Giải Toán 11 Bài 1 Trang 41 Cánh Diều: Hiểu Rõ Sự Đồng Biến Của Hàm Số y = sinx

Giới Thiệu

Trong chương trình Toán lớp 11, việc nắm vững các đặc điểm của hàm số lượng giác là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ đi sâu vào giải toán 11 trang 41, tập trung vào Bài 1 từ sách Cánh Diều, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của sự đồng biến trên các khoảng của hàm số y = sinx. Chúng ta sẽ phân tích chi tiết từng phương pháp giải, từ việc sử dụng đồ thị trực quan đến áp dụng các tính chất toán học chính xác, đảm bảo kiến thức vững chắc và khả năng áp dụng linh hoạt.

Đề Bài

Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:

A. (0; π)
B. (−3π/2; −π/2)
C. (−π/2; π/2)
D. (−π; 0)

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu xác định khoảng nào trong bốn lựa chọn được đưa ra là khoảng mà hàm số y = sinx đồng biến. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của hàm số đồng biến và các tính chất đặc trưng của hàm số y = sinx.

• Đồng biến: Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu với mọi x1, x2 thuộc khoảng đó sao cho x1 < x2, ta luôn có f(x1) < f(x2). Nói cách khác, khi biến độc lập tăng lên, giá trị của hàm số cũng tăng lên.
• Hàm số y = sinx: Đây là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π, có tập xác định là tập hợp số thực ℝ và tập giá trị là đoạn [-1; 1]. Hình dạng đồ thị của hàm số này là một đường hình sin quen thuộc.

Chúng ta cần xem xét các khoảng đã cho và áp dụng kiến thức về hàm số đồng biến để tìm ra đáp án chính xác.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Định nghĩa hàm số đồng biến:
   Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a; b) nếu với mọi x1, x2 ∈ (a; b) thỏa mãn x1 < x2, ta có f(x1) < f(x2).

2. Tính chất của hàm số y = sinx:

   • Đồ thị: Đồ thị hàm số y = sinx là một đường hình sin. Nó cắt trục hoành tại các điểm kπ (k ∈ ℤ) và đạt cực đại tại π/2 + k2π với giá trị là 1, đạt cực tiểu tại −π/2 + k2π với giá trị là -1.
   • Khoảng đồng biến và nghịch biến: Hàm số y = sinx đồng biến trên các khoảng dạng [−π/2 + k2π; π/2 + k2π] với k ∈ ℤ. Hàm số y = sinx nghịch biến trên các khoảng dạng [π/2 + k2π; 3π/2 + k2π] với k ∈ ℤ.
   • Biểu diễn trên đường tròn lượng giác: Trên đường tròn lượng giác, khi góc tăng từ −π/2 đến π/2 (tương ứng với một vòng quay ngược chiều kim đồng hồ bắt đầu từ điểm (0, -1) đến điểm (0, 1)), giá trị sin (tung độ) của điểm biểu diễn tăng dần từ -1 lên 1.

3. Đồ thị hàm số y = sinx:
   Đồ thị hàm số y = sinx có dạng lượn sóng. Các phần đồ thị “đi lên” biểu thị sự đồng biến, còn các phần “đi xuống” biểu thị sự nghịch biến.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ tiếp cận bài toán bằng hai phương pháp chính: sử dụng đồ thị và sử dụng tính chất của hàm số.

Phương Pháp 1: Dựa vào Đồ thị hàm số y = sinx

Bước 1: Vẽ hoặc hình dung đồ thị hàm số y = sinx.
Đồ thị này có dạng sóng sin với chu kỳ 2π. Nó đi qua các điểm quan trọng như (0, 0), (π/2, 1), (π, 0), (3π/2, -1), (2π, 0).

Bước 2: Quan sát đồ thị để xác định các khoảng mà đồ thị “đi lên”.

• Đồ thị đi lên từ x = −π/2 đến x = π/2. Trên khoảng này, giá trị của sinx tăng từ -1 lên 1.
• Đồ thị đi xuống từ x = π/2 đến x = 3π/2. Trên khoảng này, giá trị của sinx giảm từ 1 xuống -1.
• Do tính tuần hoàn, quá trình này lặp lại sau mỗi khoảng 2π.

Bước 3: So sánh các khoảng đồng biến tìm được với các lựa chọn đáp án.
Khoảng đồng biến cơ bản của hàm số y = sinx là [−π/2; π/2]. Ta cần tìm xem khoảng nào trong các đáp án A, B, C, D trùng hoặc nằm trong khoảng đồng biến này.

• Đáp án A: (0; π): Trên khoảng này, hàm số đồng biến từ 0 đến π/2 (tức là sinx tăng từ 0 lên 1), nhưng lại nghịch biến từ π/2 đến π (tức là sinx giảm từ 1 xuống 0). Do đó, hàm số không đồng biến trên toàn bộ khoảng này.
• Đáp án B: (−3π/2; −π/2): Đây là một khoảng mà hàm số nghịch biến. Cụ thể, −3π/2 tương đương với π/2 - 2π. Khoảng này tương ứng với khoảng (π/2; 3π/2) trong một chu kỳ 2π khác, nơi hàm số nghịch biến. Trên khoảng (−3π/2; −π/2), sinx giảm từ 1 xuống -1.
• Đáp án C: (−π/2; π/2): Đây chính là một phần của khoảng đồng biến cơ bản [−π/2; π/2]. Trên khoảng này, khi x tăng từ −π/2 đến π/2, giá trị sinx tăng từ -1 lên 1. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này.
• Đáp án D: (−π; 0): Trên khoảng này, hàm số nghịch biến từ −π đến −π/2 (tức là sinx giảm từ 0 xuống -1), và đồng biến từ −π/2 đến 0 (tức là sinx tăng từ -1 lên 0). Do đó, hàm số không đồng biến trên toàn bộ khoảng này.

Mẹo kiểm tra: Nhìn vào đồ thị, chỉ có khoảng (−π/2; π/2) là phần đồ thị đi lên liên tục.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa khoảng đồng biến và nghịch biến, hoặc không xét kỹ giới hạn của các khoảng trong đáp án.

Phương Pháp 2: Sử dụng Tính chất của hàm số y = sinx

Bước 1: Nhớ lại hoặc suy luận công thức tổng quát cho các khoảng đồng biến của hàm số y = sinx.
Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng [−π/2 + k2π; π/2 + k2π], với k là một số nguyên bất kỳ (k ∈ ℤ).

Bước 2: Xét từng lựa chọn đáp án và xem nó có thuộc dạng công thức trên hay không.
Ta cần tìm giá trị nguyên của k sao cho khoảng [−π/2 + k2π; π/2 + k2π] chứa hoặc trùng với một trong các khoảng A, B, C, D.

• Xét đáp án A: (0; π)
  Nếu k = 0, ta có khoảng [−π/2; π/2]. Khoảng (0; π) không hoàn toàn nằm trong khoảng này vì nó bao gồm phần (π/2, π) nơi hàm số nghịch biến.
  Nếu k = 1, ta có khoảng [3π/2; 5π/2]. Khoảng (0; π) không liên quan đến khoảng này.

• Xét đáp án B: (−3π/2; −π/2)
  Khoảng này có thể được viết lại như sau: −3π/2 tương đương π/2 - 2π.
  Khi k = 0, khoảng là [−π/2; π/2].
  Khi k = -1, khoảng là [−π/2 - 2π; π/2 - 2π] = [−5π/2; −3π/2].
  Khoảng (−3π/2; −π/2) thực chất nằm trong khoảng nghịch biến [π/2 + k2π; 3π/2 + k2π]. Cụ thể, với k=0, khoảng nghịch biến là [π/2; 3π/2]. Với k=-1, khoảng nghịch biến là [−3π/2; −π/2]. Do đó, hàm số nghịch biến trên (−3π/2; −π/2).

• Xét đáp án C: (−π/2; π/2)
  Chọn k = 0. Ta có khoảng đồng biến là [−π/2; π/2].
  Rõ ràng, khoảng (−π/2; π/2) là một tập con của khoảng đồng biến [−π/2; π/2]. Vì vậy, hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng (−π/2; π/2).

• Xét đáp án D: (−π; 0)
  Khoảng này bao gồm phần (−π; −π/2) nơi hàm số nghịch biến (giảm từ 0 xuống -1) và phần (−π/2; 0) nơi hàm số đồng biến (tăng từ -1 lên 0). Do đó, hàm số không đồng biến trên toàn bộ khoảng này.

Mẹo kiểm tra: Khi xét một khoảng cho trước, hãy thử đặt k=0 vào công thức [−π/2 + k2π; π/2 + k2π] để có khoảng đồng biến cơ bản [−π/2; π/2]. Nếu khoảng đáp án nằm gọn trong hoặc trùng với khoảng này, đó là đáp án đúng.

Lỗi hay gặp: Quên sử dụng k ∈ ℤ hoặc tính toán sai các giá trị của k2π.

Đáp Án/Kết Quả

Dựa trên cả hai phương pháp phân tích, ta đều đi đến kết luận:
Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng (−π/2; π/2).

Do đó, đáp án đúng là C.

Đáp Án/Kết Quả

Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng (−π/2; π/2).
Đáp án đúng là: C.

Kết Luận

Việc nắm vững các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = sinx là yếu tố then chốt để giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan. Qua việc phân tích kỹ lưỡng đề bài giải toán 11 trang 41 bằng cả phương pháp đồ thị và phương pháp sử dụng tính chất toán học, chúng ta đã khẳng định rằng khoảng đồng biến quan trọng nhất của hàm số này là (−π/2; π/2). Hiểu rõ bản chất này không chỉ giúp làm đúng bài tập mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các khái niệm nâng cao hơn trong chương trình Toán lớp 11 và các lớp tiếp theo.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.