Giải Toán 8 SGK Trang 36 – Kết Nối Tri Thức: Khai Triển Lập Phương (Bài 2.7 – 2.11)

by Thầy Đông · January 8, 2026

Rate this post

Chào mừng các em đến với chuyên mục giải toán 8 SGK trang 36 thuộc bộ sách “Kết nối tri thức”. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá chi tiết các bài tập từ 2.7 đến 2.11, tập trung vào chủ đề hằng đẳng thức lập phương. Nắm vững các công thức và phương pháp giải sẽ giúp các em tự tin chinh phục các dạng bài liên quan đến khai triển, rút gọn và tính toán giá trị biểu thức.

Đề Bài

Bài 2.7 trang 36 SGK Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức

Khai triển:
a) left( {x^2} + 2y right)^3
b) left( dfrac{1}{2}x - 1 right)^3

Bài 2.8 trang 36 SGK Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức

Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) 27 + 54x + 36x^2 + 8x^3
b) 64x^3 - 144x^2y + 108xy^2 - 27y^3

Bài 2.9 trang 36 SGK Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức

Tính nhanh giá trị của biểu thức:
a) x^3 + 9x^2 + 27x + 27 tại x=7.
b) 27 - 54x + 36x^2 - 8x^3 tại x=6,5.

Bài 2.10 trang 36 SGK Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức

Rút gọn các biểu thức sau:
a) left( x - 2y right)^3 + left( x + 2y right)^3
b) left( 3x + 2y right)^3 + left( 3x - 2y right)^3

Bài 2.11 trang 36 SGK Toán 8 tập 1 – Kết nối tri thức

Chứng minh left( a - b right)^3 = - {left( {b - a} right)^3}

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài toán từ 2.7 đến 2.11 đều xoay quanh việc vận dụng linh hoạt hai hằng đẳng thức đáng nhớ về lập phương của một tổng và lập phương của một hiệu.

Bài 2.7 yêu cầu trực tiếp khai triển hai biểu thức dạng (a+b)^3 và (a-b)^3. Đây là bài tập cơ bản để làm quen với công thức.
Bài 2.8 đi ngược lại, yêu cầu nhận dạng và viết biểu thức đã cho về dạng (a+b)^3 hoặc (a-b)^3. Điều này đòi hỏi khả năng phân tích cấu trúc của biểu thức.
Bài 2.9 là ứng dụng của Bài 2.8. Sau khi viết lại biểu thức dưới dạng lập phương gọn gàng, việc tính toán giá trị trở nên nhanh chóng hơn nhiều.
Bài 2.10 kết hợp việc khai triển các biểu thức lập phương và sau đó rút gọn tổng của chúng. Bài này giúp rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số và nhận biết các hạng tử đồng dạng.
Bài 2.11 yêu cầu chứng minh một đẳng thức bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức lập phương đã học. Đây là bài tập mang tính suy luận và kiểm chứng.

Nhìn chung, tất cả các bài tập đều hướng đến việc củng cố và nâng cao hiểu biết về hằng đẳng thức lập phương, một công cụ toán học quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta cần nắm vững hai hằng đẳng thức lập phương và các quy tắc biến đổi đại số cơ bản:

Lập phương của một tổng:
left( a+b right)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Lập phương của một hiệu:
left( a-b right)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Lưu ý quan trọng khi áp dụng:

Xác định đúng đại lượng đóng vai trò là a và b trong công thức. a và b có thể là một số, một biến, hoặc một biểu thức phức tạp hơn.
Chú ý đến dấu của các hạng tử, đặc biệt là trong công thức lập phương của một hiệu.
Trong quá trình khai triển, cần thực hiện phép nhân lũy thừa và hệ số cẩn thận.

Các quy tắc biến đổi đại số:

Quy tắc phân phối: k(a+b) = ka + kb
Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng: Chỉ cộng, trừ phần hệ số, giữ nguyên phần biến.
Quy tắc dấu: Khi đổi vế hoặc làm việc với số đối, cần cẩn thận với dấu. Ví dụ, -(x-y) sẽ thành -x+y.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 2.7: Khai triển biểu thức lập phương

a) Khai triển left( {x^2} + 2y right)^3

Đây là dạng left( a+b right)^3 với a = x^2 và b = 2y.
Áp dụng công thức left( a+b right)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3:

left( {x^2} + 2y right)^3 = {left( {{x^2}} right)^3} + 3.{left( {{x^2}} right)^2}.2y + 3.{x^2}.{left( {2y} right)^2} + {2y}^3

Bây giờ, ta tính lũy thừa và nhân các hệ số:

{left( {{x^2}} right)^3} = x^{2 times 3} = x^6
3.{left( {{x^2}} right)^2}.2y = 3.x^4.2y = 6x^4y
3.{x^2}.{left( {2y} right)^2} = 3.x^2.(4y^2) = 12x^2y^2
{2y}^3 = 2^3y^3 = 8y^3

Kết hợp lại, ta được kết quả:
left( {x^2} + 2y right)^3 = x^6 + 6x^4y + 12x^2y^2 + 8y^3

b) Khai triển left( {dfrac{1}{2}x - 1} right)^3

Đây là dạng left( a-b right)^3 với a = dfrac{1}{2}x và b = 1.
Áp dụng công thức left( a-b right)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3:

left( {dfrac{1}{2}x - 1} right)^3 = {left( {dfrac{1}{2}x} right)^3} - 3.{left( {dfrac{1}{2}x} right)^2}.1 + 3.dfrac{1}{2}x.{1^2} - {1^3}

Tính toán từng phần:

{left( {dfrac{1}{2}x} right)^3} = left(dfrac{1}{2}right)^3 x^3 = dfrac{1}{8}x^3
3.{left( {dfrac{1}{2}x} right)^2}.1 = 3.left(dfrac{1}{4}x^2right).1 = dfrac{3}{4}x^2
3.dfrac{1}{2}x.{1^2} = 3.dfrac{1}{2}x.1 = dfrac{3}{2}x
{1^3} = 1

Kết hợp lại, ta được kết quả:
left( {dfrac{1}{2}x - 1} right)^3 = dfrac{1}{8}x^3 - dfrac{3}{4}x^2 + dfrac{3}{2}x - 1

Mẹo kiểm tra: Sau khi khai triển, các số mũ của biến x phải giảm dần (3, 2, 1, 0) và các số mũ của biến y (nếu có) phải tăng dần. Dấu của các hạng tử trong dạng (a-b)^3 xen kẽ là +, -, +, -.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong việc tính lũy thừa của phân số hoặc hệ số, hoặc nhầm lẫn dấu trong công thức (a-b)^3.

Bài 2.8: Viết biểu thức dưới dạng lập phương

a) Viết 27 + 54x + 36x^2 + 8x^3 dưới dạng lập phương

Chúng ta cần nhận ra đây là dạng khai triển của (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
So sánh các hạng tử:

Hạng tử đầu tiên: 27. Ta nhận thấy 27 = 3^3. Vậy có thể a=3.
Hạng tử cuối cùng: 8x^3. Ta nhận thấy 8x^3 = (2x)^3. Vậy có thể b=2x.

Bây giờ, ta kiểm tra hai hạng tử ở giữa:

Hạng tử thứ hai (theo thứ tự gốc): 54x.
Theo công thức, hạng tử này phải là 3a^2b.
Với a=3 và b=2x, ta có 3a^2b = 3.(3^2).(2x) = 3.9.2x = 54x. Hạng tử này khớp.
Hạng tử thứ ba (theo thứ tự gốc): 36x^2.
Theo công thức, hạng tử này phải là 3ab^2.
Với a=3 và b=2x, ta có 3ab^2 = 3.(3).(2x)^2 = 3.3.(4x^2) = 9.(4x^2) = 36x^2. Hạng tử này cũng khớp.

Vì tất cả các hạng tử đều khớp, ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng lập phương của một tổng:
27 + 54x + 36x^2 + 8x^3 = (3 + 2x)^3

b) Viết 64x^3 - 144x^2y + 108xy^2 - 27y^3 dưới dạng lập phương

Đây là dạng left( a-b right)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.
So sánh các hạng tử:

Hạng tử đầu tiên: 64x^3. Ta nhận thấy 64x^3 = (4x)^3. Vậy có thể a=4x.
Hạng tử cuối cùng: 27y^3. Ta nhận thấy 27y^3 = (3y)^3. Vì hạng tử này mang dấu âm trong biểu thức gốc (- 27y^3), nên có thể b=3y.

Kiểm tra hai hạng tử ở giữa:

Hạng tử thứ hai (theo thứ tự gốc): - 144x^2y.
Theo công thức, hạng tử này phải là - 3a^2b.
Với a=4x và b=3y, ta có - 3a^2b = - 3.(4x)^2.(3y) = - 3.(16x^2).(3y) = - 144x^2y. Hạng tử này khớp.
Hạng tử thứ ba (theo thứ tự gốc): + 108xy^2.
Theo công thức, hạng tử này phải là + 3ab^2.
Với a=4x và b=3y, ta có + 3ab^2 = + 3.(4x).(3y)^2 = + 3.(4x).(9y^2) = + 108xy^2. Hạng tử này cũng khớp.

Tất cả các hạng tử đều khớp, do đó biểu thức có thể viết lại dưới dạng lập phương của một hiệu:
64x^3 - 144x^2y + 108xy^2 - 27y^3 = (4x - 3y)^3

Mẹo kiểm tra: Luôn kiểm tra cả bốn hạng tử (a^3, 3a^2b, 3ab^2, b^3) để đảm bảo chúng khớp với biểu thức gốc. Đặc biệt chú ý đến hệ số và dấu.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa a và b, sai sót trong phép tính bình phương hoặc lập phương, hoặc không kiểm tra đầy đủ cả bốn hạng tử.

Bài 2.9: Tính nhanh giá trị biểu thức

a) Tính nhanh x^3 + 9x^2 + 27x + 27 tại x=7.

Trước tiên, ta nhận dạng và viết lại biểu thức đã cho dưới dạng lập phương.
Ta thấy: x^3 là lập phương của x.
27 là lập phương của 3.
Kiểm tra các hạng tử ở giữa với a=x, b=3 cho dạng (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3:

3a^2b = 3.x^2.3 = 9x^2. Khớp với hạng tử thứ hai.
3ab^2 = 3.x.3^2 = 3.x.9 = 27x. Khớp với hạng tử thứ ba.

Vậy, x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = (x+3)^3.

Bây giờ, thay x=7 vào biểu thức gọn nhất:
left( {7 + 3} right)^3 = {10^3} = 1000

b) Tính nhanh 27 - 54x + 36x^2 - 8x^3 tại x=6,5.

Ta nhận dạng và viết lại biểu thức. Biểu thức có dạng a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.
Ta thấy: 27 = 3^3. Có thể a=3.
8x^3 = (2x)^3. Có thể b=2x.
Kiểm tra các hạng tử ở giữa với a=3, b=2x cho dạng (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3:

- 3a^2b = - 3.(3^2).(2x) = - 3.9.2x = - 54x. Khớp với hạng tử thứ hai.
+ 3ab^2 = + 3.(3).(2x)^2 = + 3.3.(4x^2) = + 36x^2. Khớp với hạng tử thứ ba.

Vậy, 27 - 54x + 36x^2 - 8x^3 = (3 - 2x)^3.

Bây giờ, thay x=6,5 vào biểu thức gọn nhất:
left( {3 - 2 times 6,5} right)^3 = left( {3 - 13} right)^3 = left( {- 10} right)^3
left( {- 10} right)^3 = (-10) times (-10) times (-10) = -1000

Mẹo kiểm tra: Sau khi viết lại về dạng (a+b)^3 hoặc (a-b)^3, việc thay số và tính toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều so với việc thay vào biểu thức ban đầu có nhiều hạng tử.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong việc nhận dạng a và b, đặc biệt khi biểu thức bị sắp xếp lộn xộn hoặc khi thay số với các phép tính liên quan đến số âm hoặc số thập phân.

Bài 2.10: Rút gọn biểu thức

Phương pháp chung cho bài này là sử dụng hằng đẳng thức lập phương để khai triển từng biểu thức, sau đó cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng để rút gọn.

a) Rút gọn left( x - 2y right)^3 + left( x + 2y right)^3

Ta khai triển từng phần:

Khai triển left( x - 2y right)^3 (dạng (a-b)^3 với a=x, b=2y):
left( x - 2y right)^3 = x^3 - 3.x^2.(2y) + 3.x.(2y)^2 - (2y)^3
= x^3 - 6x^2y + 3x(4y^2) - 8y^3
= x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3
Khai triển left( x + 2y right)^3 (dạng (a+b)^3 với a=x, b=2y):
left( x + 2y right)^3 = x^3 + 3.x^2.(2y) + 3.x.(2y)^2 + (2y)^3
= x^3 + 6x^2y + 3x(4y^2) + 8y^3
= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3

Bây giờ, cộng hai kết quả lại:
left( x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3 right) + left( x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 right)

Gom các hạng tử đồng dạng:

Hạng tử x^3: x^3 + x^3 = 2x^3
Hạng tử x^2y: - 6x^2y + 6x^2y = 0
Hạng tử xy^2: 12xy^2 + 12xy^2 = 24xy^2
Hạng tử y^3: - 8y^3 + 8y^3 = 0

Kết quả rút gọn là: 2x^3 + 24xy^2

b) Rút gọn left( 3x + 2y right)^3 + left( 3x - 2y right)^3

Ta khai triển từng phần:

Khai triển left( 3x + 2y right)^3 (dạng (a+b)^3 với a=3x, b=2y):
left( 3x + 2y right)^3 = (3x)^3 + 3.(3x)^2.(2y) + 3.(3x).(2y)^2 + (2y)^3
= 27x^3 + 3.(9x^2).(2y) + 3.(3x).(4y^2) + 8y^3
= 27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3
Khai triển left( 3x - 2y right)^3 (dạng (a-b)^3 với a=3x, b=2y):
left( 3x - 2y right)^3 = (3x)^3 - 3.(3x)^2.(2y) + 3.(3x).(2y)^2 - (2y)^3
= 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3

Bây giờ, cộng hai kết quả lại:
left( 27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3 right) + left( 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3 right)

Gom các hạng tử đồng dạng:

Hạng tử x^3: 27x^3 + 27x^3 = 54x^3
Hạng tử x^2y: 54x^2y - 54x^2y = 0
Hạng tử xy^2: 36xy^2 + 36xy^2 = 72xy^2
Hạng tử y^3: 8y^3 - 8y^3 = 0

Kết quả rút gọn là: 54x^3 + 72xy^2

Mẹo kiểm tra: Khi cộng hai biểu thức dạng (a+b)^3 và (a-b)^3, các hạng tử mang dấu trừ trong khai triển (a-b)^3 sẽ triệt tiêu với các hạng tử tương ứng trong khai triển (a+b)^3. Ngược lại, nếu là phép trừ, các hạng tử mang dấu cộng sẽ triệt tiêu.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong quá trình khai triển (hệ số, dấu, lũy thừa) hoặc sai sót khi cộng/trừ các đơn thức đồng dạng.

Bài 2.11: Chứng minh đẳng thức

Chứng minh left( a - b right)^3 = - {left( {b - a} right)^3}

Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta sẽ khai triển cả hai vế của phương trình rồi so sánh kết quả.

Vế trái (VT): Khai triển left( a - b right)^3
Theo hằng đẳng thức lập phương của một hiệu:
left( a - b right)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Vế phải (VP): Khai triển - {left( {b - a} right)^3}
Trước hết, ta khai triển left( b - a right)^3 (coi b là a' và a là b' trong công thức (a'-b')^3):
left( b - a right)^3 = b^3 - 3b^2a + 3ba^2 - a^3
Hoặc, ta có thể viết lại b-a thành -(a-b). Khi đó:
left( b - a right)^3 = left( -(a - b) right)^3 = (-1)^3 left( a - b right)^3 = - left( a - b right)^3
Thế left( a - b right)^3 bằng kết quả khai triển ở VT:
left( b - a right)^3 = - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)
= -a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3

Bây giờ, xét VP: - {left( {b - a} right)^3}
VP = - left( -a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3 right)
VP = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

So sánh VT và VP:
Ta thấy:
VT = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
VP = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Vì VT = VP, đẳng thức đã được chứng minh.

Cách khác để chứng minh:
Ta có thể nhận xét mối quan hệ giữa (a-b) và (b-a). Ta biết rằng b-a = -(a-b).
Do đó, left( b - a right)^3 = left( -(a - b) right)^3.
Vì (-1)^3 = -1, ta có left( -(a - b) right)^3 = (-1)^3 left( a - b right)^3 = - left( a - b right)^3.
Suy ra, left( b - a right)^3 = - left( a - b right)^3.
Nhân cả hai vế với -1, ta được:
- left( b - a right)^3 = - left( - left( a - b right)^3 right)
- left( b - a right)^3 = left( a - b right)^3
Đẳng thức cần chứng minh là left( a - b right)^3 = - {left( {b - a} right)^3}, điều này tương đương với left( a - b right)^3 = left( a - b right)^3, đúng.

Mẹo kiểm tra: Luôn đọc kỹ yêu cầu “chứng minh đẳng thức”. Sau khi biến đổi, hai vế phải hoàn toàn giống nhau.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong quy tắc đổi dấu khi có lũy thừa bậc lẻ, hoặc sai sót trong quá trình khai triển từng vế.

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi hoàn thành các bài tập, đây là các kết quả tóm tắt:

Bài 2.7:
a) left( {x^2} + 2y right)^3 = x^6 + 6x^4y + 12x^2y^2 + 8y^3
b) left( {dfrac{1}{2}x - 1} right)^3 = dfrac{1}{8}x^3 - dfrac{3}{4}x^2 + dfrac{3}{2}x - 1
Bài 2.8:
a) 27 + 54x + 36x^2 + 8x^3 = (3 + 2x)^3
b) 64x^3 - 144x^2y + 108xy^2 - 27y^3 = (4x - 3y)^3
Bài 2.9:
a) Giá trị của biểu thức tại x=7 là 1000.
b) Giá trị của biểu thức tại x=6,5 là -1000.
Bài 2.10:
a) Rút gọn của left( x - 2y right)^3 + left( x + 2y right)^3 là 2x^3 + 24xy^2.
b) Rút gọn của left( 3x + 2y right)^3 + left( 3x - 2y right)^3 là 54x^3 + 72xy^2.
Bài 2.11: Đẳng thức left( a - b right)^3 = - {left( {b - a} right)^3} đã được chứng minh bằng cách khai triển hai vế.

Hy vọng bài viết chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán liên quan đến giải toán 8 SGK trang 36. Hãy luyện tập thường xuyên để làm chủ các hằng đẳng thức này nhé!

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.