Giải Bài Tập Toán Lớp 8: Thực Hiện Phép Tính

Chào mừng các em đến với hướng dẫn chi tiết về giải bài tập toán lớp 8, chuyên đề thực hiện phép tính đại số. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và làm rõ từng bước giải cho các bài tập phân thức phức tạp, giúp các em nắm vững phương pháp và tự tin chinh phục các dạng bài tương tự. Bài viết tập trung vào kỹ năng rút gọn phân thức, quy đồng mẫu số và áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Đề Bài

Thực hiện phép tính:

a) (dfrac{x}{{xy + {y^2}}} – dfrac{y}{{{x^2} + xy}})

b) (dfrac{{{x^2} + 4}}{{{x^2} – 4}} – dfrac{x}{{x + 2}} – dfrac{x}{{2 – x}})

c) (dfrac{{{a^2} + ab}}{{b – a}}:dfrac{{a + b}}{{2{{rm{a}}^2} – 2{b^2}}})

d) (left( {dfrac{{2{rm{x}} + 1}}{{2{rm{x}} – 1}} – dfrac{{2{rm{x}} – 1}}{{2{rm{x}} + 1}}} right):dfrac{{4{rm{x}}}}{{10{rm{x}} – 5}})

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập này yêu cầu thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên các biểu thức phân thức đại số. Để giải quyết chúng, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các kiến thức về:

• Phân tích đa thức thành nhân tử.
• Quy đồng mẫu số của các phân thức.
• Áp dụng các hằng đẳng thức (ví dụ: hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng/hiệu).
• Quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức.

Đối với mỗi câu, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách cẩn thận để đảm bảo tính chính xác.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để thực hiện các phép tính phân thức đại số, các em cần nắm vững các quy tắc và công thức sau:

1. Phân tích đa thức thành nhân tử:

   • Đặt nhân tử chung: (ax + ay = a(x+y))
   • Hằng đẳng thức:
     • Hiệu hai bình phương: (a^2 – b^2 = (a-b)(a+b))
     • Bình phương của một tổng: ((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)
     • Bình phương của một hiệu: ((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2)
     • Lập phương của một tổng/hiệu, tổng ba lần lập phương… (ít dùng hơn trong các bài này)

2. Quy tắc cộng, trừ phân thức:

   • Cùng mẫu: (dfrac{A}{M} pm dfrac{B}{M} = dfrac{A pm B}{M}) (với (M ne 0))
   • Khác mẫu: Muốn cộng, trừ hai phân thức, ta quy đồng mẫu số rồi thực hiện phép cộng, trừ các tử số và giữ nguyên mẫu số chung.
     • Mẫu chung nhỏ nhất (MCNN) của các mẫu số.
     • Quy đồng mẫu số: (dfrac{A}{B} = dfrac{A cdot C}{B cdot C}) (với (C ne 0))

3. Quy tắc nhân, chia phân thức:

   • Nhân: (dfrac{A}{B} cdot dfrac{C}{D} = dfrac{A cdot C}{B cdot D}) (với (B, D ne 0))
   • Chia: (dfrac{A}{B} : dfrac{C}{D} = dfrac{A}{B} cdot dfrac{D}{C} = dfrac{A cdot D}{B cdot C}) (với (B, C, D ne 0))

4. Lưu ý: Luôn kiểm tra điều kiện xác định của biểu thức (mẫu số khác 0).

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng câu:

Câu a) (dfrac{x}{{xy + {y^2}}} – dfrac{y}{{{x^2} + xy}})

Bước 1: Phân tích mẫu số

• Mẫu thứ nhất: (xy + y^2 = y(x+y))
• Mẫu thứ hai: (x^2 + xy = x(x+y))

Bước 2: Tìm mẫu số chung (MCNN)
Mẫu số chung nhỏ nhất của (y(x+y)) và (x(x+y)) là (xy(x+y)).

Bước 3: Quy đồng mẫu số

• Phân thức thứ nhất: (dfrac{x}{{y(x + y)}} = dfrac{x cdot x}{{y(x + y) cdot x}} = dfrac{{{x^2}}}{{xy(x + y)}})
• Phân thức thứ hai: (dfrac{y}{{x(x + y)}} = dfrac{y cdot y}{{x(x + y) cdot y}} = dfrac{{{y^2}}}{{xy(x + y)}})

Bước 4: Thực hiện phép trừ
(dfrac{{{x^2}}}{{xy(x + y)}} – dfrac{{{y^2}}}{{xy(x + y)}} = dfrac{{{x^2} – {y^2}}}{{xy(x + y)}})

Bước 5: Rút gọn phân thức (nếu có thể)
Ta thấy tử số (x^2 – y^2) là hiệu hai bình phương, có thể phân tích thành ((x-y)(x+y)).
(dfrac{{left( {x – y} right)left( {x + y} right)}}{{xyleft( {x + y} right)}})
Rút gọn ((x+y)) ở cả tử và mẫu (với điều kiện (x+y ne 0)), ta được:
(dfrac{{x – y}}{{xy}})

Điều kiện xác định: (x ne 0, y ne 0, x ne -y).

Mẹo kiểm tra: Thay các giá trị cụ thể cho (x) và (y) (ví dụ: (x=1, y=2)) vào biểu thức ban đầu và kết quả cuối cùng để so sánh.

• Ban đầu: (dfrac{1}{{1 cdot 2 + {2^2}}} – dfrac{2}{{{1^2} + 1 cdot 2}} = dfrac{1}{6} – dfrac{2}{3} = dfrac{1 – 4}{6} = dfrac{-3}{6} = -dfrac{1}{2})
• Kết quả: (dfrac{{1 – 2}}{{1 cdot 2}} = dfrac{-1}{2}). Hai kết quả khớp nhau.

Lỗi hay gặp: Quên phân tích mẫu số, nhầm lẫn dấu khi quy đồng hoặc rút gọn, quên điều kiện xác định.

Câu b) (dfrac{{{x^2} + 4}}{{{x^2} – 4}} – dfrac{x}{{x + 2}} – dfrac{x}{{2 – x}})

Bước 1: Phân tích mẫu số

• Mẫu thứ nhất: (x^2 – 4 = (x-2)(x+2))
• Mẫu thứ hai: (x+2)
• Mẫu thứ ba: (2-x = -(x-2))

Bước 2: Điều chỉnh mẫu và quy đồng
Ta đưa mẫu thứ ba về dạng (-(x-2)) để có mẫu chung là ((x-2)(x+2)).
(dfrac{x}{{2 – x}} = dfrac{x}{-(x – 2)} = -dfrac{x}{{x – 2}})
Biểu thức trở thành: (dfrac{{{x^2} + 4}}{{left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}} – dfrac{x}{{x + 2}} – left(-dfrac{x}{{x – 2}}right))
(= dfrac{{{x^2} + 4}}{{left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}} – dfrac{x}{{x + 2}} + dfrac{x}{{x – 2}})

Bước 3: Tìm mẫu số chung (MCNN)
Mẫu số chung là ((x-2)(x+2)).

Bước 4: Quy đồng mẫu số

• Phân thức thứ nhất: Giữ nguyên vì đã có mẫu chung.
• Phân thức thứ hai: (dfrac{x}{{x + 2}} = dfrac{x(x – 2)}{{(x + 2)(x – 2)}} = dfrac{x^2 – 2x}{{(x – 2)(x + 2)}})
• Phân thức thứ ba: (dfrac{x}{{x – 2}} = dfrac{x(x + 2)}{{(x – 2)(x + 2)}} = dfrac{x^2 + 2x}{{(x – 2)(x + 2)}})

Bước 5: Thực hiện phép trừ và cộng
(dfrac{{{x^2} + 4}}{{left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}} – dfrac{{{x^2} – 2x}}{{left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}} + dfrac{{{x^2} + 2x}}{{left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}})
(= dfrac{{({x^2} + 4}) – ({x^2 – 2x}) + ({x^2 + 2x})}}{{left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}})
(= dfrac{{{x^2} + 4 – {x^2} + 2x + {x^2} + 2x}}{{left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}})
(= dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}})

Bước 6: Rút gọn phân thức
Tử số (x^2 + 4x + 4) là bình phương của một tổng: ((x+2)^2).
(dfrac{{{{left( {x + 2} right)}^2}}}{{left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}})
Rút gọn ((x+2)) (với điều kiện (x+2 ne 0)):
(dfrac{{x + 2}}{{x – 2}})

Điều kiện xác định: (x ne 2, x ne -2).

Mẹo kiểm tra: Chọn (x=3).

• Ban đầu: (dfrac{{{3^2} + 4}}{{{3^2} – 4}} – dfrac{3}{{3 + 2}} – dfrac{3}{{2 – 3}} = dfrac{13}{5} – dfrac{3}{5} – dfrac{3}{-1} = dfrac{10}{5} – (-3) = 2 + 3 = 5)
• Kết quả: (dfrac{{3 + 2}}{{3 – 2}} = dfrac{5}{1} = 5). Khớp.

Lỗi hay gặp: Nhầm dấu khi đổi (2-x) thành (-(x-2)) hoặc khi bỏ ngoặc, sai sót khi phân tích thành nhân tử, hoặc khi rút gọn.

Câu c) (dfrac{{{a^2} + ab}}{{b – a}}:dfrac{{a + b}}{{2{{rm{a}}^2} – 2{b^2}}})

Bước 1: Phân tích các biểu thức trong phép chia

• Tử thức phân thức thứ nhất: (a^2 + ab = a(a+b))
• Mẫu thức phân thức thứ nhất: (b – a = -(a-b))
• Tử thức phân thức thứ hai: (a+b)
• Mẫu thức phân thức thứ hai: (2a^2 – 2b^2 = 2(a^2 – b^2) = 2(a-b)(a+b))

Bước 2: Viết lại phép chia thành phép nhân
(dfrac{{{a^2} + ab}}{{b – a}}:dfrac{{a + b}}{{2{{rm{a}}^2} – 2{b^2}}} = dfrac{{{a^2} + ab}}{{b – a}} cdot dfrac{{2{{rm{a}}^2} – 2{b^2}}}{{a + b}})

Bước 3: Thay thế bằng các nhân tử đã phân tích
(= dfrac{{aleft( {a + b} right)}}{{-(a – b)}} cdot dfrac{{2left( {a – b} right)left( {a + b} right)}}{{a + b}})

Bước 4: Thực hiện phép nhân và rút gọn
(= dfrac{{aleft( {a + b} right) cdot 2left( {a – b} right)left( {a + b} right)}}{{-(a – b) cdot (a + b)}})
Ta có thể rút gọn: ((a+b)) (một lần ở tử, một lần ở mẫu), ((a-b)) (một lần ở tử, một lần ở mẫu).
(= dfrac{{a cdot 2 cdot left( {a + b} right)}}{-1})
(= -2a(a+b))

Điều kiện xác định: (b-a ne 0), (a+b ne 0), (2a^2 – 2b^2 ne 0). Điều này tương đương với (a ne b, a ne -b).

Mẹo kiểm tra: Chọn (a=1, b=2).

• Ban đầu: (dfrac{{{1^2} + 1 cdot 2}}{{2 – 1}}:dfrac{{1 + 2}}{{2{{rm{1}}^2} – 2{{rm{2}}^2}}} = dfrac{3}{1}:dfrac{3}{{2 – 8}} = 3:dfrac{3}{-6} = 3:left(-dfrac{1}{2}right) = 3 cdot (-2) = -6)
• Kết quả: (-2 cdot 1 cdot (1 + 2) = -2 cdot 3 = -6). Khớp.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn dấu (b-a) với (a-b), sai sót khi phân tích (2a^2 – 2b^2), hoặc nhầm lẫn quy tắc chia phân thức.

Câu d) (left( {dfrac{{2{rm{x}} + 1}}{{2{rm{x}} – 1}} – dfrac{{2{rm{x}} – 1}}{{2{rm{x}} + 1}}} right):dfrac{{4{rm{x}}}}{{10{rm{x}} – 5}})

Bước 1: Xử lý phần trong ngoặc (phép trừ phân thức)

• Mẫu thức thứ nhất: (2x – 1)
• Mẫu thức thứ hai: (2x + 1)
• Mẫu số chung (MCNN): ((2x-1)(2x+1))

Quy đồng:
(dfrac{{{{left( {2{rm{x}} + 1} right)}^2}}}{{left( {2{rm{x}} – 1} right)left( {2{rm{x}} + 1} right)}} – dfrac{{{{left( {2{rm{x}} – 1} right)}^2}}}{{left( {2{rm{x}} + 1} right)left( {2{rm{x}} – 1} right)}})
(= dfrac{{{{left( {2{rm{x}} + 1} right)}^2} – {{left( {2{rm{x}} – 1} right)}^2}}}{{left( {2{rm{x}} – 1} right)left( {2{rm{x}} + 1} right)}})

Phân tích tử số bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương (A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)), với (A = 2x+1) và (B = 2x-1).

• (A – B = (2x+1) – (2x-1) = 2x+1-2x+1 = 2)
• (A + B = (2x+1) + (2x-1) = 2x+1+2x-1 = 4x)
  Tử số trở thành: ((2)(4x) = 8x).

Vậy, phần trong ngoặc bằng: (dfrac{{8x}}{{left( {2{rm{x}} – 1} right)left( {2{rm{x}} + 1} right)}})

Bước 2: Xử lý phân thức thứ hai của phép chia
Mẫu thức: (10x – 5 = 5(2x – 1)).
Phân thức thứ hai là: (dfrac{{4{rm{x}}}}{{5left( {2{rm{x}} – 1} right)}}).

Bước 3: Thực hiện phép chia
(left( {dfrac{{8x}}{{left( {2{rm{x}} – 1} right)left( {2{rm{x}} + 1} right)}}} right) : left( {dfrac{{4{rm{x}}}}{{5left( {2{rm{x}} – 1} right)}}} right))
(= dfrac{{8x}}{{left( {2{rm{x}} – 1} right)left( {2{rm{x}} + 1} right)}} cdot dfrac{{5left( {2{rm{x}} – 1} right)}}{{4{rm{x}}}})

Bước 4: Rút gọn
(= dfrac{{8x cdot 5 left( {2{rm{x}} – 1} right)}}{{left( {2{rm{x}} – 1} right)left( {2{rm{x}} + 1} right) cdot 4{rm{x}}}})
Rút gọn (4x) và ((2x-1)):
(= dfrac{{2 cdot 5}}{{left( {2{rm{x}} + 1} right)}})
(= dfrac{{10}}{{2{rm{x}} + 1}})

Điều kiện xác định: (2x-1 ne 0), (2x+1 ne 0), (4x ne 0), (10x-5 ne 0).
Điều này tương đương với (x ne dfrac{1}{2}), (x ne -dfrac{1}{2}), (x ne 0).

Mẹo kiểm tra: Chọn (x=1).

• Phần trong ngoặc: (left( {dfrac{{2(1) + 1}}{{2(1) – 1}} – dfrac{{2(1) – 1}}{{2(1) + 1}}} right) = left( {dfrac{3}{1} – dfrac{1}{3}} right) = 3 – dfrac{1}{3} = dfrac{9-1}{3} = dfrac{8}{3})
• Phân thức thứ hai: (dfrac{{4(1)}}{{10(1) – 5}} = dfrac{4}{5})
• Phép chia: (dfrac{8}{3} : dfrac{4}{5} = dfrac{8}{3} cdot dfrac{5}{4} = dfrac{2 cdot 5}{3} = dfrac{10}{3})
• Kết quả: (dfrac{{10}}{{2(1) + 1}} = dfrac{10}{3}). Khớp.

Lỗi hay gặp: Sai sót khi khai triển bình phương hoặc áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, nhầm lẫn các biểu thức khi rút gọn, quên quy tắc chia phân thức.

Đáp Án/Kết Quả

a) (dfrac{x – y}}{{xy}})
b) (dfrac{{x + 2}}{{x – 2}})
c) (-2a(a+b))
d) (dfrac{{10}}{{2{rm{x}} + 1}})

Conclusion

Việc giải bài tập toán lớp 8 nói chung và các bài tập thực hiện phép tính phân thức nói riêng đòi hỏi sự tỉ mỉ, chính xác trong từng bước biến đổi. Bằng cách nắm vững các quy tắc cơ bản, phân tích kỹ đề bài và áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức, các em sẽ có thể giải quyết thành công các dạng bài này. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng và sự tự tin khi làm bài kiểm tra.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.