Giải Toán 12 Ôn Tập Chương 3: Nguyên Hàm, Tích Phân và Ứng Dụng

Chương 3 Toán 12 tập trung vào các khái niệm cốt lõi về nguyên hàm và tích phân, cùng với những ứng dụng quan trọng trong hình học. Nắm vững kiến thức này là chìa khóa để giải quyết nhiều dạng bài tập, đặc biệt là trong các kỳ thi quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan, chi tiết về lý thuyết, phương pháp và các bài tập mẫu.

Đề Bài

(Đề bài gốc không có phần “Đề Bài” riêng biệt mà là tổng hợp lý thuyết và bài tập mẫu. Do đó, phần này sẽ bao gồm các ví dụ từ bài gốc.)

Bài 1:
a) Phát biểu định nghĩa về nguyên hàm của f(x) trên một khoảng.
b) Phát biểu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.

Bài 2:
a) Nêu định nghĩa tích phân của hàm số f(x) trên một đoạn.
b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa.

Bài 3:
Tính nguyên hàm của các hàm số sau đây:
a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)
b. f(x)=sin4x.\cos^{2}x

Bài 4:
Tính:
a. \int (2-x)sinx dx
b. \frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{x}}dx

Bài 5: Tính nguyên hàm của hàm số f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}

Bài 6: Tính \int \frac{e^{3x}+1}{e^{x}+1}dx

Bài 7: Tính \int \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx

Bài 8: Tính int_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx

Bài 9: Tính \int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}

Bài 10: Tính \int 2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx, tìm kết quả sai

Bài 11: Tích phân int_{0}^{x}\cos^{2}xsinx dx

Bài 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bằng các đường cong y = x^3 và y = x^5 bằng:

Bài 13: Diện tích hình phẳng được giới hạn bằng các đường cong y=x+\sin x và y=x (0leq x leq 2pi) bằng

Bài 14: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y=\sqrt{x} và y=x quay xung quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành bằng:

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu nắm vững định nghĩa, tính chất và phương pháp tính toán đối với nguyên hàm và tích phân. Bao gồm cả việc áp dụng các kỹ thuật như đổi biến số, lấy nguyên hàm/tích phân từng phần. Ngoài ra, bài tập còn mở rộng sang các ứng dụng thực tế của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay. Việc hiểu rõ cách vận dụng công thức và các quy tắc là yếu tố then chốt để giải quyết thành công các dạng bài này.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Nguyên hàm

1. Định nghĩa Nguyên hàm:
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên một khoảng $K$. Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu F'(x) = f(x) với mọi $x in K$.

2. Tính chất của Nguyên hàm:

• Tính chất 1: (\int f(x)dx)'=f(x)
• Tính chất 2: \int f'(x)dx=f(x)+C
• Tính chất 3: \int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dxpm \int g(x)dx
• Tính chất 4: kint f(x)dx=\int kf(x)dx với $k$ là hằng số khác 0.

3. Bảng Nguyên hàm cơ bản:
Bảng này bao gồm nguyên hàm của các hàm số thường gặp như hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, logarit. Ví dụ:

• \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C (với n \ne -1)
• \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C
• \int e^x dx = e^x + C
• \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C (với a>0, a \ne 1)
• \int \cos x dx = \sin x + C
• \int \sin x dx = -\cos x + C

Ôn tập chương 3 toán 12 bảng giá trị nguyên hàm

4. Phương pháp tính Nguyên hàm:

• Phương pháp đổi biến số:
  Nếu \int f(u)du=F(u)+C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục, thì \int f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C.
  Hệ quả: Với u=ax+b (a \ne 0), ta có \int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C.
• Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
  Áp dụng công thức \int u dv = uv - \int v du.
  Phương pháp này hiệu quả với các dạng \int P(x)e^{ax+b}dx, \int P(x)\sin (ax+b)dx, \int P(x)\cos (ax+b)dx và \int P(x)\ln (ax+b)dx. Khi đó, đặt u=P(x) hoặc u=\ln (ax+b) và $dv$ là phần còn lại.

Tích phân

1. Định nghĩa Tích phân:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn $[a; b]$. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$, thì hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ của $f(x)$, ký hiệu là int_{a}^{b}f(x)dx.
int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).

2. Các tính chất của Tích phân:

• Tính chất 1: int_{a}^{a}f(x)dx=0
• Tính chất 2: int_{a}^{b}f(x)dx=-int_{b}^{a}f(x)dx
• Tính chất 3: int_{a}^{b}kf(x)dx=kint_{a}^{b}f(x)dx (với $k$ là hằng số)
• Tính chất 4: int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))dx=int_{a}^{b}f(x)dx \pm int_{a}^{b}g(x)dx
• Tính chất 5: int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx (với $a<c<b$)

Phương pháp tính tích phân ôn tập chương 3 toán 12

3. Phương pháp tính Tích phân:

• Phương pháp đổi biến số:
  Để tính I=int_{a}^{b}g(x)dx:
  Bước 1: Chọn biến số u=u(x), sao cho g(x)dx = f(u(x))u'(x)dx = f(u(x))du.
  Bước 2: Đổi cận: x=a Rightarrow u=u(a); x=b Rightarrow u=u(b).
  Bước 3: Tính tích phân theo biến mới: I=int_{u(a)}^{u(b)}f(u)du.
• Phương pháp tích phân từng phần:
  Áp dụng công thức int_{a}^{b}u dv = [uv]_{a}^{b} - int_{a}^{b}v du.
  Cần lựa chọn $u$ và $dv$ hợp lý để phép tính trở nên đơn giản hơn.

Ứng Dụng Tích Phân Trong Hình Học

1. Tính Diện tích hình phẳng:

• Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục $Ox$, và hai đường thẳng x=a, x=b: S=int_{a}^{b}|f(x)|dx.
• Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=f_1(x) và y=f_2(x), với f_1(x) \ge f<em>2(x) trên đoạn $[a;b]$: S=\int</em>{a}^{b}(f_1(x)-f_2(x))dx.

2. Tính Thể tích Vật thể:
Nếu vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại x=a và x=b, và tiết diện của vật thể tại $x$ song song với mặt phẳng này có diện tích là $S(x)$, thì thể tích vật thể là V=int_{a}^{b}S(x)dx.

3. Thể tích Khối tròn xoay:

• Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục $Ox$, và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục $Ox$, ta được khối tròn xoay có thể tích: V=\pi int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 1:
a) Định nghĩa nguyên hàm: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên tập $K$. Hàm số $F(x)$ gọi là nguyên hàm của $f(x)$ trên tập $K$ nếu F'(x) = f(x) với mọi $x in K$.
b) Phương pháp nguyên hàm từng phần: Nếu hai hàm số u = u(x) và dv = v'(x)dx có đạo hàm liên tục trên tập $K$, thì \int u dv = uv - \int v du. Dạng viết gọn: \int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx.
Ví dụ: Tính \int x sinx dx. Đặt u = x, dv = sinx dx. Suy ra du = dx, v = -cosx.
Áp dụng công thức: \int x sinx dx = x(-cosx) - \int (-cosx)dx = -xcosx + \int cosx dx = -xcosx + sinx + C.

Bài 2:
a) Định nghĩa tích phân: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn $[a; b]$. $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$. Hiệu số F(b) - F(a) là tích phân từ $a$ đến $b$ của $f(x)$, ký hiệu là int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a).
b) Các tính chất của tích phân:

• int_{a}^{a}f(x)dx=0
• int_{a}^{b}f(x)dx=-int_{b}^{a}f(x)dx
• int_{a}^{b}k.f(x)dx=k.int_{a}^{b}f(x)dx
• int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))dx=int_{a}^{b}f(x)dx \pm int_{a}^{b}g(x)dx
• int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx
  Ví dụ: Tính int_{1}^{3} 2x dx. Ta có nguyên hàm của 2x là x^2.
  int_{1}^{3} 2x dx = [x^2]_{1}^{3} = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.

Bài 3:
a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)
Nhân đa thức:
(x-1)(1-2x) = x - 2x^2 - 1 + 2x = -2x^2 + 3x - 1
(-2x^2 + 3x - 1)(1-3x) = -2x^2 + 6x^3 + 3x - 9x^2 - 1 + 3x = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1
Vậy, nguyên hàm là:
Rightarrow \int f(x)dx=\int (6x^{3}-11x^{2}+6x-1)dx
=6frac{x^{4}}{4}-11frac{x^{3}}{3}+6frac{x^{2}}{2}-x+C
=\frac{3x^{4}}{2}-\frac{11x^{3}}{3}+3x^{2}-x+C
Mẹo kiểm tra: Lấy đạo hàm của kết quả, nếu bằng $f(x)$ thì đúng.
b. f(x)=sin4x.\cos^{2}x
Sử dụng công thức lượng giác: \cos^2 x = \frac{1+cos2x}{2}.
f(x) = sin4x \cdot \frac{1+cos2x}{2}
f(x) = \frac{1}{2}sin4x + \frac{1}{2}sin4x cos2x
Sử dụng công thức tích thành tổng: sinA cosB = \frac{1}{2}[\sin (A+B) + \sin (A-B)].
sin4x cos2x = \frac{1}{2}[\sin (4x+2x) + \sin (4x-2x)] = \frac{1}{2}[sin6x + sin2x].
Do đó, f(x) = \frac{1}{2}sin4x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(sin6x + sin2x) = \frac{1}{2}sin4x + \frac{1}{4}sin6x + \frac{1}{4}sin2x.
Nguyên hàm:
Rightarrow \int f(x)dx = \int (\frac{1}{2}sin4x + \frac{1}{4}sin6x + \frac{1}{4}sin2x)dx
= \frac{1}{2} (-\frac{cos4x}{4}) + \frac{1}{4} (-\frac{cos6x}{6}) + \frac{1}{4} (-\frac{cos2x}{2}) + C
= -\frac{cos4x}{8} - \frac{cos6x}{24} - \frac{cos2x}{8} + C

Bài 4:
a. Tính \int (2-x)sinx dx.
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần. Đặt u = 2-x và dv = sinx dx.
Suy ra du = -dx và v = -cosx.
Áp dụng công thức:
\int (2-x)sinx dx = (2-x)(-cosx) - \int (-cosx)(-dx)
= (x-2)cosx - \int cosx dx
= (x-2)cosx - sinx + C.
Lỗi hay gặp: Quên dấu trừ hoặc nhầm lẫn trong quá trình lấy đạo hàm/nguyên hàm của $u$ và $dv$.

b. Tính \int \frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{x}}dx.
Mở rộng tử thức và chia cho mẫu số:
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1.
\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}} = \frac{x^2+2x+1}{x^{1/2}} = x^{2-1/2} + 2x^{1-1/2} + x^{-1/2} = x^{3/2} + 2x^{1/2} + x^{-1/2}.
Nguyên hàm:
=\int (x^{3/2} + 2x^{1/2} + x^{-1/2})dx
= \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} + 2frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C
= \frac{x^{5/2}}{5/2} + 2frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C
= \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C
= \sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2 + \frac{4}{3}x + 2) + C.

Bài 5: Tính nguyên hàm của f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}.
Phân tích mẫu số: 1-x^2 = (1-x)(1+x).
Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số hoặc che dấu để tách phân số:
\frac{1}{1-x^{2}} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x}.
Quy đồng: 1 = A(1+x) + B(1-x).
Cho x=1 Rightarrow 1 = A(2) Rightarrow A = 1/2.
Cho x=-1 Rightarrow 1 = B(2) Rightarrow B = 1/2.
Vậy, f(x) = \frac{1}{2}\frac{1}{1-x} + \frac{1}{2}\frac{1}{1+x}.
Nguyên hàm:
Rightarrow \int f(x)dx = \int (\frac{1}{2}\frac{1}{1-x} + \frac{1}{2}\frac{1}{1+x})dx
= \frac{1}{2} \int \frac{1}{1-x}dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x}dx
= \frac{1}{2}(-\ln|1-x|) + \frac{1}{2}(\ln|1+x|) + C
= \frac{1}{2} (\ln|1+x| - \ln|1-x|) + C
= \frac{1}{2} lnbegin{vmatrix}\frac{1+x}{1-x}\end{vmatrix}+C.

Bài 6: Tính \int \frac{e^{3x}+1}{e^{x}+1}dx.
Sử dụng công thức a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2). Đặt a = e^x, b=1.
e^{3x}+1 = (e^x)^3 + 1^3 = (e^x+1)((e^x)^2 - e^x \cdot 1 + 1^2) = (e^x+1)(e^{2x}-e^x+1).
Khi đó, biểu thức dưới dấu tích phân trở thành:
\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^{x}+1} = e^{2x}-e^{x}+1.
Nguyên hàm:
=\int (e^{2x}-e^{x}+1)dx
= \frac{e^{2x}}{2} - e^x + x + C.
Mẹo kiểm tra: Lấy đạo hàm kết quả.

Bài 7: Tính \int \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx.
Nhân liên hợp với tử và mẫu: (\sqrt{1+x}-\sqrt{x}).
\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}} \times \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}{(1+x)-x} = \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}{1} = \sqrt{1+x}-\sqrt{x}.
Nguyên hàm:
=\int (\sqrt{1+x}-\sqrt{x})dx
= \int (1+x)^{1/2}dx - \int x^{1/2}dx
= \frac{(1+x)^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C
= \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3/2}}{3/2} + C
= \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} + C.
Viết lại dưới dạng căn thức:
= \frac{2}{3}(1+x)\sqrt{1+x} - \frac{2}{3}xsqrt{x} + C.

Bài 8: Tính int_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx.
Sử dụng phương pháp đổi biến số hoặc biến đổi trực tiếp.
Cách 1: Biến đổi trực tiếp.
\frac{x}{\sqrt{x+1}} = \frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}} = \frac{x+1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{x+1}} = \sqrt{x+1} - \frac{1}{\sqrt{x+1}} = (x+1)^{1/2} - (x+1)^{-1/2}.
Tích phân:
= int_{0}^{3}((x+1)^{1/2} - (x+1)^{-1/2})dx
= \left[ \frac{(x+1)^{3/2}}{3/2} - \frac{(x+1)^{1/2}}{1/2} \right]_{0}^{3}
= \left[ \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - 2(x+1)^{1/2} \right]_{0}^{3}
Tính giá trị tại cận trên: \frac{2}{3}(3+1)^{3/2} - 2(3+1)^{1/2} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2(4)^{1/2} = \frac{2}{3}(8) - 2(2) = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16-12}{3} = \frac{4}{3}.
Tính giá trị tại cận dưới: \frac{2}{3}(0+1)^{3/2} - 2(0+1)^{1/2} = \frac{2}{3}(1)^{3/2} - 2(1)^{1/2} = \frac{2}{3} - 2 = \frac{2-6}{3} = -\frac{4}{3}.
Kết quả: \frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{8}{3}.
Mẹo kiểm tra: Đổi biến số u=\sqrt{x+1} Rightarrow u^2 = x+1 Rightarrow x=u^2-1 Rightarrow dx=2u du.
Khi x=0, u=1. Khi x=3, u=2.
int_{1}^{2} \frac{u^2-1}{u} (2u du) = int_{1}^{2} (u^2-1)2 du = int_{1}^{2} (2u^2-2)du = \left[ \frac{2u^3}{3} - 2u \right]_{1}^{2}
= (\frac{2(2)^3}{3} - 2(2)) - (\frac{2(1)^3}{3} - 2(1)) = (\frac{16}{3} - 4) - (\frac{2}{3} - 2) = \frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{8}{3}.

Bài 9: Tính \int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}.
Đặt u = 1-x. Suy ra du = -dx, hay dx = -du.
Khi đó, tích phân trở thành:
\int \frac{-du}{\sqrt{u}} = -\int u^{-1/2}du
= -\frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = -\frac{u^{1/2}}{1/2} + C = -2u^{1/2} + C.
Thay u=1-x trở lại:
= -2sqrt{1-x} + C.

Bài 10: Tính \int 2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx. Tìm kết quả sai.
Đặt u = \sqrt{x}. Suy ra du = \frac{1}{2sqrt{x}}dx, hay \frac{ln2}{\sqrt{x}}dx = 2 ln2 du.
Lỗi sai thường gặp: Quên hoặc nhầm lẫn hệ số ln2.
Cách làm đúng: Đặt u=\sqrt{x}, du = \frac{1}{2sqrt{x}}dx.
Biểu thức trở thành: \int 2^u \cdot ln2 \cdot 2 du = 2 ln2 \int 2^u du.
= 2 ln2 \cdot \frac{2^u}{ln2} + C = 2 \cdot 2^u + C.
Thay u=\sqrt{x}: 2 \cdot 2^{\sqrt{x}} + C.
Nếu đổi cận, ví dụ từ x=a đến x=b, thì $u$ từ \sqrt{a} đến \sqrt{b}.
Xét các phương án:
A. 2^{\sqrt{x+1}}+C (Sai vì biến đổi sai).
B. 2(2^{\sqrt{x}}-1)+C = 2^{\sqrt{x}+1}-2+C (Sai).
C. 2(2^{\sqrt{x}}+1)+C = 2^{\sqrt{x}+1}+2+C (Sai).
D. 2^{\sqrt{x}}+C (Sai).

Phân tích lại bài gốc: Biểu thức gốc là \int 2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx.
Đặt u=\sqrt{x} Rightarrow du = \frac{1}{2sqrt{x}}dx Rightarrow dx = 2sqrt{x}du.
Hoặc đặt u = \sqrt{x} Rightarrow du = \frac{1}{2sqrt{x}}dx.
Chúng ta cần \frac{ln2}{\sqrt{x}}dx.
Thử biến đổi d(2^{\sqrt{x}}). Đặt y=2^{\sqrt{x}}. \ln y = \sqrt{x} \ln 2.
Lấy đạo hàm hai vế theo $x$: \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2sqrt{x}} \ln 2.
\frac{dy}{dx} = y \frac{ln2}{2sqrt{x}} = 2^{\sqrt{x}} \frac{ln2}{2sqrt{x}}.
Vậy, d(2^{\sqrt{x}}) = 2^{\sqrt{x}} \frac{ln2}{2sqrt{x}} dx.
Tích phân ban đầu là \int 2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx.
Nếu viết là \int 2 \cdot (2^{\sqrt{x}} \frac{ln2}{2sqrt{x}}) dx, thì kết quả là 2 \cdot 2^{\sqrt{x}} + C.
Xem xét lại các đáp án:
A. 2^{\sqrt{x+1}}+C. Đạo hàm là 2^{\sqrt{x+1}} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x+1}}. Sai.
B. 2(2^{\sqrt{x}}-1)+C = 2^{\sqrt{x}+1} - 2 + C. Đạo hàm là 2^{\sqrt{x}+1} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x}}. Sai.
C. 2(2^{\sqrt{x}}+1)+C = 2^{\sqrt{x}+1} + 2 + C. Đạo hàm là 2^{\sqrt{x}+1} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x}}. Sai.
D. 2^{\sqrt{x}}+C. Đạo hàm là 2^{\sqrt{x}} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x}}. Sai.

Có vẻ như đề bài gốc hoặc các đáp án có vấn đề. Nếu biểu thức là \int 2^{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{x}} dx: Đặt u=\sqrt{x}, du = \frac{1}{2sqrt{x}}dx.
\int 2^u (2du) = 2 \int 2^u du = 2 \frac{2^u}{ln2} + C. Vẫn không khớp.

Giả sử đề bài gốc là \int 2^{\sqrt{x}} \frac{ln2}{\sqrt{x}} dx.
Đặt u = \sqrt{x} Rightarrow du = \frac{1}{2sqrt{x}} dx Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2du.
Khi đó, tích phân trở thành \int 2^u \cdot ln2 \cdot 2 du = 2 ln2 \int 2^u du = 2 ln2 \frac{2^u}{ln2} + C = 2 \cdot 2^u + C = 2^{1+\sqrt{x}} + C.

Nếu đề bài là \int 2^{\sqrt{x}} \frac{dx}{\sqrt{x}} thì kết quả là \frac{2^{1+\sqrt{x}}}{ln2} + C.

Hãy xem lại đáp án gốc: “Đáp án: A”.
Nếu A là đúng: 2^{\sqrt{x+1}}+C. Đạo hàm là 2^{\sqrt{x+1}} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x+1}}. Rõ ràng sai.

Có lẽ đề bài gốc đã bị lỗi hoặc các đáp án sai. Tuy nhiên, dựa trên cấu trúc “tính nguyên hàm của f(x)dx”, ta cần tìm F(x) sao cho F'(x) = f(x).
Nếu f(x) = 2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}, và đáp án là A (2^{\sqrt{x+1}}+C), thì có sự mâu thuẫn.

Tuy nhiên, nếu ta xem xét một dạng tương tự: Tính \int f'(x) e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C.
Hoặc \int f'(x) a^{f(x)} dx = \frac{a^{f(x)}}{\ln a} + C.
Ở đây, a=2, f(x)=\sqrt{x}. f'(x) = \frac{1}{2sqrt{x}}.
Ta có \int 2^{\sqrt{x}} \frac{ln2}{\sqrt{x}} dx.
Chúng ta có 2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x}} \cdot 2^{\sqrt{x}} \cdot ln2.
Để khớp với f'(x)a^{f(x)}\ln a, ta cần \frac{ln2}{\sqrt{x}}dx.
Ta có \frac{1}{\sqrt{x}}dx.
Nếu đề bài là \int 2^{\sqrt{x}} \frac{dx}{\sqrt{x}}, thì $f'(x)$ là \frac{1}{2sqrt{x}}. Ta cần \frac{1}{\sqrt{x}} dx.
\int 2^{\sqrt{x}} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int 2^{\sqrt{x}} (2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x}}) dx = 2 \int 2^{\sqrt{x}} \frac{1}{2sqrt{x}} dx.
Đặt u=\sqrt{x}. du = \frac{1}{2sqrt{x}}dx.
2 \int 2^u du = 2 \frac{2^u}{ln2} + C = 2 \frac{2^{\sqrt{x}}}{ln2} + C.

Quay lại đề bài gốc \int 2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx.
Đặt u=\sqrt{x}. du = \frac{1}{2sqrt{x}}dx.
\frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2du.
Tích phân trở thành \int 2^u \cdot ln2 \cdot (2du) = 2ln2 \int 2^u du = 2ln2 \frac{2^u}{ln2} + C = 2 \cdot 2^u + C = 2^{1+\sqrt{x}} + C.
Cái này chưa có trong đáp án.

Xem lại đáp án A: 2^{\sqrt{x+1}}+C. Đạo hàm là 2^{\sqrt{x+1}} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x+1}}.
Xem lại đáp án B: 2(2^{\sqrt{x}}-1)+C = 2^{1+\sqrt{x}} - 2 + C. Đạo hàm là 2^{1+\sqrt{x}} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x}}.
Xem lại đáp án C: 2(2^{\sqrt{x}}+1)+C = 2^{1+\sqrt{x}} + 2 + C. Đạo hàm là 2^{1+\sqrt{x}} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x}}.
Xem lại đáp án D: 2^{\sqrt{x}}+C. Đạo hàm là 2^{\sqrt{x}} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x}}.

Rõ ràng, không có đáp án nào khớp với việc tính nguyên hàm của \frac{1}{ln2} \cdot 2^{\sqrt{x}} \frac{ln2}{\sqrt{x}} dx.

Tuy nhiên, nếu đề bài là tính \int f(x)dx và ta cần tìm kết quả SAI, thì ta phải xem đáp án nào KHÔNG phải là nguyên hàm.
Nếu giả sử đề bài muốn hỏi \int 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} dx, thì kết quả là \frac{2^{1+\sqrt{x}}}{\ln 2} + C.
Đáp án A: 2^{\sqrt{x+1}}+C.
Đáp án B: 2^{1+\sqrt{x}}-2+C.
Đáp án C: 2^{1+\sqrt{x}}+2+C.
Đáp án D: 2^{\sqrt{x}}+C.

Nếu đề bài thực sự là \int 2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx, thì kết quả đúng là 2^{1+\sqrt{x}} + C.
Trong các đáp án, chỉ có đáp án D có dạng gần giống nhất (nếu bỏ ln2 và hệ số 2).

Giả định sửa đề: Nếu đề bài là \int 2^{\sqrt{x}} \frac{dx}{\sqrt{x}}, thì đáp án đúng sẽ là \frac{2^{1+\sqrt{x}}}{\ln 2} + C. Không có đáp án nào khớp.
Nếu đề bài là \int 2^{\sqrt{x}} \frac{1}{2sqrt{x}} dx, thì đáp án đúng là 2^{\sqrt{x}} + C (Đáp án D).
Nếu đề bài là \int 2^{\sqrt{x}} \frac{ln2}{2sqrt{x}} dx, thì đáp án đúng là 2^{\sqrt{x}} + C (Đáp án D).
Nếu đề bài là \int 2^{\sqrt{x}} \frac{ln2}{\sqrt{x}} dx, thì đáp án đúng là 2^{1+\sqrt{x}} + C.

Có thể đề bài gốc muốn hỏi về \int 2^{\sqrt{x}} \frac{dx}{\sqrt{x}}. Lấy đạo hàm của D: 2^{\sqrt{x}} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x}}. Khác với đề bài.
Lấy đạo hàm của 2^{1+\sqrt{x}} + C là 2^{1+\sqrt{x}} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x}}.
Có lẽ, đề bài gốc có lỗi. Tuy nhiên, nếu phải chọn đáp án SAI, và kết quả đúng là 2^{1+\sqrt{x}} + C, thì tất cả các đáp án A, B, C, D đều sai. Tuy nhiên, trong bài thi trắc nghiệm, chỉ có 1 đáp án sai hoặc 1 đáp án đúng. Nếu đề bài yêu cầu tìm kết quả SAI và A là đáp án SAI, thì các B, C, D phải đúng. Điều này không xảy ra.
Cần xác định lại đề bài gốc hoặc giả định một lỗi chính tả.

Giả định sửa lại: Nếu đề bài là tính \int f(x)dx và yêu cầu tìm kết quả SAI, thì ta cần kiểm tra xem đạo hàm của mỗi đáp án có bằng 2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}} hay không.
Đạo hàm của A (2^{\sqrt{x+1}}+C): 2^{\sqrt{x+1}} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x+1}}
Đạo hàm của B (2^{1+\sqrt{x}}-2+C): 2^{1+\sqrt{x}} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x}}
Đạo hàm của C (2^{1+\sqrt{x}}+2+C): 2^{1+\sqrt{x}} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x}}
Đạo hàm của D (2^{\sqrt{x}}+C): 2^{\sqrt{x}} \cdot ln2 \cdot \frac{1}{2sqrt{x}}

So sánh với hàm dưới dấu tích phân: 2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}.
Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân không có hệ số ln2/2.
Nếu đề bài là \int 2^{\sqrt{x}} \frac{dx}{\sqrt{x}}, thì nguyên hàm là \frac{2^{1+\sqrt{x}}}{\ln 2} + C.
Nếu đề bài là \int 2^{\sqrt{x}} \frac{1}{2sqrt{x}} dx, thì nguyên hàm là 2^{\sqrt{x}} + C (Đáp án D).

Nếu đề bài gốc cho là \int 2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx, và đáp án là A, thì A là sai.
Nhưng nếu A là đáp án SAI, thì B, C, D phải đúng, điều này không thể.

Dựa vào đáp án gốc “Đáp án: A”, ta suy luận rằng A là đáp án SAI. Tuy nhiên, vì nguyên hàm tính ra 2^{1+\sqrt{x}}+C, nên tất cả các đáp án đều SAI. Nhưng trong câu hỏi trắc nghiệm tìm kết quả SAI, chỉ có một đáp án SAI. Điều này ngụ ý rằng B, C, D là đúng, và A là sai. Điều này mâu thuẫn với cách tính nguyên hàm.

Có thể đề bài đã bị chép sai hoặc đáp án chép sai. Tuy nhiên, tôi sẽ tuân theo yêu cầu của bài toán gốc và chỉ ra rằng A là đáp án sai theo quy định của nó.

Bài 11: Tích phân int_{0}^{x}\cos^{2}t sint dt (Giả sử biến là t, cận trên là x).
Đặt u = cost. Suy ra du = -sint dt, hay sint dt = -du.
Đổi cận: Khi t=0, u=cos0=1. Khi t=x, u=cosx.
Biểu thức \cos^2 t sint dt trở thành u^2 (-du) = -u^2 du.
Tích phân trở thành: int_{1}^{cosx} (-u^2) du = -int_{1}^{cosx} u^2 du.
= -\left[ \frac{u^3}{3} \right]_{1}^{cosx}
= -(\frac{\cos^3 x}{3} - \frac{1^3}{3})
= -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1-\cos^3 x}{3}.

Kiểm tra lại đề bài gốc: int_{0}^{x}\cos^{2}xsinx dx. Biến tích phân là $x$, cận trên là $x$. Điều này có nghĩa là ta tính tích phân xác định với biến $x$ là cận trên. Đây là một dạng của Định lý cơ bản của giải tích.
Tuy nhiên, cách viết int_{0}^{x}\cos^{2}xsinx dx thường ngụ ý biến bên trong là một biến khác, ví dụ $t$. Nếu $x$ là cận trên, thì ta nên viết int_{0}^{x}\cos^{2}t sint dt. Nếu thực sự biến là $x$, thì nó có dạng \frac{d}{dx}int_{a}^{x} f(t)dt = f(x).
Nếu ta hiểu int_{0}^{x}\cos^{2}t sint dt, thì kết quả là \frac{1-\cos^3 x}{3}.
Nếu ta hiểu int_{0}^{x}\cos^{2}xsinx dx là tích phân xác định với cận trên là $x$, thì bài toán trở nên lạ.
Giả sử đề bài muốn tính int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}xsinx dx hoặc một cận cụ thể.
Nếu đề bài là int_{0}^{\pi}\cos^{2}xsinx dx:
Đặt u=cosx, du=-sinx dx.
x=0 Rightarrow u=1. x=\pi Rightarrow u=-1.
int_{1}^{-1} u^2 (-du) = int_{1}^{-1} (-u^2) du = int_{-1}^{1} u^2 du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}.
Đáp án B là 2/3. Có khả năng cận trên thực tế là \pi. Tuy nhiên, bài gốc ghi là $x$. Nếu $x$ là cận trên, thì đáp án là hàm theo $x$.

Bài 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x^3 và y = x^5.
Tìm giao điểm: x^3 = x^5 Rightarrow x^5 - x^3 = 0 Rightarrow x^3(x^2 - 1) = 0.
Nghiệm: x=0, x=1, x=-1.
Khoảng: [-1, 0] và $[0, 1]$.
Trên [-1, 0]: x=-0.5, x^3 = -0.125, x^5 = -0.03125. Vậy x^5 > x^3.
Trên $[0, 1]$: x=0.5, x^3 = 0.125, x^5 = 0.03125. Vậy x^3 > x^5.
Diện tích S = int_{-1}^{0} (x^5 - x^3)dx + int_{0}^{1} (x^3 - x^5)dx.
Do tính đối xứng qua gốc tọa độ, S = 2 int_{0}^{1} (x^3 - x^5)dx.
= 2 \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{6} \right]_{0}^{1}
= 2 (\frac{1^4}{4} - \frac{1^6}{6} - 0)
= 2 (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{3-2}{12}) = 2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{6}.
Đáp án C là 1/6.

Bài 13: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x+\sin x và y=x (0leq x leq 2pi).
Tìm giao điểm: x+\sin x = x Rightarrow \sin x = 0.
Nghiệm trong [0, 2pi] là x=0, x=\pi, x=2pi.
Trên [0, \pi]: \sin x \ge 0, nên x+\sin x \ge x.
Trên [\pi, 2pi]: \sin x \le 0, nên x+\sin x \le x.
Diện tích S = int_{0}^{\pi} ((x+\sin x) - x)dx + int_{\pi}^{2pi} (x - (x+\sin x))dx.
S = int_{0}^{\pi} \sin x dx + int_{\pi}^{2pi} (-\sin x)dx.
= [ -cosx ]_{0}^{\pi} + [ cosx ]_{\pi}^{2pi}
= (-cospi - (-cos0)) + (cos2pi - cospi)
= (-(-1) - (-1)) + (1 - (-1))
= (1+1) + (1+1) = 2 + 2 = 4.
Đáp án B là 4.

Bài 14: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y=\sqrt{x} và y=x xung quanh trục Ox.
Tìm giao điểm: \sqrt{x} = x. Bình phương hai vế: x = x^2 Rightarrow x^2 - x = 0 Rightarrow x(x-1) = 0.
Nghiệm: x=0, x=1.
Trên khoảng $[0, 1]$, ta có \sqrt{x} \ge x.
Thể tích V = \pi int_{0}^{1} ((\sqrt{x})^2 - x^2)dx.
V = \pi int_{0}^{1} (x - x^2)dx.
= \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}
= \pi (\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} - 0)
= \pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \pi (\frac{3-2}{6}) = \frac{\pi}{6}.
Đáp án D là \frac{\pi}{6}.

Mẹo kiểm tra/Lỗi hay gặp:

• Tính nguyên hàm/tích phân: Nhầm lẫn dấu, quên hằng số $C$, sai sót trong công thức lượng giác hoặc công thức đổi biến.
• Tính diện tích/thể tích: Xác định sai cận, sai hàm số nào lớn hơn, quên dấu giá trị tuyệt đối hoặc bình phương, quên hệ số \pi khi tính thể tích khối tròn xoay.

Đáp Án/Kết Quả

• Bài 1: Định nghĩa nguyên hàm và phương pháp từng phần.
• Bài 2: Định nghĩa tích phân và các tính chất.
• Bài 3: a. \frac{3x^{4}}{2}-\frac{11x^{3}}{3}+3x^{2}-x+C; b. -(\frac{cos4x}{8} + \frac{cos6x}{24} + \frac{cos2x}{8}) + C.
• Bài 4: a. (x-2)cosx-sinx+C; b. \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C.
• Bài 5: \frac{1}{2} lnbegin{vmatrix}\frac{1+x}{1-x}\end{vmatrix}+C.
• Bài 6: \frac{1}{2}.e^{2x}-e^{x}+x+C.
• Bài 7: \frac{2}{3}(1+x)\sqrt{1+x} - \frac{2}{3}xsqrt{x} + C.
• Bài 8: \frac{8}{3}.
• Bài 9: -2{\sqrt{1-x}}+C.
• Bài 10: Đáp án A là kết quả sai (dựa trên quy ước của bài gốc). Kết quả đúng theo phân tích là 2^{1+\sqrt{x}}+C.
• Bài 11: (Với giả định cận trên là \pi) \frac{2}{3}.
• Bài 12: \frac{1}{6}.
• Bài 13: 4.
• Bài 14: \frac{\pi}{6}.

Conclusion

Chương 3 Toán 12 trang bị cho học sinh những công cụ mạnh mẽ để phân tích và giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích, thể tích và nhiều vấn đề trong khoa học kỹ thuật. Việc thành thạo nguyên hàm và tích phân, kết hợp với các kỹ thuật đổi biến và từng phần, sẽ mở ra cánh cửa tiếp cận các bài toán phức tạp hơn. Hãy thường xuyên ôn tập lý thuyết và luyện tập đa dạng các dạng bài tập để củng cố kiến thức.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.