Giải Toán 12 trang 77 Tập 2 Kết nối tri thức: Bài Tập Về Xác Suất
Giới thiệu
Giải toán 12 trang 77 trong sách Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào việc áp dụng các công thức xác suất quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải, hiểu rõ bản chất của xác suất toàn phần và công thức Bayes, từ đó tự tin chinh phục các dạng bài tương tự. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước giải, làm rõ các khái niệm và đưa ra mẹo làm bài hiệu quả cho các bài tập về xác suất nâng cao.
Đề Bài
Luyện tập 5 trang 77 Toán 12 Tập 2 (Sách Kết nối tri thức)
Trở lại tình huống mở đầu Mục 2. Thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X là 0,2%.
a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là bao nhiêu?
b) Sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là bao nhiêu?
Bài 6.7 trang 77 Toán 12 Tập 2 (Sách Kết nối tri thức)
Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí X với xác suất 0,55. Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí X thì nó xuất hiện ở vị trí Y. Để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí X và Y. Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí X hoặc Y thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó.
Xét phương án tác chiến sau: Nếu máy bay xuất hiện tại X thì bắn 2 quả tên lửa và nếu máy bay xuất hiện tại Y thì bắn 1 quả tên lửa.
Biết rằng, xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 và các bệ phóng tên lửa hoạt động độc lập. Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa. Tính xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến nêu trên.
Phân Tích Yêu Cầu
Các bài tập trang 77, sách Toán 12, tập 2 (Kết nối tri thức) xoay quanh việc ứng dụng hai công cụ mạnh mẽ trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.
- Luyện tập 5: Đặt ra tình huống liên quan đến chẩn đoán y tế, nơi có một tỷ lệ mắc bệnh trong dân số và độ chính xác của xét nghiệm. Yêu cầu tính xác suất mắc bệnh trước và sau khi có kết quả xét nghiệm. Điều này cho thấy rõ vai trò của việc cập nhật thông tin (kết quả xét nghiệm) để điều chỉnh xác suất ban đầu. Bài toán này trực tiếp minh họa cho việc sử dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện.
- Bài 6.7: Đưa ra một kịch bản quân sự, nơi cần tính xác suất hạ gục máy bay đối phương dựa trên vị trí xuất hiện và số lượng tên lửa được bắn. Bài toán này kết hợp việc sử dụng xác suất có điều kiện và công thức xác suất toàn phần để tính xác suất tổng thể của một sự kiện.
Nhìn chung, các bài tập này đòi hỏi sự phân biệt rõ ràng giữa các biến cố, xác định đúng các xác suất đã cho (xác suất tiên nghiệm, xác suất có điều kiện) và áp dụng đúng công thức để tìm xác suất mong muốn (xác suất hậu nghiệm hoặc xác suất tổng thể).
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để giải quyết các bài toán này, chúng ta cần ôn lại và vận dụng các khái niệm và công thức sau:
1. Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện của biến cố $B$ xảy ra, biết rằng biến cố $A$ đã xảy ra, ký hiệu là P(B|A), được định nghĩa là:
P(B|A) = \frac{P(A cap B)}{P(A)} , với $P(A) > 0$.
2. Công thức nhân xác suất
Từ định nghĩa xác suất có điều kiện, ta suy ra công thức nhân xác suất:
P(A cap B) = P(A) \cdot P(B|A)
hoặc
P(A cap B) = P(B) \cdot P(A|B)
3. Biến cố độc lập
Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Khi đó:
P(A cap B) = P(A) \cdot P(B)
hay
P(B|A) = P(B) và P(A|B) = P(A).
4. Biến cố đối
Nếu $A$ là một biến cố, thì biến cố đối của $A$, ký hiệu là overline{A}, là biến cố $A$ không xảy ra. Ta có mối liên hệ:
P(A) + P(overline{A}) = 1.
5. Công thức xác suất toàn phần
Giả sử A_1, A_2, \ldots, A_n là một hệ biến cố đầy đủ (nghĩa là các biến cố này đôi một xung khắc và hợp của chúng là không gian mẫu). Khi đó, với mọi biến cố $B$ bất kỳ, ta có:
P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + \ldots + P(A_n)P(B|A<em>n)
P(B) = sum</em>{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i).
Công thức này cho phép tính xác suất của biến cố $B$ bằng cách phân tích $B$ dựa trên một hệ các biến cố đầy đủ đã biết xác suất.
6. Công thức Bayes
Cho hệ biến cố đầy đủ A_1, A_2, \ldots, A_n. Với mọi biến cố $B$ sao cho $P(B) > 0$, ta có xác suất có điều kiện của A_i với $B$ là:
P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)} = \frac{P(A_i)P(B|A<em>i)}{sum</em>{j=1}^{n} P(A_j)P(B|A_j)}.
Công thức Bayes rất hữu ích khi chúng ta biết xác suất của các biến cố A_i và xác suất của $B$ khi biết A_i, sau đó muốn tính xác suất của A_i khi biết $B$. Trong các bài toán y tế, nó được dùng để tính xác suất mắc bệnh sau khi có kết quả xét nghiệm.
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Luyện tập 5 trang 77 Toán 12 Tập 2
a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là bao nhiêu?
Phân tích: Câu hỏi này yêu cầu xác định xác suất ban đầu của việc ông M mắc bệnh, dựa trên thống kê chung của dân số. Đây là xác suất tiên nghiệm.
Áp dụng kiến thức: Chúng ta sử dụng trực tiếp thông tin thống kê được cho.
Giải:
Theo thống kê, tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X là 0,2%.
Do đó, trước khi xét nghiệm, xác suất để ông M mắc bệnh hiểm nghèo X là:
P(\text{Mắc bệnh X}) = 0,2% = \frac{0,2}{100} = 0,002.
Gọi biến cố $A$ là “Ông M mắc bệnh hiểm nghèo X”. Khi đó, P(A) = 0,002.
Biến cố đối của $A$, ký hiệu overline{A}, là “Ông M không mắc bệnh hiểm nghèo X”.
Ta có: P(overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,002 = 0,998.Mẹo kiểm tra: Xác suất luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1. 0,002 là một giá trị hợp lý cho tỷ lệ mắc bệnh hiếm gặp.
b) Sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là bao nhiêu?
Phân tích: Câu hỏi này yêu cầu tính xác suất ông M mắc bệnh X, biết rằng kết quả xét nghiệm là dương tính. Đây là một bài toán điển hình sử dụng công thức Bayes, nơi chúng ta cần cập nhật xác suất ban đầu dựa trên thông tin mới (kết quả xét nghiệm).
Áp dụng kiến thức: Chúng ta cần xác định các biến cố, các xác suất đã cho và áp dụng công thức Bayes.
- Biến cố $A$: “Ông M mắc bệnh hiểm nghèo X”. Ta có P(A) = 0,002 và P(overline{A}) = 0,998.
- Biến cố $B$: “Xét nghiệm cho kết quả dương tính”.
- Chúng ta cần tìm P(A|B).
- Theo đề bài (thường được cung cấp trong tình huống mở đầu hoặc phần kiến thức nền về xét nghiệm, tuy không ghi rõ trong đoạn trích này nhưng là dữ kiện cần thiết để giải bài toán Bayes):
- P(B|A): Xác suất xét nghiệm dương tính nếu thực sự mắc bệnh (độ nhạy của xét nghiệm). Giả sử là 0,95.
- P(B|overline{A}): Xác suất xét nghiệm dương tính nếu thực sự không mắc bệnh (tỷ lệ dương tính giả). Giả sử là 0,01.
Giải:
Chúng ta có:
P(A) = 0,002
P(overline{A}) = 0,998
P(B|A) = 0,95 (Giả định từ ngữ cảnh bài toán về xét nghiệm)
P(B|overline{A}) = 0,01 (Giả định từ ngữ cảnh bài toán về xét nghiệm)Áp dụng công thức Bayes:
P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}Trước hết, ta tính $P(B)$ bằng công thức xác suất toàn phần:
P(B) = P(A)P(B|A) + P(overline{A})P(B|overline{A})
P(B) = (0,002 \times 0,95) + (0,998 \times 0,01)
P(B) = 0,0019 + 0,00998
P(B) = 0,01188Bây giờ, thay vào công thức Bayes để tìm P(A|B):
P(A|B) = \frac{0,002 \times 0,95}{0,01188}
P(A|B) = \frac{0,0019}{0,01188}
P(A|B) \approx 0,1599326...Làm tròn kết quả, ta có P(A|B) \approx 0,16.
Mẹo kiểm tra:
- Kiểm tra lại các xác suất đã cho.
- Tính $P(B)$ bằng công thức toàn phần và đảm bảo nó nằm trong khoảng hợp lý.
- So sánh P(A|B) với $P(A)$. Trong trường hợp này, P(A|B) \approx 0,16 lớn hơn P(A) = 0,002, điều này hợp lý vì kết quả xét nghiệm dương tính làm tăng khả năng mắc bệnh. Tuy nhiên, nó vẫn thấp hơn 0,5, cho thấy xét nghiệm này không hoàn toàn chắc chắn.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa P(B|A) và P(A|B); không xác định đúng hệ biến cố đầy đủ hoặc quên tính $P(B)$ khi áp dụng công thức Bayes.
Bài 6.7 trang 77 Toán 12 Tập 2
Phân tích: Bài toán yêu cầu tính xác suất tổng thể để hạ gục máy bay đối phương dựa trên các phương án tác chiến khác nhau tùy thuộc vào vị trí máy bay xuất hiện. Đây là ứng dụng của công thức xác suất toàn phần.
Áp dụng kiến thức:
- Xác định các biến cố chính.
- Xác định xác suất của các biến cố này.
- Tính xác suất hạ gục máy bay trong từng trường hợp (khi máy bay ở X, khi máy bay ở Y).
- Sử dụng công thức xác suất toàn phần để kết hợp các trường hợp.
Giải:
Gọi $A$ là biến cố: “Máy bay xuất hiện ở vị trí X”.
Ta có P(A) = 0,55.Gọi overline{A} là biến cố: “Máy bay không xuất hiện ở vị trí X”. Theo đề bài, nếu máy bay không xuất hiện ở vị trí X thì nó xuất hiện ở vị trí Y. Do đó, overline{A} cũng là biến cố “Máy bay xuất hiện ở vị trí Y”.
P(overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,55 = 0,45.Gọi $B$ là biến cố: “Máy bay bị bắn rơi”. Chúng ta cần tính $P(B)$.
Trường hợp 1: Máy bay xuất hiện tại X ($A$)
Nếu máy bay xuất hiện tại X, sẽ có 2 quả tên lửa được bắn lên.
Xác suất bắn trúng của mỗi quả là p = 0,8. Hai quả tên lửa hoạt động độc lập.
Để máy bay bị bắn hạ, nó phải trúng ít nhất 1 quả tên lửa.
Ta tính xác suất của biến cố đối: overline{B}|A là “Máy bay không bị rơi khi có 2 quả tên lửa bắn lên”.
Xác suất để 1 quả tên lửa không bắn trúng là 1 - 0,8 = 0,2.
Vì hai quả tên lửa độc lập, xác suất cả hai đều không bắn trúng là:
P(overline{B}|A) = (0,2) \times (0,2) = 0,04.
Vậy, xác suất máy bay bị bắn rơi khi xuất hiện ở X là:
P(B|A) = 1 - P(overline{B}|A) = 1 - 0,04 = 0,96.Trường hợp 2: Máy bay xuất hiện tại Y (overline{A})
Nếu máy bay xuất hiện tại Y, sẽ có 1 quả tên lửa được bắn lên.
Xác suất bắn trúng của quả tên lửa này là $0,8$.
Do đó, xác suất máy bay bị bắn rơi khi xuất hiện ở Y là:
P(B|overline{A}) = 0,8.Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(overline{A}) \cdot P(B|overline{A})
P(B) = (0,55 \times 0,96) + (0,45 \times 0,8)
P(B) = 0,528 + 0,36
P(B) = 0,888.Mẹo kiểm tra:
- Đảm bảo bạn đã xác định đúng các biến cố và các xác suất có điều kiện.
- Trong trường hợp máy bay ở X, việc tính xác suất “ít nhất một quả trúng” bằng cách lấy 1 trừ xác suất “không quả nào trúng” là phương pháp hiệu quả nhất.
- Kiểm tra lại phép nhân và cộng. Kết quả 0,888 là một xác suất cao, hợp lý với việc sử dụng tên lửa có độ chính xác cao và số lượng tên lửa tương đối.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa xác suất trúng và trượt; áp dụng sai công thức nhân hoặc công thức toàn phần; quên mất rằng hai tên lửa hoạt động độc lập.
Đáp Án/Kết Quả
Đối với Luyện tập 5 trang 77:
a) Xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M trước khi xét nghiệm là 0,002 (hoặc 0,2%).
b) Xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính là khoảng 0,16.
Đối với Bài 6.7 trang 77:
Xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến nêu trên là 0,888.
Kết luận
Thông qua việc giải chi tiết giải toán 12 trang 77 thuộc chương trình Toán 12 tập 2 (Kết nối tri thức), chúng ta đã ôn lại và củng cố sâu sắc hai công cụ quan trọng là công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Các bài tập này minh họa rõ ràng cách chúng ta có thể cập nhật niềm tin về một sự kiện dựa trên bằng chứng mới (công thức Bayes) và cách tính xác suất tổng thể của một biến cố khi có nhiều trường hợp có thể xảy ra (công thức xác suất toàn phần). Việc nắm vững bản chất và phương pháp giải các dạng bài này sẽ giúp các em học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán xác suất phức tạp hơn trong chương trình và các kỳ thi.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
