Giải Toán 9 Hình Học Bài Tập 1: Khái Niệm Cơ Bản Về Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn
Chào mừng bạn đến với chuyên mục giải toán 9 hình học bài 1! Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu chi tiết về các khái niệm cơ bản nhất của tỉ số lượng giác trong góc nhọn, một phần kiến thức nền tảng cực kỳ quan trọng cho chương trình Toán 9 và các cấp học tiếp theo. Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, kèm theo những mẹo nhỏ và các lỗi thường gặp để giúp bạn nắm vững bài học này. Tỉ số lượng giác góc nhọn sẽ không còn là nỗi lo sau bài viết này.
Đề Bài
Tập hợp các bài tập và lời giải chi tiết cho phần hình học lớp 9, chương 1: Khái Niệm Cơ Bản Về Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn.
Phân Tích Yêu Cầu
Phần kiến thức “Khái Niệm Cơ Bản Về Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn” là một trong những nội dung cốt lõi của chương trình Hình học 9. Yêu cầu của phần này là giúp học sinh nắm vững định nghĩa, cách tính và mối liên hệ giữa các tỉ số lượng giác (sin, cos, tan, cot) của một góc nhọn trong tam giác vuông. Học sinh cần hiểu rõ cách áp dụng các tỉ số này để giải các bài toán liên quan đến cạnh và góc trong tam giác vuông, cũng như các bài toán chứng minh hình học có sử dụng đến các tính chất của tỉ số lượng giác.
Các dạng bài tập thường gặp bao gồm:
- Tính toán các tỉ số lượng giác khi biết độ dài các cạnh của tam giác vuông.
- Tính toán độ dài các cạnh hoặc số đo góc khi biết một cạnh và một tỉ số lượng giác.
- Chứng minh các hệ thức lượng giác cơ bản.
- Vận dụng tỉ số lượng giác để giải các bài toán thực tế.
Hiểu rõ yêu cầu của từng dạng bài sẽ giúp chúng ta tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách hiệu quả, tránh sai sót.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Trước khi đi sâu vào giải các bài tập cụ thể, chúng ta cần ôn lại các kiến thức nền tảng sau:
1. Tam Giác Vuông và Các Khái Niệm
Xét một tam giác vuông ABC, vuông tại A.
- Cạnh huyền: BC (cạnh đối diện với góc vuông)
- Cạnh đối của góc B: AC
- Cạnh kề của góc B: AB
- Cạnh đối của góc C: AB
- Cạnh kề của góc C: AC
2. Định Nghĩa Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn
Với góc nhọn $alpha$ trong một tam giác vuông:
- Sin (sinus): Tỉ số giữa độ dài cạnh đối và độ dài cạnh huyền.
\sin alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} - Cos (cosinus): Tỉ số giữa độ dài cạnh kề và độ dài cạnh huyền.
\cos alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} - Tan (tangent): Tỉ số giữa độ dài cạnh đối và độ dài cạnh kề.
\tan alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} - Cot (cotangent): Tỉ số giữa độ dài cạnh kề và độ dài cạnh đối.
\cot alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}
3. Các Hệ Thức Lượng Giác Cơ Bản
Với hai góc nhọn $alpha$ và $beta$ phụ nhau (tức là alpha + beta = 90^\circ):
- \sin alpha = \cos beta
- \cos alpha = \sin beta
- \tan alpha = \cot beta
- \cot alpha = \tan beta
Các hệ thức lượng giác với một góc nhọn $alpha$:
- \tan alpha = \frac{\sin alpha}{\cos alpha}
- \cot alpha = \frac{\cos alpha}{\sin alpha}
- \sin^2 alpha + \cos^2 alpha = 1
- 1 + \tan^2 alpha = \frac{1}{\cos^2 alpha}
- 1 + \cot^2 alpha = \frac{1}{\sin^2 alpha}
- \tan alpha \cdot \cot alpha = 1
4. Giá Trị Tỉ Số Lượng Giác Của Các Góc Đặc Biệt
Các giá trị này rất quan trọng và nên ghi nhớ:
- \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, \cot 30^\circ = \sqrt{3}
- \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \tan 45^\circ = 1, \cot 45^\circ = 1
- \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \tan 60^\circ = \sqrt{3}, \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Chúng ta sẽ xem xét các dạng bài tập tiêu biểu và cách giải chúng.
Dạng 1: Tính Tỉ Số Lượng Giác Khi Biết Độ Dài Các Cạnh Của Tam Giác Vuông
Ví dụ 1.1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 3, AC = 4. Tính các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.
- Phân tích: Chúng ta đã biết độ dài hai cạnh góc vuông AB và AC. Để tính các tỉ số lượng giác, chúng ta cần tính độ dài cạnh huyền BC trước.
- Bước 1: Tính độ dài cạnh huyền BC.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ABC:
BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
BC = \sqrt{25} = 5 - Bước 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc B.
- Cạnh đối của góc B là AC = 4.
- Cạnh kề của góc B là AB = 3.
- Cạnh huyền là BC = 5.
Ta có:
\sin B = \frac{\text{AC}}{\text{BC}} = \frac{4}{5}
\cos B = \frac{\text{AB}}{\text{BC}} = \frac{3}{5}
\tan B = \frac{\text{AC}}{\text{AB}} = \frac{4}{3}
\cot B = \frac{\text{AB}}{\text{AC}} = \frac{3}{4}
- Bước 3: Tính các tỉ số lượng giác của góc C.
- Cạnh đối của góc C là AB = 3.
- Cạnh kề của góc C là AC = 4.
- Cạnh huyền là BC = 5.
Ta có:
\sin C = \frac{\text{AB}}{\text{BC}} = \frac{3}{5}
\cos C = \frac{\text{AC}}{\text{BC}} = \frac{4}{5}
\tan C = \frac{\text{AB}}{\text{AC}} = \frac{3}{4}
\cot C = \frac{\text{AC}}{\text{AB}} = \frac{4}{3}
- Mẹo kiểm tra:
- Lưu ý rằng B và C là hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông ABC (vì B + C = 90^\circ). Do đó, ta phải có \sin B = \cos C, \cos B = \sin C, \tan B = \cot C, \cot B = \tan C. Kết quả tính toán ở trên hoàn toàn khớp với điều này.
- Kiểm tra lại các tỉ số: \sin^2 B + \cos^2 B = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1.
- \tan B \cdot \cot B = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = 1.
- Lỗi hay gặp:
- Nhầm lẫn giữa cạnh đối và cạnh kề. Luôn xác định rõ góc đang xét và các cạnh tương ứng với nó.
- Quên tính độ dài cạnh huyền nếu chỉ cho biết hai cạnh góc vuông.
- Sai sót khi áp dụng định lý Pytago.
Dạng 2: Tìm Độ Dài Cạnh Hoặc Số Đo Góc Khi Biết Một Cạnh và Một Tỉ Số Lượng Giác
Ví dụ 2.1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có \sin B = \frac{1}{2}.
a) Tính số đo góc B.
b) Cho biết AB = 6. Tính độ dài cạnh AC và BC.
- Phân tích: Biết tỉ số lượng giác của một góc, ta có thể tìm góc đó hoặc các cạnh còn lại.
- Bước 1: Tính số đo góc B.
Chúng ta biết \sin B = \frac{1}{2}. Dựa vào bảng các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta dễ dàng nhận ra:
\sin B = \frac{1}{2} implies B = 30^\circ - Bước 2: Tính độ dài cạnh AC.
Cạnh AB là cạnh kề của góc B, cạnh AC là cạnh đối của góc B. Ta có công thức liên hệ cạnh đối và cạnh kề là tan:
\tan B = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}
Thay các giá trị đã biết vào:
\tan 30^\circ = \frac{\text{AC}}{6}
Ta biết \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}.
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{AC}}{6}
\text{AC} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6sqrt{3}}{3} = 2sqrt{3} - Bước 3: Tính độ dài cạnh BC.
Cạnh AB là cạnh kề của góc B, cạnh BC là cạnh huyền. Ta có công thức liên hệ cạnh kề và cạnh huyền là cos:
\cos B = \frac{\text{AB}}{\text{BC}}
Thay các giá trị đã biết vào:
\cos 30^\circ = \frac{6}{\text{BC}}
Ta biết \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{\text{BC}}
\text{BC} = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12sqrt{3}}{3} = 4sqrt{3} - Mẹo kiểm tra:
- Sau khi tính được AC và BC, bạn có thể dùng định lý Pytago để kiểm tra lại: AB^2 + AC^2 = 6^2 + (2sqrt{3})^2 = 36 + (4 \cdot 3) = 36 + 12 = 48. Và BC^2 = (4sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48. Hai kết quả bằng nhau, vậy là đúng.
- Kiểm tra tỉ số sin B vừa tính: \sin B = \frac{\text{AC}}{\text{BC}} = \frac{2sqrt{3}}{4sqrt{3}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, khớp với đề bài.
- Lỗi hay gặp:
- Chọn sai tỉ số lượng giác (ví dụ dùng sin thay vì cos khi liên hệ cạnh kề và cạnh huyền).
- Nhầm lẫn giữa các góc đặc biệt (ví dụ \sin 30^\circ với \sin 60^\circ).
- Sai sót trong quá trình rút gọn hoặc trục căn thức ở mẫu.
Dạng 3: Chứng Minh Các Hệ Thức Lượng Giác
Ví dụ 3.1: Chứng minh rằng trong tam giác vuông ABC vuông tại A, ta có \sin^2 B + \cos^2 B = 1.
- Phân tích: Ta cần sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác và định lý Pytago.
- Bước 1: Viết định nghĩa sin B và cos B.
Gọi a là cạnh đối (AC), b là cạnh kề (AB), c là cạnh huyền (BC).
\sin B = \frac{a}{c}
\cos B = \frac{b}{c} - Bước 2: Thay vào biểu thức cần chứng minh.
\sin^2 B + \cos^2 B = \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2
= \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}
= \frac{a^2 + b^2}{c^2} - Bước 3: Áp dụng định lý Pytago.
Trong tam giác vuông ABC, ta có: a^2 + b^2 = c^2.
Thay vào biểu thức trên:
\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1
Vậy, \sin^2 B + \cos^2 B = 1 (đpcm). - Mẹo kiểm tra: Bạn có thể thử với một tam giác vuông cụ thể (như ví dụ 1.1) để thấy hệ thức này đúng. Với B, ta có \sin B = 4/5, \cos B = 3/5. katex^2 + (3/5)^2 = 16/25 + 9/25 = 25/25 = 1[/katex].
- Lỗi hay gặp:
- Quên áp dụng định lý Pytago hoặc áp dụng sai.
- Nhầm lẫn ký hiệu cạnh (a, b, c) với các đỉnh (A, B, C) hoặc các cạnh theo tên (AB, AC, BC).
Dạng 4: Vận Dụng Tỉ Số Lượng Giác Để Giải Bài Toán Thực Tế
Ví dụ 4.1: Một chiếc thang dài 6.5 mét đang dựa vào tường. Góc của thang và mặt đất là 60^\circ. Hỏi chân thang cách tường bao nhiêu mét và chiều cao mà thang đạt tới trên tường là bao nhiêu? (Giả sử tường thẳng đứng và mặt đất bằng phẳng).
- Phân tích: Bài toán này có thể mô hình hóa bằng một tam giác vuông. Chiều dài thang là cạnh huyền. Góc tạo bởi thang và mặt đất là một góc nhọn. Khoảng cách từ chân thang đến tường là cạnh kề với góc đó. Chiều cao thang đạt tới trên tường là cạnh đối với góc đó.
- Bước 1: Vẽ sơ đồ và xác định các yếu tố.
Gọi A là chân tường, B là đỉnh thang trên tường, C là chân thang trên mặt đất. Tam giác ABC vuông tại A.- Cạnh huyền BC = 6.5 mét (chiều dài thang).
- Góc tạo bởi thang và mặt đất là góc C = 60^\circ.
- Khoảng cách chân thang đến tường là AC (cạnh kề góc C).
- Chiều cao thang đạt tới là AB (cạnh đối góc C).
- Bước 2: Tính khoảng cách chân thang đến tường (AC).
Ta dùng tỉ số cosin vì biết cạnh huyền và cạnh kề:
\cos C = \frac{\text{AC}}{\text{BC}}
\cos 60^\circ = \frac{\text{AC}}{6.5}
Ta biết \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.
\frac{1}{2} = \frac{\text{AC}}{6.5}
\text{AC} = 6.5 \cdot \frac{1}{2} = 3.25 \text{ mét} - Bước 3: Tính chiều cao thang đạt tới trên tường (AB).
Ta dùng tỉ số sin vì biết cạnh huyền và cạnh đối:
\sin C = \frac{\text{AB}}{\text{BC}}
\sin 60^\circ = \frac{\text{AB}}{6.5}
Ta biết \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{AB}}{6.5}
\text{AB} = 6.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 6.5 \cdot \frac{1.732}{2} \approx 5.63 \text{ mét} - Mẹo kiểm tra:
- Bạn có thể dùng định lý Pytago để kiểm tra: AC^2 + AB^2 \approx (3.25)^2 + (5.63)^2 \approx 10.56 + 31.70 \approx 42.26. Và BC^2 = (6.5)^2 = 42.25. Kết quả gần bằng nhau do làm tròn số \sqrt{3}.
- Kiểm tra tỉ số tan: \tan C = \frac{\text{AB}}{\text{AC}} \approx \frac{5.63}{3.25} \approx 1.732, tương đương \tan 60^\circ.
- Lỗi hay gặp:
- Nhầm lẫn giữa các cạnh (đối, kề, huyền) so với các góc trong bài toán thực tế.
- Sử dụng sai tỉ số lượng giác (sin, cos, tan) cho các mối quan hệ cạnh-góc.
- Sai sót trong tính toán số học hoặc làm tròn không chính xác.
Đáp Án/Kết Quả
Sau khi xem xét các dạng bài tập và phương pháp giải chi tiết, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán về tỉ số lượng giác của góc nhọn. Tóm lại, các bước chung để giải quyết các bài toán này bao gồm:
- Vẽ hình: Luôn vẽ hình minh họa cho bài toán. Nếu là bài toán thực tế, hãy quy đổi về tam giác vuông.
- Xác định rõ các yếu tố: Gọi tên các đỉnh, các cạnh, góc. Đánh dấu các thông tin đã cho và yêu cầu cần tìm.
- Chọn công cụ phù hợp: Dựa vào các yếu tố đã biết và cần tìm, chọn định nghĩa tỉ số lượng giác hoặc các hệ thức lượng giác tương ứng.
- Thực hiện phép tính: Tính toán cẩn thận, chú ý đến các quy tắc về lượng giác và đại số.
- Kiểm tra lại: Sử dụng các mẹo hoặc hệ thức khác để kiểm tra tính chính xác của kết quả.
Nắm vững các kiến thức và kỹ năng này là chìa khóa để giải toán 9 hình học bài 1 cũng như các phần tiếp theo của chương này.
Conclusion
Phần kiến thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông là một bước ngoặt quan trọng trong chương trình Hình học 9, mở ra cánh cửa để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn liên quan đến đo đạc, tính toán trong thực tế. Bằng việc hiểu rõ định nghĩa, nắm vững các hệ thức cơ bản và luyện tập thường xuyên qua các ví dụ đa dạng, bạn hoàn toàn có thể chinh phục giải toán 9 hình học bài 1. Hãy luôn ghi nhớ việc vẽ hình, xác định đúng các cạnh (đối, kề, huyền) tương ứng với góc đang xét và áp dụng linh hoạt các công thức để tìm ra lời giải chính xác nhất.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
