Giải Toán 11 Trang 74: Hướng Dẫn Chi Tiết Bài 10 Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

Nội dung bài viết này tập trung vào giải toán 11 trang 74, cung cấp lời giải chi tiết và phân tích sâu sắc các bài tập thuộc Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, sách Toán 11 Kết nối tri thức. Việc nắm vững các Mặt phẳng trong không gian là cực kỳ quan trọng đối với Hình học không gian lớp 11. Các học sinh cần hiểu rõ về các Tiên đề thừa nhận và phương pháp tìm Giao tuyến của hai mặt phẳng để giải quyết các vấn đề liên quan. Bài viết sẽ làm rõ Điều kiện xác định mặt phẳng qua các hoạt động và luyện tập, giúp người đọc xây dựng nền tảng kiến thức vững chắc.

Tổng Quan Bài 10: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

Chương trình Hình học không gian ở lớp 11 bắt đầu bằng việc nghiên cứu các đối tượng cơ bản. Đó là điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Ba đối tượng này có mối quan hệ và vị trí tương đối rất phong phú. Việc hiểu đúng các khái niệm này là bước đi đầu tiên.

Hình học không gian không chỉ là một phần khó mà còn là kiến thức cốt lõi. Nó giúp phát triển khả năng tư duy trừu tượng và hình dung không gian của học sinh. Bài 10 chính là nền tảng để tiếp cận các vấn đề phức tạp hơn sau này.

Các Khái Niệm Cơ Bản Và Tiên Đề Thừa Nhận

Trong không gian, điểm, đường thẳng và mặt phẳng là các khái niệm không định nghĩa. Chúng được mô tả thông qua các tính chất và mối quan hệ giữa chúng. Mặt phẳng thường được biểu diễn bằng hình bình hành. Người ta dùng các chữ cái Hy Lạp như $alpha, beta, gamma$ để ký hiệu.

Các mối quan hệ cơ bản là điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng. Hay đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Các tiên đề thừa nhận là những khẳng định cơ bản không cần chứng minh. Chúng là nền tảng để suy luận trong hình học không gian.

Tiên đề quan trọng nhất liên quan đến việc xác định giao tuyến. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung, chúng sẽ có thêm ít nhất một điểm chung khác. Tập hợp tất cả các điểm chung này chính là một đường thẳng. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.

Các Phương Pháp Xác Định Một Mặt Phẳng

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định nếu thỏa mãn một trong bốn điều kiện sau. Điều này là một trong những Tiên đề thừa nhận quan trọng. Nó giúp chúng ta gọi tên và làm việc với các mặt phẳng cụ thể.

Thứ nhất là qua ba điểm không thẳng hàng. Điều kiện này được viết tắt là $(A B C)$. Đây là cách xác định mặt phẳng phổ biến nhất. Ba điểm này là độc lập với nhau.

Thứ hai là qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó. Nếu đường thẳng là $d$ và điểm là $A notin d$. Mặt phẳng được ký hiệu là $(A, d)$. Đường thẳng $d$ và điểm $A$ cùng nằm trên mặt phẳng đó.

Thứ ba là qua hai đường thẳng cắt nhau. Hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại điểm $I$. Mặt phẳng chứa chúng được ký hiệu là $(a, b)$. Chúng tạo ra một mặt phẳng duy nhất.

Thứ tư là qua hai đường thẳng song song. Hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Mặt phẳng chứa chúng cũng được ký hiệu là $(a, b)$. Điều kiện này là mở rộng của điều kiện trên.

Phân Tích Chuyên Sâu Luyện Tập 3 Trang 74

Luyện tập 3 yêu cầu xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(S B M)$ và $(S C N)$. Bài toán này nằm trong phần giải toán 11 trang 74, nó là bài tập ứng dụng trực tiếp tiên đề về giao tuyến. Để tìm giao tuyến, chúng ta cần tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó.

Hai mặt phẳng $(S B M)$ và $(S C N)$ là các mặt của một hình chóp. Hình chóp này thường là hình chóp $S. A B C D$ hoặc $S. A B C$. Tuy nhiên, dựa vào hình vẽ của Ví dụ 3 (được gợi ý) và các điểm $B, C, N, M$, ta nhận thấy đây là một bài toán cơ bản.

Nền Tảng Lý Thuyết Tìm Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng

Giao tuyến là tập hợp tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng. Nếu hai mặt phẳng $alpha$ và $beta$ cắt nhau, giao tuyến của chúng là một đường thẳng $d$. Để xác định $d$, chúng ta chỉ cần tìm hai điểm $I$ và $J$ sao cho $I in alpha, I in beta$ và $J in alpha, J in beta$.

Quy trình tìm giao tuyến bao gồm ba bước chính. Bước đầu tiên là tìm điểm chung thứ nhất. Bước thứ hai là tìm điểm chung thứ hai, điểm này phải phân biệt với điểm thứ nhất. Bước cuối cùng là kết luận giao tuyến chính là đường thẳng đi qua hai điểm chung vừa tìm được.

Các điểm chung thường được tìm thấy dưới hai hình thức. Hoặc là các điểm đã có sẵn trên hình vẽ (các đỉnh). Hoặc là giao điểm của hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Cả hai cách đều cần sự quan sát và suy luận hình học chính xác.

Các Bước Giải Chi Tiết Bài Toán Giao Tuyến (SBM) và (SCN)

Bài toán này sử dụng hình ảnh từ Ví dụ 3, có thể là một hình chóp $S. B C M N$ hoặc tương tự, nơi $B, C, M, N$ nằm trên một mặt phẳng đáy. Ta cần tìm hai điểm chung cho hai mặt phẳng $(S B M)$ và $(S C N)$.

Bước 1: Tìm điểm chung thứ nhất.
Dễ thấy, cả hai mặt phẳng $(S B M)$ và $(S C N)$ đều chứa điểm $S$. Điểm $S$ là đỉnh của hình chóp. Do đó, $S$ là điểm chung đầu tiên của hai mặt phẳng này.

Bước 2: Tìm điểm chung thứ hai.
Xét hai đường thẳng $B M$ (nằm trong $(S B M)$) và $C N$ (nằm trong $(S C N)$). Các đường thẳng này nằm trên mặt phẳng đáy.
Theo giả thiết hoặc hình vẽ của Ví dụ 3, hai đường thẳng $B M$ và $C N$ cắt nhau tại điểm $A$.
$A = B M cap C N$.
Vì $A in B M$, nên $A in (S B M)$.
Vì $A in C N$, nên $A in (S C N)$.
Vậy $A$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng $(S B M)$ và $(S C N)$.

Bước 3: Kết luận giao tuyến.
Hai điểm chung đã tìm được là $S$ và $A$.
Vì $S$ và $A$ là hai điểm chung phân biệt, giao tuyến của hai mặt phẳng $(S B M)$ và $(S C N)$ chính là đường thẳng $S A$.
Ta viết: $S A = (S B M) cap (S C N)$.

Đây là lời giải hoàn chỉnh cho Luyện tập 3, tuân thủ nguyên tắc tìm Giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách xác định hai điểm chung.

Hình học không gian cho bài Luyện tập 3, tìm giao tuyến của mặt phẳng (SBM) và (SCN)

Phân Tích Chuyên Sâu Hoạt Động 6 Trang 74

Hoạt động 6 (HĐ6) là một bài toán lý thuyết. Nó yêu cầu xác định mối quan hệ chứa đựng trong hình học không gian. Cụ thể, nó kiểm tra các điều kiện để một mặt phẳng được xác định. Hoạt động này củng cố các tiên đề cơ bản mà học sinh đã học.

Bài toán đưa ra đường thẳng $d$ và điểm $A$ không thuộc $d$. Trên $d$ lấy hai điểm $B, C$ phân biệt. Mặt phẳng $(A B C)$ là mặt phẳng được xác định bởi ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.

Ý Nghĩa Của Hoạt Động Trong Việc Khẳng Định Mặt Phẳng

Mục đích chính của HĐ6 là minh họa cho Điều kiện xác định mặt phẳng thứ hai: một đường thẳng và một điểm không nằm trên nó. Điểm $A$ không thuộc $d$. Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $B$ và $C$. Do đó, ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.

Việc ba điểm không thẳng hàng hoàn toàn xác định một mặt phẳng duy nhất. Mặt phẳng này được ký hiệu là $(A B C)$. Đây là một trong những tiên đề quan trọng nhất. Tiên đề này đảm bảo rằng chúng ta có thể làm việc với các mặt phẳng một cách rõ ràng.

Nếu $A, B, C$ thẳng hàng, chúng ta không thể xác định một mặt phẳng duy nhất. Khi đó, có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm đó. Hoạt động này ngầm định $A, B, C$ không thẳng hàng.

Luận Giải Chi Tiết Hoạt Động 6 Dựa Trên Tiên Đề

Câu hỏi của HĐ6 là liệu mặt phẳng $(A B C)$ có chứa điểm $A$, đường thẳng $d$, đường thẳng $A B$ và đường thẳng $B C$ hay không. Chúng ta sẽ trả lời từng phần dựa trên các tiên đề và định nghĩa.

1. Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A không?
Theo định nghĩa, mặt phẳng $(A B C)$ là mặt phẳng đi qua ba điểm $A, B, C$.
Hiển nhiên, điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(A B C)$. Đây là điều kiện tiên quyết để gọi tên mặt phẳng này.
Mặt phẳng $(A B C)$ chứa điểm $A$.

2. Mặt phẳng (ABC) có chứa đường thẳng $d$ không?
Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm phân biệt $B$ và $C$.
Hai điểm $B$ và $C$ đều thuộc mặt phẳng $(A B C)$.
Theo tiên đề, nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng. Thì toàn bộ đường thẳng đó phải nằm trong mặt phẳng đó.
Vậy đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(A B C)$. Hay mặt phẳng $(A B C)$ chứa đường thẳng $d$.

3. Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng $A B$ và $B C$ không?
Đường thẳng $A B$ được xác định bởi hai điểm $A$ và $B$. Cả $A$ và $B$ đều thuộc mặt phẳng $(A B C)$. Theo tiên đề vừa nêu, đường thẳng $A B$ nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $(A B C)$.
Đường thẳng $B C$ chính là đường thẳng $d$. Chúng ta đã kết luận đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(A B C)$.
Vậy mặt phẳng $(A B C)$ chứa cả hai đường thẳng $A B$ và $B C$.

Mô hình minh họa Hoạt động 6 trang 74, điều kiện xác định mặt phẳng (ABC) chứa điểm A và đường thẳng d

Mở Rộng Kiến Thức Và Bài Tập Tương Tự Nâng Cao

Để củng cố kiến thức giải toán 11 trang 74, việc nghiên cứu các ví dụ mở rộng là cần thiết. Các bài tập này sẽ giúp học sinh vận dụng linh hoạt các khái niệm đã học. Đặc biệt là trong việc tìm giao tuyến và vị trí tương đối.

Chúng ta sẽ tập trung vào các trường hợp phức tạp hơn một chút. Đó là các bài toán liên quan đến hình chóp có đáy là tứ giác. Các bài này đòi hỏi sự hình dung không gian cao hơn. Đồng thời cần có kỹ năng xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Ví Dụ Minh Họa Về Vị Trí Tương Đối Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Vị trí tương đối của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(alpha)$ có ba trường hợp chính. Trường hợp thứ nhất là đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm duy nhất $I$. Trường hợp thứ hai là đường thẳng song song với mặt phẳng. Trường hợp cuối cùng là đường thẳng nằm hoàn toàn trong mặt phẳng.

Ví dụ minh họa: Cho hình chóp $S. A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $S A$. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng $B C$ và mặt phẳng $(S A D)$.

Giải: Ta có $B C // A D$ vì $A B C D$ là hình bình hành. $A D$ là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(S A D)$. Vì đường thẳng $B C$ song song với đường thẳng $A D$ và $A D$ nằm trong $(S A D)$. Đồng thời, $B C$ không nằm trong $(S A D)$. Vì nếu $B C$ nằm trong $(S A D)$, thì $B C$ và $A D$ phải trùng nhau hoặc $B C$ phải đi qua $S$. Điều này là vô lý. Do đó, đường thẳng $B C$ song song với mặt phẳng $(S A D)$.

Đây là một ví dụ điển hình về việc sử dụng dấu hiệu nhận biết. Nó yêu cầu học sinh chứng minh song song dựa trên tính chất hình học phẳng. Sau đó áp dụng quy tắc đường thẳng song song với mặt phẳng. Kỹ năng này rất quan trọng khi giải bài tập.

Phương Pháp Tổng Quát Để Giải Bài Tập Tìm Giao Tuyến Khác

Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đã được trình bày. Đó là tìm hai điểm chung phân biệt. Tuy nhiên, trong các bài toán nâng cao, việc tìm điểm chung thứ hai thường phức tạp hơn. Nó đòi hỏi phải tìm giao điểm của hai đường thẳng chéo nhau.

Quy trình tổng quát bao gồm các bước sau:

1. Tìm điểm chung 1 (Có sẵn): Thường là một đỉnh chung của hai mặt phẳng. Ví dụ, trong bài tập $S A = (S B M) cap (S C N)$, $S$ là điểm chung hiển nhiên.
2. Tìm điểm chung 2 (Qua giao điểm):
   a. Chọn một mặt phẳng phụ $(gamma)$ chứa một đường thẳng $a$ của mặt phẳng thứ nhất $(alpha)$.
   b. Tìm giao tuyến $d’$ của mặt phẳng phụ $(gamma)$ với mặt phẳng thứ hai $(beta)$.
   c. Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $a$ và giao tuyến $d’$.
   d. $I$ chính là điểm chung thứ hai của $(alpha)$ và $(beta)$.
3. Kết luận: Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung 1 và $I$.

Một phương pháp khác khi hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu $(alpha) // (beta)$, thì giao tuyến của $(alpha)$ với mặt phẳng thứ ba $(gamma)$ sẽ song song với giao tuyến của $(beta)$ với $(gamma)$. Điều này gọi là định lý về giao tuyến song song. Việc vận dụng linh hoạt các định lý giúp giải quyết nhanh chóng bài toán.

Ví dụ phức tạp hơn: Cho hình chóp $S. A B C D$ có đáy là hình thang $A B C D$ ($A B // C D$). Tìm giao tuyến của $(S A D)$ và $(S B C)$.
Bước 1: Điểm chung thứ nhất là $S$.
Bước 2: Xét mặt phẳng đáy $(A B C D)$ là mặt phẳng phụ. Giao tuyến của $(S A D)$ và $(S B C)$ nằm trên một đường thẳng $d$ đi qua $S$.
Vì $A D$ và $B C$ không song song (do $A B C D$ là hình thang với $A B // C D$), chúng sẽ cắt nhau tại một điểm $I$ trên mặt phẳng đáy.
$I = A D cap B C$.
$I in A D Rightarrow I in (S A D)$.
$I in B C Rightarrow I in (S B C)$.
$I$ là điểm chung thứ hai.
Bước 3: Giao tuyến là đường thẳng $S I$.

Các ví dụ này là cách tốt nhất để thực hành. Nó giúp học sinh làm quen với nhiều kiểu hình học. Đồng thời nâng cao khả năng phân tích và suy luận. Sự kết hợp giữa lý thuyết và thực hành là chìa khóa để làm tốt giải toán 11 trang 74 và các bài tập liên quan.

Vai Trò Của Hình Học Không Gian Trong Chương Trình Lớp 11

Hình học không gian không chỉ là một môn học. Nó là công cụ để phát triển trí tưởng tượng và khả năng giải quyết vấn đề. Các bài toán trong Bài 10 cung cấp nền tảng vững chắc. Nó là cơ sở cho các chương khó hơn như quan hệ song song và quan hệ vuông góc.

Việc học tốt phần này giúp học sinh dễ dàng hình dung. Từ đó có thể mô hình hóa các tình huống thực tế. Ví dụ như kiến trúc, thiết kế kỹ thuật, và thiên văn học. Hình học không gian lớp 11 yêu cầu sự chính xác trong cách vẽ hình và cách trình bày lời giải.

Quá trình tìm Giao tuyến của hai mặt phẳng hay xác định Điều kiện xác định mặt phẳng rèn luyện tư duy logic. Nó giúp học sinh làm quen với việc xây dựng luận điểm chặt chẽ. Đây là những kỹ năng thiết yếu không chỉ trong Toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác.

Việc luyện tập các bài toán từ cơ bản đến nâng cao là không thể thiếu. Học sinh nên tự đặt ra các câu hỏi mở rộng. Ví dụ như: Nếu các điểm $M, N$ là trung điểm thì sao? Nếu mặt phẳng đáy là hình thang vuông thì sao? Những câu hỏi này giúp kích thích tư duy sáng tạo.

Việc nắm chắc các Tiên đề thừa nhận là chìa khóa. Các tiên đề này là luật chơi của hình học không gian. Một khi luật chơi được hiểu rõ, mọi bài toán đều có thể được giải quyết một cách có hệ thống. Bài viết này là một tài liệu chuyên sâu. Nó giúp học sinh không chỉ có lời giải mà còn có phương pháp tư duy.

Để đạt được hiệu quả cao nhất, học sinh nên vẽ hình cẩn thận. Hình vẽ phải rõ ràng, tuân thủ các quy tắc chiếu. Sau đó, áp dụng các tiên đề và định lý một cách chính xác. Lời giải cần được trình bày khoa học, từ giả thiết đến kết luận.

Nghiên cứu sâu sắc các bài tập như giải toán 11 trang 74 giúp học sinh làm quen với ngôn ngữ chuyên môn. Nó bao gồm các ký hiệu cho mặt phẳng, đường thẳng, và các mối quan hệ. Sự thuần thục này là bước đệm quan trọng cho các kỳ thi học sinh giỏi và thi đại học.

Các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng là bước đầu tiên. Nó đưa học sinh vào thế giới ba chiều của toán học. Từ đó mở ra những kiến thức mới mẻ và thách thức.

Bài viết đã cung cấp hướng dẫn toàn diện, đáp ứng mục tiêu giải toán 11 trang 74 một cách chi tiết và chuyên sâu. Các bạn học sinh đã được trang bị đầy đủ kiến thức nền tảng về Mặt phẳng trong không gian, phương pháp tìm Giao tuyến của hai mặt phẳng thông qua hai bài tập tiêu biểu là Luyện tập 3 và Hoạt động 6, cùng với các ví dụ mở rộng. Nắm vững Điều kiện xác định mặt phẳng và các Tiên đề thừa nhận sẽ giúp các em tự tin chinh phục toàn bộ chương trình Hình học không gian lớp 11.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 28, 2025 by Thầy Đông