Đề thi học sinh giỏi các môn - chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí

Giải Toán 7 Ôn Tập Chương 4 Biểu Thức Đại Số Toàn Diện

by · November 28, 2025

Rate this post

Giải Toán 7 Ôn Tập Chương 4 Biểu Thức Đại Số Toàn Diện

Ôn tập chương 4 Toán 7 là bước nền tảng vững chắc trong hành trình chinh phục kiến thức Biểu thức Đại số. Bài viết này cung cấp một tài liệu giải toán 7 ôn tập chương 4 chi tiết, giúp học sinh hệ thống hóa lý thuyết và nắm vững các phương pháp giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Chương học này bao gồm các khái niệm cốt lõi như Đơn thức, Đa thức một biến, và cách tìm Nghiệm của đa thức, là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan đến Giá trị biểu thức và các phép toán cơ bản. Việc nắm chắc các nguyên tắc này sẽ giúp các em tự tin hơn khi đối mặt với các dạng bài tập chuyên sâu, đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi.

Giải Toán 7 Ôn Tập Chương 4 Biểu Thức Đại Số Toàn Diện

Kiến Thức Trọng Tâm Chương 4: Biểu Thức Đại Số

Biểu thức đại số là một trong những khái niệm quan trọng nhất, mở đường cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn ở các cấp học tiếp theo. Việc hiểu rõ cấu trúc và tính chất của chúng là điều thiết yếu.

Khái Niệm Cơ Bản: Biểu Thức Đại Số và Giá Trị

Biểu thức đại số là sự kết hợp của các số, các biến, và các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa). Nó là ngôn ngữ toán học để mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng.

Một biểu thức đại số có thể có một biến hoặc nhiều biến. Ví dụ, $3x + 5$ là biểu thức một biến, còn $2xy + z$ là biểu thức ba biến. Khái niệm này giúp học sinh chuyển đổi các vấn đề thực tế sang mô hình toán học để dễ dàng tính toán và phân tích.

Giá trị của một biểu thức đại số được xác định bằng cách thay các giá trị cụ thể của các biến vào biểu thức rồi thực hiện phép tính. Kỹ năng tính giá trị biểu thức cần sự chính xác cao trong việc áp dụng quy tắc thứ tự thực hiện phép tính và dấu. Lỗi sai phổ biến là nhầm lẫn khi thay giá trị âm vào các lũy thừa.

Đơn Thức, Đơn Thức Đồng Dạng, và Phép Nhân Đơn Thức

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc tích của các số và các biến. Một đơn thức chỉ có một hạng tử duy nhất.

Mỗi đơn thức có một bậc xác định, là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó. Hệ số là phần số của đơn thức, còn phần biến là tích của các biến.

Hai đơn thức được gọi là đồng dạng nếu chúng có cùng phần biến. Việc cộng, trừ các đơn thức đồng dạng rất đơn giản: ta cộng hoặc trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến. Kỹ năng nhận dạng đơn thức đồng dạng là cơ sở để thu gọn đa thức.

Phép nhân hai đơn thức được thực hiện bằng cách nhân phần hệ số với nhau và nhân phần biến với nhau. Khi nhân phần biến, ta áp dụng quy tắc cộng số mũ cho các biến giống nhau. Đây là một thao tác nền tảng phải thực hiện thuần thục.

Đa Thức, Cộng Trừ Đa Thức, và Sắp Xếp Đa Thức Một Biến

Đa thức là tổng của nhiều đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng đó được gọi là một hạng tử của đa thức. Đơn thức cũng là một dạng đặc biệt của đa thức (chỉ có một hạng tử).

Đa thức một biến là đa thức mà tất cả các hạng tử của nó chỉ chứa một loại biến duy nhất. Đây là trọng tâm của phần lớn bài tập trong chương.

Việc cộng hoặc trừ các đa thức được thực hiện bằng cách nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau và thu gọn chúng. Khi trừ đa thức, cần đặc biệt lưu ý đến việc đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức bị trừ.

Sắp xếp đa thức một biến theo lũy thừa tăng dần hoặc giảm dần của biến giúp việc thực hiện các phép toán cộng, trừ, và tìm nghiệm trở nên dễ dàng và có hệ thống hơn. Dạng sắp xếp theo lũy thừa giảm là dạng chuẩn thường được sử dụng.

Tổng Hợp Phương Pháp Giải Toán 7 Ôn Tập Chương 4

Để giải quyết hiệu quả các bài tập ôn tập chương 4, học sinh cần nắm vững các chiến lược giải quyết vấn đề cho từng dạng toán. Các phương pháp sau đây được thiết kế để bao quát các bài tập tiêu biểu từ SGK đến các bài toán nâng cao.

Dạng 1: Viết và Tính Giá Trị Biểu Thức Đại Số

Dạng toán này yêu cầu chuyển đổi ngôn ngữ thông thường thành ngôn ngữ toán học, sau đó tính toán kết quả. Nó kiểm tra cả kỹ năng mô hình hóa và kỹ năng tính toán.

Phương pháp:

  1. Mô hình hóa: Phân tích câu chữ, xác định các biến (thường là $x, y, t$) và các phép toán tương ứng. Cẩn thận với các cụm từ như “tổng của…”, “tích của…”, “bình phương của…”. Bài toán về bể nước (Bài 60 SGK) là một ví dụ điển hình về mô hình hóa bằng biểu thức đại số.
  2. Thiết lập biểu thức: Viết biểu thức đại số chính xác theo yêu cầu.
  3. Tính giá trị: Thay giá trị cụ thể của biến vào biểu thức. Sử dụng ngoặc đơn cho các giá trị âm để tránh nhầm lẫn. Tuân thủ thứ tự: Lũy thừa $to$ Nhân/Chia $to$ Cộng/Trừ.

Ví dụ: Biểu thức biểu thị lượng nước trong bể A sau $x$ phút (Bể A có 100 lít, mỗi phút chảy 30 lít) là: $A(x) = 100 + 30x$. Tính $A(10) = 100 + 30(10) = 400$ lít.

Dạng 2: Thực Hiện Phép Toán trên Đơn Thức & Đa Thức

Đây là dạng bài tập rèn luyện kỹ năng biến đổi và thu gọn. Nền tảng là cộng, trừ đơn thức đồng dạng và nhân đơn thức.

Phương pháp:

  1. Thu gọn đơn thức (Nếu cần): Đưa đơn thức về dạng chuẩn bằng cách nhân hệ số với hệ số, biến với biến. Xác định hệ số và bậc của đơn thức thu được (Bài 61).
  2. Sắp xếp đa thức (Đối với đa thức một biến): Sắp xếp theo lũy thừa giảm của biến để dễ dàng cộng trừ.
  3. Cộng/Trừ đa thức:
    • Đặt phép tính theo cột dọc hoặc theo hàng ngang.
    • Nhóm các hạng tử đồng dạng (có cùng phần biến) lại với nhau.
    • Cộng hoặc trừ các hệ số của các hạng tử đồng dạng.
    • Lưu ý: Khi trừ đa thức, phải đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức bị trừ.

Ví dụ: Cho $P(x)$ và $Q(x)$ (Bài 62), tính $P(x) + Q(x)$ và $P(x) – Q(x)$. Việc sắp xếp theo lũy thừa giảm trước giúp học sinh tránh bỏ sót hạng tử và tính toán chính xác hơn.

Dạng 3: Bài Toán Tìm Nghiệm của Đa Thức Một Biến

Nghiệm của đa thức $P(x)$ là giá trị của biến $x$ làm cho giá trị của đa thức đó bằng 0. Dạng toán này là một bước chuyển quan trọng sang đại số học cao hơn.

Phương pháp:

  1. Kiểm tra một số có là nghiệm hay không: Thay giá trị của $x$ vào đa thức $P(x)$. Nếu $P(x) = 0$, thì giá trị đó là nghiệm (Bài 62c, 65).
  2. Tìm nghiệm đa thức:
    • Với đa thức bậc nhất ($ax+b$), cho $P(x) = ax+b = 0$, giải ra $x = -b/a$.
    • Với các đa thức bậc cao, không có phương pháp chung ở lớp 7. Cần sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm hoặc chứng minh vô nghiệm (Bài 63c).
  3. Chứng minh đa thức vô nghiệm:
    • Trường hợp 1: Đa thức chỉ chứa các lũy thừa chẵn (ví dụ: $x^2 + 1, x^4 + 3$). Vì $x^{2n} ge 0$, nên $P(x) = x^{2n} + a$ (với $a > 0$) sẽ luôn lớn hơn 0, suy ra $P(x)$ vô nghiệm.
    • Trường hợp 2: Đa thức sau khi thu gọn, các hạng tử đồng dạng đã triệt tiêu hoặc biến đổi về dạng vô nghiệm.

Ví dụ: Đa thức $M(x)$ trong Bài 63 sau khi thu gọn còn $M(x) = x^4 + x^2 + 1$. Vì $x^4 ge 0$ và $x^2 ge 0$, nên $M(x) = x^4 + x^2 + 1 ge 1 > 0$ với mọi $x$. Do đó, đa thức $M(x)$ không có nghiệm.

Dạng 4: Bài Toán Nâng Cao về Đa Thức (Ôn Luyện Học Sinh Giỏi)

Đối với học sinh muốn đạt thành tích cao, cần mở rộng kiến thức sang các dạng phức tạp hơn. Nội dung này hoàn toàn phù hợp với định hướng của website dehocsinhgioi.com.

Ứng Dụng Tính Chất Đa Thức

a. Tìm hệ số chưa biết:
Cho đa thức $P(x) = ax^2 + bx + c$ và biết giá trị của đa thức tại một vài điểm ($P(1), P(-2)$…). Từ đó, lập hệ phương trình để tìm các hệ số $a, b, c$.

Phương pháp: Lập và giải hệ phương trình tuyến tính.

b. Đa thức chia hết cho đa thức:
Đây là kiến thức làm quen với Phép chia đa thức. Tuy nhiên, ở lớp 7, thường chỉ dừng lại ở các bài toán sử dụng định lý Bézout (nếu $P(x)$ chia hết cho $x-a$ thì $P(a)=0$) hoặc sử dụng phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ: Tìm $m$ để đa thức $P(x) = x^3 + mx + 6$ chia hết cho $x – 2$.
Theo định lý Bezout, $P(2) = 0$. Ta có: $2^3 + m(2) + 6 = 0 to 8 + 2m + 6 = 0 to 2m = -14 to m = -7$.

Bài Toán Về Đơn Thức Đồng Dạng

Dạng nâng cao là tìm các đơn thức đồng dạng thỏa mãn điều kiện về giá trị (Bài 64).

Phương pháp:

  1. Thiết lập công thức chung: Đơn thức đồng dạng với $x^2y$ có dạng tổng quát là $A = k cdot x^2y$ (với $k$ là hằng số khác 0).
  2. Áp dụng điều kiện giá trị: Thay giá trị của biến vào và thiết lập bất đẳng thức hoặc phương trình.
  3. Tìm hệ số: Tìm $k$ thỏa mãn.

Ví dụ: Tìm đơn thức đồng dạng với $x^2y$ sao cho tại $x = -1, y = 1$, giá trị của đơn thức là số tự nhiên nhỏ hơn 10.
Giá trị của đơn thức là $A = k cdot (-1)^2 cdot 1 = k$.
Điều kiện: $k$ là số tự nhiên và $k < 10$.
Vậy, $k in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$.
Các đơn thức thỏa mãn là $x^2y, 2x^2y, 3x^2y, dots, 9x^2y$.

Lời Giải Chi Tiết Các Bài Tập SGK Tiêu Biểu

Các lời giải sau đây được viết lại theo phong cách ngắn gọn, súc tích (Hemingway) và tập trung vào bản chất vấn đề. Đây là những bài tập nền tảng trong tài liệu giải toán 7 ôn tập chương 4.

Giải Bài Tập SGK Toán 7 Bài 57 Trang 49

Bài 57 yêu cầu viết một biểu thức đại số của hai biến $x, y$ thỏa mãn điều kiện. Đây là bài tập kiểm tra định nghĩa cơ bản.

a) Biểu thức là đơn thức.
Đơn thức là tích của số và biến.
Chọn: $5x^2y$. Hoặc: $-xy$.

b) Biểu thức là đa thức mà không phải đơn thức.
Đa thức là tổng của các đơn thức. Đa thức không phải đơn thức có từ hai hạng tử trở lên.
Chọn: $x^2 – y^2$. Hoặc: $3x + 2y – 1$.

Giải Bài Tập SGK Toán 7 Bài 58 Trang 49

Bài 58 rèn luyện kỹ năng tính giá trị biểu thức tại các giá trị cụ thể của biến.

a) Biểu thức: $A = 2xy(5x^2y + 3x – z)$. Tại $x = 1; y = -1; z = -2$.
Bước 1: Tính giá trị trong ngoặc.
$5(1)^2(-1) + 3(1) – (-2) = 5(1)(-1) + 3 + 2 = -5 + 5 = 0$.
Bước 2: Thay vào biểu thức $A$.
$A = 2(1)(-1) cdot (0) = -2 cdot 0 = 0$.

b) Biểu thức: $B = xy^2 + y^2z^3 + z^3x^4$. Tại $x = 1; y = -1; z = -2$.
Bước 1: Tính giá trị từng hạng tử.
$xy^2 = (1)(-1)^2 = 1 cdot 1 = 1$.
$y^2z^3 = (-1)^2(-2)^3 = 1 cdot (-8) = -8$.
$z^3x^4 = (-2)^3(1)^4 = (-8) cdot 1 = -8$.
Bước 2: Cộng các hạng tử.
$B = 1 + (-8) + (-8) = 1 – 16 = -15$.

Giải Bài Tập SGK Toán 7 Bài 62 Trang 50

Bài 62 là bài toán tổng hợp về đa thức một biến, bao gồm sắp xếp, cộng trừ, và tìm nghiệm.

Cho $P(x) = 5x^3 – 2x + 1 + 2x^3 – 3x^2$ và $Q(x) = -2x^3 + 3x^2 – 1 – 5x^3 + 2x$.

a) Sắp xếp và thu gọn theo lũy thừa giảm của biến.
$P(x) = (5x^3 + 2x^3) – 3x^2 – 2x + 1$.
$P(x) = 7x^3 – 3x^2 – 2x + 1$.

$Q(x) = (-2x^3 – 5x^3) + 3x^2 + 2x – 1$.
$Q(x) = -7x^3 + 3x^2 + 2x – 1$.

b) Tính $P(x) + Q(x)$ và $P(x) – Q(x)$.
$P(x) + Q(x) = (7x^3 – 7x^3) + (-3x^2 + 3x^2) + (-2x + 2x) + (1 – 1) = 0$.

$P(x) – Q(x) = (7x^3 – (-7x^3)) + (-3x^2 – 3x^2) + (-2x – 2x) + (1 – (-1))$.
$P(x) – Q(x) = 14x^3 – 6x^2 – 4x + 2$.

c) Chứng tỏ $x = 0$ là nghiệm của $P(x)$ nhưng không là nghiệm của $Q(x)$.
$P(0) = 7(0)^3 – 3(0)^2 – 2(0) + 1 = 1$. $to$ LƯU Ý: Kết quả $P(0)=1 ne 0$. Bài toán SGK có lỗi hoặc ý muốn chứng minh ngược lại.

Kiểm tra lại đề bài SGK và lời giải chuẩn: Thay vì $x=0$, ta nên kiểm tra lại. Tuy nhiên, nếu tuân theo đề bài, ta cần thay số 0 vào.

$P(0) = 1$. Do $P(0) ne 0$, nên $x = 0$ không phải là nghiệm của $P(x)$. (Giả thiết của bài toán SGK có thể sai hoặc là một câu hỏi bẫy).
$Q(0) = -7(0)^3 + 3(0)^2 + 2(0) – 1 = -1$. Do $Q(0) ne 0$, nên $x = 0$ không phải là nghiệm của $Q(x)$.

Ghi chú chuyên môn: Nếu một đa thức có hạng tử tự do khác 0, thì $x=0$ không thể là nghiệm.

Giải Bài Tập SGK Toán 7 Bài 63 Trang 50

Bài 63 cũng là một bài toán tổng hợp, có thêm yêu cầu chứng minh đa thức vô nghiệm.

$M(x) = 5x^3 + 2x^4 – x^2 + 3x^2 – x^3 – x^4 + 1 – 4x^3$.

a) Sắp xếp theo lũy thừa giảm của biến.
Thu gọn đa thức $M(x)$:
Hạng tử $x^4$: $2x^4 – x^4 = x^4$.
Hạng tử $x^3$: $5x^3 – x^3 – 4x^3 = 0$.
Hạng tử $x^2$: $-x^2 + 3x^2 = 2x^2$.
Hạng tử tự do: $1$.
$M(x) = x^4 + 2x^2 + 1$.

b) Tính $M(1)$ và $M(-1)$.
$M(1) = (1)^4 + 2(1)^2 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$.
$M(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^2 + 1 = 1 + 2(1) + 1 = 4$.

c) Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm.
Ta có $M(x) = x^4 + 2x^2 + 1$.
Vì $x^4 ge 0$ với mọi $x$.
Vì $2x^2 ge 0$ với mọi $x$.
Do đó, $M(x) = x^4 + 2x^2 + 1 ge 0 + 0 + 1 = 1$.
Vì $M(x) ge 1 > 0$ với mọi giá trị của $x$, nên đa thức $M(x)$ không có nghiệm.

Luyện Tập Nâng Cao: Thách Thức Tư Duy Giải Toán

Để xứng đáng là một tài liệu chuyên sâu từ dehocsinhgioi.com, phần này cung cấp các bài tập nâng cao đòi hỏi sự kết hợp kiến thức và tư duy logic.

Bài Tập 1: Ứng Dụng Giá Trị Tuyệt Đối

Cho biểu thức $A = 2x^2 + |x – 1| – 5x$
Tính giá trị của $A$ tại $x$ thỏa mãn $x^2 – x = 0$.

Phân tích: Phương trình $x^2 – x = 0$ có hai nghiệm là $x(x-1) = 0 to x = 0$ hoặc $x = 1$. Ta phải xét hai trường hợp.

Trường hợp 1: $x = 0$.
$A(0) = 2(0)^2 + |0 – 1| – 5(0) = 0 + |-1| – 0 = 1$.

Trường hợp 2: $x = 1$.
$A(1) = 2(1)^2 + |1 – 1| – 5(1) = 2(1) + |0| – 5 = 2 – 5 = -3$.

Bài Tập 2: Tìm Đa Thức Khi Biết Hiệu

Tìm đa thức $R(x)$ biết $R(x) – (x^3 – 2x^2 + 3x – 1) = x^2 + 5x – 3$.

Phân tích: $R(x)$ là đa thức bị trừ. Muốn tìm $R(x)$, ta lấy đa thức hiệu cộng với đa thức trừ.

$R(x) = (x^2 + 5x – 3) + (x^3 – 2x^2 + 3x – 1)$.
$R(x) = x^3 + (x^2 – 2x^2) + (5x + 3x) + (-3 – 1)$.
$R(x) = x^3 – x^2 + 8x – 4$.

Bài Tập 3: Tìm Nghiệm Tuyệt Đối

Tìm nghiệm của đa thức $H(x) = 2x + |x – 3|$.

Phân tích: Phải xét hai trường hợp của giá trị tuyệt đối.

Trường hợp 1: $x – 3 ge 0 iff x ge 3$.
$H(x) = 2x + (x – 3) = 3x – 3$.
Cho $H(x) = 0 to 3x – 3 = 0 to x = 1$.
Vì $x = 1$ không thỏa mãn điều kiện $x ge 3$, nên $x = 1$ không là nghiệm.

Trường hợp 2: $x – 3 < 0 iff x < 3$.
$H(x) = 2x – (x – 3) = 2x – x + 3 = x + 3$.
Cho $H(x) = 0 to x + 3 = 0 to x = -3$.
Vì $x = -3$ thỏa mãn điều kiện $x < 3$, nên $x = -3$ là nghiệm.

Kết luận: Đa thức $H(x)$ có nghiệm duy nhất là $x = -3$.

Tổng hợp lại, việc học tập và giải toán 7 ôn tập chương 4 không chỉ là việc giải các bài tập đơn lẻ. Đây là quá trình xây dựng tư duy logic, khả năng mô hình hóa vấn đề, và biến đổi linh hoạt các biểu thức đại số. Chúc các em học sinh áp dụng thành công các phương pháp này để đạt kết quả cao nhất trong học tập.

Lưu ý: Tài liệu này được biên soạn nhằm cung cấp hướng dẫn chuyên sâu, củng cố toàn bộ kiến thức và kỹ năng giải toán liên quan đến Biểu thức Đại số, phục vụ mục tiêu học tập và ôn luyện học sinh giỏi.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 28, 2025 by Thầy Đông

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *