Giải Toán 9 trang 24 Tập 2 Kết nối tri thức: Định lý Viète và Ứng dụng

by Thầy Đông · January 8, 2026

Rate this post

Mọi học sinh đều mong muốn chinh phục các bài tập Toán học một cách hiệu quả. Trang 24 trong sách giáo khoa Giải Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức là một phần quan trọng, tập trung vào Định lý Viète và các ứng dụng của nó. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho từng bài tập, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các dạng toán tương tự. Với cấu trúc bài viết rõ ràng, hướng dẫn từng bước cụ thể, chúng tôi cam kết mang đến tài liệu học tập hữu ích nhất.

Đề Bài

Luyện tập 3 trang 24 Toán 9 Tập 2:
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng –11, tích của chúng bằng 28.

Vận dụng trang 24 Toán 9 Tập 2:
Giải bài toán trong tình huống mở đầu. (Tình huống mở đầu không được cung cấp trong văn bản gốc, tuy nhiên, dựa trên lời giải, có thể suy đoán tình huống liên quan đến kích thước mảnh vườn).

Bài 6.23 trang 24 Toán 9 Tập 2:
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:
a) $x^2 - 12x + 8 = 0$ ;
b) $2x^2 + 11x - 5 =0$ ;
c) $3x^2 - 10 = 0$ ;
d) $x^2 - x + 3 = 0$ .

Bài 6.24 trang 24 Toán 9 Tập 2:
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) $2x^2 - 9x + 7 = 0$ ;
b) $3x^2 + 11x + 8 = 0$ ;
c) $7x^2 - 15x + 2 = 0$ , biết phương trình có một nghiệm $x_1 = 2$ .

Bài 6.25 trang 24 Toán 9 Tập 2:
Tìm hai số u và v, biết:
a) $u + v = 20, uv = 99$ ;
b) $u + v = 2, uv = 15$ .

Bài 6.26 trang 24 Toán 9 Tập 2:
Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2$ thì đa thức $ax^2 + bx + c$ phân tích được thành nhân tử như sau: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^2 + 11x + 18$ ;
b) $3x^2 + 5x - 2$ .

Bài 6.27 trang 24 Toán 9 Tập 2:
Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích 300 m2 và chu vi là 74 m. Tính các kích thước của bể bơi này.

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trên trang 24, Tập 2, sách Giải Toán 9 Kết nối tri thức chủ yếu xoay quanh việc vận dụng Định lý Viète. Đây là một công cụ toán học mạnh mẽ cho phép chúng ta liên hệ giữa các nghiệm của một phương trình bậc hai và các hệ số của nó. Cụ thể, với phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ (với $a \ne 0$ ), nếu phương trình có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ , thì:

Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Tích hai nghiệm: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Các bài tập được yêu cầu giải quyết bao gồm:

Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
Ứng dụng vào bài toán thực tế liên quan đến diện tích và chu vi.
Tính tổng và tích nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần giải trực tiếp.
Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa trên dấu hiệu đặc biệt hoặc định lý Viète.
Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử dựa trên nghiệm của nó.

Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần xác định đúng hệ số $a, b, c$ của phương trình, tính biệt thức $\Delta$ hoặc $\Delta'$ để xác định phương trình có nghiệm hay không, và áp dụng chính xác các công thức của Định lý Viète.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán trên trang 24, Toán 9 Tập 2, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Định lý Viète:
Cho phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ với $a \ne 0$ .
- Nếu phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ (kể cả nghiệm kép), thì:
  $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
  $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$
- Trường hợp đặc biệt: Nếu phương trình có dạng $x^2 + bx + c = 0$ (tức là $a=1$ ), thì $x_1 + x_2 = -b$ và $x_1 x_2 = c$ .
Biệt thức Delta ( $\Delta$ ) và Delta phẩy ( $\Delta'$ ):
Để phương trình bậc hai có nghiệm, biệt thức phải không âm ( $\Delta \ge 0$ hoặc $\Delta' \ge 0$ ).
- $\Delta = b^2 - 4ac$
- $\Delta' = b'^2 - ac$ (với $b = 2b'$ ).
- Nếu $\Delta > 0$ hoặc $\Delta' > 0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Nếu $\Delta = 0$ hoặc $\Delta' = 0$ , phương trình có nghiệm kép.
- Nếu \Delta < 0[/katex] hoặc [katex]\Delta' < 0[/katex], phương trình vô nghiệm.</li> </ul> </li> <li> Dấu hiệu nhẩm nghiệm (cho phương trình [katex]ax^2 + bx + c = 0):
 - Nếu $a + b + c = 0$ , thì phương trình có hai nghiệm là $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{c}{a}$ .
 - Nếu $a - b + c = 0$ , thì phương trình có hai nghiệm là $x_1 = -1$ và $x_2 = -\frac{c}{a}$ .
- Phân tích đa thức thành nhân tử:
 Nếu $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ , thì đa thức $ax^2 + bx + c$ có thể phân tích thành $a(x - x_1)(x - x_2)$ .
- Kiến thức hình học cơ bản:
 - Chu vi hình chữ nhật: $P = 2(l + w)$ , với $l$ là chiều dài, $w$ là chiều rộng. Nửa chu vi là $l + w$ .
 - Diện tích hình chữ nhật: $A = l \times w$ .

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Luyện tập 3 trang 24

Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Đây là dạng toán cơ bản nhất để áp dụng Định lý Viète.

Kiến thức cần dùng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P, thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai $x^2 - Sx + P = 0$ .

Hướng dẫn giải:
Theo đề bài, tổng của hai số là $S = -11$ và tích của chúng là $P = 28$ .
Vậy, hai số cần tìm là nghiệm của phương trình bậc hai:
$x^2 - (-11)x + 28 = 0$
$x^2 + 11x + 28 = 0$

Để giải phương trình này, ta tính biệt thức Delta:
$\Delta = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \times 1 \times 28 = 121 - 112 = 9$
Vì $\Delta = 9 > 0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ta tính căn bậc hai của Delta: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3$ .

Hai nghiệm của phương trình là:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-11 + 3}{2 \times 1} = \frac{-8}{2} = -4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-11 - 3}{2 \times 1} = \frac{-14}{2} = -7$

Mẹo kiểm tra: Tổng hai nghiệm là katex + (-7) = -11[/katex] (đúng với đề bài). Tích hai nghiệm là katex times (-7) = 28[/katex] (đúng với đề bài).

Lỗi hay gặp: Quên đổi dấu khi lập phương trình từ tổng và tích, hoặc tính toán sai biệt thức Delta.

Đáp án/Kết quả: Hai số cần tìm là –4 và –7.

Vận dụng trang 24

Phân tích yêu cầu: Bài toán cho biết chu vi và diện tích của một mảnh vườn hình chữ nhật, yêu cầu tìm các kích thước (chiều dài và chiều rộng) của nó. Đây là một bài toán ứng dụng thực tế của Định lý Viète.

Kiến thức cần dùng:

Nửa chu vi hình chữ nhật: $x_1 + x_2$
Diện tích hình chữ nhật: $x_1 x_2$
Nếu hai số có tổng S và tích P, chúng là nghiệm của phương trình $x^2 - Sx + P = 0$ .

Hướng dẫn giải:
Gọi hai kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là $x_1$ và $x_2$ (với $x_1$ là chiều dài, $x_2$ là chiều rộng, $x_1 \ge x_2$ ).
Theo đề bài, chu vi mảnh vườn là 40 m. Nửa chu vi là $\frac{40}{2} = 20$ m.
Vậy, ta có tổng hai kích thước: $x_1 + x_2 = 20$ .

Diện tích mảnh vườn là 96 m².
Vậy, ta có tích hai kích thước: $x_1 x_2 = 96$ .

Theo Định lý Viète, $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
$x^2 - (\text{tổng})x + (\text{tích}) = 0$
$x^2 - 20x + 96 = 0$

Để giải phương trình này, ta có thể dùng biệt thức Delta phẩy ( $\Delta'$ ) vì hệ số của x là số chẵn. Ở đây, $b' = -10$ .
$\Delta' = (b')^2 - ac = (-10)^2 - 1 \times 96 = 100 - 96 = 4$
Vì $\Delta' = 4 > 0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ta tính căn bậc hai của Delta phẩy: $\sqrt{\Delta'} = \sqrt{4} = 2$ .

Hai nghiệm của phương trình là:
$x_1 = \frac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{-(-10) + 2}{1} = \frac{10 + 2}{1} = 12$
$x_2 = \frac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{-(-10) - 2}{1} = \frac{10 - 2}{1} = 8$

Mẹo kiểm tra: Chiều dài $x_1 = 12$ m, chiều rộng $x_2 = 8$ m.
Tổng kích thước: $12 + 8 = 20$ m (nửa chu vi đúng).
Tích kích thước: $12 \times 8 = 96$ m² (diện tích đúng).

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa chu vi và nửa chu vi, hoặc tính toán sai Delta.

Đáp án/Kết quả: Chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó lần lượt là 12 m và 8 m (theo quy ước chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

Bài 6.23 trang 24

Phân tích yêu cầu: Bài tập này yêu cầu tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai mà không cần phải tìm ra nghiệm cụ thể. Đây là ứng dụng trực tiếp của Định lý Viète. Bài toán cũng bao gồm việc kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay không.

Kiến thức cần dùng: Định lý Viète ( $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ , $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ ) và cách xác định sự tồn tại nghiệm bằng biệt thức Delta ( $\Delta \ge 0$ ).

Hướng dẫn giải:

a) $x^2 - 12x + 8 = 0$
Đây là phương trình bậc hai với $a=1, b=-12, c=8$ .
Ta tính biệt thức Delta:
$\Delta' = b'^2 - ac = (-6)^2 - 1 \times 8 = 36 - 8 = 28$
(Sử dụng $\Delta'$ vì $b = -12 = 2 \times (-6)$ , $b'=-6$ ).
Vì $\Delta' = 28 > 0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ .
Theo Định lý Viète:
Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-12}{1} = 12$
Tích hai nghiệm: $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{8}{1} = 8$

b) $2x^2 + 11x - 5 = 0$
Đây là phương trình bậc hai với $a=2, b=11, c=-5$ .
Ta tính biệt thức Delta:
$\Delta = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \times 2 \times (-5) = 121 + 40 = 161$
Vì $\Delta = 161 > 0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ .
Theo Định lý Viète:
Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{11}{2}$
Tích hai nghiệm: $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{2}$

c) $3x^2 - 10 = 0$
Đây là phương trình bậc hai với $a=3, b=0, c=-10$ .
Ta tính biệt thức Delta:
$\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \times 3 \times (-10) = 0 + 120 = 120$
Vì $\Delta = 120 > 0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ .
Theo Định lý Viète:
Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{0}{3} = 0$
Tích hai nghiệm: $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-10}{3}$

d) $x^2 - x + 3 = 0$
Đây là phương trình bậc hai với $a=1, b=-1, c=3$ .
Ta tính biệt thức Delta:
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 1 - 12 = -11$
Vì $\Delta = -11 < 0[/katex], phương trình vô nghiệm. Do đó, không có tổng và tích nghiệm để tính. Mẹo kiểm tra: Luôn kiểm tra Delta trước khi áp dụng Định lý Viète. Nếu Delta âm, phương trình vô nghiệm. Lỗi hay gặp: Quên tính Delta hoặc tính sai Delta, dẫn đến kết luận sai về sự tồn tại nghiệm hoặc áp dụng Định lý Viète cho phương trình vô nghiệm. Đáp án/Kết quả:a) [katex]x_1 + x_2 = 12$ ; $x_1x_2 = 8$ .
b) $x_1+x_2 = -\frac{11}{2}$ ; $x_1x_2 = -\frac{5}{2}$ .
c) $x_1+x_2 = 0$ ; $x_1x_2 = -\frac{10}{3}$ .
d) Phương trình vô nghiệm.

Bài 6.24 trang 24

Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu tính nhẩm nghiệm của các phương trình bậc hai. Điều này thường dựa vào các dấu hiệu đặc biệt của hệ số hoặc áp dụng Định lý Viète khi biết một nghiệm.

Kiến thức cần dùng:

Dấu hiệu nhẩm nghiệm: $a + b + c = 0$ (nghiệm $x_1=1, x_2=\frac{c}{a}$ ) và $a - b + c = 0$ (nghiệm $x_1=-1, x_2=-\frac{c}{a}$ ).
Định lý Viète: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ (khi biết một nghiệm $x_1$ và muốn tìm nghiệm còn lại $x_2$ ).

Hướng dẫn giải:

a) $2x^2 - 9x + 7 = 0$
Ta kiểm tra tổng các hệ số: $a + b + c = 2 + (-9) + 7 = 0$ .
Dấu hiệu này cho biết phương trình có hai nghiệm là $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{c}{a}$ .
$x_2 = \frac{7}{2}$
Vậy phương trình có hai nghiệm là 1 và $\frac{7}{2}$ .

b) $3x^2 + 11x + 8 = 0$
Ta kiểm tra điều kiện $a - b + c = 0$ :
$a - b + c = 3 - 11 + 8 = 0$ .
Dấu hiệu này cho biết phương trình có hai nghiệm là $x_1 = -1$ và $x_2 = -\frac{c}{a}$ .
$x_2 = -\frac{8}{3}$
Vậy phương trình có hai nghiệm là -1 và $-\frac{8}{3}$ .

c) $7x^2 - 15x + 2 = 0$ , biết phương trình có một nghiệm $x_1 = 2$ .
Đây là phương trình bậc hai với $a=7, b=-15, c=2$ .
Ta biết một nghiệm là $x_1 = 2$ .
Theo Định lý Viète, tích hai nghiệm là:
$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$
$2 \times x_2 = \frac{2}{7}$
$x_2 = \frac{2}{7} : 2 = \frac{2}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{7}$

Mẹo kiểm tra:
Với câu a và b, sau khi tìm được nghiệm, hãy thay lại vào phương trình để kiểm tra.
Với câu c, bạn có thể kiểm tra lại bằng cách tính tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = 2 + \frac{1}{7} = \frac{14+1}{7} = \frac{15}{7}$ . Theo Định lý Viète, $-\frac{b}{a} = -\frac{-15}{7} = \frac{15}{7}$ . Tổng này khớp, chứng tỏ nghiệm tìm được là đúng.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn dấu hoặc công thức khi áp dụng các dấu hiệu nhẩm nghiệm hoặc Định lý Viète.

Đáp án/Kết quả:
a) Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 1; x_2 = \frac{7}{2}$ .
b) Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -1; x_2 = -\frac{8}{3}$ .
c) Phương trình có hai nghiệm là $x_1 = 2$ và $x_2 = \frac{1}{7}$ .

Bài 6.25 trang 24

Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu tìm hai số $u, v$ khi biết tổng ( $u+v$ ) và tích ( $uv$ ) của chúng. Đây là ứng dụng trực tiếp của Định lý Viète để thiết lập phương trình bậc hai.

Kiến thức cần dùng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P, thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai $x^2 - Sx + P = 0$ .

Hướng dẫn giải:

a) $u + v = 20, uv = 99$
Theo Định lý Viète, $u$ và $v$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
$x^2 - (\text{tổng})x + (\text{tích}) = 0$
$x^2 - 20x + 99 = 0$

Ta giải phương trình này bằng cách tính biệt thức Delta phẩy ( $\Delta'$ ) vì $b = -20$ là số chẵn ( $b' = -10$ ).
$\Delta' = (b')^2 - ac = (-10)^2 - 1 \times 99 = 100 - 99 = 1$
Vì $\Delta' = 1 > 0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ta tính căn bậc hai của Delta phẩy: $\sqrt{\Delta'} = \sqrt{1} = 1$ .

Hai nghiệm của phương trình là:
$x_1 = \frac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{-(-10) + 1}{1} = \frac{10 + 1}{1} = 11$
$x_2 = \frac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{-(-10) - 1}{1} = \frac{10 - 1}{1} = 9$

Do đó, hai số $u$ và $v$ là 11 và 9.

b) $u + v = 2, uv = 15$
Theo Định lý Viète, $u$ và $v$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
$x^2 - (\text{tổng})x + (\text{tích}) = 0$
$x^2 - 2x + 15 = 0$

Ta tính biệt thức Delta phẩy ( $\Delta'$ ) vì $b = -2$ là số chẵn ( $b' = -1$ ).
$\Delta' = (b')^2 - ac = (-1)^2 - 1 \times 15 = 1 - 15 = -14$
Vì $\Delta' = -14 < 0[/katex], phương trình này vô nghiệm. Mẹo kiểm tra: Đối với trường hợp vô nghiệm, hãy suy nghĩ xem có thể có hai số thực nào thỏa mãn cả hai điều kiện về tổng và tích hay không. Nếu phương trình tương ứng vô nghiệm, thì không có cặp số thực nào như vậy tồn tại. Lỗi hay gặp: Tính toán sai biệt thức Delta, dẫn đến kết luận sai về sự tồn tại của nghiệm. Đáp án/Kết quả:a) [katex]u = 11; v = 9$ hoặc $u = 9; v = 11$ .
b) Không có số $u$ và $v$ nào thỏa mãn yêu cầu đề bài (vì phương trình tương ứng vô nghiệm).

Bài 6.26 trang 24

Phân tích yêu cầu: Phần đầu của bài toán yêu cầu chứng minh một công thức phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử dựa trên Định lý Viète. Phần thứ hai yêu cầu áp dụng công thức này để phân tích hai đa thức cụ thể.

Kiến thức cần dùng:

Định lý Viète: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ , $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ .
Kỹ năng biến đổi đại số.
Công thức phân tích đa thức thành nhân tử: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Hướng dẫn giải:

Chứng minh công thức:
Giả sử phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2$ .
Theo Định lý Viète, ta có:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (1)
$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ (2)

Từ phương trình (1), nhân cả hai vế với $-a$ (với $a \ne 0$ ), ta được:
$-a(x_1 + x_2) = -a(-\frac{b}{a})$
$-ax_1 - ax_2 = b$
$b = -a(x_1 + x_2)$

Từ phương trình (2), nhân cả hai vế với $a$ , ta được:
$a(x_1 x_2) = a(\frac{c}{a})$
$ax_1 x_2 = c$

Bây giờ, thay $b$ và $c$ vào đa thức $ax^2 + bx + c$ :
$ax^2 + bx + c = ax^2 + [-a(x_1 + x_2)]x + ax_1x_2$
$= ax^2 - ax_1x - ax_2x + ax_1x_2$

Nhóm các hạng tử lại:
$= ax(x - x_1) - ax_2(x - x_1)$
$= a(x - x_1)(x - x_2)$

Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2$ thì đa thức $ax^2 + bx + c$ phân tích được thành nhân tử là: $a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2 + 11x + 18$
Đây là đa thức ứng với phương trình $x^2 + 11x + 18 = 0$ , với $a=1, b=11, c=18$ .
Ta tìm nghiệm của phương trình này. Tính biệt thức Delta:
$\Delta = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \times 1 \times 18 = 121 - 72 = 49$
Vì $\Delta = 49 > 0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt. $\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7$ .
Hai nghiệm là:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-11 + 7}{2 \times 1} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-11 - 7}{2 \times 1} = \frac{-18}{2} = -9$

Áp dụng công thức phân tích nhân tử với $a=1$ :
$x^2 + 11x + 18 = 1 \times (x - (-2))(x - (-9)) = (x + 2)(x + 9)$

b) $3x^2 + 5x - 2$
Đây là đa thức ứng với phương trình $3x^2 + 5x - 2 = 0$ , với $a=3, b=5, c=-2$ .
Ta tìm nghiệm của phương trình này. Tính biệt thức Delta:
$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 25 + 24 = 49$
Vì $\Delta = 49 > 0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt. $\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7$ .
Hai nghiệm là:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \times 3} = \frac{-12}{6} = -2$

Áp dụng công thức phân tích nhân tử với $a=3$ :
$3x^2 + 5x - 2 = 3 \times (x - \frac{1}{3})(x - (-2))$
$= 3 \times (x - \frac{1}{3})(x + 2)$
Để loại bỏ phân số bên trong, ta nhân số 3 vào thừa số đầu tiên:
$= (3x - 1)(x + 2)$

Mẹo kiểm tra: Sau khi phân tích, hãy nhân ngược lại để kiểm tra xem có ra đa thức ban đầu hay không.
Với a) katex(x+9) = x^2 + 9x + 2x + 18 = x^2 + 11x + 18[/katex] (Đúng).
Với b) katex(x+2) = 3x^2 + 6x - x - 2 = 3x^2 + 5x - 2[/katex] (Đúng).

Lỗi hay gặp: Quên hệ số $a$ khi áp dụng công thức phân tích, hoặc tính toán sai nghiệm.

Đáp án/Kết quả:

Công thức chứng minh: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Phân tích nhân tử:
a) $x^2 + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9)$ .
b) $3x^2 + 5x - 2 = (3x - 1)(x + 2)$ .

Bài 6.27 trang 24

Phân tích yêu cầu: Bài toán cho biết diện tích và chu vi của một bể bơi hình chữ nhật, yêu cầu tìm các kích thước (chiều dài và chiều rộng) của nó. Đây là một bài toán ứng dụng thực tế của Định lý Viète, tương tự như bài toán mảnh vườn ở phần Vận dụng.

Kiến thức cần dùng:

Nửa chu vi hình chữ nhật: $x_1 + x_2$
Diện tích hình chữ nhật: $x_1 x_2$
Nếu hai số có tổng là S và tích là P, chúng là nghiệm của phương trình $x^2 - Sx + P = 0$ .

Hướng dẫn giải:
Gọi hai kích thước của bể bơi hình chữ nhật là $x_1$ và $x_2$ (với $x_1$ là chiều dài, $x_2$ là chiều rộng, $x_1 \ge x_2$ ).
Theo đề bài, chu vi bể bơi là 74 m. Nửa chu vi là $\frac{74}{2} = 37$ m.
Vậy, ta có tổng hai kích thước: $x_1 + x_2 = 37$ .

Diện tích bể bơi là 300 m².
Vậy, ta có tích hai kích thước: $x_1 x_2 = 300$ .

Theo Định lý Viète, $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
$x^2 - (\text{tổng})x + (\text{tích}) = 0$
$x^2 - 37x + 300 = 0$

Để giải phương trình này, ta tính biệt thức Delta:
$\Delta = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \times 1 \times 300$
$\Delta = 1369 - 1200 = 169$
Vì $\Delta = 169 > 0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ta tính căn bậc hai của Delta: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{169} = 13$ .

Hai nghiệm của phương trình là:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-37) + 13}{2 \times 1} = \frac{37 + 13}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-37) - 13}{2 \times 1} = \frac{37 - 13}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Mẹo kiểm tra: Chiều dài $x_1 = 25$ m, chiều rộng $x_2 = 12$ m.
Tổng kích thước: $25 + 12 = 37$ m (nửa chu vi đúng).
Tích kích thước: $25 \times 12 = 300$ m² (diện tích đúng).

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa chu vi và nửa chu vi, tính toán sai biệt thức Delta, hoặc tính sai căn bậc hai của Delta.

Đáp án/Kết quả: Chiều dài và chiều rộng của bể bơi lần lượt là 25 m và 12 m (theo quy ước chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

Conclusion

Trang 24 của sách Giải Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức đã cung cấp một loạt các bài tập vận dụng Định lý Viète một cách toàn diện, từ những bài toán cơ bản tìm hai số khi biết tổng và tích, đến các ứng dụng trong thực tế như tìm kích thước mảnh vườn, bể bơi, hay phân tích đa thức thành nhân tử. Việc nắm vững Định lý Viète và các kỹ năng tính toán liên quan đến biệt thức Delta giúp học sinh giải quyết nhanh chóng và chính xác các dạng toán này. Chúc các em ôn luyện tốt và đạt kết quả cao trong học tập với các bài giải chi tiết trên trang này.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.