.
$OA$ và $OB$ là bán kính của đường tròn.
Do đó, độ dài của hai vectơ này là bằng nhau.
$$|vec{OA}| = OA = R quad text{và} quad |vec{OB}| = OB = R.$$
Điều kiện 1 luôn được thỏa mãn.

Phân Tích Điều Kiện Hướng

Hai vectơ $vec{OA}$ và $vec{OB}$ cần phải ngược hướng.
Điều này có nghĩa là giá của chúng (đường thẳng chứa vectơ) phải cùng phương.
Vì hai vectơ này có cùng điểm gốc $O$, nên để chúng cùng phương, đường thẳng $OA$ và đường thẳng $OB$ phải trùng nhau.
Điều này dẫn đến ba điểm $O, A, B$ phải thẳng hàng.

Hơn nữa, chúng phải ngược chiều, tức là $O$ phải nằm giữa $A$ và $B$.
Vì $O, A, B$ thẳng hàng và $OA = OB = R$, nên $O$ chính là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.
Khi $O$ là trung điểm của $AB$, đoạn thẳng $AB$ chính là đường kính của đường tròn $(O)$.
Khi đó, $vec{OA}$ và $vec{OB}$ sẽ cùng nằm trên đường thẳng $AB$ và hướng về hai phía ngược nhau.

Kết luận: Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $vec{OA}$ và $vec{OB}$ đối nhau là $AB$ phải là đường kính của đường tròn tâm $O$.

Cho đường tròn tâm O. Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện

Phân Tích Bài 6 Trang 87: Chứng Minh Đẳng Thức Với Mọi Điểm M

Đề bài: Cho $ABCD$ là hình bình hành. Chứng minh $vec{MB} – vec{MA} = vec{MC} – vec{MD}$ với mọi điểm $M$ trong mặt phẳng.

Lời Giải Chi Tiết:

Bài toán yêu cầu chứng minh một đẳng thức vectơ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$. Ta sẽ sử dụng Quy tắc hiệu để biến đổi hai vế.

Biến đổi Vế Trái ($text{VT}$)

$text{VT} = vec{MB} – vec{MA}.$
Hai vectơ $vec{MB}$ và $vec{MA}$ có chung điểm gốc $M$.
Áp dụng Quy tắc hiệu (tương tự như $vec{CB} = vec{AB} – vec{AC}$).
$$vec{MB} – vec{MA} = vec{AB}.$$
Đây là một đẳng thức cơ bản quan trọng cần ghi nhớ.

Biến đổi Vế Phải ($text{VP}$)

$text{VP} = vec{MC} – vec{MD}.$
Tương tự, hai vectơ $vec{MC}$ và $vec{MD}$ có chung điểm gốc $M$.
Áp dụng Quy tắc hiệu.
$$vec{MC} – vec{MD} = vec{DC}.$$

So sánh hai Vế

Ta cần chứng minh $vec{AB} = vec{DC}$.
Vì $ABCD$ là hình bình hành, ta có $AB$ song song với $DC$ và $AB = DC$.
Theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau, $vec{AB}$ và $vec{DC}$ có cùng độ dài và cùng hướng.
$$vec{AB} = vec{DC}.$$

Từ đó suy ra $text{VT} = vec{AB}$ và $text{VP} = vec{DC}$, mà $vec{AB} = vec{DC}$.
Vậy $vec{MB} – vec{MA} = vec{MC} – vec{MD}$ là một đẳng thức luôn đúng với mọi điểm $M$.

Cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh vectơ MB – vectơ MA = vectơ MC -vectơ MD với mọi điểm M trong mặt phẳng

---

Vận Dụng Vectơ Trong Tính Toán Hình Học và Vật Lí Thực Tế

Ba bài tập cuối cùng là phần quan trọng nhất, nơi học sinh áp dụng kiến thức vectơ để giải quyết các bài toán tính toán và mô hình hóa các tình huống vật lí thực tế. Đây là phần nâng cao giá trị cốt lõi của giải toán 10 trang 87.

Giải Bài 7 Trang 87: Tính Độ Dài Vectơ Trong Hình Vuông

Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$. Tính độ dài của các vectơ sau:
a) $|vec{DA} + vec{DC}|$;
b) $|vec{AB} – vec{AD}|$;
c) $|vec{OA} + vec{OB}|$ với $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Lời Giải Chi Tiết:

Hình vuông $ABCD$ có các góc vuông và bốn cạnh bằng nhau ($AB=BC=CD=DA=a$). Hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường.

a) Tính $|vec{DA} + vec{DC}|$

Hai vectơ $vec{DA}$ và $vec{DC}$ có cùng điểm gốc $D$.
Áp dụng Quy tắc hình bình hành (vì hình vuông là trường hợp đặc biệt của hình bình hành).
$$vec{DA} + vec{DC} = vec{DB}.$$

Độ dài của tổng vectơ là độ dài của đoạn thẳng $DB$.
$$|vec{DA} + vec{DC}| = |vec{DB}| = DB.$$

$DB$ là đường chéo của hình vuông cạnh $a$. Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $DAB$.
$$DB^2 = DA^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2.$$
$$DB = sqrt{2a^2} = asqrt{2}.$$

Vậy $|vec{DA} + vec{DC}| = asqrt{2}$.

b) Tính $|vec{AB} – vec{AD}|$

Hai vectơ $vec{AB}$ và $vec{AD}$ có cùng điểm gốc $A$.
Áp dụng Quy tắc hiệu.
$$vec{AB} – vec{AD} = vec{DB}.$$

Độ dài của hiệu vectơ là độ dài của đoạn thẳng $DB$.
$$|vec{AB} – vec{AD}| = |vec{DB}| = DB.$$
Tương tự như câu a), ta có $DB = asqrt{2}$.

Vậy $|vec{AB} – vec{AD}| = asqrt{2}$.

c) Tính $|vec{OA} + vec{OB}|$

$O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.
Vì $O$ là trung điểm của $AC$, nên $vec{OA}$ và $vec{OC}$ là hai vectơ đối nhau.
$$vec{OA} = -vec{OC} quad text{hay} quad vec{OA} = vec{CO}.$$

Thay thế $vec{OA}$ bằng $vec{CO}$ vào biểu thức cần tính.
$$vec{OA} + vec{OB} = vec{CO} + vec{OB}.$$

Áp dụng Quy tắc ba điểm cho chuỗi $C to O to B$.
$$vec{CO} + vec{OB} = vec{CB}.$$

Độ dài của tổng vectơ là độ dài của đoạn thẳng $CB$.
$$|vec{OA} + vec{OB}| = |vec{CB}| = CB.$$

$CB$ là cạnh của hình vuông có độ dài $a$.
$$CB = a.$$

Vậy $|vec{OA} + vec{OB}| = a$.

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính độ dài của các vectơ sau

Giải Bài 8 Trang 87: Bài Toán Hợp Lực Ba Vectơ

Đề bài: Cho ba lực $vec{F}_1 = vec{OA}$, $vec{F}_2 = vec{OB}$ và $vec{F}_3 = vec{OC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm $O$ và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $vec{F}_1$, $vec{F}_2$ đều là $120 N$ và $widehat{AOB} = 120^circ$. Tìm cường độ và hướng của lực $vec{F}_3$.

Lời Giải Chi Tiết:

Điều Kiện Vật Đứng Yên

Theo nguyên lí vật lí, khi một vật chịu tác động của nhiều lực và vật đó đứng yên, tổng hợp lực tác động lên vật phải bằng vectơ không.
$$vec{F}_1 + vec{F}_2 + vec{F}_3 = vec{0}.$$

Từ đẳng thức này, ta suy ra lực $vec{F}_3$ phải là vectơ đối của tổng hai lực $vec{F}_1$ và $vec{F}_2$.
$$vec{F}_3 = -(vec{F}_1 + vec{F}_2).$$

Điều này có nghĩa là $vec{F}_3$ có cường độ bằng cường độ của $vec{F}_1 + vec{F}_2$, nhưng có hướng ngược lại.

Tính Tổng Hợp Lực $vec{F}_{12} = vec{F}_1 + vec{F}_2$

Ta dựng hình bình hành $OADB$ với $vec{OA} = vec{F}_1$ và $vec{OB} = vec{F}2$.
Theo Quy tắc hình bình hành, vectơ tổng hợp $vec{F}{12} = vec{OA} + vec{OB}$ chính là vectơ đường chéo $vec{OD}$.

Ta có cường độ: $|vec{F}_1| = OA = 120 N$ và $|vec{F}_2| = OB = 120 N$.
Vì $OA = OB$, hình bình hành $OADB$ là hình thoi.
Đường chéo $OD$ của hình thoi là tia phân giác của góc $widehat{AOB}$.
$$widehat{AOD} = frac{1}{2} widehat{AOB} = frac{1}{2} cdot 120^circ = 60^circ.$$

Xét tam giác $OAD$. Vì $OADB$ là hình thoi, $OA = AD$.
Tam giác $OAD$ cân tại $A$.
Do $widehat{AOD} = 60^circ$, tam giác $OAD$ là tam giác đều.
Do đó, $OD = OA = AD = 120 N$.

Cường độ của vectơ tổng hợp $vec{F}{12}$ là:
$$|vec{F}{12}| = |vec{OD}| = OD = 120 N.$$

Xác Định Cường Độ và Hướng của $vec{F}_3$

Ta đã có $vec{F}_3 = -vec{OD}$.

1. Cường độ: Cường độ của $vec{F}_3$ bằng cường độ của $vec{OD}$.
   $$|vec{F}_3| = |vec{OD}| = 120 N.$$
2. Hướng: Hướng của $vec{F}_3$ ngược với hướng của $vec{OD}$.
   Vectơ $vec{OD}$ nằm trên tia phân giác của góc $widehat{AOB}$. Vectơ $vec{F}_3$ sẽ nằm trên tia đối của tia $OD$.

Kết luận: Cường độ của lực $vec{F}_3$ là $120 N$. Hướng của lực $vec{F}_3$ ngược với hướng của vectơ tổng hợp $vec{OD}$.

Cho ba lực vectơ F1 = vectơ OA, vectơ F2 = vectơ OB và vectơ F3= vectơ OC cùng tác động vào một vật tại điểm O

Giải Bài 9 Trang 87: Vận Tốc Canô So Với Bờ Sông

Đề bài: Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là $10 text{ km/h}$. Một chiếc canô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc $40 text{ km/h}$ so với mặt nước. Tìm vận tốc của canô so với bờ sông.

Lời Giải Chi Tiết:

Bài toán này là một ví dụ kinh điển về việc áp dụng phép cộng vectơ trong vật lí. Vận tốc của canô so với bờ sông chính là tổng hợp của vận tốc canô so với nước và vận tốc của nước so với bờ.

Mô Hình Hóa Bằng Vectơ

1. Vận tốc dòng chảy (nước so với bờ): Ký hiệu là $vec{v}_2$. Hướng từ Bắc xuống Nam. Độ lớn $|vec{v}_2| = 10 text{ km/h}$.
2. Vận tốc canô so với nước: Ký hiệu là $vec{v}_1$. Hướng từ Đông sang Tây. Độ lớn $|vec{v}_1| = 40 text{ km/h}$.
3. Vận tốc canô so với bờ: Ký hiệu là $vec{v}$. Đây là vectơ tổng hợp.
   $$vec{v} = vec{v}_1 + vec{v}_2.$$

Tính Độ Lớn Vận Tốc Tổng Hợp

Hướng Bắc-Nam và hướng Đông-Tây vuông góc với nhau.
Điều này có nghĩa là hai vectơ $vec{v}_1$ và $vec{v}_2$ vuông góc với nhau.

Ta biểu diễn $vec{v}_1$ bằng $vec{AC}$ (Đông sang Tây) và $vec{v}_2$ bằng $vec{AB}$ (Bắc xuống Nam, song song với bờ).
Dựng hình bình hành $ACDB$. Vì $vec{v}_1 perp vec{v}_2$, hình bình hành $ACDB$ là hình chữ nhật.
Vectơ tổng hợp $vec{v}$ là vectơ đường chéo $vec{AD}$.
$$vec{v} = vec{AC} + vec{AB} = vec{AD}.$$

Độ lớn vận tốc $|vec{v}|$ chính là độ dài đoạn thẳng $AD$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ACD$ (hoặc $ACB$).
$$AD^2 = AC^2 + CD^2.$$
Trong hình chữ nhật, $AC = |vec{v}_1| = 40$ và $CD = AB = |vec{v}_2| = 10$.

$$AD^2 = 40^2 + 10^2 = 1600 + 100 = 1700.$$
$$AD = sqrt{1700} = sqrt{100 cdot 17} = 10sqrt{17}.$$

Kết luận: Vận tốc của canô so với bờ sông có độ lớn là $10sqrt{17} text{ km/h}$.

Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là 10 km/h. Một chiếc ca nô

Bài toán cũng cho thấy hướng thực tế của canô so với bờ sông không phải là hướng Tây tuyệt đối. Hướng thực tế là hướng của vectơ $vec{AD}$, lệch về phía Nam do ảnh hưởng của dòng chảy. Góc lệch $alpha$ có thể được tính bằng $tan alpha = frac{CD}{AC} = frac{10}{40} = frac{1}{4}$.

---

Tóm Tắt Và Bài Học Rút Ra Từ Giải Toán 10 Trang 87

Nội dung chi tiết giải toán 10 trang 87 đã trình bày lời giải thấu đáo cho toàn bộ 9 bài tập trong Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ, sách Toán 10 Cánh Diều. Các giải pháp đều xoay quanh việc nắm vững ba công cụ cốt lõi. Đó là Quy tắc ba điểm, Quy tắc hiệu và Quy tắc hình bình hành. Sự thành thạo trong việc chuyển đổi giữa phép trừ và phép cộng với vectơ đối là rất cần thiết. Các bài tập không

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 28, 2025 by Thầy Đông