Đề thi học sinh giỏi các môn - chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí

Giải Toán 8 trang 43 Tập 1 Cánh Diều: Phép Cộng, Phép Trừ Phân Thức Đại Số

by · January 15, 2026

Rate this post

Chào mừng bạn đến với bài viết giải toán 8 trang 43 thuộc bộ sách Cánh Diều, Tập 1. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào các bài tập về phép cộng, phép trừ phân thức đại số, giúp các em học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục các dạng bài tập tương tự.

Đề Bài

Bài 4 trang 43 Toán 8 Tập 1:

a) Rút gọn biểu thức: A = \frac{2x^2+1}{x^3+1} + \frac{1}{x^2-x+1} - \frac{1}{x+1}

b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = -3.

Bài 5 trang 43 Toán 8 Tập 1: Một xí nghiệp dự định sản xuất 10 000 sản phẩm trong $x$ ngày. Khi thực hiện, xí nghiệp đã làm xong sớm hơn 1 ngày so với dự định và còn làm thêm được 80 sản phẩm. Viết phân thức biểu thị theo $x$:

a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;

b) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;

c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.

Bài 6 trang 43 Toán 8 Tập 1: Người ta mở hai vòi nước cùng chảy vào bể không chứa nước. Thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể ít hơn thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 2 giờ. Gọi $x$ (giờ) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình để đầy bể. Viết phân thức biểu thị theo $x$:

a) Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể;

b) Phần bể mà mỗi vòi chảy được trong 1 giờ;

c) Phần bể mà cả hai vòi chảy được trong 1 giờ.

Bài 7 trang 43 Toán 8 Tập 1: Để hưởng ứng phong trào Tết trồng cây, chi đoàn thanh niên dự định trồng 120 cây xanh. Khi bắt đầu thực hiện, chi đoàn được tăng cường thêm 3 đoàn viên. Gọi $x$ là số đoàn viên ban đầu của chi đoàn và giả sử số cây mỗi đoàn viên trồng là như nhau. Viết phân thức biểu thị theo $x$:

a) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định;

b) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế;

c) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế.

Bài 8 trang 43 Toán 8 Tập 1: Gia đình cô Lương nuôi ba con lợn. Cả ba con lợn đều ăn cùng một loại thức ăn gia súc. Biểu đồ cột ở Hình 2 biểu diễn số ngày mà mỗi con lợn ăn hết một bao thức ăn. Hỏi cả ba con lợn ăn trong $x$ ngày (x in mathbb{N}^) thì cần bao nhiêu thức ăn?

Biểu đồ số ngày ăn hết một bao thức ăn của ba con lợnBiểu đồ số ngày ăn hết một bao thức ăn của ba con lợn

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập từ trang 43, Toán 8, Tập 1, sách Cánh Diều chủ yếu xoay quanh việc áp dụng các quy tắc cộng, trừ phân thức đại số vào các bài toán thực tế hoặc yêu cầu rút gọn biểu thức. Chúng ta cần xác định rõ các dữ kiện đã cho, yêu cầu của đề bài và lựa chọn phương pháp biến đổi phân thức phù hợp để tìm ra kết quả. Đặc biệt, các bài toán thực tế đòi hỏi khả năng chuyển đổi tình huống sang ngôn ngữ đại số, thiết lập các biểu thức phân thức và giải chúng.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

  1. Quy đồng mẫu thức các phân thức:

    • Tìm mẫu thức chung (MTC) của các phân thức.
    • Nhân tử phụ cho từng phân thức.
    • Thực hiện phép nhân tử và mẫu.

  2. Cộng, trừ các phân thức có cùng mẫu thức:

    • Quy tắc: \frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A+B}{M} và \frac{A}{M} - \frac{B}{M} = \frac{A-B}{M} (với M \ne 0).

  3. Cộng, trừ các phân thức có mẫu thức khác nhau:

    • Quy đồng mẫu thức các phân thức rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân thức có cùng mẫu thức.

  4. Phân tích đa thức thành nhân tử:

    • Các phương pháp như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử, tách/thêm bớt hạng tử, hoặc kết hợp các phương pháp. Việc này rất quan trọng để tìm MTC.

  5. Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

    • (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
    • (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
    • a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)
    • a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

  6. Rút gọn phân thức:

    • Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, sau đó rút gọn các nhân tử chung.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 4 trang 43 Toán 8 Tập 1:

a) Rút gọn biểu thức A = \frac{2x^2+1}{x^3+1} + \frac{1}{x^2-x+1} - \frac{1}{x+1}

  • Phân tích mẫu thức:
    • x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)
    • x^2-x+1
    • x+1
  • Tìm mẫu thức chung (MTC): MTC là (x+1)(x^2-x+1).
  • Quy đồng mẫu thức:
    • \frac{2x^2+1}{x^3+1} = \frac{2x^2+1}{(x+1)(x^2-x+1)} (giữ nguyên)
    • \frac{1}{x^2-x+1} = \frac{1 \cdot (x+1)}{(x^2-x+1)(x+1)} = \frac{x+1}{(x+1)(x^2-x+1)}
    • \frac{1}{x+1} = \frac{1 \cdot (x^2-x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x^2-x+1}{(x+1)(x^2-x+1)}
  • Thực hiện phép cộng, trừ:
    A = \frac{2x^2+1}{(x+1)(x^2-x+1)} + \frac{x+1}{(x+1)(x^2-x+1)} - \frac{x^2-x+1}{(x+1)(x^2-x+1)}
    A = \frac{(2x^2+1) + (x+1) - (x^2-x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}
    A = \frac{2x^2+1+x+1-x^2+x-1}{(x+1)(x^2-x+1)}
    A = \frac{x^2+2x+1}{(x+1)(x^2-x+1)}
  • Rút gọn:
    Ta thấy tử thức x^2+2x+1 = (x+1)^2.
    A = \frac{(x+1)^2}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x+1}{x^2-x+1}

b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = -3.

  • Điều kiện xác định: Mẫu thức x^3+1 \ne 0, x^2-x+1 \ne 0, x+1 \ne 0.
    • x+1 \ne 0 implies x \ne -1.
    • x^2-x+1: có biệt thức \Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1-4 = -3 < 0[/katex]. Vì hệ số [katex]a=1>0 nên x^2-x+1 > 0 với mọi $x$.
    • x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \ne 0 implies x \ne -1.
      Vậy điều kiện xác định là x \ne -1.
  • Kiểm tra giá trị x = -3: x = -3 thỏa mãn điều kiện xác định.
  • Thay giá trị vào biểu thức rút gọn:
    A = \frac{-3+1}{(-3)^2 - (-3) + 1} = \frac{-2}{9+3+1} = \frac{-2}{13}

Mẹo kiểm tra: Thay x=-3 vào biểu thức gốc và biểu thức rút gọn để xem kết quả có giống nhau không.
Lỗi hay gặp: Quên điều kiện xác định, sai sót trong quá trình quy đồng hoặc rút gọn.

Bài 5 trang 43 Toán 8 Tập 1:

a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định:
Theo dự định, xí nghiệp sản xuất 10 000 sản phẩm trong $x$ ngày.
Số sản phẩm làm trong 1 ngày theo dự định là: \frac{10000}{x} (sản phẩm).

b) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế:
Số sản phẩm hoàn thành trên thực tế: 10000 + 80 = 10080 (sản phẩm).
Số ngày thực tế hoàn thành: x - 1 (ngày).
Số sản phẩm làm trong 1 ngày trên thực tế là: \frac{10080}{x-1} (sản phẩm).

c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định:
Ta lấy số sản phẩm làm trong 1 ngày thực tế trừ đi số sản phẩm làm trong 1 ngày dự định.
Hiệu số là: \frac{10080}{x-1} - \frac{10000}{x}

  • Tìm MTC: x(x-1).
  • Quy đồng:
    \frac{10080 \cdot x}{(x-1)x} - \frac{10000 \cdot (x-1)}{x(x-1)}
    = \frac{10080x - 10000(x-1)}{x(x-1)}
    = \frac{10080x - 10000x + 10000}{x(x-1)}
    = \frac{80x + 10000}{x(x-1)} (sản phẩm).

Mẹo kiểm tra: Đặt một giá trị $x$ hợp lý (ví dụ x=5 ngày) và tính toán thủ công để kiểm tra.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa số ngày thực tế và dự định, sai sót trong phép trừ phân thức.

Bài 6 trang 43 Toán 8 Tập 1:

a) Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể:
Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là $x$ giờ.
Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể nhiều hơn vòi thứ nhất là 2 giờ.
Vậy thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: x+2 (giờ).

b) Phần bể mà mỗi vòi chảy được trong 1 giờ:
Vòi thứ nhất chảy đầy bể trong $x$ giờ, nên trong 1 giờ chảy được: \frac{1}{x} (bể).
Vòi thứ hai chảy đầy bể trong x+2 giờ, nên trong 1 giờ chảy được: \frac{1}{x+2} (bể).

c) Phần bể mà cả hai vòi chảy được trong 1 giờ:
Ta cộng phần bể mà mỗi vòi chảy được trong 1 giờ.
Tổng cộng là: \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2}

  • Tìm MTC: x(x+2).
  • Quy đồng:
    \frac{1 \cdot (x+2)}{x(x+2)} + \frac{1 \cdot x}{(x+2)x}
    = \frac{x+2+x}{x(x+2)}
    = \frac{2x+2}{x(x+2)} (bể).

Mẹo kiểm tra: Nếu vòi 1 mất 3 giờ, vòi 2 mất 5 giờ, thì trong 1 giờ vòi 1 chảy \frac{1}{3}, vòi 2 chảy \frac{1}{5}. Cả hai chảy \frac{1}{3}+\frac{1}{5} = \frac{8}{15}.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn mối quan hệ giữa thời gian và năng suất, sai sót trong quy đồng.

Bài 7 trang 43 Toán 8 Tập 1:

a) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định:
Dự định trồng 120 cây với $x$ đoàn viên ban đầu.
Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định là: \frac{120}{x} (cây).

b) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế:
Số đoàn viên thực tế: x+3 (đoàn viên).
Số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế là: \frac{120}{x+3} (cây).

c) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế:
Ta lấy số cây dự định trồng mỗi người trừ đi số cây thực tế trồng mỗi người.
Hiệu số là: \frac{120}{x} - \frac{120}{x+3}

  • Tìm MTC: x(x+3).
  • Quy đồng:
    \frac{120(x+3)}{x(x+3)} - \frac{120x}{(x+3)x}
    = \frac{120(x+3) - 120x}{x(x+3)}
    = \frac{120x + 360 - 120x}{x(x+3)}
    = \frac{360}{x(x+3)} (cây).

Mẹo kiểm tra: Giả sử ban đầu có 12 đoàn viên (x=12). Dự định mỗi người trồng 120/12=10 cây. Thực tế có 12+3=15 đoàn viên, mỗi người trồng 120/15=8 cây. Số cây dự định nhiều hơn thực tế là 10-8=2. Thay x=12 vào công thức \frac{360}{x(x+3)} = \frac{360}{12(15)} = \frac{360}{180} = 2. Kết quả khớp.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa số đoàn viên ban đầu và thực tế, sai sót trong phép trừ phân thức.

Bài 8 trang 43 Toán 8 Tập 1:

Dựa vào biểu đồ Hình 2:

  • Con lợn thứ nhất: Ăn hết 1 bao thức ăn trong 3 ngày.
    Vậy trong 1 ngày, con lợn thứ nhất ăn: \frac{1}{3} (bao).
    Trong $x$ ngày, con lợn thứ nhất ăn: x \cdot \frac{1}{3} = \frac{x}{3} (bao).

  • Con lợn thứ hai: Ăn hết 1 bao thức ăn trong 6 ngày.
    Vậy trong 1 ngày, con lợn thứ hai ăn: \frac{1}{6} (bao).
    Trong $x$ ngày, con lợn thứ hai ăn: x \cdot \frac{1}{6} = \frac{x}{6} (bao).

  • Con lợn thứ ba: Ăn hết 1 bao thức ăn trong 4 ngày.
    Vậy trong 1 ngày, con lợn thứ ba ăn: \frac{1}{4} (bao).
    Trong $x$ ngày, con lợn thứ ba ăn: x \cdot \frac{1}{4} = \frac{x}{4} (bao).

Tổng lượng thức ăn cả ba con lợn cần trong $x$ ngày là:
\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + \frac{x}{4}

  • Tìm MTC: Bội chung nhỏ nhất của 3, 6, 4 là 12.
  • Quy đồng:
    \frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{x \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3}
    = \frac{4x}{12} + \frac{2x}{12} + \frac{3x}{12}
    = \frac{4x+2x+3x}{12}
    = \frac{9x}{12}
  • Rút gọn:
    = \frac{3x}{4} (bao thức ăn).

Mẹo kiểm tra: Nếu x=12 ngày. Lợn 1 ăn 12/3=4 bao. Lợn 2 ăn 12/6=2 bao. Lợn 3 ăn 12/4=3 bao. Tổng cộng 4+2+3=9 bao. Công thức \frac{3x}{4} = \frac{3 \cdot 12}{4} = \frac{36}{4} = 9 bao. Kết quả khớp.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa số ngày ăn hết 1 bao và số bao ăn trong 1 ngày, sai sót trong quy đồng và rút gọn phân thức.

Đáp Án/Kết Quả

  • Bài 4: a) A = \frac{x+1}{x^2-x+1}; b) A = \frac{-2}{13} tại x=-3.
  • Bài 5: a) \frac{10000}{x}; b) \frac{10080}{x-1}; c) \frac{80x+10000}{x(x-1)}.
  • Bài 6: a) x+2; b) \frac{1}{x} và \frac{1}{x+2}; c) \frac{2x+2}{x(x+2)}.
  • Bài 7: a) \frac{120}{x}; b) \frac{120}{x+3}; c) \frac{360}{x(x+3)}.
  • Bài 8: Cả ba con lợn ăn trong $x$ ngày cần \frac{3x}{4} bao thức ăn.

Conclusion

Thông qua việc giải chi tiết các bài tập giải toán 8 trang 43 sách Cánh Diều, chúng ta đã củng cố lại kiến thức về phép cộng, trừ phân thức đại số và cách áp dụng chúng vào các bài toán thực tế. Việc nắm vững phương pháp quy đồng mẫu thức, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn phân thức là chìa khóa để giải quyết thành công các dạng bài này. Chúc các em học tốt!

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 15, 2026 by Thầy Đông

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Kênh Xoilac TV HD ngon