Giải Bài 6.21 Trang 19 SGK Toán 8 Tập 2 – Kết Nối Tri Thức

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Trong quá trình học tập, việc nắm vững các kiến thức nền tảng là vô cùng quan trọng, đặc biệt là với môn Toán. Bài viết này tập trung vào việc giải toán 8 sgk trang 19, chi tiết các bước thực hiện phép tính trừ các phân thức đại số, giúp học sinh hiểu sâu và tự tin chinh phục dạng bài này. Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết, phân tích từng bước, các mẹo làm bài và những lỗi sai thường gặp khi thực hiện các phép trừ phân thức, đảm bảo bài viết hữu ích và dễ tiếp cận nhất cho người học.

Đề Bài

Thực hiện các phép tính sau:

a) [ frac{5 – 3x}{x + 1} – frac{-2 + 5x}{x + 1} ]

b) [ frac{x}{x – y} – frac{y}{x + y} ]

c) [ frac{3}{x + 1} – frac{2 + 3x}{x^3 + 1} ]

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu chúng ta thực hiện các phép tính trừ các phân thức đại số. Cụ thể, có ba phần a), b), c) với các mức độ phức tạp khác nhau về mẫu số và tử số.

Phần a): Hai phân thức có cùng mẫu số là (x + 1). Đây là trường hợp đơn giản nhất, chỉ cần áp dụng quy tắc trừ tử số và giữ nguyên mẫu số.
Phần b): Hai phân thức có mẫu số khác nhau là (x – y) và (x + y). Để thực hiện phép trừ, chúng ta cần tìm mẫu số chung, thường là tích của hai mẫu số ban đầu.
Phần c): Một phân thức có mẫu số là (x + 1) và phân thức còn lại có mẫu số là (x^3 + 1). Để tìm mẫu số chung, chúng ta cần phân tích mẫu số (x^3 + 1) thành nhân tử.

Yêu cầu chung của bài toán là thực hiện chính xác các phép biến đổi đại số, quy đồng mẫu số và rút gọn biểu thức để đưa về dạng phân thức tối giản hoặc dạng biểu thức cuối cùng theo yêu cầu.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau về phân thức đại số:

Quy tắc trừ hai phân thức:
- Cùng mẫu số: Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu số, ta trừ tử thức của phân thức thứ nhất cho tử thức của phân thức thứ hai và giữ nguyên mẫu số:
  ( frac{A}{B} – frac{C}{B} = frac{A – C}{B} )
- Khác mẫu số: Muốn trừ hai phân thức có mẫu số khác nhau, ta quy đồng mẫu số rồi trừ các phân thức có mẫu số đã quy đồng:
  ( frac{A}{B} – frac{C}{D} = frac{A.E}{B.E} – frac{C.F}{D.F} ) (với (BE = DF) là mẫu số chung).
Quy đồng mẫu số: Để quy đồng mẫu số của hai hay nhiều phân thức, ta thực hiện các bước sau:
- Phân tích các mẫu số ra thừa số (nếu có thể).
- Tìm mẫu số chung (MĐCC): MĐCC là BCNN của các mẫu số.
- Tìm nhân tử phụ cho mỗi phân thức: Chia MĐCC cho từng mẫu số ban đầu.
- Nhân tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Các hằng đẳng thức đáng nhớ: Đặc biệt là tổng hai lập phương:
(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2))
Và hiệu hai bình phương:
(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b))
Các phép toán về đơn thức và đa thức: Cộng, trừ, nhân, chia, phân tích đa thức thành nhân tử.
Rút gọn phân thức: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng phần của bài toán.

a) ( frac{5 – 3x}{x + 1} – frac{-2 + 5x}{x + 1} )

Đây là phép trừ hai phân thức có cùng mẫu số là (x + 1).

Bước 1: Xác định mẫu số chung.
Mẫu số chung là (x + 1).

Bước 2: Áp dụng quy tắc trừ hai phân thức cùng mẫu số.
Ta giữ nguyên mẫu số và trừ tử thức của phân thức thứ nhất cho tử thức của phân thức thứ hai. Cần chú ý dấu trừ đằng trước dấu ngoặc khi trừ tử thức thứ hai.

( frac{5 – 3x}{x + 1} – frac{-2 + 5x}{x + 1} = frac{(5 – 3x) – (-2 + 5x)}{x + 1} )

Bước 3: Rút gọn tử thức.
Thực hiện phép trừ đa thức ở tử thức:
( (5 – 3x) – (-2 + 5x) = 5 – 3x + 2 – 5x )
Nhóm các hạng tử giống nhau lại:
( (5 + 2) + (-3x – 5x) = 7 – 8x )

Bước 4: Viết kết quả cuối cùng.
Kết quả của phép tính là:
( frac{7 – 8x}{x + 1} )

Mẹo kiểm tra:

Sau khi thực hiện phép trừ, hãy thử thay một vài giá trị của (x) (ví dụ: (x=1), (x=2), miễn là mẫu số khác 0) vào biểu thức ban đầu và biểu thức kết quả để xem chúng có bằng nhau không.
Ví dụ với (x=1):
Biểu thức ban đầu: ( frac{5 – 3(1)}{1 + 1} – frac{-2 + 5(1)}{1 + 1} = frac{2}{2} – frac{3}{2} = 1 – frac{3}{2} = -frac{1}{2} )
Kết quả: ( frac{7 – 8(1)}{1 + 1} = frac{-1}{2} )
Hai kết quả bằng nhau, cho thấy có khả năng đúng.

Lỗi hay gặp:

Sai dấu khi bỏ ngoặc ở tử thức thứ hai. Nhiều học sinh quên đổi dấu của (-2) thành (+2) và (+5x) thành (-5x).
Cộng/trừ sai các hạng tử giống nhau ở tử thức.

b) ( frac{x}{x – y} – frac{y}{x + y} )

Đây là phép trừ hai phân thức có mẫu số khác nhau: (x – y) và (x + y).

Bước 1: Phân tích mẫu số (nếu có thể).
Mẫu số (x – y) và (x + y) không thể phân tích thêm.

Bước 2: Tìm mẫu số chung (MĐCC).
Mẫu số chung của (x – y) và (x + y) là tích của chúng: ( (x – y)(x + y) ).

Bước 3: Quy đồng mẫu số.

Nhân tử và mẫu của phân thức thứ nhất với (x + y):
( frac{x}{x – y} = frac{x(x + y)}{(x – y)(x + y)} = frac{x^2 + xy}{(x – y)(x + y)} )
Nhân tử và mẫu của phân thức thứ hai với (x – y):
( frac{y}{x + y} = frac{y(x – y)}{(x + y)(x – y)} = frac{xy – y^2}{(x – y)(x + y)} )

Bước 4: Thực hiện phép trừ hai phân thức đã quy đồng.
( frac{x^2 + xy}{(x – y)(x + y)} – frac{xy – y^2}{(x – y)(x + y)} = frac{(x^2 + xy) – (xy – y^2)}{(x – y)(x + y)} )

Bước 5: Rút gọn tử thức.
( (x^2 + xy) – (xy – y^2) = x^2 + xy – xy + y^2 = x^2 + y^2 )

Bước 6: Viết kết quả cuối cùng.
Mẫu số ( (x – y)(x + y) ) có thể được viết lại dưới dạng ( x^2 – y^2 ) bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Kết quả cuối cùng là:
( frac{x^2 + y^2}{x^2 – y^2} )

Mẹo kiểm tra:

Thử thay các giá trị của (x) và (y) (miễn là mẫu số khác 0). Ví dụ, cho (x = 3, y = 1).
Biểu thức ban đầu: ( frac{3}{3 – 1} – frac{1}{3 + 1} = frac{3}{2} – frac{1}{4} = frac{6}{4} – frac{1}{4} = frac{5}{4} )
Kết quả: ( frac{3^2 + 1^2}{3^2 – 1^2} = frac{9 + 1}{9 – 1} = frac{10}{8} = frac{5}{4} )
Hai kết quả trùng khớp.

Lỗi hay gặp:

Nhầm lẫn hoặc sai sót khi nhân tử thức với nhân tử phụ.
Sai dấu khi trừ tử thức thứ hai, đặc biệt là khi nhân (y) với ((x – y)) cho ra (xy – y^2), và khi trừ thì (- (xy – y^2)) phải là (-xy + y^2).
Quên rút gọn phân thức nếu có thể (trong trường hợp này, (x^2 + y^2) không chia hết cho (x^2 – y^2)).

c) ( frac{3}{x + 1} – frac{2 + 3x}{x^3 + 1} )

Đây là phép trừ hai phân thức có mẫu số khác nhau, trong đó một mẫu số có thể phân tích được.

Bước 1: Phân tích mẫu số.
Mẫu số thứ nhất là (x + 1).
Mẫu số thứ hai là (x^3 + 1). Đây là dạng tổng hai lập phương (a^3 + b^3) với (a = x) và (b = 1).
Áp dụng công thức (a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)), ta có:
( x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 – x + 1) )

Bước 2: Tìm mẫu số chung (MĐCC).
Các mẫu số là (x + 1) và ( (x + 1)(x^2 – x + 1) ).
Mẫu số chung là BCNN của hai mẫu số này, chính là ( (x + 1)(x^2 – x + 1) ).

Bước 3: Quy đồng mẫu số.

Phân thức thứ nhất ( frac{3}{x + 1} ) cần nhân tử phụ là (x^2 – x + 1).
( frac{3}{x + 1} = frac{3(x^2 – x + 1)}{(x + 1)(x^2 – x + 1)} = frac{3x^2 – 3x + 3}{(x + 1)(x^2 – x + 1)} )
Phân thức thứ hai ( frac{2 + 3x}{x^3 + 1} = frac{2 + 3x}{(x + 1)(x^2 – x + 1)} ) đã có mẫu số chung, nhân tử phụ là 1.

Bước 4: Thực hiện phép trừ hai phân thức đã quy đồng.
( frac{3x^2 – 3x + 3}{(x + 1)(x^2 – x + 1)} – frac{2 + 3x}{(x + 1)(x^2 – x + 1)} = frac{(3x^2 – 3x + 3) – (2 + 3x)}{(x + 1)(x^2 – x + 1)} )

Bước 5: Rút gọn tử thức.
( (3x^2 – 3x + 3) – (2 + 3x) = 3x^2 – 3x + 3 – 2 – 3x )
Nhóm các hạng tử giống nhau lại:
( 3x^2 + (-3x – 3x) + (3 – 2) = 3x^2 – 6x + 1 )

Bước 6: Viết kết quả cuối cùng.
Tử thức ( 3x^2 – 6x + 1 ) không thể phân tích thêm hoặc rút gọn với mẫu số ( (x + 1)(x^2 – x + 1) ).
Kết quả cuối cùng là:
( frac{3x^2 – 6x + 1}{(x + 1)(x^2 – x + 1)} )
Hoặc có thể viết lại mẫu số:
( frac{3x^2 – 6x + 1}{x^3 + 1} )

Mẹo kiểm tra:

Chọn giá trị cho (x). Ví dụ, chọn (x = 2).
Biểu thức ban đầu: ( frac{3}{2 + 1} – frac{2 + 3(2)}{2^3 + 1} = frac{3}{3} – frac{2 + 6}{8 + 1} = 1 – frac{8}{9} = frac{1}{9} )
Kết quả: ( frac{3(2)^2 – 6(2) + 1}{(2 + 1)(2^2 – 2 + 1)} = frac{3(4) – 12 + 1}{(3)(4 – 2 + 1)} = frac{12 – 12 + 1}{(3)(3)} = frac{1}{9} )
Hai kết quả khớp nhau.

Lỗi hay gặp:

Phân tích sai (x^3 + 1).
Nhân tử phụ sai hoặc quên nhân tử phụ cho một trong các phân thức.
Sai dấu khi rút gọn tử thức, đặc biệt là ( -(2 + 3x) ) thành ( -2 – 3x ).
Cộng/trừ sai các hạng tử giống nhau ở tử thức.
Không nhận ra tử thức (3x^2 – 6x + 1) không thể rút gọn được với mẫu số.

Đáp Án/Kết Quả

Dưới đây là kết quả cuối cùng cho từng phần của bài toán:

a) ( frac{7 – 8x}{x + 1} )

b) ( frac{x^2 + y^2}{x^2 – y^2} )

c) ( frac{3x^2 – 6x + 1}{x^3 + 1} )

Kết Luận

Việc giải các bài toán về phép trừ phân thức đại số đòi hỏi sự cẩn thận, chính xác trong từng bước thực hiện, từ việc phân tích mẫu số, quy đồng mẫu số đến rút gọn tử thức. Bài viết đã chi tiết hóa quy trình giải toán 8 sgk trang 19 cho bài 6.21, cung cấp các phương pháp, kiến thức nền tảng, lời giải chi tiết cùng những mẹo kiểm tra và lỗi sai thường gặp. Nắm vững các kỹ năng này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự trong chương trình học.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.