Giải Toán 12: Bài 6 Trang 89 (Giải Tích) – Cấu Trúc, Kiến Thức và Hướng Dẫn Chi Tiết

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Giải toán 12 bài 6 trang 89 sách Giải tích là một nội dung quan trọng giúp học sinh nắm vững các khái niệm về hàm số và giới hạn. Bài viết này cung cấp một cách tiếp cận có hệ thống, giúp bạn hiểu rõ cấu trúc bài toán, kiến thức nền tảng, hướng dẫn giải chi tiết, cùng các mẹo kiểm tra và lỗi thường gặp khi làm bài tập này, đảm bảo bạn có thể tự tin giải quyết các dạng bài tương tự.

Đề Bài

Cho hàm số $y = f(x)$ .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
c) Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình $f(x) = m$ .

(Lưu ý: Đề bài gốc có thể thay đổi tùy theo sách và phiên bản, phần này sẽ được trình bày chính xác theo nội dung gốc khi có.)

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu thực hiện ba phần chính liên quan đến việc khảo sát và biện luận một hàm số cho trước:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị: Đây là phần cốt lõi, bao gồm việc tìm tập xác định, giới hạn tại các điểm đặc biệt, tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên, và từ đó vẽ đồ thị.
Tìm tiệm cận: Xác định các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang dựa trên kết quả khảo sát hàm số và giới hạn.
Biện luận số nghiệm: Sử dụng đồ thị hàm số đã vẽ để xác định số giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y = m$ , từ đó suy ra số nghiệm của phương trình.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau từ chương trình Giải tích lớp 12:

Hàm số: Tập xác định, tính chẵn lẻ, tính đơn điệu, cực trị, điểm uốn.
Đạo hàm: Quy tắc tính đạo hàm, ứng dụng của đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số (tính đồng biến, nghịch biến).
Giới hạn: Các quy tắc tính giới hạn, giới hạn tại vô cực và giới hạn tại một điểm.
Tiệm cận: Định nghĩa và cách tìm tiệm cận đứng (qua giới hạn một bên tại điểm làm mẫu số bằng 0) và tiệm cận ngang (qua giới hạn tại vô cực).
Đồ thị hàm số: Cách vẽ đồ thị dựa trên bảng biến thiên, xác định các điểm đặc biệt (giao trục, cực trị, điểm uốn).
Biện luận tham số: Sử dụng đồ thị để đếm số nghiệm của phương trình dạng $f(x) = m$ .

Các công thức đạo hàm cơ bản và quy tắc tính giới hạn là công cụ không thể thiếu. Ví dụ, với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, đạo hàm thường là hằng số:
$\frac{ax+b}{cx+d}' = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$

Khi xét giới hạn, ta thường gặp các dạng vô định và cần sử dụng các phương pháp như chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $x$.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Để giải bài toán giải toán 12 bài 6 trang 89, chúng ta sẽ đi qua từng bước một cách cẩn thận. (Ví dụ minh họa dưới đây giả định một hàm số cụ thể, học sinh cần áp dụng với hàm số được cho trong đề bài).

Giả sử hàm số cần khảo sát là $y = \frac{x+1}{x-1}$ .

Bước 1: Khảo Sát Sự Biến Thiên

Tập xác định:
Hàm số xác định khi mẫu số khác 0.
$x-1 \ne 0 implies x \ne 1$
Vậy tập xác định là $D = mathbb{R} setminus {1}$ .
Giới hạn tại vô cực:
$lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x-1} = lim_{x \to +\infty} \frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} = \frac{1+0}{1-0} = 1$
$lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{x-1} = lim_{x \to -\infty} \frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} = \frac{1+0}{1-0} = 1$
Giới hạn tại điểm đặc biệt (x=1):
$lim_{x \to 1^+} \frac{x+1}{x-1}$
Khi $x \to 1^+$ , $x+1 \to 2 > 0$ và $x-1 \to 0^+$ .
$implies lim_{x \to 1^+} \frac{x+1}{x-1} = +\infty$
$lim_{x \to 1^-} \frac{x+1}{x-1}$
Khi $x \to 1^-$ , $x+1 \to 2 > 0$ và $x-1 \to 0^-$ .
$implies lim_{x \to 1^-} \frac{x+1}{x-1} = -\infty$
Tính đạo hàm:
$y' = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)' = \frac{1 \cdot (x-1) - 1 \cdot (x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$
Xét dấu đạo hàm:
Vì $(x-1)^2 > 0$ với mọi $x \ne 1$ và -2 < 0, nên $y' < 0[/katex]</code> với mọi <code>[katex]x \ne 1$ .
Hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Lập bảng biến thiên:

 $x</code></th> <th style="text-align: center"><code>-\infty</code></th> <th style="text-align: center"><code>1</code></th> <th style="text-align: center"><code>+\infty</code></th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align: left"><code>[]y'</code></td> <td style="text-align: center"><code>-</code></td> <td style="text-align: center">-</td> <td style="text-align: center">-</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left"><code>[]y</code></td> <td style="text-align: center"><code>1</code> <code>searrow</code> <code>-\infty</code></td> <td style="text-align: center"><code>+\infty</code> <code>searrow</code> <code>1</code></td> </tr> </tbody> </table> </li> <li> <p><strong>Vẽ đồ thị:</strong> Dựa vào bảng biến thiên và các giới hạn, ta vẽ được đồ thị hàm số.</p> <ul> <li>Đồ thị nhận đường thẳng <code>[]x=1$

làm tiệm cận đứng.

Đồ thị nhận đường thẳng $y=1$ làm tiệm cận ngang.

Bước 2: Tìm Các Đường Tiệm Cận

Từ kết quả khảo sát ở Bước 1:

Tiệm cận đứng: Đường thẳng $x=1$ (do $lim_{x \to 1^\pm} f(x) = pminfty$ ).
Tiệm cận ngang: Đường thẳng $y=1$ (do $lim_{x \to pminfty} f(x) = 1$ ).

Bước 3: Biện Luận Số Nghiệm Của Phương Trình

Xét phương trình $f(x) = m$ .
Số nghiệm của phương trình này chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = m$ .

Dựa vào đồ thị và bảng biến thiên:

Khi $m < -\infty[/katex]</code> hoặc <code>[katex]m > 1$ : Đường thẳng $y = m$ không cắt đồ thị hàm số. Phương trình có 0 nghiệm.
Khi $m = 1$ : Đường thẳng $y = 1$ trùng với tiệm cận ngang, không cắt đồ thị. Phương trình có 0 nghiệm.
Khi $m > 1$ hoặc $m < 1[/katex]</code> (và <code>m</code> khác các giá trị "tại cực trị" nếu có): Đường thẳng <code>[katex]y = m$ cắt đồ thị tại một điểm duy nhất. Phương trình có 1 nghiệm.

(Lưu ý: Đối với các hàm số khác có cực trị, việc biện luận sẽ phức tạp hơn, cần so sánh m với giá trị cực đại và cực tiểu).

Mẹo kiểm tra:

Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất luôn có 2 tiệm cận (1 đứng, 1 ngang).
Đếm giao điểm bằng cách kẻ đường thẳng y=m song song với trục Ox và quan sát số lần nó cắt đồ thị.

Lỗi hay gặp:

Tính sai đạo hàm hoặc xét dấu đạo hàm.
Nhầm lẫn giới hạn tại vô cực và giới hạn tại điểm.
Vẽ sai đồ thị hoặc không xác định đúng tiệm cận.
Biện luận sai số nghiệm dựa trên đồ thị (ví dụ: quên trường hợp m bằng giá trị cực trị).

Đáp Án/Kết Quả

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị: Đã thực hiện các bước tính toán và lập bảng biến thiên. Đồ thị sẽ được vẽ dựa trên các kết quả này.
b) Tiệm cận: Tiệm cận đứng là $x=1$ , tiệm cận ngang là $y=1$ .
c) Biện luận:
- $m < 1[/katex]</code> hoặc <code>[katex]m > 1$ : Phương trình có 1 nghiệm.
- $m = 1$ : Phương trình có 0 nghiệm.

Bài toán giải toán 12 bài 6 trang 89 yêu cầu sự chính xác và tỉ mỉ trong từng bước. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm, giới hạn và cách sử dụng đồ thị để biện luận tham số sẽ giúp học sinh tự tin chinh phục dạng bài này, từ đó nâng cao kết quả học tập.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.