Giải Toán 9 Bài 73 Trang 40 Tập 1: Ôn Luyện Kiến Thức Về Căn Bậc Hai

by Thầy Đông · January 9, 2026

Rate this post

Giải toán 9 bài 73 trang 40 là một nội dung quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về căn bậc hai và các phép toán liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu và cập nhật nhất, giúp các em tự tin chinh phục dạng bài này. Chúng ta sẽ cùng phân tích kỹ lưỡng đề bài, kiến thức cần thiết và từng bước giải quyết bài toán.

Đề Bài

Cho hàm số $y = \sqrt{x^2+1}$ .
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Chứng minh rằng với mọi $x in mathbb{R}$ , ta luôn có $y \ge 1$ .

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu chúng ta thực hiện hai nhiệm vụ chính liên quan đến hàm số $y = \sqrt{x^2+1}$ :

Phần a): Xác định miền giá trị của $x$ sao cho hàm số có nghĩa. Điều này liên quan đến điều kiện để biểu thức dưới dấu căn bậc hai không âm.
Phần b): Chứng minh một bất đẳng thức cho giá trị của hàm số, cho thấy rằng $y$ luôn lớn hơn hoặc bằng 1 với mọi giá trị thực của $x$.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau về căn bậc hai và hàm số:

Điều kiện xác định của căn bậc hai: Biểu thức dưới dấu căn bậc hai của một số thực phải không âm. Tức là, với biểu thức $\sqrt{A}$ , điều kiện để nó xác định là $A \ge 0$ .
Tập xác định của hàm số: Tập hợp tất cả các giá trị của biến số (trong trường hợp này là $x$) mà tại đó hàm số có nghĩa.
Tính chất của bình phương: Với mọi số thực $x$, ta có $x^2 \ge 0$ .
Bất đẳng thức: Hiểu và vận dụng các quy tắc so sánh, chứng minh bất đẳng thức. Cụ thể, nếu $A \ge B$ và $C \ge 0$ , thì $AC \ge BC$ . Nếu $A \ge B$ và $C > 0$, thì $A+C > B+C$ .

Áp dụng các kiến thức này vào bài toán:

Phần a): Biểu thức dưới dấu căn là $x^2+1$ . Chúng ta cần tìm điều kiện để $x^2+1 \ge 0$ .
Phần b): Chúng ta cần chứng minh $\sqrt{x^2+1} \ge 1$ . Một cách tiếp cận phổ biến là bình phương hai vế của bất đẳng thức (sau khi đảm bảo cả hai vế đều không âm) và chứng minh bất đẳng thức mới tương đương.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Phần a) Tìm tập xác định của hàm số

Hàm số đã cho là $y = \sqrt{x^2+1}$ .
Để hàm số này xác định, biểu thức dưới dấu căn phải không âm.
Ta cần có:
$x^2+1 \ge 0$

Xét biểu thức $x^2$ :
Với mọi số thực $x$, bình phương của nó luôn không âm, tức là:
$x^2 \ge 0$

Cộng thêm 1 vào cả hai vế của bất đẳng thức trên:
$x^2 + 1 \ge 0 + 1$
$x^2 + 1 \ge 1$

Vì $1 > 0$, nên bất đẳng thức $x^2+1 \ge 1$ luôn đúng với mọi số thực $x$.
Do đó, điều kiện $x^2+1 \ge 0$ được thỏa mãn với mọi giá trị của $x$.

Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực, ký hiệu là $mathbb{R}$ .

Mẹo kiểm tra:
- Thử với một vài giá trị của $x$, ví dụ $x=0$ , $x=2$ , $x=-3$ .
- Với $x=0$ , $y = \sqrt{0^2+1} = \sqrt{1} = 1$ . Hàm số xác định.
- Với $x=2$ , $y = \sqrt{2^2+1} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ . Hàm số xác định.
- Với $x=-3$ , $y = \sqrt{(-3)^2+1} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ . Hàm số xác định.
- Nhận thấy $x^2$ luôn không âm, nên $x^2+1$ luôn dương, do đó căn bậc hai của nó luôn xác định.
Lỗi hay gặp:
- Quên mất rằng $x^2$ luôn không âm với mọi số thực $x$ (kể cả $x$ âm).
- Nhầm lẫn điều kiện xác định của căn bậc hai (chỉ cần $A \ge 0$ , không nhất thiết phải là $A > 0$).

Phần b) Chứng minh rằng với mọi $x in mathbb{R}$ , ta luôn có $y \ge 1$

Chúng ta cần chứng minh:
$\sqrt{x^2+1} \ge 1$

Ta đã chỉ ra ở phần a) rằng với mọi số thực $x$, ta có:
$x^2 \ge 0$

Cộng thêm 1 vào hai vế:
$x^2 + 1 \ge 1$

Do $x^2+1 \ge 1$ , và $1 > 0$, nên biểu thức $x^2+1$ luôn dương.
Khi đó, ta có thể lấy căn bậc hai của cả hai vế của bất đẳng thức $x^2+1 \ge 1$ mà chiều của bất đẳng thức không đổi.
Lấy căn bậc hai hai vế:
$\sqrt{x^2+1} \ge \sqrt{1}$

Mà $\sqrt{1} = 1$ .
Do đó:
$\sqrt{x^2+1} \ge 1$

Điều này tương đương với $y \ge 1$ .

Vậy, ta đã chứng minh được rằng với mọi $x in mathbb{R}$ , ta luôn có $y \ge 1$ .

Mẹo kiểm tra:
- Giá trị nhỏ nhất của $x^2$ là 0 (khi $x=0$ ).
- Khi đó, $y = \sqrt{0^2+1} = \sqrt{1} = 1$ . Đây là giá trị nhỏ nhất của $y$.
- Với mọi $x \ne 0$ , $x^2 > 0$ , do đó $x^2+1 > 1$ , suy ra $\sqrt{x^2+1} > \sqrt{1} = 1$ .
- Như vậy, $y$ luôn nhận giá trị lớn hơn hoặc bằng 1.
Lỗi hay gặp:
- Quên kiểm tra điều kiện để bình phương hoặc lấy căn hai vế của bất đẳng thức. Trong trường hợp này, cả hai vế $\sqrt{x^2+1}$ và $1$ đều không âm nên việc lấy căn là hợp lệ.
- Thực hiện phép tính sai, ví dụ nhầm lẫn $\sqrt{1}$ bằng một giá trị khác.

Phần c) (Nếu có, nhưng đề bài chỉ yêu cầu a, b)

Trong trường hợp đề bài có thêm phần c) yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc các giá trị $x$ tương ứng, chúng ta có thể suy ra từ phần b):
Giá trị nhỏ nhất của $y$ là 1, đạt được khi $x^2=0$ , tức là $x=0$ .

Đáp Án/Kết Quả

a) Tập xác định của hàm số $y = \sqrt{x^2+1}$ là $mathbb{R}$ .

b) Với mọi $x in mathbb{R}$ , ta có $x^2 \ge 0$ . Suy ra $x^2+1 \ge 1$ . Lấy căn bậc hai hai vế, ta được $\sqrt{x^2+1} \ge \sqrt{1}$ , hay $y \ge 1$ .

Kết Luận

Qua giải toán 9 bài 73 trang 40, chúng ta đã ôn lại và vận dụng hiệu quả kiến thức về điều kiện xác định của căn bậc hai, cũng như cách chứng minh bất đẳng thức cơ bản liên quan đến bình phương và căn bậc hai. Việc hiểu rõ các quy tắc này là nền tảng vững chắc để học sinh tiếp tục chinh phục các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán 9. Hãy ghi nhớ rằng, với mọi số thực $x$, $x^2$ luôn không âm, và do đó $x^2+1$ luôn lớn hơn hoặc bằng 1, đảm bảo hàm số $y = \sqrt{x^2+1}$ luôn xác định và nhận giá trị không nhỏ hơn 1.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 9, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.