Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1: Nguyên hàm

Trong chương trình Toán 12, giải toán 12 bài 1 nguyên hàm là một trong những chủ đề nền tảng quan trọng, mở đường cho các khái niệm phức tạp hơn như tích phân. Hiểu rõ nguyên hàm không chỉ giúp các em hoàn thành bài tập được giao mà còn trang bị kiến thức cốt lõi cho việc học tập các môn khoa học tự nhiên và kỹ thuật sau này.

Đề Bài

Nội dung chính của Bài 1 “Nguyên hàm” trong sách Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giới thiệu khái niệm, các định lý cơ bản và phương pháp tìm nguyên hàm cho một số hàm số sơ cấp. Bài viết này sẽ đi sâu vào giải thích chi tiết các phần lý thuyết và cung cấp phương pháp giải bài tập liên quan đến nguyên hàm.

Phân Tích Yêu Cầu

Mục tiêu chính của bài học này là giúp học sinh nắm vững:

1. Khái niệm Nguyên hàm: Hiểu được nguyên hàm là phép toán ngược của phép toán lấy đạo hàm.
2. Nguyên hàm của hàm số sơ cấp: Biết cách tìm nguyên hàm của các hàm số cơ bản như hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.
3. Tính chất cơ bản của Nguyên hàm: Nắm vững các quy tắc về tính chất tuyến tính của nguyên hàm.
4. Ứng dụng của Nguyên hàm: Bước đầu làm quen với việc sử dụng nguyên hàm trong các bài toán thực tế, đặc biệt là tiền đề cho việc học tích phân.

Để đạt được mục tiêu này, học sinh cần nắm vững khái niệm đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm cơ bản.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để tiếp cận chủ đề Nguyên hàm, việc ôn lại khái niệm và quy tắc đạo hàm là vô cùng cần thiết. Nguyên hàm của một hàm số f(x) trên một khoảng K là một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Định nghĩa Nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C

Trong đó:

• ∫ là ký hiệu nguyên hàm.
• f(x) là hàm số dưới dấu tích phân (hàm số cần tìm nguyên hàm).
• dx chỉ biến lấy nguyên hàm là x.
• F(x) là một nguyên hàm của f(x).
• C là hằng số tùy ý (hằng số tích phân).

Lý do có hằng số C: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x), thì (F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x). Điều này có nghĩa là có vô số nguyên hàm của một hàm số, chúng chỉ khác nhau một hằng số cộng.

Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản

Dưới đây là các công thức nguyên hàm cơ bản mà học sinh cần ghi nhớ. Các công thức này có thể được suy ra từ các công thức đạo hàm đã học.

1. Nguyên hàm của hàm lũy thừa:

   • Với α ≠ -1, ta có:
     \int x^alpha dx = \dfrac{x^{alpha+1}}{alpha+1} + C
   • Trường hợp đặc biệt với α = 0:
     \int 1 dx = \int dx = x + C
   • Trường hợp đặc biệt với α = 1:
     \int x dx = \dfrac{x^2}{2} + C
   • Trường hợp α = -2:
     \int \dfrac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \dfrac{x^{-1}}{-1} + C = -\dfrac{1}{x} + C
   • Trường hợp α = -1 (hàm phân thức với mẫu số x):
     \int \dfrac{1}{x} dx = \ln|x| + C

2. Nguyên hàm của hàm lượng giác:

   • \int \cos x dx = \sin x + C
   • \int \sin x dx = -\cos x + C
   • \int \dfrac{1}{\cos^2 x} dx = \int (1 + \tan^2 x) dx = \tan x + C (với x ≠ dfrac{pi}{2} + kpi, k in mathbb{Z})
   • \int \dfrac{1}{\sin^2 x} dx = \int (1 + \cot^2 x) dx = -\cot x + C (với x ≠ kpi, k in mathbb{Z})

3. Nguyên hàm của hàm mũ và logarit:

   • \int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C (với 0 < a ≠ 1)
   • Trường hợp đặc biệt a = e (hàm số mũ tự nhiên):
     \int e^x dx = e^x + C
   • \int \dfrac{1}{x} dx = \ln|x| + C (đã nêu ở trên)

Tính chất cơ bản của Nguyên hàm

Các tính chất này giúp chúng ta tính nguyên hàm của các hàm số phức tạp hơn bằng cách phân rã chúng thành các hàm cơ bản.

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) và G(x) là một nguyên hàm của g(x). Khi đó:

1. Tính chất tuyến tính (mở rộng):

   • \int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx = F(x) + G(x) + C
   • \int [f(x) - g(x)] dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx = F(x) - G(x) + C
   • \int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx = k \cdot F(x) + C (với k là hằng số khác 0).

2. Nguyên hàm của hàm hợp:

   • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) và u = g(x) là một hàm có đạo hàm g'(x), thì:
     \int f(g(x)) \cdot g'(x) dx = F(g(x)) + C
   • Một dạng khác của quy tắc này là:
     \int f(ax+b) dx = \dfrac{1}{a} F(ax+b) + C (với a ≠ 0).

Mẹo kiểm tra

Để kiểm tra xem F(x) có phải là nguyên hàm của f(x) hay không, bạn chỉ cần lấy đạo hàm của F(x). Nếu F'(x) = f(x) thì kết quả là đúng.

Lỗi hay gặp

• Quên hằng số C: Đây là lỗi phổ biến nhất. Khi tìm nguyên hàm, luôn nhớ cộng thêm hằng số C.
• Nhầm lẫn giữa đạo hàm và nguyên hàm: Hiểu sai bản chất phép toán ngược.
• Sai công thức cơ bản: Không thuộc hoặc nhớ sai các công thức nguyên hàm của hàm số sơ cấp.
• Áp dụng sai quy tắc: Đặc biệt là quy tắc nguyên hàm của hàm hợp hoặc khi có hằng số nhân.
• Sai dấu: Khi tính nguyên hàm của sin x là -cos x, không phải cos x.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Để minh họa rõ hơn, chúng ta sẽ đi qua một số ví dụ cụ thể.

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm đa thức

Đề bài: Tìm \int (2x^3 - 5x^2 + 3x - 1) dx.

Phân tích: Đây là nguyên hàm của một đa thức. Chúng ta sẽ áp dụng quy tắc tuyến tính và quy tắc lũy thừa.

Các bước giải:

1. Áp dụng tính chất tuyến tính:
   \int (2x^3 - 5x^2 + 3x - 1) dx = \int 2x^3 dx - \int 5x^2 dx + \int 3x dx - \int 1 dx

2. Áp dụng quy tắc hằng số nhân:
   = 2int x^3 dx - 5int x^2 dx + 3int x dx - \int 1 dx

3. Áp dụng quy tắc nguyên hàm của hàm lũy thừa (x^n) và (1):

   • \int x^3 dx = \dfrac{x^{3+1}}{3+1} = \dfrac{x^4}{4}
   • \int x^2 dx = \dfrac{x^{2+1}}{2+1} = \dfrac{x^3}{3}
   • \int x dx = \dfrac{x^{1+1}}{1+1} = \dfrac{x^2}{2}
   • \int 1 dx = x

4. Thay kết quả vào và thêm hằng số C:
   = 2left(\dfrac{x^4}{4}\right) - 5left(\dfrac{x^3}{3}\right) + 3left(\dfrac{x^2}{2}\right) - x + C

5. Rút gọn biểu thức:
   = \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{5x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} - x + C

Mẹo kiểm tra: Lấy đạo hàm của kết quả:
\left(\dfrac{x^4}{2} - \dfrac{5x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} - x + Cright)'
= \dfrac{4x^3}{2} - \dfrac{5 \cdot 3x^2}{3} + \dfrac{3 \cdot 2x}{2} - 1 + 0
= 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1
Kết quả đúng với hàm số ban đầu.

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác

Đề bài: Tìm \int (\cos x - 2sin x) dx.

Phân tích: Áp dụng quy tắc tuyến tính và các công thức nguyên hàm của cos x và sin x.

Các bước giải:

1. Áp dụng tính chất tuyến tính:
   \int (\cos x - 2sin x) dx = \int \cos x dx - \int 2sin x dx

2. Áp dụng quy tắc hằng số nhân:
   = \int \cos x dx - 2int \sin x dx

3. Sử dụng công thức nguyên hàm:

   • \int \cos x dx = \sin x
   • \int \sin x dx = -\cos x

4. Thay kết quả và thêm C:
   = \sin x - 2(-\cos x) + C

5. Rút gọn:
   = \sin x + 2cos x + C

Mẹo kiểm tra: Lấy đạo hàm kết quả:
(\sin x + 2cos x + C)' = \cos x + 2(-\sin x) + 0 = \cos x - 2sin x
Kết quả khớp với hàm số ban đầu.

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm mũ

Đề bài: Tìm \int (3^x + e^x) dx.

Phân tích: Áp dụng tính chất tuyến tính và công thức nguyên hàm của hàm mũ.

Các bước giải:

1. Áp dụng tính chất tuyến tính:
   \int (3^x + e^x) dx = \int 3^x dx + \int e^x dx

2. Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ:

   • \int 3^x dx = \dfrac{3^x}{\ln 3}
   • \int e^x dx = e^x

3. Thay kết quả và thêm C:
   = \dfrac{3^x}{\ln 3} + e^x + C

Mẹo kiểm tra: Lấy đạo hàm kết quả:
\left(\dfrac{3^x}{\ln 3} + e^x + Cright)' = \dfrac{1}{\ln 3} \cdot (3^x)' + (e^x)' + 0
= \dfrac{1}{\ln 3} \cdot (3^x \ln 3) + e^x
= 3^x + e^x
Khớp với hàm số ban đầu.

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm hợp

Đề bài: Tìm \int (2x+1)^3 dx.

Phân tích: Đây là nguyên hàm của hàm hợp dạng f(ax+b). Ở đây f(u) = u^3 và ax+b = 2x+1.

Các bước giải:

1. Sử dụng công thức \int f(ax+b) dx = \dfrac{1}{a} F(ax+b) + C.
   Ta có f(u) = u^3, suy ra nguyên hàm F(u) = dfrac{u^4}{4}.
   a = 2, b = 1.

2. Áp dụng công thức:
   \int (2x+1)^3 dx = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2x+1)^{3+1}}{3+1} + C

3. Rút gọn:
   = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2x+1)^4}{4} + C
= \dfrac{(2x+1)^4}{8} + C

Mẹo kiểm tra: Lấy đạo hàm kết quả:
\left(\dfrac{(2x+1)^4}{8} + Cright)' = \dfrac{1}{8} \cdot \left((2x+1)^4right)' + 0
Sử dụng quy tắc chuỗi: ((2x+1)^4)' = 4(2x+1)^3 cdot (2x+1)' = 4(2x+1)^3 cdot 2 = 8(2x+1)^3.
= \dfrac{1}{8} \cdot 8(2x+1)^3 = (2x+1)^3
Khớp với hàm số ban đầu.

Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của 1/(ax+b)

Đề bài: Tìm \int \dfrac{1}{3x-5} dx.

Phân tích: Đây là dạng \int \dfrac{1}{ax+b} dx với a=3 và b=-5. Nguyên hàm của 1/x là ln|x|.

Các bước giải:

1. Áp dụng quy tắc nguyên hàm của hàm hợp \int f(ax+b) dx = \dfrac{1}{a} F(ax+b) + C.
   Ở đây f(u) = 1/u, suy ra F(u) = ln|u|.

2. Áp dụng công thức:
   \int \dfrac{1}{3x-5} dx = \dfrac{1}{3} \ln|3x-5| + C

Mẹo kiểm tra: Lấy đạo hàm kết quả:
\left(\dfrac{1}{3} \ln|3x-5| + Cright)' = \dfrac{1}{3} \cdot (\ln|3x-5|)' + 0
= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3x-5} \cdot (3x-5)' (Sử dụng quy tắc chuỗi cho ln|u| và 3x-5)
= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3x-5} \cdot 3 = \dfrac{1}{3x-5}
Khớp với hàm số ban đầu.

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi tìm hiểu về định nghĩa, các công thức cơ bản và tính chất của nguyên hàm, cùng với việc thực hành qua các ví dụ minh họa chi tiết, học sinh có thể tự tin áp dụng để giải các bài tập nguyên hàm trong sách giáo khoa và các tài liệu khác.

Kết Luận

Nắm vững giải toán 12 bài 1 nguyên hàm là bước đệm vững chắc cho học sinh khi tiếp cận các chủ đề nâng cao hơn trong chương trình Toán 12, đặc biệt là tích phân. Việc hiểu rõ bản chất phép toán ngược của đạo hàm, ghi nhớ các công thức cơ bản và vận dụng linh hoạt các quy tắc sẽ giúp các em giải quyết hiệu quả các dạng bài tập. Chú trọng kiểm tra lại kết quả bằng phép lấy đạo hàm là phương pháp hiệu quả để đảm bảo tính chính xác.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.