Giải Toán 12 Kết Nối Tri Thức Chương 2 Vectơ Và Hệ Trục Tọa Độ Trong Không Gian

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Ôn tập chương 2 sách Giải Toán 12 Kết Nối Tri Thức giúp học sinh nắm vững kiến thức về vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian. Nội dung bài viết cung cấp lời giải chi tiết cho các dạng bài tập trắc nghiệm và tự luận, đảm bảo tính chính xác và dễ hiểu. Cùng tìm hiểu giải toán 12 ôn tập chương 2 một cách hiệu quả nhất.

Đề Bài

A – TRẮC NGHIỆM

Câu 2.25. Cho tứ diện $ABCD$. Lấy $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $overrightarrow {BG} + overrightarrow {CG} + overrightarrow {DG} = vec 0$ .

B. $overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} = 3overrightarrow {AG}$ .

C. $overrightarrow {BC} + overrightarrow {BD} = 3overrightarrow {BG}$ .

D. $overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = vec 0$ .

Câu 2.26. Cho hình hộp $ABCD cdot A’B’C’D’$. Lấy $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $CC’$. Vectơ $overrightarrow {AM}$ bằng

A. $overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’}$ .

B. $overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}overrightarrow {AA’}$ .

C. $overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}overrightarrow {AA’}$ .

D. $\frac{1}{2}overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’}$ .

Câu 2.27. Cho hình hộp $ABCD cdot A’B’C’D’$. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. $overrightarrow {AB} + overrightarrow {CC’} = overrightarrow {AB’}$ .

B. $overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’} = overrightarrow {AC’}$ .

C. $overrightarrow {AD} + overrightarrow {BB’} = overrightarrow {AD’}$ .

D. $overrightarrow {AB} + overrightarrow {CC’} = overrightarrow {AC’}$ .

Câu 2.28. Cho tứ diện đều $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $a$, gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$. Tích vô hướng $overrightarrow {AB} \cdot overrightarrow {AM}$ bằng

A. $\frac{{{a^2}}}{4}$ .

B. $\frac{{{a^2}}}{2}$ .

C. $\frac{{{a^2}}}{3}$ .

D. ${a^2}$ .

Câu 2.29. Trong không gian $Oxyz$, cho $vec a = \left( {1; – 2;2} \right),vec b = \left( { – 2;0;3} \right)$ . Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. $vec a + vec b = \left( { – 1; – 2;5} \right)$ .

B. $vec a – vec b = \left( {3; – 2; – 1} \right)$ .

C. $3vec a = \left( {3; – 2;2} \right)$ .

D. $2vec a + vec b = \left( {0; – 4;7} \right)$ .

Câu 2.30. Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ có $Aleft( { – 1;0;3} \right),Bleft( {2;1; – 1} \right)$ và $Cleft( {3;2;2} \right)$ . Toạ độ của điểm $D$ là

A. $\left( {2; – 1;0} \right)$ .

B. $\left( {0; – 1; – 6} \right)$ .

C. $\left( {0;1;6} \right)$ .

D. $\left( { – 2;1;0} \right)$ .

Câu 2.31. Trong không gian $Oxyz$, cho $Aleft( {1;0; – 1} \right),Bleft( {0; – 1;2} \right)$ và $Gleft( {2;1;0} \right)$ . Biết tam giác $ABC$ có trọng tâm là điểm $G$. Toạ độ của điểm $C$ là

A. $\left( {5;4; – 1} \right)$ .

B. $\left( { – 5; – 4;1} \right)$ .

C. $\left( {1;2; – 1} \right)$ .

D. $\left( { – 1; – 2;1} \right)$ .

Câu 2.32. Trong không gian $Oxyz$, cho $vec a = \left( {2;1; – 3} \right),vec b = \left( { – 2; – 1;2} \right)$ . Tích vô hướng $vec a cdot vec b$ bằng

A. -2 .

B. -11 .

C. 11 .

D. 2 .

Câu 2.33. Trong không gian $Oxyz$, cho $vec a = \left( {2;1; – 2} \right),vec b = \left( {0; – 1;1} \right)$ . Góc giữa hai vectơ $vec a,vec b$ bằng

A. ${60^ \circ }$ .

B. ${135^ \circ }$ .

C. ${120^ \circ }$ .

D. ${45^ \circ }$ .

Câu 2.34. Trong không gian $Oxyz$, cho $vec a = \left( { – 2;2;2} \right),vec b = \left( {1; – 1; – 2} \right)$ . Côsin của góc giữa hai vectơ $vec a,vec b$ bằng

A. $\frac{{ – 2sqrt 2 }}{3}$ .

B. $\frac{{2sqrt 2 }}{3}$ .

C. $\frac{{\sqrt 2 }}{3}$ .

D. $\frac{{ – \sqrt 2 }}{3}$ .

B – TỰ LUẬN

Câu 2.35. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:
$overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD}$

Lời giải
Cách 1:
$VT = overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = overrightarrow {SB} + overrightarrow {BA} + overrightarrow {SD} + overrightarrow {DC}$
$= overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} + overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC}$
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $overrightarrow {BA} = overrightarrow {CD}$ , suy ra $overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC} = vec 0$ .
$VT = overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} + vec 0 = VP$ .
Đẳng thức được chứng minh.

Cách 2: Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
Ta có:
$overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = 2overrightarrow {SO}$ (trung tuyến của tam giác $SAC$)
$overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} = 2overrightarrow {SO}$ (trung tuyến của tam giác $SBD$)
Suy ra, $overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD}$ .
Đẳng thức được chứng minh.

Câu 2.36. Cho tứ diện $ABCD$, lấy hai điểm $M,N$ thoả mãn $overrightarrow {MB} + 2overrightarrow {MA} = vec 0$ và $overrightarrow {NC} = 2overrightarrow {DN}$ . Hãy biểu diễn $overrightarrow {MN}$ theo $overrightarrow {AD}$ và $overrightarrow {BC}$ .

Lời giải
Từ giả thiết:
$overrightarrow {MB} + 2overrightarrow {MA} = vec 0 Rightarrow overrightarrow {MB} = -2overrightarrow {MA}$
$overrightarrow {NC} = 2overrightarrow {DN} Rightarrow overrightarrow {CN} = -2overrightarrow {DN}$

Ta có:
$overrightarrow {MN} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {DN}$ (1)
Nhân hai vế của (1) với 2:
$2overrightarrow {MN} = 2overrightarrow {MA} + 2overrightarrow {AD} + 2overrightarrow {DN}$
Thay $2overrightarrow {MA} = -overrightarrow {MB}$ và $2overrightarrow {DN} = overrightarrow {NC}$ :
$2overrightarrow {MN} = -overrightarrow {MB} + 2overrightarrow {AD} + overrightarrow {NC}$ (2)

Ta cũng có:
$overrightarrow {MN} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CN}$ (3)
Thay $overrightarrow {CN} = -2overrightarrow {DN}$ :
$overrightarrow {MN} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {BC} - 2overrightarrow {DN}$ (4)

Cộng vế theo vế của (2) và (4):
$(2overrightarrow {MN}) + (overrightarrow {MN}) = (- overrightarrow {MB} + 2overrightarrow {AD} + overrightarrow {NC}) + (overrightarrow {MB} + overrightarrow {BC} - 2overrightarrow {DN})$
$3overrightarrow {MN} = 2overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} + (overrightarrow {NC} - 2overrightarrow {DN})$
Vì $overrightarrow {NC} = 2overrightarrow {DN}$ nên $overrightarrow {NC} - 2overrightarrow {DN} = vec 0$ .
$3overrightarrow {MN} = 2overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC}$
Suy ra $overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}overrightarrow {BC}$ .

Câu 2.37. Cho hình hộp $ABCD cdot A’B’C’D’$, gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BDA’$.
a) Biểu diễn $overrightarrow {AG}$ theo $overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AD}$ và $overrightarrow {AA’}$ .
b) Từ câu $a$, hãy chứng tỏ ba điểm $A,G$ và $C’$ thẳng hàng.

Lời giải
a) $G$ là trọng tâm của tam giác $BDA’$, nên ta có:
$overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GD} + overrightarrow {GA’} = vec 0$
Có thể viết lại thành:
$3overrightarrow {GA} + (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’}) = vec 0$
$3overrightarrow {GA} = - (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’})$
$-3overrightarrow {AG} = - (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’})$
$3overrightarrow {AG} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’}$
$overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}(overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’})$ .

b) Theo quy tắc hình hộp, ta có vectơ đường chéo $AC’$ là:
$overrightarrow {AC’} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’}$
Từ câu a), ta có:
$overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA’} = 3overrightarrow {AG}$
Do đó, $overrightarrow {AC’} = 3overrightarrow {AG}$ .
Điều này chứng tỏ ba điểm $A, G, C’$ thẳng hàng và $G$ nằm trên đoạn $AC’$ với $AG = \frac{1}{3}AC’$ .

Câu 2.38. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $Aleft( {2; – 1;3} \right),Bleft( {1;1; – 1} \right)$ và $Cleft( { – 1;0;2} \right)$ .
a) Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
b) Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc trục $Oz$ sao cho đường thẳng $BM$ vuông góc với đường thẳng $AC$.

Lời giải
a) Toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ được tính bằng công thức:
$Gleft( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$
$Gleft( {\frac{2 + 1 + (–1)}{3};\frac{–1 + 1 + 0}{3};\frac{3 + (–1) + 2}{3}} \right)$
$Gleft( {\frac{2}{3};,,0;,,\frac{4}{3}} \right).$

b) Điểm $M$ thuộc trục $Oz$ nên có toạ độ dạng $Mleft( {0;,,0;,,t} \right)$ với $t$ là một số thực.
Ta có các vectơ:
$overrightarrow {BM} = M - B = \left( {0-1;,,0-1;,,t-(–1)} \right) = \left( {–1;,,–1;,,t+1} \right)$
$overrightarrow {AC} = C - A = \left( {–1-2;,,0-(–1);,,2-3} \right) = \left( {–3;,,1;,,–1} \right)$
Để đường thẳng $BM$ vuông góc với đường thẳng $AC$, tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng phải bằng 0:
$overrightarrow {BM} \cdot overrightarrow {AC} = 0$
$(-1)(-3) + (-1)(1) + (t+1)(-1) = 0$
$3 - 1 - (t+1) = 0$
$2 - t - 1 = 0$
$1 - t = 0$
$t = 1$
Vậy, toạ độ điểm $M$ là $Mleft( {0;,,0;,,1} \right).$

Câu 2.39. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $OABC.O’A’B’C’$ và các điểm $Aleft( {2;3;1} \right),Cleft( { – 1;2;3} \right)$ và $O’\left( {1; – 2;2} \right)$ . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải
Ta có các vectơ:
$overrightarrow {OA} = A - O = \left( {2;3;1} \right)$
$overrightarrow {OC} = C - O = \left( {–1;2;3} \right)$
$overrightarrow {OO’} = O’ - O = \left( {1;–2;2} \right)$

Vì $OABC$ là hình bình hành, ta có: $overrightarrow {OB} = overrightarrow {OA} + overrightarrow {OC}$ .
$B = O + overrightarrow {OB} = O + overrightarrow {OA} + overrightarrow {OC} = (2 + (-1);,,3 + 2;,,1 + 3) = (1;,,5;,,4)$ .
Vậy $Bleft( {1;,,5;,,4} \right)$ .

Các đỉnh còn lại của hình hộp là $A’, B’, C’$.
$overrightarrow {OA’} = overrightarrow {OO’}$ vì $OAA’O’$ là hình bình hành.
$A’ = O + overrightarrow {OA’} = O + overrightarrow {OO’} = (1;,,-2;,,2)$ .
Vậy $A’\left( {1;,,-2;,,2} \right)$ .

$overrightarrow {OC’} = overrightarrow {OO’}$ vì $OCC’O’$ là hình bình hành.
$C’ = O + overrightarrow {OC’} = O + overrightarrow {OO’} = (1;,,-2;,,2)$ .

Kiểm tra lại:
$overrightarrow {OA’} = overrightarrow {OA} + overrightarrow {OO’} = (2;3;1) + (1;-2;2) = (3;1;3)$ , suy ra $A’\left( {3;1;3} \right)$ .
$overrightarrow {OC’} = overrightarrow {OC} + overrightarrow {OO’} = (-1;2;3) + (1;-2;2) = (0;0;5)$ , suy ra $C’\left( {0;0;5} \right)$ .
$overrightarrow {OB’} = overrightarrow {OA} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {OO’} = (2;3;1) + (-1;2;3) + (1;-2;2) = (2;3;6)$ , suy ra $B’\left( {2;3;6} \right)$ .

Các đỉnh còn lại là: $B(1;5;4)$, $A’(3;1;3)$, $C’(0;0;5)$, $B’(2;3;6)$.

Câu 2.40. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $vec a = \left( { – 2;1;2} \right),vec b = \left( {1;1; – 1} \right)$ .
a) Xác định toạ độ của vectơ $vec u = vec a - 2vec b$ .
b) Tính độ dài vectơ $vec u$.
c) Tính $cosleft( {vec a,vec b} \right)$ .

Lời giải
a) Ta có:
$2vec b = 2left( {1;1; – 1} \right) = \left( {2;2; – 2} \right)$ .
$vec u = vec a – 2vec b = \left( {–2;1;2} \right) - \left( {2;2; – 2} \right) = \left( {–2-2;,,1-2;,,2-(–2)} \right) = \left( {–4;,,–1;,,4} \right)$ .
Vậy $vec u = \left( {–4;,,–1;,,4} \right)$ .

b) Độ dài của vectơ $vec u$ là:
$left| {vec u} right| = \sqrt{ (–4)^2 + (–1)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33}$ .

c) Để tính cosin của góc giữa hai vectơ $vec a$ và $vec b$, ta sử dụng công thức:
$\cos \left( {vec a,vec b} \right) = \frac{{vec a \cdot vec b}}{{left| {vec a} right| \cdot left| {vec b} right|}}$
Tính tích vô hướng $vec a cdot vec b$:
$vec a \cdot vec b = (–2)(1) + (1)(1) + (2)(–1) = –2 + 1 – 2 = –3$ .
Tính độ dài các vectơ:
$left| {vec a} right| = \sqrt{ (–2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ .
$left| {vec b} right| = \sqrt{ 1^2 + 1^2 + (–1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$ .
Thay vào công thức:
$\cos \left( {vec a,vec b} \right) = \frac{{–3}}{{3 \cdot \sqrt 3}} = \frac{{–1}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{–\sqrt 3 }}{3}$ .

Câu 2.41. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $Aleft( {4;2; – 1} \right),Bleft( {1; – 1;2} \right)$ và $Cleft( {0; – 2;3} \right)$ .
a) Tìm toạ độ của vectơ $overrightarrow {AB}$ và tính độ dài đoạn thẳng $AB$.
b) Tìm toa độ điểm $M$ sao cho $overrightarrow {AB} + overrightarrow {CM} = vec 0$ .
c) Tìm toạ độ điểm $N$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ , sao cho $A,B,N$ thẳng hàng.

Lời giải
a) Toạ độ vectơ $overrightarrow {AB}$ :
$overrightarrow {AB} = B - A = \left( {1-4;,,–1-2;,,2-(–1)} \right) = \left( {–3;,,–3;,,3} \right)$ .
Độ dài đoạn thẳng $AB$:
$AB = left| {overrightarrow {AB} } right| = \sqrt{ (–3)^2 + (–3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3sqrt 3$ .

b) Điều kiện $overrightarrow {AB} + overrightarrow {CM} = vec 0$ tương đương với $overrightarrow {CM} = -overrightarrow {AB}$ .
Ta có: $–overrightarrow {AB} = –\left( {–3;,,–3;,,3} \right) = \left( {3;,,3;,,–3} \right)$ .
Gọi $Mleft( {{x_M};,,{y_M};,,{z_M}} \right)$ . Khi đó $overrightarrow {CM} = M - C = \left( {{x_M}-0;,,{y_M}-(-2);,,{z_M}-3} \right) = \left( {{x_M};,,{y_M}+2;,,{z_M}-3} \right)$ .
Do $overrightarrow {CM} = -overrightarrow {AB}$ , ta có hệ phương trình:
${ {x_M} = 3 \ {y_M}+2 = 3 \ {z_M}-3 = –3 }$
${ {x_M} = 3 \ {y_M} = 1 \ {z_M} = 0 }$
Vậy $Mleft( {3;,,1;,,0} \right)$ .

c) Điểm $N$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên có toạ độ dạng $Nleft( {{x_N};,,{y_N};,,0} \right)$ .
Ba điểm $A, B, N$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $overrightarrow {AN}$ và $overrightarrow {AB}$ cùng phương.
$overrightarrow {AN} = N - A = \left( {{x_N}-4;,,{y_N}-2;,,0-(–1)} \right) = \left( {{x_N}-4;,,{y_N}-2;,,1} \right)$ .
$overrightarrow {AB} = \left( {–3;,,–3;,,3} \right)$ .
Hai vectơ cùng phương khi tồn tại một số $k$ sao cho $overrightarrow {AN} = k overrightarrow {AB}$ .
${ {{x_N}-4 = k(–3)} \ {{y_N}-2 = k(–3)} \ {1 = k(3)} }$
Từ phương trình thứ ba, ta có $k = \frac{1}{3}$ .
Thay $k$ vào hai phương trình đầu:
${x_N}-4 = \frac{1}{3}(–3) = –1 Rightarrow {x_N} = 3$ .
${y_N}-2 = \frac{1}{3}(–3) = –1 Rightarrow {y_N} = 1$ .
Vậy $Nleft( {3;,,1;,,0} \right)$ .

Câu 2.42. Hình 2.53 minh hoạ một chiếc đèn được treo cách trần nhà là $0,5;m$, cách hai tường lần lượt là $1,2;m$ và $1,6;m$. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là $0,4;m$, cách hai tường đều là $1,5;m$.
a) Lập một hệ trục toạ độ Oxyz phù hợp và xác định toạ độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.
b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hình 2.53

Lời giải
a) Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho:

$O$ là góc của căn phòng (giao điểm của hai bức tường và trần nhà).
Trục $Ox$ nằm dọc theo giao tuyến của một bức tường và trần nhà.
Trục $Oy$ nằm dọc theo giao tuyến của bức tường còn lại và trần nhà.
Trục $Oz$ nằm dọc theo giao tuyến của hai bức tường, hướng xuống dưới.
Đơn vị đo trên các trục là mét.

Với cách chọn hệ trục này, tọa độ của bóng đèn được xác định như sau:

Vị trí ban đầu (A): Cách trần nhà $0,5m$ (tức là cách mặt phẳng $xy$ một khoảng $0,5$ theo trục $z$), cách tường thứ nhất $1,2m$ (khoảng cách theo trục $x$), và cách tường thứ hai $1,6m$ (khoảng cách theo trục $y$).
Do đó, tọa độ điểm $A$ là $\left( {1.2;,,1.6;,,0.5} \right)$ .
Vị trí mới (B): Cách trần nhà $0,4m$ (khoảng cách theo trục $z$), cách hai tường đều $1,5m$ (khoảng cách theo trục $x$ và $y$).
Do đó, tọa độ điểm $B$ là $\left( {1.5;,,1.5;,,0.4} \right)$ .

b) Để tính khoảng cách giữa vị trí ban đầu $A$ và vị trí mới $B$, ta tính độ dài của vectơ $overrightarrow {AB}$ .
$overrightarrow {AB} = B - A = \left( {1.5 - 1.2;,,1.5 - 1.6;,,0.4 - 0.5} \right)$
$overrightarrow {AB} = \left( {0.3;,,-0.1;,,-0.1} \right)$ .

Khoảng cách $AB$ là độ dài của vectơ $overrightarrow {AB}$ :
$AB = left| {overrightarrow {AB} } right| = \sqrt{ (0.3)^2 + (-0.1)^2 + (-0.1)^2 }$
$AB = \sqrt{ 0.09 + 0.01 + 0.01 }$
$AB = \sqrt{ 0.11 }$

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất:
$AB approx 0.316… approx 0.3$ mét.

Vậy, vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu khoảng $0.3$ mét.

Nội dung này cung cấp các lời giải chi tiết cho bài tập giải toán 12 ôn tập chương 2 Vectơ và Hệ trục tọa độ trong không gian, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập hiệu quả.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.