Giải Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo Chương 4 Nguyên Hàm – Tích Phân

by Thầy Đông · January 15, 2026

Rate this post

Chào mừng các bạn đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 thuộc Chương 4: Nguyên Hàm – Tích Phân trong bộ sách Chân Trời Sáng Tạo. Tài liệu này cung cấp lời giải chi tiết và chuẩn xác cho từng bài tập, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, phương pháp giải và tự tin chinh phục các dạng toán về nguyên hàm, tích phân. Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua các khái niệm cơ bản, các quy tắc tính tích phân và ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích, quãng đường, nhiệt độ, v.v.

Đề Bài

Câu 1. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số $y = {x^2}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 2$ (Hình 7);

b) Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 3$ (Hình 8 ).

Câu 2. Tính các tích phân sau:

a) $int_1^2 {{x^4}} ;dx$

b) $int_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}} ;dx$

c) $int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{\cos }^2}x}} dx$

d) $int_0^2 {{3^x}} ;dx$ .

Câu 3. Tính các tích phân sau

a) $int_{ – 2}^4 {(x + 1)} (x – 1)dx$

b) $int_1^2 {\frac{{{x^2} – 2x + 1}}{x}} ;dx$

c) $int_0^{\frac{\pi }{2}} {(3sin x – 2)} dx$

d) $int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}} dx$ .

Câu 4. Tính các tích phân sau:

a) $int_{ – 2}^1 | 2x + 2|dx$

b) $int_0^4 {| {{x^2} – 4} |} dx$ ;

c) $int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} | \sin x|dx$ .

Câu 5. Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình 9. Khí bên trong ống được duy trì ở ${150^ \circ }C$ . Biết rằng nhiệt độ $Tleft( {{; ^ \circ }C} \right)$ tại điểm $A$ trên thành ống là hàm số của khoảng cách $xleft( { ;cm} \right)$ từ $A$ đến tâm của mặt cắt và

T’\left( x \right) = – \frac{{30}}{x}; \left( {6 leqslant x leqslant 8} \right).

(Nguồn: Y.A.Çengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, Mc Graw Hill, 2015)

Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.

Câu 6. Tốc độ $vleft( {;m/s} \right)$ của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian $t$ (giây) được cho bởi công thức:

vleft( t \right) = left{ { \begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} {t,0 leqslant t leqslant 2} {2,2 < t leqslant 20} {12 – 0,5t,20 < t leqslant 24} \end{array} } right.[/katex] <p>Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.</p> <p>Tải Về File [83.30 KB] </p> <h2>Phân Tích Yêu Cầu</h2> <p>Các bài tập trong phần này tập trung vào việc tính diện tích hình thang cong và tính các loại tích phân xác định. Cụ thể:</p> <ul> <li><strong>Câu 1:</strong> Yêu cầu tính diện tích hình thang cong bằng tích phân, áp dụng công thức diện tích dưới đường cong.</li> <li><strong>Câu 2, 3, 4:</strong> Yêu cầu tính các tích phân xác định với các hàm số đa dạng (hàm đa thức, hàm phân thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm chứa giá trị tuyệt đối).</li> <li><strong>Câu 5:</strong> Ứng dụng tích phân để tìm nhiệt độ dựa trên đạo hàm của nhiệt độ theo khoảng cách, liên quan đến bài toán vật lý.</li> <li><strong>Câu 6:</strong> Ứng dụng tích phân để tính quãng đường di chuyển và tốc độ trung bình của thang máy dựa trên hàm vận tốc theo thời gian.</li> </ul> <h2>Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng</h2> <p>Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:</p> <ol> <li> <p><strong>Nguyên hàm:</strong></p> <ul> <li>Nguyên hàm của hàm số [katex]y = f(x)

là hàm số $F(x)$ sao cho

F'(x) = f(x)

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ đều có dạng

F(x) + C

, với $C$ là hằng số.

Tích phân xác định:

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a, b]$, thì tích phân xác định của $f(x)$ từ $a$ đến $b$ được cho bởi công thức:
$int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ .
Công thức này còn được ký hiệu là $left. F(x) right|_a^b$ .

Các quy tắc tính tích phân:

$int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = int_a^b f(x) dx \pm int_a^b g(x) dx$
$int_a^b k f(x) dx = k int_a^b f(x) dx$ , với $k$ là hằng số.
$int_a^a f(x) dx = 0$
$int_a^b f(x) dx = int_a^c f(x) dx + int_c^b f(x) dx$ , với $a < c < b$.

Một số nguyên hàm cơ bản:

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (với $n \ne -1$ )
$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
$\int e^x dx = e^x + C$
$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ (với $a > 0, a \ne 1$ )
$\int \sin x dx = -\cos x + C$
$\int \cos x dx = \sin x + C$
$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$
$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = arcsin x + C$
$\int \frac{1}{1+x^2} dx = arctan x + C$

Diện tích hình thang cong:

Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ (với $f(x) \ge 0$ ), trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ là $S = int_a^b f(x) dx$ .

Ứng dụng của tích phân:

Quãng đường: Nếu vận tốc $v(t)$ là hàm của thời gian $t$, thì quãng đường $s$ đi được trong khoảng thời gian $[t_1, t2]$ là $s = \int{t_1}^{t_2} v(t) dt$ .
Tốc độ trung bình: Tốc độ trung bình ${v_{tb}}$ trong khoảng thời gian $[t_1, t2]$ là ${v{tb}} = \frac{s}{t_2 - t_1}$ .
Bài toán vật lý (nhiệt độ): Nếu biết đạo hàm của một đại lượng theo biến số, ta có thể tìm đại lượng đó bằng cách lấy tích phân. Cụ thể, nếu $T'(x)$ là đạo hàm của nhiệt độ $T(x)$ theo khoảng cách $x$, thì $T(b) - T(a) = int_a^b T'(x) dx$ .

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Câu 1. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số $y = {x^2}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 2$ .
b) Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 3$ .

Lời giải

a) Hàm số $y = {x^2}$ luôn không âm trên đoạn $[0, 2]$. Do đó, diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 2$ được tính bằng tích phân:
$S = int_0^2 {{x^2}} dx$
Áp dụng quy tắc tính tích phân:
$S = left. {\frac{{{x^3}}}{3}} right|_0^2$
$S = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{{{0^3}}}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$ .

b) Hàm số $y = \frac{1}{x}$ luôn dương trên đoạn $[1, 3]$. Do đó, diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = 3$ được tính bằng tích phân:
$S = int_1^3 {\frac{1}{x}} dx$
Áp dụng quy tắc tính tích phân:
$S = left. {\ln |x|} right|_1^3$
$S = \ln |3| - \ln |1| = \ln 3 - 0 = \ln 3$ .

Mẹo kiểm tra: Đồ thị hàm số $y=x^2$ trên $[0,2]$ nằm phía trên trục hoành, giá trị tích phân dương là hợp lý. Đồ thị hàm số $y=1/x$ trên $[1,3]$ cũng nằm phía trên trục hoành, giá trị $\ln 3$ dương là hợp lý.
Lỗi hay gặp: Quên trị tuyệt đối trong $\ln|x|$ hoặc tính sai cận.

Câu 2. Tính các tích phân sau:

a) $int_1^2 {{x^4}} ;dx$
b) $int_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}} ;dx$
c) $int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{\cos }^2}x}} dx$
d) $int_0^2 {{3^x}} ;dx$ .

Lời giải

a) Ta có nguyên hàm của $x^4$ là $\frac{x^5}{5}$ .
$int_1^2 {{x^4}} dx = left. {\frac{{{x^5}}}{5}} right|_1^2$
$= \frac{{{2^5}}}{5} - \frac{{{1^5}}}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5}$ .

b) Ta viết lại $\frac{1}{\sqrt{x}}$ thành $x^{-\frac{1}{2}}$ . Nguyên hàm của $x^{-\frac{1}{2}}$ là $\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2sqrt{x}$ .
$int_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}} dx = int_1^2 {{x^{ – \frac{1}{2}}}} dx = left. {2sqrt x } right|_1^2$
$= 2sqrt 2 - 2sqrt 1 = 2sqrt 2 - 2$ .

c) Nguyên hàm của $\frac{1}{{\cos^2 x}}$ là $\tan x$ .
$int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{\cos }^2}x}} dx = left. {\tan x} right|_0^{\frac{\pi }{4}}$
$= \tan (\frac{\pi }{4}) - \tan (0) = 1 - 0 = 1$ .

d) Nguyên hàm của $3^x$ là $\frac{3^x}{\ln 3}$ .
$int_0^2 {{3^x}} dx = left. {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} right|_0^2$
$= \frac{{{3^2}}}{{\ln 3}} - \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} = \frac{9}{{\ln 3}} - \frac{1}{{\ln 3}} = \frac{8}{{\ln 3}}$ .

Mẹo kiểm tra: Sử dụng máy tính cầm tay để ước lượng giá trị tích phân và so sánh với kết quả.
Lỗi hay gặp: Tính sai nguyên hàm, sai quy tắc lũy thừa hoặc sai giá trị lượng giác tại các cận.

Câu 3. Tính các tích phân sau

a) $int_{ – 2}^4 {(x + 1)} (x – 1)dx$
b) $int_1^2 {\frac{{{x^2} – 2x + 1}}{x}} ;dx$
c) $int_0^{\frac{\pi }{2}} {(3sin x – 2)} dx$
d) $int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}} dx$ .

Lời giải

a) Đầu tiên, ta khai triển biểu thức $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$ .
$\int{ – 2}^4 {(x + 1)} (x – 1)dx = \int{ – 2}^4 {({x^2} – 1)} dx$
$= \int{ – 2}^4 {{x^2}} dx - \int{ – 2}^4 dx$
$= left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – x} \right)} right|_{ – 2}^4$
$= \left( {\frac{{{4^3}}}{3} – 4} \right) - \left( {\frac{{{{( – 2)}}^3}}{3} – ( – 2)} \right)$
$= \left( {\frac{{64}}{3} – 4} \right) - \left( {\frac{{ – 8}}{3} + 2} \right)$
$= \frac{{64}}{3} - \frac{{12}}{3} - \frac{{ – 8}}{3} - \frac{6}{3} = \frac{{64 - 12 + 8 - 6}}{3} = \frac{{54}}{3} = 18$ .

b) Ta chia từng hạng tử của tử số cho mẫu số: $\frac{{{x^2} – 2x + 1}}{x} = x - 2 + \frac{1}{x}$ .
$int_1^2 {\frac{{{x^2} – 2x + 1}}{x}} dx = int_1^2 {\left( {x – 2 + \frac{1}{x}} \right)} dx$
$= left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – 2x + \ln |x|} \right)} right|_1^2$
$= \left( {\frac{{{2^2}}}{2} – 2(2) + \ln |2|} \right) - \left( {\frac{{{1^2}}}{2} – 2(1) + \ln |1|} \right)$
$= \left( {2 – 4 + \ln 2} \right) - \left( {\frac{1}{2} – 2 + 0} \right)$
$= (-2 + \ln 2) - (-\frac{3}{2}) = -2 + \ln 2 + \frac{3}{2} = \ln 2 - \frac{1}{2}$ .

c) Sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân:
$int_0^{\frac{\pi }{2}} {(3sin x – 2)} dx = 3int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x} dx – 2int_0^{\frac{\pi }{2}} dx$
Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$ , nguyên hàm của hằng số 2 là $2x$ .
$= left. {( – 3cos x – 2x)} right|_0^{\frac{\pi }{2}}$
$= ( – 3cos(\frac{\pi }{2}) – 2(\frac{\pi }{2})) - ( – 3cos(0) – 2(0))$
$= ( – 3(0) – \pi) - ( – 3(1) – 0) = -\pi - (-3) = 3 - \pi$ .

d) Ta sử dụng hằng đẳng thức lượng giác ${\sin^2 x = 1 - \cos^2 x}$ và hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .
$int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}} dx = int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 – {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}} dx$
$= int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{(1 – \cos x)(1 + \cos x)}}{{1 + \cos x}}} dx$
$= int_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 – \cos x)} dx$
$= int_0^{\frac{\pi }{2}} dx – int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x} dx$
$= left. {(x – \sin x)} right|_0^{\frac{\pi }{2}}$
$= (\frac{\pi }{2} – \sin (\frac{\pi }{2})) - (0 – \sin (0))$
$= (\frac{\pi }{2} – 1) - (0 – 0) = \frac{\pi }{2} – 1$ .

Mẹo kiểm tra: Đối với các bài toán lượng giác, hãy kiểm tra lại các giá trị tại cận và các công thức lượng giác đã sử dụng.
Lỗi hay gặp: Khai triển sai, chia sai, áp dụng sai công thức lượng giác, hoặc tính sai giá trị tại các cận.

Câu 4. Tính các tích phân sau:

a) $int_{ – 2}^1 | 2x + 2|dx$
b) $\int0^4 {| {{x^2} – 4} |} dx$ ;
c) $\int{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} | \sin x|dx$ .

Lời giải

Để tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối, ta cần xác định dấu của biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối trên các khoảng tương ứng.

a) Xét biểu thức $|2x + 2|$ . Ta có $2x + 2 = 0 Leftrightarrow x = -1$ .
Trên khoảng $[-2, -1]$ , $2x + 2 \le 0$ , nên $|2x + 2| = -(2x + 2) = -2x - 2$ .
Trên khoảng $[-1, 1]$ , $2x + 2 \ge 0$ , nên $|2x + 2| = 2x + 2$ .
Do đó, ta tách tích phân thành hai phần:
$\int{ – 2}^1 | 2x + 2|dx = \int{ – 2}^{ – 1} ( – 2x – 2)dx + \int{ – 1}^1 (2x + 2)dx$
$= left. {( – x^2 – 2x)} right|{ – 2}^{ – 1} + left. {(x^2 + 2x)} right|_{ – 1}^1$
$= [ ( - (-1)^2 - 2(-1)) - ( - (-2)^2 - 2(-2)) ] + [ (1^2 + 2(1)) - ((-1)^2 + 2(-1)) ]$
$= [ (-1 + 2) - (-4 + 4) ] + [ (1 + 2) - (1 - 2) ]$
$= [ 1 - 0 ] + [ 3 - (-1) ] = 1 + 4 = 5$ .

b) Xét biểu thức $|x^2 - 4|$ . Ta có $x^2 - 4 = 0 Leftrightarrow x = \pm 2$ .
Trên khoảng $[0, 4]$, ta xét dấu của $x^2 - 4$ :

Trên khoảng $[0, 2]$, $x^2 - 4 \le 0$ , nên $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$ .
Trên khoảng $[2, 4]$, $x^2 - 4 \ge 0$ , nên $|x^2 - 4| = x^2 - 4$ .
Do đó, ta tách tích phân thành hai phần:
$int_0^4 {| {{x^2} – 4} |} dx = int_0^2 {(4 – {x^2})} dx + int_2^4 {({x^2} – 4)} dx$
$= left. {(4x – \frac{{{x^3}}}{3})} right|_0^2 + left. {(\frac{{{x^3}}}{3} – 4x)} right|_2^4$
$= [ (4(2) – \frac{{{2^3}}}{3}) – (4(0) – \frac{{{0^3}}}{3}) ] + [ (\frac{{{4^3}}}{3} – 4(4)) – (\frac{{{2^3}}}{3} – 4(2)) ]$
$= [ (8 – \frac{8}{3}) – 0 ] + [ (\frac{64}{3} – 16) – (\frac{8}{3} – 8) ]$
$= \frac{24-8}{3} + \frac{64-48}{3} - \frac{8-24}{3} = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} - \frac{-16}{3} = \frac{16+16+16}{3} = \frac{48}{3} = 16$ .

c) Xét biểu thức $|\sin x|$ .
Trên khoảng $[-\frac{\pi }{2}, 0]$ , $\sin x \le 0$ , nên $|\sin x| = -\sin x$ .
Trên khoảng $[0, \frac{\pi }{2}]$ , $\sin x \ge 0$ , nên $|\sin x| = \sin x$ .
Do đó, ta tách tích phân thành hai phần:
$\int{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} | \sin x|dx = \int{ – \frac{\pi }{2}}^0 {( – \sin x)} dx + \int0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x} dx$
$= left. {\cos x} right|{ – \frac{\pi }{2}}^0 – left. {\cos x} right|_0^{\frac{\pi }{2}}$
$= (\cos (0) - \cos (-\frac{\pi }{2})) - (\cos (\frac{\pi }{2}) - \cos (0))$
$= (1 - 0) - (0 - 1) = 1 - (-1) = 2$ .

Mẹo kiểm tra: Vẽ đồ thị của hàm số $y = |f(x)|$ để hình dung diện tích cần tính.
Lỗi hay gặp: Xác định sai dấu của biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối trên các khoảng, hoặc tính sai nguyên hàm của hàm số sau khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

T’\left( x \right) = – \frac{{30}}{x}; \left( {6 leqslant x leqslant 8} \right).

Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.

Lời giải

Chúng ta được cho biết nhiệt độ của khí bên trong ống luôn được duy trì ở ${150^ \circ }C$ . Điểm $A$ trên thành ống có khoảng cách $x$ từ tâm. Cạnh trong của ống có bán kính là $6 , cm$ và cạnh ngoài có bán kính là $8 , cm$.
Do đó, nhiệt độ tại cạnh trong của ống là $T(6) = 150 , ^\circ C$ .
Chúng ta cần tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống, tức là $T(8)$.

Theo định lý cơ bản của giải tích, ta có:
$T(8) - T(6) = int_6^8 {T'(x)} dx$
Thay biểu thức của $T'(x)$ vào:
$T(8) - T(6) = int_6^8 {(-\frac{{30}}{x})} dx$
$= -30 int_6^8 {\frac{1}{x}} dx$
Nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ là $\ln|x|$ .
$= -30 left. {(\ln |x|)} right|_6^8$
$= -30 (\ln 8 - \ln 6)$
$= -30 \ln (\frac{8}{6}) = -30 \ln (\frac{4}{3})$ .

Bây giờ, ta tìm $T(8)$:
$T(8) = T(6) + int_6^8 {T'(x)} dx$
$T(8) = 150 + (-30 \ln (\frac{4}{3}))$
$T(8) = 150 - 30 \ln (\frac{4}{3})$ .

Để có kết quả xấp xỉ:
$\ln (\frac{4}{3}) \approx 0.2877$
$30 \ln (\frac{4}{3}) \approx 30 \times 0.2877 \approx 8.631$
$T(8) \approx 150 - 8.631 \approx 141.369 , ^\circ C$ .

Vậy, nhiệt độ mặt ngoài của ống là $150 - 30 \ln (\frac{4}{3}) , ^\circ C$ , xấp xỉ $141.37 , ^\circ C$ .

Mẹo kiểm tra: Nhiệt độ giảm dần khi đi ra ngoài do nhiệt truyền ra môi trường, nên kết quả $T(8) < T(6)$ là hợp lý.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn cận trong tích phân, tính sai nguyên hàm, hoặc không hiểu rõ ý nghĩa vật lý của đạo hàm nhiệt độ.

Câu 6. Tốc độ $vleft( {;m/s} \right)$ của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian $t$ (giây) được cho bởi công thức:

vleft( t \right) = left{ { \begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} {t,0 leqslant t leqslant 2} {2,2 < t leqslant 20} {12 – 0,5t,20 < t leqslant 24} \end{array} } right.[/katex] <p>Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.</p> <p><strong>Lời giải</strong></p> <p>Gọi $s(t)$ là quãng đường thang máy di chuyển được tính từ thời điểm [katex]t=0

. Quãng đường chuyển động của thang máy từ tầng 1 lên tầng cao nhất chính là tích phân của hàm vận tốc $v(t)$ theo thời gian $t$ từ $0$ đến $24$ giây.

Ta cần tính $s = int_0^{24} v(t) dt$ . Do hàm $v(t)$ được định nghĩa theo từng khoảng, ta sẽ chia tích phân này thành các phần tương ứng:

s = int_0^2 v(t) dt + \int<em>2^{20} v(t) dt + \int</em>{20}^{24} v(t) dt

Thay các biểu thức của $v(t)$ vào từng tích phân:

Khoảng $[0, 2]$: $v(t) = t$
$int_0^2 t dt = left. {\frac{{{t^2}}}{2}} right|_0^2 = \frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2$ .
Khoảng $(2, 20]$: $v(t) = 2$
$int_2^{20} 2 dt = left. {2t} right|_2^{20} = 2(20) - 2(2) = 40 - 4 = 36$ .
Khoảng $(20, 24]$: $v(t) = 12 - 0.5t$
$\int{20}^{24} {(12 – 0.5t)} dt = left. {\left( {12t – \frac{{0.5{t^2}}}{2}} \right)} right|{20}^{24}$
$= left. {\left( {12t – \frac{{{t^2}}}{4}} \right)} right|_{20}^{24}$
$= \left( {12(24) – \frac{{{{24}^2}}}{4}} \right) - \left( {12(20) – \frac{{{{20}^2}}}{4}} \right)$
$= \left( {288 – \frac{{576}}{4}} \right) - \left( {240 – \frac{{400}}{4}} \right)$
$= (288 - 144) - (240 - 100)$
$= 144 - 140 = 4$ .

Tổng quãng đường chuyển động là:
$s = 2 + 36 + 4 = 42 , (m)$ .

Tốc độ trung bình của thang máy trong khoảng thời gian từ

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 15, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.