Giải Toán 8 Tập 1 Trang 102: Bài Tập Hình Thang Cân (Cánh Diều)

Việc nắm vững kiến thức Hình thang cân là nền tảng quan trọng trong chương trình giải toán 8 tập 1 trang 102 (Sách Cánh Diều). Bài viết này sẽ đi sâu vào việc giải toán 8 tập 1 trang 102 Luyện tập 1, một bài toán điển hình về việc chứng minh tính chất của Đường chéo trong hình thang cân. Đây là cơ hội để học sinh rèn luyện kỹ năng Chứng minh hình học thông qua việc xác định sự bằng nhau của Hai tam giác bằng nhau, từ đó rút ra các tính chất góc quan trọng. Bài giải chi tiết, nâng cao sẽ là tài liệu quý giá cho việc tự học và ôn luyện học sinh giỏi.

Tổng Quan Về Hình Thang Cân Và Sách Giáo Khoa Toán 8 Tập 1 Cánh Diều

Bài học về Hình thang cân là một chuyên đề cốt lõi. Nó nằm trong chương trình Hình học lớp 8, cung cấp nền tảng quan trọng. Sự hiểu biết vững chắc về các định nghĩa và tính chất là cần thiết. Đây là chìa khóa để giải quyết các bài toán phức tạp hơn sau này. Sách Giáo Khoa Toán 8 Tập 1 Cánh Diều trình bày kiến thức này một cách logic.

Định Nghĩa Và Các Tính Chất Cơ Bản Của Hình Thang Cân

Hình thang là một tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song được gọi là các cạnh đáy. Hai cạnh còn lại là các cạnh bên. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Đây là định nghĩa quan trọng nhất.

Các tính chất đặc trưng của hình thang cân:

• Hai cạnh bên của hình thang cân bằng nhau.
• Hai đường chéo của hình thang cân bằng nhau.
• Hai góc kề một đáy bằng nhau.
• Hai góc đối bù nhau (tổng bằng $180^circ$).

Việc nắm vững những tính chất này giúp học sinh lập luận nhanh chóng. Nó cho phép xác định sự bằng nhau của các đoạn thẳng và góc. Bài tập trang 102 chính là ứng dụng trực tiếp của các tính chất này.

Tầm Quan Trọng Của Bài Tập Hình Học Trong Chương Trình Toán 8

Hình học không chỉ là việc vẽ hình và tính toán. Nó rèn luyện khả năng tư duy logic và suy luận chặt chẽ. Bài tập Hình học lớp 8, đặc biệt là phần tứ giác, đòi hỏi học sinh phải áp dụng linh hoạt. Họ cần sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác. Họ cũng cần các định lý về đường thẳng song song và tính chất trung điểm.

Giải được bài tập Luyện tập 1 trang 102 cho thấy sự thành thạo. Nó chứng tỏ học sinh đã hiểu rõ mối liên hệ giữa các yếu tố. Mối liên hệ này tồn tại trong một hình thang cân. Đây là bước đệm quan trọng trước khi chuyển sang các bài toán chứng minh khó hơn.

Phân Tích Chi Tiết Bài Toán Luyện Tập 1 Trang 102

Bài toán Luyện tập 1 yêu cầu chứng minh một tính chất góc. Tính chất này xuất phát từ sự bằng nhau của các đường chéo. Mặc dù lời giải trong sách giáo khoa thường rất ngắn gọn, học sinh giỏi cần một phân tích sâu hơn.

Đề Bài Và Yêu Cầu Chứng Minh

Đề bài: Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB // CD$. Chứng minh $widehat{ADB} = widehat{BCA}$.

Yêu cầu chứng minh là về sự bằng nhau của hai góc. Góc $widehat{ADB}$ là góc tạo bởi cạnh bên $AD$ và đường chéo $DB$. Góc $widehat{BCA}$ là góc tạo bởi cạnh bên $BC$ và đường chéo $AC$. Cả hai góc này đều nằm trên đáy lớn $CD$.

Sơ Đồ Phân Tích Lời Giải

Để chứng minh hai góc bằng nhau, phương pháp phổ biến nhất là chứng minh chúng là hai góc tương ứng. Chúng phải thuộc hai tam giác bằng nhau. Trong trường hợp này, ta cần xem xét $widehat{ADB}$ và $widehat{BCA}$.

• Góc $widehat{ADB}$ thuộc $triangle ADB$.
• Góc $widehat{BCA}$ thuộc $triangle BCA$.

Sơ đồ tư duy chứng minh:

1. Mục tiêu: Chứng minh $widehat{ADB} = widehat{BCA}$.
2. Phương pháp: Chứng minh $triangle ADB = triangle BCA$.
3. Căn cứ (Cần 3 điều kiện bằng nhau):
   • Cạnh chung: $AB$ là cạnh chung.
   • Tính chất hình thang cân: $AD = BC$ (Hai cạnh bên bằng nhau).
   • Tính chất hình thang cân: $AC = BD$ (Hai đường chéo bằng nhau).
4. Kết luận: $triangle ADB = triangle BCA$ (c.c.c). Từ đó suy ra hai góc tương ứng bằng nhau.

Phương pháp này là phương pháp trực tiếp và đơn giản nhất. Nó dựa hoàn toàn vào các tính chất đã được học.

Lời Giải Chi Tiết Bài Tập giải toán 8 tập 1 trang 102

Việc trình bày lời giải phải rõ ràng và có cấu trúc. Mỗi bước cần được lý giải bằng các định lý hoặc tính chất đã biết. Đây là cách để thể hiện tính chuyên môn và độ tin cậy.

Bước 1: Xác Định Các Yếu Tố Bằng Nhau Trong Hình Thang Cân

Ta có hình thang $ABCD$ là hình thang cân với $AB // CD$. Theo định nghĩa, hình thang cân có hai góc kề một đáy bằng nhau. Quan trọng hơn, nó có các tính chất về cạnh và đường chéo.

Do $ABCD$ là hình thang cân, ta có ngay hai điều kiện sau. Chúng là các tính chất cơ bản được chứng minh trước đó trong bài học.

• $AD = BC$: Hai cạnh bên của hình thang cân luôn bằng nhau.
• $AC = BD$: Hai đường chéo của hình thang cân luôn bằng nhau.

Việc xác định hai cặp đoạn thẳng bằng nhau này là bước đệm. Nó giúp ta chuẩn bị cho việc chứng minh tam giác bằng nhau.

Bước 2: Chứng Minh Hai Tam Giác Bằng Nhau Theo Trường Hợp C.C.C

Để chứng minh $widehat{ADB} = widehat{BCA}$, ta sẽ xét $triangle ADB$ và $triangle BCA$. Ta cần chứng minh sự bằng nhau của ba cặp cạnh tương ứng (trường hợp c.c.c).

Xét $triangle ADB$ và $triangle BCA$, ta có:

• $AD = BC$ (Chứng minh ở Bước 1, hai cạnh bên của hình thang cân).
• $BD = AC$ (Chứng minh ở Bước 1, hai đường chéo của hình thang cân).
• $AB$ là cạnh chung của cả hai tam giác.

Từ ba điều kiện bằng nhau của ba cặp cạnh tương ứng này, ta kết luận được.

$triangle ADB = triangle BCA$ (theo trường hợp Cạnh – Cạnh – Cạnh).

Sự bằng nhau theo c.c.c là trường hợp chứng minh mạnh mẽ và cơ bản. Nó không cần xét đến yếu tố góc.

giải toán 8 tập 1 trang 102: Luyện tập 1 Hình thang cân chứng minh góc

Bước 3: Kết Luận Về Tính Bằng Nhau Của Hai Góc $widehat{ADB}$ Và $widehat{BCA}$

Do đã chứng minh được $triangle ADB = triangle BCA$, ta suy ra các yếu tố tương ứng. Các cặp góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau phải bằng nhau.

Góc $widehat{ADB}$ trong $triangle ADB$ là góc đối diện với cạnh $AB$. Góc $widehat{BCA}$ trong $triangle BCA$ là góc đối diện với cạnh $AB$. Cả hai góc này đều đối diện với cạnh chung $AB$.

Từ đó, ta có kết luận cuối cùng: $widehat{ADB} = widehat{BCA}$ (hai góc tương ứng).

Đây là tính chất quan trọng liên quan đến đường chéo. Nó cho thấy hai góc tạo bởi cạnh bên và đường chéo với đáy lớn là bằng nhau.

Phương Pháp Mở Rộng: Chứng Minh Tính Chất Của Đường Chéo Hình Thang Cân

Bài toán gốc trang 102 chỉ là một phần nhỏ. Học sinh cần biết cách mở rộng và chứng minh các tính chất khác. Điều này giúp củng cố kiến thức một cách toàn diện hơn.

Chứng Minh Đường Chéo Bằng Nhau Bằng Cách Khác

Một cách khác để chứng minh $AC = BD$ là sử dụng trường hợp c.g.c. Phương pháp này thường được dùng để củng cố lại lý thuyết.

Xét $triangle ADC$ và $triangle BCD$:

• $AD = BC$ (Hai cạnh bên hình thang cân).
• $widehat{ADC} = widehat{BCD}$ (Hai góc kề đáy lớn $CD$ bằng nhau).
• $CD$ là cạnh chung.

Vậy $triangle ADC = triangle BCD$ (c.g.c). Từ đó suy ra $AC = BD$ (Hai cạnh tương ứng).

Đây là một cách chứng minh khác cho tính chất hai đường chéo bằng nhau. Nó cũng là một ví dụ về sự đa dạng trong phương pháp giải toán hình học.

Áp Dụng Tính Chất Góc Mới Chứng Minh Được

Tính chất $widehat{ADB} = widehat{BCA}$ có ứng dụng thực tiễn. Nó có thể được sử dụng để chứng minh $triangle AOB$ cân tại $O$. Trong đó, $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

Ta đã có $widehat{ADB} = widehat{BCA}$.

Xét $triangle AOB$:

• $widehat{OAB}$ và $widehat{BAC}$ là một.
• $widehat{OBA}$ và $widehat{ABD}$ là một.

Ta sẽ chứng minh $widehat{CAB} = widehat{DBA}$.

Xét $triangle DAB$ và $triangle CBA$. Ta đã chứng minh được $triangle ADB = triangle BCA$.

Suy ra $widehat{CAB} = widehat{DBA}$ (hai góc tương ứng).

Do đó, $triangle AOB$ có hai góc đáy $widehat{OAB}$ và $widehat{OBA}$ bằng nhau. Điều này chứng tỏ $triangle AOB$ cân tại $O$. Từ đó suy ra $OA = OB$.

Tính chất này cho thấy giao điểm của hai đường chéo hình thang cân chia mỗi đường chéo thành hai đoạn. Trong đó, đoạn nối đỉnh đáy nhỏ bằng đoạn nối đỉnh đáy lớn.

Các Dạng Bài Tập Nâng Cao Tương Tự (Hướng Đến Học Sinh Giỏi)

Để phục vụ mục tiêu ôn luyện học sinh giỏi của dehocsinhgioi.com, cần cung cấp các bài tập nâng cao. Những bài tập này phải sử dụng và phát triển từ kiến thức cơ bản của bài tập giải toán 8 tập 1 trang 102.

Bài Tập 1: Chứng Minh Tam Giác ADE Cân Trong Hình Thang Cân

Bài toán: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB // CD$). Kéo dài $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$. Chứng minh $triangle ECD$ và $triangle EAB$ là các tam giác cân.

Phân tích & Hướng dẫn giải:

• Chứng minh $triangle ECD$ cân:
  • Do $ABCD$ là hình thang cân nên $widehat{ADC} = widehat{BCD}$.
  • Mà $widehat{E DC} = 180^circ – widehat{ADC}$ và $widehat{ECD} = 180^circ – widehat{BCD}$.
  • Hai góc này kề bù với hai góc đáy bằng nhau. Do đó, $widehat{EDC} = widehat{ECD}$.
  • Tam giác $ECD$ có hai góc đáy bằng nhau nên nó là tam giác cân tại $E$.
• Chứng minh $triangle EAB$ cân:
  • Do $AB // CD$ nên $widehat{EAB} = widehat{EDC}$ (đồng vị) và $widehat{EBA} = widehat{ECD}$ (đồng vị).
  • Mà $widehat{EDC} = widehat{ECD}$ (chứng minh trên).
  • Suy ra $widehat{EAB} = widehat{EBA}$.
  • Tam giác $EAB$ có hai góc đáy bằng nhau nên nó là tam giác cân tại $E$.

Từ bài toán này, học sinh rút ra kết luận quan trọng. Nếu kéo dài hai cạnh bên của hình thang cân, chúng sẽ cắt nhau. Điểm cắt đó tạo thành hai tam giác cân.

Bài Tập 2: Mối Quan Hệ Giữa Đường Chéo Và Góc Của Đáy

Bài toán: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB // CD$). Biết đường chéo $AC$ vuông góc với cạnh bên $BC$. Tính độ dài cạnh $BC$ nếu $CD = 10 text{ cm}$ và $AB = 6 text{ cm}$.

Phân tích & Hướng dẫn giải:

• Sử dụng tính chất: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau ($AC = BD$).
• Vẽ thêm: Kẻ $BH perp CD$ và $AK perp CD$. Khi đó $ABHK$ là hình chữ nhật.
  • $HK = AB = 6 text{ cm}$.
  • $DH = KC = (CD – AB) / 2 = (10 – 6) / 2 = 2 text{ cm}$.
• Áp dụng: Xét $triangle BCD$ có $BC perp AC$. Đây là một sai lầm phổ biến. Đề bài nói $AC perp BC$. Tức là $triangle ABC$ không thể vuông tại $C$. Phải là $triangle ACB$ vuông tại $C$ hoặc $triangle BCD$ vuông tại $C$.
• Giả định đúng: $AC perp BC$ (đường chéo $AC$ vuông góc với cạnh bên $BC$). Điều này tạo ra $triangle ABC$ vuông tại $C$ (Không thể vì $C$ là đỉnh của đáy).
• Chỉnh sửa: Giả sử $AC perp BC$ là sai đề. Thường thì đề bài sẽ cho $AC$ vuông góc với cạnh bên $AD$ hoặc $BC$. Nếu $AC perp BC$, điều này không thể xảy ra trong một hình thang cân thông thường.
• Giả định phổ biến: Đường chéo vuông góc với cạnh bên (ví dụ $AC perp BC$) tạo ra tam giác vuông $triangle ACB$. $widehat{ACB} = 90^circ$.
• Sử dụng Hình chiếu: Kẻ $BH perp CD$. $BC^2 = CH cdot CD$.
• $CH = 2 text{ cm}$. $CD = 10 text{ cm}$.
• $BC^2 = 2 cdot 10 = 20$.
• $BC = sqrt{20} = 2sqrt{5} text{ cm}$.

Bài toán này yêu cầu học sinh kết hợp kiến thức về hình thang cân với định lý về tam giác vuông. Cụ thể là hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bài Tập 3: Tìm Điều Kiện Để Hình Thang Cân Là Hình Thang Vuông

Bài toán: Chứng minh rằng nếu một hình thang cân có một đường chéo vuông góc với cạnh bên. Lúc đó nó không thể là hình thang vuông.

Phân tích & Hướng dẫn giải:

• Hình thang vuông: Là hình thang có ít nhất một góc vuông. Nếu $ABCD$ là hình thang vuông ($AB // CD$), thì $widehat{A} = widehat{D} = 90^circ$ hoặc $widehat{B} = widehat{C} = 90^circ$.
• Hình thang cân: Nếu là hình thang cân, thì nó phải là hình chữ nhật. Trong hình chữ nhật, $AB perp AD$ và $AC$ là đường chéo. $AC$ không vuông góc với $AD$.
• Phản chứng: Giả sử hình thang cân $ABCD$ có $AC perp BC$.
  • Nếu nó là hình thang vuông, thì nó phải là hình chữ nhật.
  • Trong hình chữ nhật $ABCD$, $AC = BD$.
  • Nếu $AC perp BC$, điều này không xảy ra trong hình chữ nhật.
  • Do đó, một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên phải là hình thang thường. Nó không thể là hình thang vuông trừ khi nó trở thành hình chữ nhật đặc biệt (hình vuông).

Nếu $AC perp BC$, $triangle ABC$ phải vuông tại $C$. Điều này chỉ xảy ra khi $widehat{C} = 90^circ$. Nếu $widehat{C} = 90^circ$, vì $ABCD$ là hình thang cân, nên $widehat{D} = 90^circ$. Khi đó $ABCD$ là hình chữ nhật. Trong hình chữ nhật, $AC$ và $BC$ không vuông góc với nhau. Mâu thuẫn.

Vậy một hình thang cân $ABCD$ với $AC perp BC$ không thể là hình thang vuông.

Bài tập nâng cao giúp học sinh hiểu sâu sắc. Họ cần nắm rõ sự khác biệt giữa các loại tứ giác. Đồng thời, họ cũng cần sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng hiệu quả.

Kết Nối Kiến Thức và Định Hướng Tự Học

Việc hoàn thành bài tập giải toán 8 tập 1 trang 102 Luyện tập 1 là một bước quan trọng. Nó đánh dấu việc nắm vững các tính chất cơ bản của hình thang cân. Học sinh cần tiếp tục rèn luyện kỹ năng chứng minh bằng cách áp dụng trường hợp bằng nhau c.c.c một cách thành thạo. Đồng thời, việc mở rộng sang các bài toán liên quan đến đường cao và hệ thức lượng. Điều này giúp học sinh chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới. Sự hiểu biết sâu sắc về giải toán 8 tập 1 trang 102 sẽ là nền tảng vững chắc để khám phá các chuyên đề hình học phức tạp hơn.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 28, 2025 by Thầy Đông