Giải Toán 7 trang 38 Tập 2 Kết nối tri thức: Chinh Phục Phép Nhân Đa Thức Một Biến

Trang 38, Tập 2 của sách Toán 7 Kết nối tri thức giới thiệu sâu về phép nhân đa thức một biến, một kỹ năng quan trọng trong chương trình Đại số. Bài viết này sẽ giải toán 7 tập 2 trang 38 một cách chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng thành thạo các bài tập. Chúng ta sẽ cùng khám phá phép nhân đa thức một biến, các ví dụ minh họa và cách giải các dạng bài tập thường gặp.

Đề Bài

Luyện tập 2 trang 38 Toán 7 Tập 2

Tính (x^3 - 2x^2 + x - 1)(3x - 2). Trình bày lời giải theo hai cách.

Vận dụng 2 trang 38 Toán 7 Tập 2

Rút gọn biểu thức (x - 2)(2x^3 - x^2 + 1) + (x - 2)x^2(1 - 2x).

Vận dụng 3 trang 38 Toán 7 Tập 2

Trở lại bài toán đoán tuổi, để giải thích bí mật trong bài toán đoán tuổi của anh Pi, em hãy thực hiện các yêu cầu sau:

• Gọi x là tuổi cần đoán. Tìm hai đa thức (biến x) biểu thị kết quả thứ nhất và kết quả thứ hai.
• Tìm đa thức biểu thị kết quả cuối cùng.
  Từ đó hãy nêu cách tìm x.

Bài 7.23 trang 38 Toán 7 Tập 2

Thực hiện các phép nhân sau:
a) 6x^2 cdot (2x^3 - 3x^2 + 5x - 4)
b) (-1,2x^2) cdot (2,5x^4 - 2x^3 + x^2 - 1,5)

Bài 7.24 trang 38 Toán 7 Tập 2

Rút gọn các biểu thức sau:
a) 4x^2(5x^2 + 3) - 6x(3x^3 - 2x + 1) - 5x^3(2x - 1)
b) frac{3}{2}x(x^2 - frac{2}{3}x + 2) - frac{5}{3}x^2(x + frac{6}{5})

Bài 7.25 trang 38 Toán 7 Tập 2

Thực hiện các phép nhân sau:
a) (x^2 - x) cdot (2x^2 - x - 10)
b) (0,2x^2 - 3x) cdot 5(x^2 - 7x + 3)

Bài 7.26 trang 38 Toán 7 Tập 2

a) Tính (x^2 - 2x + 5) cdot (x - 2).
b) Từ đó hãy suy ra kết quả của phép nhân (x^2 - 2x + 5) cdot (2 - x). Giải thích cách làm.

Bài 7.27 trang 38 Toán 7 Tập 2

Giả sử ba kích thước của một hình hộp chữ nhật là x; x + 1; x - 1 (cm) với x > 1. Tìm đa thức biểu thị thể tích (đơn vị: cm3) của hình hộp chữ nhật đó.

Bài 7.28 trang 38 Toán 7 Tập 2

Thực hiện các phép nhân hai đa thức sau:
a) 5x^3 - 2x^2 + 4x - 4 và x^3 + 3x^2 - 5
b) -2,5x^4 + 0,5x^2 + 1 và 4x^3 - 2x + 6

Bài 7.29 trang 38 Toán 7 Tập 2

Người ta dùng những chiếc cọc để rào một mảnh vườn hình chữ nhật sao cho mỗi góc vườn đều có một chiếc cọc và hai cọc liên tiếp cắm cách nhau 0,1 m. Biết rằng số cọc dùng để rào hết chiều dài của vườn nhiều hơn số cọc dùng để rào hết chiều rộng là 20 chiếc. Gọi số cọc dùng để rào hết chiều rộng là x. Tìm đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn đó.

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trên trang 38, Tập 2, sách Toán 7 Kết nối tri thức chủ yếu xoay quanh kỹ năng nhân hai đa thức một biến và rút gọn biểu thức. Yêu cầu chung là thực hiện phép tính chính xác, áp dụng đúng quy tắc phân phối và nhóm các hạng tử đồng dạng. Đối với các bài toán thực tế, cần chuyển đổi dữ kiện sang dạng đa thức rồi thực hiện phép nhân hoặc rút gọn.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Quy tắc phân phối: a(b + c) = ab + ac. Khi nhân đa thức với đa thức, ta áp dụng quy tắc này cho từng hạng tử. Ví dụ: (A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = AC + AD + BC + BD.

2. Quy tắc nhân hai đơn thức: x^m cdot x^n = x^{m+n}.

3. Quy tắc cộng, trừ các đơn thức đồng dạng: Cộng/trừ phần hệ số và giữ nguyên phần biến. Ví dụ: 2x^3 + 5x^3 = (2 + 5)x^3 = 7x^3.

4. Hằng đẳng thức đáng nhớ (nếu có áp dụng): Mặc dù không bắt buộc trong mọi bài, nhưng việc nhận diện và sử dụng hằng đẳng thức như (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 hay (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 có thể giúp đơn giản hóa phép tính.

5. Xử lý các biểu thức chứa phân số và số thập phân: Cần cẩn thận với các phép tính nhân, cộng, trừ các hệ số này.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Luyện tập 2 trang 38

Đề bài: Tính (x^3 - 2x^2 + x - 1)(3x - 2). Trình bày lời giải theo hai cách.

Phân tích: Bài toán yêu cầu nhân hai đa thức. Ta có thể thực hiện bằng cách phân phối trực tiếp hoặc đặt phép tính theo cột.

Kiến thức cần dùng: Quy tắc nhân đa thức với đa thức, quy tắc nhân hai đơn thức, quy tắc nhóm các hạng tử đồng dạng.

Cách 1: Bỏ dấu ngoặc (Phân phối trực tiếp)

Ta nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai:

(x^3 - 2x^2 + x - 1)(3x - 2)
= x^3(3x - 2) + (-2x^2)(3x - 2) + x(3x - 2) + (-1)(3x - 2)

Áp dụng quy tắc phân phối cho từng phần:
= (x^3 cdot 3x + x^3 cdot (-2)) + ((-2x^2) cdot 3x + (-2x^2) cdot (-2)) + (x cdot 3x + x cdot (-2)) + ((-1) cdot 3x + (-1) cdot (-2))

Thực hiện phép nhân các đơn thức:
= (3x^4 - 2x^3) + (-6x^3 + 4x^2) + (3x^2 - 2x) + (-3x + 2)

Bỏ ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:
= 3x^4 - 2x^3 - 6x^3 + 4x^2 + 3x^2 - 2x - 3x + 2
= 3x^4 + (-2x^3 - 6x^3) + (4x^2 + 3x^2) + (-2x - 3x) + 2
= 3x^4 - 8x^3 + 7x^2 - 5x + 2

Mẹo kiểm tra: Thay x = 1 vào hai vế của biểu thức.
Vế trái: (1^3 - 2(1)^2 + 1 - 1)(3(1) - 2) = (1 - 2 + 1 - 1)(3 - 2) = (-1)(1) = -1.
Vế phải: 3(1)^4 - 8(1)^3 + 7(1)^2 - 5(1) + 2 = 3 - 8 + 7 - 5 + 2 = -5 + 7 - 5 + 2 = 2 - 5 + 2 = -3 + 2 = -1.
Hai vế bằng nhau, kết quả có khả năng đúng.

Cách 2: Đặt phép tính theo cột

Ta đặt phép tính tương tự như nhân hai số, với đa thức bậc cao hơn ở trên:

      x^3  - 2x^2  + x   - 1
x           3x   - 2
-----------------------
     -2x^3 + 4x^2  - 2x  + 2   (Nhân x^3 - 2x^2 + x - 1 với -2)
3x^4 - 6x^3 + 3x^2  - 3x       (Nhân x^3 - 2x^2 + x - 1 với 3x)
-----------------------
3x^4 - 8x^3 + 7x^2  - 5x  + 2   (Cộng các kết quả)

Giải thích cách đặt phép tính:

1. Nhân đa thức x^3 - 2x^2 + x - 1 với -2 (hạng tử tự do của đa thức thứ hai).
2. Nhân đa thức x^3 - 2x^2 + x - 1 với 3x (hạng tử còn lại của đa thức thứ hai), chú ý dịch sang trái một vị trí tương ứng với bậc của 3x.
3. Cộng các kết quả theo cột để được đa thức cuối cùng.

Lỗi hay gặp:

• Sai dấu khi nhân các hạng tử (đặc biệt với số âm).
• Sai sót khi cộng các hạng tử đồng dạng.
• Nhầm lẫn trong việc sắp xếp các hạng tử theo bậc giảm dần.

Đáp án: (x^3 - 2x^2 + x - 1)(3x - 2) = 3x^4 - 8x^3 + 7x^2 - 5x + 2.

Vận dụng 2 trang 38

Đề bài: Rút gọn biểu thức (x - 2)(2x^3 - x^2 + 1) + (x - 2)x^2(1 - 2x).

Phân tích: Biểu thức có dạng A cdot B + A cdot C, trong đó A = (x - 2). Ta có thể đặt nhân tử chung (x - 2) hoặc thực hiện phép nhân rồi rút gọn.

Kiến thức cần dùng: Quy tắc nhân đa thức, đặt nhân tử chung, rút gọn biểu thức.

Lời giải:

Cách 1: Đặt nhân tử chung (x - 2)

Ta thấy (x - 2) là nhân tử chung của hai số hạng.
Biểu thức bằng: (x - 2)[(2x^3 - x^2 + 1) + x^2(1 - 2x)]

Phân tích phần trong ngoặc vuông:
(2x^3 - x^2 + 1) + x^2(1 - 2x)
= 2x^3 - x^2 + 1 + x^2 cdot 1 + x^2 cdot (-2x)
= 2x^3 - x^2 + 1 + x^2 - 2x^3

Nhóm các hạng tử đồng dạng:
= (2x^3 - 2x^3) + (-x^2 + x^2) + 1
= 0 + 0 + 1 = 1

Thay kết quả vào biểu thức ban đầu:
(x - 2) cdot 1 = x - 2

Cách 2: Nhân đa thức rồi rút gọn

Thực hiện phép nhân thứ nhất:
(x - 2)(2x^3 - x^2 + 1)
= x(2x^3 - x^2 + 1) - 2(2x^3 - x^2 + 1)
= (2x^4 - x^3 + x) - (4x^3 - 2x^2 + 2)
= 2x^4 - x^3 + x - 4x^3 + 2x^2 - 2
= 2x^4 - 5x^3 + 2x^2 + x - 2

Thực hiện phép nhân thứ hai:
(x - 2)x^2(1 - 2x)
= (x - 2)(x^2 - 2x^3)
= x(x^2 - 2x^3) - 2(x^2 - 2x^3)
= (x^3 - 2x^4) - (2x^2 - 4x^3)
= x^3 - 2x^4 - 2x^2 + 4x^3
= -2x^4 + 5x^3 - 2x^2

Cộng hai kết quả lại:
(2x^4 - 5x^3 + 2x^2 + x - 2) + (-2x^4 + 5x^3 - 2x^2)
= (2x^4 - 2x^4) + (-5x^3 + 5x^3) + (2x^2 - 2x^2) + x - 2
= 0 + 0 + 0 + x - 2
= x - 2

Lỗi hay gặp:

• Sai dấu khi phân phối hoặc khi bỏ ngoặc.
• Nhầm lẫn các hạng tử đồng dạng khi rút gọn.

Đáp án: Biểu thức rút gọn bằng x - 2.

Vận dụng 3 trang 38

Đề bài: Trở lại bài toán đoán tuổi, để giải thích bí mật trong bài toán đoán tuổi của anh Pi, em hãy thực hiện các yêu cầu sau: Gọi x là tuổi cần đoán. Tìm hai đa thức (biến x) biểu thị kết quả thứ nhất và kết quả thứ hai. Tìm đa thức biểu thị kết quả cuối cùng. Từ đó hãy nêu cách tìm x.

Phân tích: Bài toán yêu cầu thiết lập các đa thức dựa trên mô tả và sau đó tìm ra quy luật.

Kiến thức cần dùng: Hằng đẳng thức (a+b)^2, (a-b)^2, quy tắc trừ đa thức.

Lời giải:
Gọi x là tuổi cần đoán (với x là số nguyên dương).

1. Tìm đa thức biểu thị kết quả thứ nhất:
   "Lấy tuổi cộng 1 rồi bình phương lên": (x + 1)^2
   Áp dụng hằng đẳng thức (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:
   (x + 1)^2 = x^2 + 2 cdot x cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1
   Vậy đa thức thứ nhất là x^2 + 2x + 1.

2. Tìm đa thức biểu thị kết quả thứ hai:
   "Lấy tuổi trừ 1 rồi bình phương lên": (x - 1)^2
   Áp dụng hằng đẳng thức (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:
   (x - 1)^2 = x^2 - 2 cdot x cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1
   Vậy đa thức thứ hai là x^2 - 2x + 1.

3. Tìm đa thức biểu thị kết quả cuối cùng:
   "Lấy kết quả thứ nhất trừ đi kết quả thứ hai": (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)
   Bỏ ngoặc (chú ý đổi dấu các hạng tử của đa thức thứ hai):
   = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1
   Nhóm các hạng tử đồng dạng:
   = (x^2 - x^2) + (2x + 2x) + (1 - 1)
= 0 + 4x + 0 = 4x
   Vậy đa thức biểu thị kết quả cuối cùng là 4x.

4. Cách tìm x:
   Kết quả cuối cùng là 4x. Để tìm ra tuổi x, ta chỉ cần lấy kết quả cuối cùng chia cho 4.
   Ví dụ: Nếu kết quả cuối cùng là 32, thì tuổi x = 32 div 4 = 8.

Mẹo kiểm tra: Chọn một tuổi bất kỳ, ví dụ 5 tuổi.

• Tuổi + 1 = 6, bình phương = 36 (Kết quả 1).
• Tuổi - 1 = 4, bình phương = 16 (Kết quả 2).
• Kết quả cuối = 36 - 16 = 20.
• Tuổi tìm được = 20 / 4 = 5. Đúng với tuổi ban đầu.

Đáp án: Đa thức biểu thị kết quả thứ nhất là x^2 + 2x + 1. Đa thức biểu thị kết quả thứ hai là x^2 - 2x + 1. Đa thức biểu thị kết quả cuối cùng là 4x. Cách tìm x là lấy kết quả cuối cùng chia cho 4.

Bài 7.23 trang 38

Đề bài: Thực hiện các phép nhân sau:
a) 6x^2 cdot (2x^3 - 3x^2 + 5x - 4)
b) (-1,2x^2) cdot (2,5x^4 - 2x^3 + x^2 - 1,5)

Phân tích: Bài toán yêu cầu nhân một đơn thức với một đa thức.

Kiến thức cần dùng: Quy tắc nhân đơn thức với đa thức, quy tắc nhân hai đơn thức x^m cdot x^n = x^{m+n}.

Lời giải:

a) 6x^2 cdot (2x^3 - 3x^2 + 5x - 4)
Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức:
= 6x^2 cdot 2x^3 + 6x^2 cdot (-3x^2) + 6x^2 cdot 5x + 6x^2 cdot (-4)
Thực hiện phép nhân các đơn thức:
= (6 cdot 2) cdot (x^2 cdot x^3) + (6 cdot -3) cdot (x^2 cdot x^2) + (6 cdot 5) cdot (x^2 cdot x) + (6 cdot -4) cdot x^2
= 12x^{2+3} - 18x^{2+2} + 30x^{2+1} - 24x^2
= 12x^5 - 18x^4 + 30x^3 - 24x^2

b) (-1,2x^2) cdot (2,5x^4 - 2x^3 + x^2 - 1,5)
Tương tự, ta nhân -1,2x^2 với từng hạng tử của đa thức trong ngoặc:
= (-1,2x^2) cdot 2,5x^4 + (-1,2x^2) cdot (-2x^3) + (-1,2x^2) cdot x^2 + (-1,2x^2) cdot (-1,5)

Thực hiện phép nhân các hệ số và lũy thừa của x:
= (-1,2 cdot 2,5) cdot (x^2 cdot x^4) + ((-1,2) cdot (-2)) cdot (x^2 cdot x^3) + (-1,2) cdot (x^2 cdot x^2) + ((-1,2) cdot (-1,5)) cdot x^2
= -3x^{2+4} + 2,4x^{2+3} - 1,2x^{2+2} + 1,8x^2
= -3x^6 + 2,4x^5 - 1,2x^4 + 1,8x^2

Lỗi hay gặp:

• Sai dấu khi nhân hệ số âm.
• Sai sót khi cộng các số mũ của x.
• Nhầm lẫn các phép tính với số thập phân.

Đáp án:
a) 12x^5 - 18x^4 + 30x^3 - 24x^2
b) -3x^6 + 2,4x^5 - 1,2x^4 + 1,8x^2

Bài 7.24 trang 38

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 4x^2(5x^2 + 3) - 6x(3x^3 - 2x + 1) - 5x^3(2x - 1)
b) frac{3}{2}x(x^2 - frac{2}{3}x + 2) - frac{5}{3}x^2(x + frac{6}{5})

Phân tích: Bài toán kết hợp cả phép nhân đơn thức với đa thức và rút gọn, đòi hỏi sự cẩn thận trong từng bước.

Kiến thức cần dùng: Quy tắc nhân đơn thức với đa thức, quy tắc cộng trừ đa thức, nhóm các hạng tử đồng dạng.

Lời giải:

a) 4x^2(5x^2 + 3) - 6x(3x^3 - 2x + 1) - 5x^3(2x - 1)

Thực hiện phép nhân cho từng nhóm:
= (4x^2 cdot 5x^2 + 4x^2 cdot 3) + (-6x cdot 3x^3 + (-6x) cdot (-2x) + (-6x) cdot 1) + (-5x^3 cdot 2x + (-5x^3) cdot (-1))
= (20x^4 + 12x^2) + (-18x^4 + 12x^2 - 6x) + (-10x^4 + 5x^3)

Bỏ ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:
= 20x^4 + 12x^2 - 18x^4 + 12x^2 - 6x - 10x^4 + 5x^3
= (20x^4 - 18x^4 - 10x^4) + 5x^3 + (12x^2 + 12x^2) - 6x
= (20 - 18 - 10)x^4 + 5x^3 + (12 + 12)x^2 - 6x
= -8x^4 + 5x^3 + 24x^2 - 6x

b) frac{3}{2}x(x^2 - frac{2}{3}x + 2) - frac{5}{3}x^2(x + frac{6}{5})

Thực hiện phép nhân:
= (frac{3}{2}x cdot x^2 + frac{3}{2}x cdot (-frac{2}{3}x) + frac{3}{2}x cdot 2) + (-frac{5}{3}x^2 cdot x + (-frac{5}{3}x^2) cdot frac{6}{5})
= (frac{3}{2}x^3 - frac{3 cdot 2}{2 cdot 3}x^2 + frac{3 cdot 2}{2}x) + (-frac{5}{3}x^3 - frac{5 cdot 6}{3 cdot 5}x^2)
= (frac{3}{2}x^3 - x^2 + 3x) + (-frac{5}{3}x^3 - 2x^2)

Bỏ ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:
= frac{3}{2}x^3 - x^2 + 3x - frac{5}{3}x^3 - 2x^2
= (frac{3}{2}x^3 - frac{5}{3}x^3) + (-x^2 - 2x^2) + 3x

Quy đồng mẫu số cho các hệ số của x^3: Mẫu số chung là 6.
= (frac{3 cdot 3}{2 cdot 3}x^3 - frac{5 cdot 2}{3 cdot 2}x^3) + (-1 - 2)x^2 + 3x
= (frac{9}{6}x^3 - frac{10}{6}x^3) - 3x^2 + 3x
= -frac{1}{6}x^3 - 3x^2 + 3x

Lỗi hay gặp:

• Sai sót trong quy tắc nhân phân số.
• Nhầm lẫn khi rút gọn phân số.
• Quy đồng mẫu số không chính xác.

Đáp án:
a) -8x^4 + 5x^3 + 24x^2 - 6x
b) -frac{1}{6}x^3 - 3x^2 + 3x

Bài 7.25 trang 38

Đề bài: Thực hiện các phép nhân sau:
a) (x^2 - x) cdot (2x^2 - x - 10)
b) (0,2x^2 - 3x) cdot 5(x^2 - 7x + 3)

Phân tích: Hai bài toán này yêu cầu nhân đa thức với đa thức và nhân đa thức với biểu thức chứa hệ số nhân với đa thức.

Kiến thức cần dùng: Quy tắc nhân đa thức với đa thức, quy tắc nhân đơn thức với đa thức.

Lời giải:

a) (x^2 - x) cdot (2x^2 - x - 10)

Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức:
= x^2(2x^2 - x - 10) + (-x)(2x^2 - x - 10)
= (x^2 cdot 2x^2 + x^2 cdot (-x) + x^2 cdot (-10)) + ((-x) cdot 2x^2 + (-x) cdot (-x) + (-x) cdot (-10))
= (2x^4 - x^3 - 10x^2) + (-2x^3 + x^2 + 10x)

Bỏ ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:
= 2x^4 - x^3 - 10x^2 - 2x^3 + x^2 + 10x
= 2x^4 + (-x^3 - 2x^3) + (-10x^2 + x^2) + 10x
= 2x^4 - 3x^3 - 9x^2 + 10x

b) (0,2x^2 - 3x) cdot 5(x^2 - 7x + 3)

Trước hết, ta có thể nhân hệ số 5 vào đa thức thứ hai hoặc nhân hệ số 5 vào đa thức thứ nhất. Ta thực hiện nhân 5 vào đa thức thứ nhất để có hệ số thập phân tương đồng:
= 5 cdot (0,2x^2 - 3x) cdot (x^2 - 7x + 3)
= (5 cdot 0,2x^2 - 5 cdot 3x) cdot (x^2 - 7x + 3)
= (x^2 - 15x) cdot (x^2 - 7x + 3)

Bây giờ, ta nhân hai đa thức:
= x^2(x^2 - 7x + 3) + (-15x)(x^2 - 7x + 3)
= (x^2 cdot x^2 + x^2 cdot (-7x) + x^2 cdot 3) + ((-15x) cdot x^2 + (-15x) cdot (-7x) + (-15x) cdot 3)
= (x^4 - 7x^3 + 3x^2) + (-15x^3 + 105x^2 - 45x)

Bỏ ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:
= x^4 - 7x^3 + 3x^2 - 15x^3 + 105x^2 - 45x
= x^4 + (-7x^3 - 15x^3) + (3x^2 + 105x^2) - 45x
= x^4 - 22x^3 + 108x^2 - 45x

Lỗi hay gặp:

• Nhầm lẫn khi nhân các số thập phân.
• Sai sót khi áp dụng quy tắc phân phối giữa hai đa thức.
• Bỏ sót hoặc gộp sai các hạng tử đồng dạng.

Đáp án:
a) 2x^4 - 3x^3 - 9x^2 + 10x
b) x^4 - 22x^3 + 108x^2 - 45x

Bài 7.26 trang 38

Đề bài:
a) Tính (x^2 - 2x + 5) cdot (x - 2).
b) Từ đó hãy suy ra kết quả của phép nhân (x^2 - 2x + 5) cdot (2 - x). Giải thích cách làm.

Phân tích: Phần a) là phép nhân đa thức với đa thức. Phần b) yêu cầu suy luận dựa trên kết quả của phần a).

Kiến thức cần dùng: Quy tắc nhân đa thức, tính chất của phép trừ.

Lời giải:

a) Tính (x^2 - 2x + 5) cdot (x - 2)

Áp dụng quy tắc nhân đa thức:
= x^2(x - 2) + (-2x)(x - 2) + 5(x - 2)
= (x^2 cdot x + x^2 cdot (-2)) + ((-2x) cdot x + (-2x) cdot (-2)) + (5 cdot x + 5 cdot (-2))
= (x^3 - 2x^2) + (-2x^2 + 4x) + (5x - 10)

Bỏ ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:
= x^3 - 2x^2 - 2x^2 + 4x + 5x - 10
= x^3 + (-2x^2 - 2x^2) + (4x + 5x) - 10
= x^3 - 4x^2 + 9x - 10

Vậy (x^2 - 2x + 5) cdot (x - 2) = x^3 - 4x^2 + 9x - 10.

b) Suy ra kết quả của phép nhân (x^2 - 2x + 5) cdot (2 - x)

Nhận xét rằng 2 - x = -(x - 2).
Do đó, phép nhân có thể viết lại như sau:
(x^2 - 2x + 5) cdot (2 - x) = (x^2 - 2x + 5) cdot (-(x - 2))
= -1 cdot (x^2 - 2x + 5) cdot (x - 2)

Từ kết quả của phần a), ta biết (x^2 - 2x + 5) cdot (x - 2) = x^3 - 4x^2 + 9x - 10.
Thay vào biểu thức trên:
= -1 cdot (x^3 - 4x^2 + 9x - 10)
= -(x^3 - 4x^2 + 9x - 10)

Khi bỏ ngoặc, ta đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong:
= -x^3 + 4x^2 - 9x + 10

Giải thích cách làm: Chúng ta nhận thấy rằng đa thức (2 - x) là số đối của đa thức (x - 2). Do đó, tích của (x^2 - 2x + 5) với (2 - x) sẽ bằng -(x^2 - 2x + 5) cdot (x - 2). Sau khi tính được kết quả (x^2 - 2x + 5) cdot (x - 2), ta chỉ cần đổi dấu của toàn bộ kết quả đó.

Đáp án:
a) x^3 - 4x^2 + 9x - 10
b) -x^3 + 4x^2 - 9x + 10

Bài 7.27 trang 38

Đề bài: Giả sử ba kích thước của một hình hộp chữ nhật là x; x + 1; x - 1 (cm) với x > 1. Tìm đa thức biểu thị thể tích (đơn vị: cm3) của hình hộp chữ nhật đó.

Phân tích: Bài toán yêu cầu tính thể tích hình hộp chữ nhật khi biết các kích thước dưới dạng đa thức.

Kiến thức cần dùng: Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật V = dài times rộng times cao, quy tắc nhân đa thức.

Lời giải:
Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
V = chiều dài times chiều rộng times chiều cao
Trong trường hợp này, ba kích thước là x, x + 1, và x - 1.
Ta có thể nhân hai kích thước x + 1 và x - 1 trước, vì chúng là hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a^2 - b^2.
(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1

Bây giờ, nhân kết quả này với kích thước còn lại x:
V = x cdot (x^2 - 1)
Áp dụng quy tắc phân phối:
V = x cdot x^2 + x cdot (-1)
V = x^3 - x

Điều kiện x > 1 đảm bảo rằng tất cả các kích thước đều dương.

Mẹo kiểm tra: Chọn x = 2.
Các kích thước là: 2 cm, 2 + 1 = 3 cm, 2 - 1 = 1 cm.
Thể tích thực tế: 2 times 3 times 1 = 6 cm³.
Kết quả đa thức: x^3 - x = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 cm³.
Hai kết quả khớp nhau.

Đáp án: Đa thức biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật là x^3 - x (cm³).

Bài 7.28 trang 38

Đề bài: Thực hiện các phép nhân hai đa thức sau:
a) 5x^3 - 2x^2 + 4x - 4 và x^3 + 3x^2 - 5
b) -2,5x^4 + 0,5x^2 + 1 và 4x^3 - 2x + 6

Phân tích: Đây là các bài toán nhân hai đa thức bậc cao. Cần cẩn thận khi nhân và nhóm hạng tử.

Kiến thức cần dùng: Quy tắc nhân đa thức với đa thức, quy tắc cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Lời giải:

a) (5x^3 - 2x^2 + 4x - 4) cdot (x^3 + 3x^2 - 5)

Ta nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với đa thức thứ hai:
= 5x^3(x^3 + 3x^2 - 5) + (-2x^2)(x^3 + 3x^2 - 5) + 4x(x^3 + 3x^2 - 5) + (-4)(x^3 + 3x^2 - 5)

Thực hiện phép nhân:
= (5x^6 + 15x^5 - 25x^3) + (-2x^5 - 6x^4 + 10x^2) + (4x^4 + 12x^3 - 20x) + (-4x^3 - 12x^2 + 20)

Bỏ ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:
= 5x^6 + 15x^5 - 25x^3 - 2x^5 - 6x^4 + 10x^2 + 4x^4 + 12x^3 - 20x - 4x^3 - 12x^2 + 20
= 5x^6 + (15x^5 - 2x^5) + (-6x^4 + 4x^4) + (-25x^3 + 12x^3 - 4x^3) + (10x^2 - 12x^2) - 20x + 20
= 5x^6 + 13x^5 - 2x^4 - 17x^3 - 2x^2 - 20x + 20

b) (-2,5x^4 + 0,5x^2 + 1) cdot (4x^3 - 2x + 6)

Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với đa thức thứ hai:
= (-2,5x^4)(4x^3 - 2x + 6) + (0,5x^2)(4x^3 - 2x + 6) + 1(4x^3 - 2x + 6)

Thực hiện phép nhân:
= ((-2,5 cdot 4)x^7 + (-2,5 cdot -2)x^5 + (-2,5 cdot 6)x^4) + ((0,5 cdot 4)x^5 + (0,5 cdot -2)x^3 + (0,5 cdot 6)x^2) + (4x^3 - 2x + 6)
= (-10x^7 + 5x^5 - 15x^4) + (2x^5 - x^3 + 3x^2) + (4x^3 - 2x + 6)

Bỏ ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:
= -10x^7 + 5x^5 - 15x^4 + 2x^5 - x^3 + 3x^2 + 4x^3 - 2x + 6
= -10x^7 + (5x^5 + 2x^5) - 15x^4 + (-x^3 + 4x^3) + 3x^2 - 2x + 6
= -10x^7 + 7x^5 - 15x^4 + 3x^3 + 3x^2 - 2x + 6

Lỗi hay gặp:

• Sai sót khi nhân hệ số thập phân hoặc phân số.
• Quên đổi dấu khi nhân với hạng tử âm.
• Nhầm lẫn khi cộng trừ các hạng tử đồng dạng, đặc biệt là các hạng tử có hệ số âm hoặc thập phân.

Đáp án:
a) 5x^6 + 13x^5 - 2x^4 - 17x^3 - 2x^2 - 20x + 20
b) -10x^7 + 7x^5 - 15x^4 + 3x^3 + 3x^2 - 2x + 6

Bài 7.29 trang 38

Đề bài: Người ta dùng những chiếc cọc để rào một mảnh vườn hình chữ nhật sao cho mỗi góc vườn đều có một chiếc cọc và hai cọc liên tiếp cắm cách nhau 0,1 m. Biết rằng số cọc dùng để rào hết chiều dài của vườn nhiều hơn số cọc dùng để rào hết chiều rộng là 20 chiếc. Gọi số cọc dùng để rào hết chiều rộng là x. Tìm đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn đó.

Phân tích: Bài toán yêu cầu xác định chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn dựa trên số cọc và khoảng cách, sau đó tính diện tích.

Kiến thức cần dùng: Mối quan hệ giữa số cọc, số khoảng cách và chiều dài/chiều rộng, quy tắc nhân đa thức.

Lời giải:

Gọi số cọc dùng để rào hết chiều rộng là x.
Số cọc dùng để rào hết chiều dài là x + 20.

Khoảng cách giữa hai cọc liên tiếp là 0,1 m.
Nếu có n cọc thì sẽ có n - 1 khoảng cách.

Chiều rộng của mảnh vườn:
Số khoảng cách dọc chiều rộng là x - 1.
Chiều rộng mảnh vườn là 0,1 cdot (x - 1) mét.

Chiều dài của mảnh vườn:
Số khoảng cách dọc chiều dài là (x + 20) - 1 = x + 19.
Chiều dài mảnh vườn là 0,1 cdot (x + 19) mét.

Diện tích mảnh vườn là tích của chiều dài và chiều rộng:
Diện tích = Chiều dài times Chiều rộng
Diện tích = [0,1 cdot (x + 19)] cdot [0,1 cdot (x - 1)]

Thực hiện phép nhân:
Diện tích = 0,1 cdot 0,1 cdot (x + 19)(x - 1)
Diện tích = 0,01 cdot (x + 19)(x - 1)

Nhân hai đa thức (x + 19) và (x - 1):
(x + 19)(x - 1) = x(x - 1) + 19(x - 1)
= x^2 - x + 19x - 19
= x^2 + 18x - 19

Cuối cùng, nhân kết quả với 0,01:
Diện tích = 0,01 cdot (x^2 + 18x - 19)
Diện tích = 0,01x^2 + 0,01 cdot 18x + 0,01 cdot (-19)
Diện tích = 0,01x^2 + 0,18x - 0,19

Lỗi hay gặp:

• Nhầm lẫn giữa số cọc và số khoảng cách.
• Sai sót khi nhân các số thập phân (0,1).
• Nhầm lẫn trong phép nhân đa thức.

Đáp án: Đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn là 0,01x^2 + 0,18x - 0,19 (m²).

Các bài tập trong phần này của sách Toán 7 Kết nối tri thức trang 38 đã cung cấp một cái nhìn toàn diện về phép nhân đa thức một biến. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em học sinh thành thạo kỹ năng này, làm nền tảng vững chắc cho các chương trình học tiếp theo.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.