Bài 5: Dãy số – Toán 11 Kết nối tri thức

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Chào mừng các em đến với bài học về dãy số – một khái niệm nền tảng và vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là với bộ sách Kết nối tri thức. Hiểu rõ về dãy số sẽ mở ra cánh cửa để chúng ta chinh phục các kiến thức nâng cao hơn như cấp số cộng, cấp số nhân và nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học khác. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em cái nhìn toàn diện về dãy số, từ định nghĩa cơ bản đến các tính chất quan trọng, kèm theo những ví dụ minh họa sinh động và cách giải bài tập chi tiết, giúp các em tự tin làm chủ kiến thức và đạt kết quả cao trong học tập.

Đề Bài

Dưới đây là các phần chính của Bài 5, Dãy số, thuộc chương trình Toán 11, sách Kết nối tri thức. Nội dung này giúp học sinh nắm vững các định nghĩa, cách cho một dãy số, cũng như phân loại các dãy số tăng, giảm và bị chặn.

Định nghĩa dãy số
Các cách cho một dãy số
Dãy số tăng, dãy số giảm, và dãy số bị chặn

Lưu ý: Nội dung chi tiết cho từng phần, bao gồm các bài tập và lời giải minh họa, thường được trình bày trên các trang hoặc mục riêng biệt (ví dụ: Toán 11 trang 42, 43, 45, 46). Bài viết này sẽ tập trung vào việc giải thích bản chất của các khái niệm.

Phân Tích Yêu Cầu

Bài học này yêu cầu học sinh hiểu rõ:

Dãy số là gì? Nắm vững khái niệm một dãy số là một hàm số đặc biệt.
Các hình thức biểu diễn một dãy số: Làm quen với cách viết dãy số dưới dạng công thức số hạng tổng quát, liệt kê một vài số hạng đầu, hoặc dùng biểu đồ.
Phân loại dãy số: Nhận biết và xác định được một dãy số là tăng, giảm hay bị chặn dựa trên định nghĩa và tính chất của nó.

Việc phân tích rõ các yêu cầu này giúp chúng ta xác định được mục tiêu học tập và tập trung vào những kiến thức cốt lõi cần nắm vững.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để hiểu về dãy số, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm cơ bản về hàm số và tập hợp.

1. Khái niệm Hàm số

Một hàm số $f$ từ tập $X$ đến tập $Y$ là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử $x$ thuộc tập $X$ với duy nhất một phần tử $y$ thuộc tập $Y$. Ký hiệu là $f: X to Y$.

$X$ được gọi là tập xác định (tập nguồn).
$Y$ được gọi là tập giá trị (tập đích).
$y = f(x)$ là giá trị của hàm số tại $x$.

2. Tập hợp số tự nhiên

Chúng ta sẽ làm việc chủ yếu với các tập hợp số tự nhiên. Cần phân biệt rõ:

Tập hợp số tự nhiên $mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, \ldots}$ .
Tập hợp số tự nhiên khác 0: $mathbb{N}^ = {1, 2, 3, \ldots}$ .

Trong định nghĩa dãy số, tập xác định thường là $mathbb{N}^$ hoặc một tập con của nó bắt đầu từ một số nguyên dương nào đó.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

1. Định nghĩa Dãy số

Định nghĩa: Một dãy số là một hàm số mà tập xác định là tập hợp các số tự nhiên $mathbb{N}^$ hoặc một tập con vô hạn của nó có dạng ${k, k+1, k+2, \ldots}$ với $k$ là một số tự nhiên.

Thông thường, khi nói đến “dãy số”, người ta hiểu ngầm tập xác định là $mathbb{N}^$ .

Nếu $u$ là một dãy số, ta thường ký hiệu giá trị của $u$ tại số tự nhiên $n$ là $u_n$ (thay vì $u(n)$).
Dãy số thường được viết dưới dạng: $u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, \ldots$
Ký hiệu chung: $(u_n)$ hoặc ${u_n}$ .

Ví dụ:
Xét hàm số $f(n) = 2n$ với tập xác định là $mathbb{N}^$ .
Khi đó, ta có một dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n$ .
Các số hạng của dãy là:
$u_1 = 2 \times 1 = 2$
$u_2 = 2 \times 2 = 4$
$u_3 = 2 \times 3 = 6$
…
Dãy số này được viết là: $2, 4, 6, \ldots, 2n, \ldots$

Mẹo kiểm tra: Một dãy số là một danh sách các số được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Mỗi số trong danh sách này tương ứng với một vị trí (chỉ số) theo thứ tự: số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai, v.v.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa số hạng $u_n$ và chỉ số $n$. Ví dụ, khi xét dãy $2, 4, 6, ldots$, $u_3 = 6$ , không phải là $3$.

2. Các cách cho một Dãy số

Có nhiều cách để xác định một dãy số:

a) Cho bằng công thức số hạng tổng quát

Đây là cách phổ biến nhất, cho phép ta tìm bất kỳ số hạng nào của dãy. Công thức này biểu diễn số hạng thứ $n$ ( $u_n$ ) theo $n$.

Ví dụ:

Dãy số $(u_n)$ cho bởi $u_n = n^2$ . Các số hạng đầu tiên là:
$u_1 = 1^2 = 1$
$u_2 = 2^2 = 4$
$u_3 = 3^2 = 9$
Dãy số là: $1, 4, 9, ldots$
Dãy số $(v_n)$ cho bởi $v_n = \dfrac{1}{n+1}$ . Các số hạng đầu tiên là:
$v_1 = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$
$v_2 = \dfrac{1}{2+1} = \dfrac{1}{3}$
$v_3 = \dfrac{1}{3+1} = \dfrac{1}{4}$
Dãy số là: $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \ldots$

b) Cho bằng phương pháp truy hồi (hoặc công thức đệ quy)

Cách này định nghĩa số hạng đầu tiên (hoặc một vài số hạng đầu) và một quy tắc để tính các số hạng tiếp theo dựa trên các số hạng đứng trước nó.

Ví dụ:

Dãy số Fibonacci thường được định nghĩa như sau:
$u_1 = 1$
$u_2 = 1$
$un = u{n-1} + u_{n-2}$ với mọi $n \ge 3$ .
Ta tính các số hạng tiếp theo:
$u_3 = u_2 + u_1 = 1 + 1 = 2$
$u_4 = u_3 + u_2 = 2 + 1 = 3$
$u_5 = u_4 + u_3 = 3 + 2 = 5$
Dãy số là: $1, 1, 2, 3, 5, ldots$
Một ví dụ khác:
$a_1 = 3$
$an = 2a{n-1} - 1$ với mọi $n \ge 2$ .
$a_2 = 2a_1 - 1 = 2(3) - 1 = 5$
$a_3 = 2a_2 - 1 = 2(5) - 1 = 9$
$a_4 = 2a_3 - 1 = 2(9) - 1 = 17$
Dãy số là: $3, 5, 9, 17, ldots$

Mẹo kiểm tra: Với phương pháp truy hồi, bạn cần tính toán từng bước một, đảm bảo sử dụng đúng các số hạng đã tính ở bước trước.

Lỗi hay gặp: Sai sót trong tính toán cộng/trừ/nhân/chia hoặc áp dụng sai công thức cho các chỉ số. Ví dụ, áp dụng $un = u{n-1} + u_{n-2}$ cho $n=2$ thay vì $n \ge 3$ .

c) Cho bằng đồ thị

Ta có thể biểu diễn một dãy số bằng cách vẽ các điểm có tọa độ $(n, u_n)$ lên một hệ trục tọa độ $Oxy$.

Ví dụ:
Nếu có các điểm $(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)$, ta có thể suy ra dãy số có số hạng tổng quát là $u_n = 2n$ .

d) Cho bằng cách liệt kê một vài số hạng đầu và chỉ ra quy luật

Cách này thường gặp trong các bài toán trắc nghiệm hoặc khi quy luật chưa rõ ràng. Tuy nhiên, cần cẩn trọng vì với một vài số hạng đầu, có thể có nhiều hơn một quy luật khác nhau.

Ví dụ:
Cho dãy số: $1, 3, 5, 7, ldots$
Ta dễ dàng nhận ra đây là các số lẻ. Số hạng tổng quát có thể là $u_n = 2n - 1$ .

Mẹo kiểm tra: Sau khi xác định được công thức tổng quát từ các số hạng đầu, hãy thử tính vài số hạng tiếp theo bằng công thức đó và so sánh với quy luật dự đoán.

Lỗi hay gặp: Vội vàng kết luận quy luật chỉ dựa trên 2 hoặc 3 số hạng đầu mà không suy nghĩ đến các quy luật phức tạp hơn có thể khớp với các số đó.

3. Dãy số tăng, Dãy số giảm, và Dãy số bị chặn

a) Dãy số tăng

Định nghĩa: Dãy số $(un)$ được gọi là tăng nếu $u{n+1} > u_n$ với mọi $n in mathbb{N}^$ .

Cách kiểm tra:
Để chứng minh dãy số $(un)$ tăng, ta cần chứng minh $u{n+1} > un$ với mọi $n in mathbb{N}^$ .
Ta thường xét hiệu $u{n+1} - un$ hoặc xét tỉ số $\dfrac{u{n+1}}{u_n}$ (nếu các số hạng đều dương).

Nếu $u_{n+1} - u_n > 0$ với mọi $n in mathbb{N}^$ , thì dãy $(u_n)$ là tăng.
Nếu $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ với mọi $n in mathbb{N}^$ (và $u_n > 0$ ), thì dãy $(u_n)$ là tăng.

Ví dụ:
Cho dãy số $(u_n)$ với $un = 2n - 1$ .
Ta xét hiệu:
$u{n+1} - un = (2(n+1) - 1) - (2n - 1)$
$u{n+1} - un = (2n + 2 - 1) - (2n - 1)$
$u{n+1} - un = (2n + 1) - (2n - 1)$
$u{n+1} - u_n = 2n + 1 - 2n + 1 = 2$

Vì $u_{n+1} - u_n = 2 > 0$ với mọi $n in mathbb{N}^$ , nên dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.

Mẹo kiểm tra: Nếu công thức $u_n$ là một hàm đa thức bậc nhất với hệ số của $n$ dương, hoặc là hàm số đồng biến trên tập số tự nhiên, thì dãy số thường là tăng.

Lỗi hay gặp: Chỉ kiểm tra với một vài giá trị $n$ đầu (ví dụ: $n=1, 2$ ) rồi vội vàng kết luận. Cần chứng minh cho mọi $n in mathbb{N}^$ .

b) Dãy số giảm

Định nghĩa: Dãy số $(un)$ được gọi là giảm nếu $u{n+1} < u_n[/katex] với mọi [katex]n in mathbb{N}^[/katex]. Cách kiểm tra:Tương tự như dãy tăng, ta xét hiệu hoặc tỉ số: <ul> <li>Nếu [katex]u_{n+1} - u_n < 0[/katex] với mọi [katex]n in mathbb{N}^[/katex], thì dãy [katex](u_n)[/katex] là giảm.</li> <li>Nếu [katex]0 < \dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1[/katex] với mọi [katex]n in mathbb{N}^[/katex] (và [katex]u_n > 0$ ), thì dãy $(u_n)$ là giảm.

Ví dụ:
Cho dãy số $(v_n)$ với $vn = \dfrac{1}{n+1}$ .
Ta xét hiệu:
$v{n+1} - vn = \dfrac{1}{(n+1)+1} - \dfrac{1}{n+1}$
$v{n+1} - vn = \dfrac{1}{n+2} - \dfrac{1}{n+1}$
$v{n+1} - vn = \dfrac{(n+1) - (n+2)}{(n+2)(n+1)}$
$v{n+1} - vn = \dfrac{n+1 - n - 2}{(n+2)(n+1)}$
$v{n+1} - v_n = \dfrac{-1}{(n+2)(n+1)}$

Vì $n in mathbb{N}^$ , nên $n \ge 1$ . Do đó, $(n+2)(n+1) > 0$ .
Suy ra, $v_{n+1} - v_n = \dfrac{-1}{(n+2)(n+1)} < 0[/katex] với mọi [katex]n in mathbb{N}^$ .
Vậy dãy số $(v_n)$ là dãy số giảm.

Mẹo kiểm tra: Nếu công thức $u_n$ là một hàm đa thức bậc nhất với hệ số của $n$ âm, hoặc là hàm số nghịch biến trên tập số tự nhiên (và các số hạng đều dương), thì dãy số thường là giảm.

Lỗi hay gặp: Quên xét điều kiện để tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ có nghĩa (ví dụ: $u_n$ phải khác 0) hoặc quên điều kiện $u_n > 0$ khi sử dụng tỉ số.

c) Dãy số bị chặn

Định nghĩa:

Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho $u_n \le M$ với mọi $n in mathbb{N}^$ .
Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho $u_n \ge m$ với mọi $n in mathbb{N}^$ .
Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.

Cách kiểm tra:
Để kiểm tra tính bị chặn, ta cần tìm các hằng số $m$ và $M$ thỏa mãn định nghĩa. Thường ta sẽ phân tích công thức số hạng tổng quát $u_n$ .

Ví dụ:

Dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n - 1$ (từ ví dụ dãy tăng ở trên).
Các số hạng là: $1, 3, 5, 7, ldots$
Dãy này không bị chặn trên vì $u_n$ ngày càng tăng và không có giới hạn trên.
Tuy nhiên, $u_n = 2n - 1 \ge 2(1) - 1 = 1$ với mọi $n in mathbb{N}^$ .
Do đó, dãy $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $m=1$ .
Dãy số $(v_n)$ với $v_n = \dfrac{1}{n+1}$ (từ ví dụ dãy giảm ở trên).
Các số hạng là: $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \ldots$
Ta thấy $v_n = \dfrac{1}{n+1} > 0$ với mọi $n in mathbb{N}^$ . Vậy dãy bị chặn dưới bởi $m=0$ .
Mặt khác, vì $n \ge 1$ , nên $n+1 \ge 2$ , suy ra $\dfrac{1}{n+1} \le \dfrac{1}{2}$ .
Vậy $v_n \le \dfrac{1}{2}$ với mọi $n in mathbb{N}^$ . Dãy bị chặn trên bởi $M=\dfrac{1}{2}$ .
Do $(v_n)$ vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, nên nó là một dãy số bị chặn.

Mẹo kiểm tra:

Đối với hàm đa thức, tính chất bị chặn thường phụ thuộc vào bậc và hệ số. Hàm bậc nhất đơn điệu thì không bị chặn.
Đối với hàm phân thức hoặc chứa căn thức, hãy xem xét giới hạn khi $n$ tiến tới vô cùng và các giá trị nhỏ nhất/lớn nhất có thể đạt được.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa bị chặn trên và bị chặn dưới. Đôi khi việc tìm $M$ hoặc $m$ yêu cầu hiểu biết về bất đẳng thức hoặc giới hạn.

Đáp Án/Kết Quả

Định nghĩa: Dãy số là một hàm số có tập xác định là tập số tự nhiên (hoặc tập con vô hạn bắt đầu từ một số nguyên dương).
Các cách cho dãy số: Công thức số hạng tổng quát, công thức truy hồi, liệt kê số hạng đầu, biểu đồ.
Phân loại:
- Tăng: $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n$.
- Giảm: $u_{n+1} < u_n[/katex] với mọi $n$.</li> <li>Bị chặn trên: Tồn tại $M$ sao cho [katex]u_n \le M$ với mọi $n$.
- Bị chặn dưới: Tồn tại $m$ sao cho $u_n \ge m$ với mọi $n$.
- Bị chặn: Vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.

Kết Luận

Bài học về dãy số đã trang bị cho chúng ta những kiến thức cơ bản và thiết yếu để tiếp tục khám phá thế giới số học và giải tích. Bằng việc hiểu rõ định nghĩa, các phương pháp xác định dãy số và phân biệt các tính chất tăng, giảm, bị chặn, các em đã có trong tay công cụ vững chắc để giải quyết các bài toán liên quan. Hãy luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau để củng cố kiến thức và phát triển kỹ năng tư duy toán học, đặc biệt là khi áp dụng vào các khái niệm phức tạp hơn như cấp số cộng hay cấp số nhân sẽ được học tiếp theo.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.