Giải Toán 7 Bài 20: Tỉ Lệ Thức Sách Kết Nối Tri Thức

by Thầy Đông · January 9, 2026

Rate this post

Giải toán 7 bài 20: Tỉ lệ thức là nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 7, đặc biệt là đối với bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống. Hiểu rõ khái niệm, tính chất và cách áp dụng tỉ lệ thức sẽ giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao. Bài viết này cung cấp kiến thức chi tiết, các ví dụ minh họa cùng phương pháp giải bài tập hiệu quả, bám sát theo sách giáo khoa, nhằm trang bị cho học sinh nền tảng vững chắc về tỉ lệ thức.

Đề Bài

Nội dung bài viết này tập trung vào việc giải thích khái niệm và tính chất của tỉ lệ thức, không bao gồm một đề bài cụ thể nào. Các bài tập áp dụng sẽ được xây dựng dựa trên nền tảng kiến thức được trình bày.

Phân Tích Yêu Cầu

Mục tiêu của phần này là làm rõ bản chất của tỉ lệ thức và các yếu tố cấu thành nó. Chúng ta cần nắm vững:

Khái niệm tỉ lệ thức là gì.
Các thuật ngữ liên quan: trung tỉ, ngoại tỉ.
Các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức.
Cách vận dụng các tính chất này để giải quyết các bài toán liên quan.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Trước khi đi vào chi tiết, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm cơ bản liên quan đến tỉ lệ thức.

1. Tỉ Lệ Thức

Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số.

Nếu ta có tỉ lệ thức dạng:
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
thì ta có thể đọc là “a trên b bằng c trên d” hoặc “a chia b bằng c chia d”.

Trong tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (với $a, b, c, d \ne 0$ ):

$a$ và $d$ được gọi là ngoại tỉ.
$b$ và $c$ được gọi là trung tỉ.

Ví dụ minh họa:
Xét tỉ lệ thức: $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$
Ở đây, $2$ và $10$ là các ngoại tỉ, còn $5$ và $4$ là các trung tỉ.

2. Tính Chất Của Tỉ Lệ Thức

Tỉ lệ thức có hai tính chất quan trọng giúp chúng ta biến đổi và giải bài toán:

2.1. Tính Chất Cơ Bản

Tính chất 1 (Tính chất nhân chéo): Trong một tỉ lệ thức, tích của hai ngoại tỉ bằng tích của hai trung tỉ.
Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $a \cdot d = b \cdot c$

Giải thích: Tính chất này xuất phát từ việc quy đồng mẫu số. Khi ta nhân cả hai vế của tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ với $b \cdot d$ (mẫu số chung, giả sử $b \ne 0, d \ne 0$ ), ta được:
$\frac{a}{b} \cdot b \cdot d = \frac{c}{d} \cdot b \cdot d$
$a \cdot d = c \cdot b$
$a \cdot d = b \cdot c$
Ứng dụng: Tính chất này cho phép ta kiểm tra xem bốn số a, b, c, d có lập thành tỉ lệ thức hay không. Nếu $a \cdot d = b \cdot c$ thì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (với $b, c \ne 0$ ). Nó cũng là cơ sở để tìm một số chưa biết khi biết ba số còn lại trong một tỉ lệ thức.

Ví dụ:
Kiểm tra xem các số 3, 4, 6, 8 có lập thành tỉ lệ thức không.
Ta có:
Tích hai ngoại tỉ: $3 \cdot 8 = 24$
Tích hai trung tỉ: $4 \cdot 6 = 24$
Vì $3 \cdot 8 = 4 \cdot 6$ , nên ta có tỉ lệ thức: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ .
Ta cũng có thể lập các tỉ lệ thức khác từ bốn số này: $\frac{3}{6} = \frac{4}{8}$ , $\frac{8}{4} = \frac{6}{3}$ , v.v.

2.2. Tính Chất Hoán Đổi, Kết Hợp

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , ta có thể suy ra các tỉ lệ thức khác bằng cách áp dụng các tính chất sau:

Tính chất 2 (Hoán đổi trung tỉ hoặc ngoại tỉ):

Nếu a \cdot d = b \cdot c thì:
- $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (Tỉ lệ thức ban đầu)
- $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ (Hoán đổi trung tỉ $b$ và $c$ )
- $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ (Hoán đổi ngoại tỉ $a$ và $d$ )
- $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$ (Hoán đổi cả cặp trung tỉ và ngoại tỉ)

Giải thích: Các tỉ lệ thức này đều xuất phát từ $a \cdot d = b \cdot c$ .

Để có $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ , ta chia cả hai vế của $a \cdot d = b \cdot c$ cho $c \cdot d$ (giả sử $c \ne 0, d \ne 0$ ):
$\frac{a \cdot d}{c \cdot d} = \frac{b \cdot c}{c \cdot d}$
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
Để có $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ , ta chia cả hai vế của $a \cdot d = b \cdot c$ cho $a \cdot b$ (giả sử $a \ne 0, b \ne 0$ ):
$\frac{a \cdot d}{a \cdot b} = \frac{b \cdot c}{a \cdot b}$
$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

Ví dụ:
Từ tỉ lệ thức $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ , ta có thể suy ra:

$\frac{3}{6} = \frac{4}{8}$ (Hoán đổi trung tỉ 4 và 6)
$\frac{8}{4} = \frac{6}{3}$ (Hoán đổi ngoại tỉ 3 và 8)
$\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ (Hoán đổi cả hai cặp)

Tính chất 3 (Thêm vào hoặc bớt đi):

Nếu \frac{a}{b} = \frac{c}{d} thì:
- $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (với $b+d \ne 0$ ) – Tính chất này mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau.
- $\frac{a-c}{b-d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (với $b-d \ne 0$ )
- $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$
- $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

Giải thích:

Để chứng minh $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$ , ta xét vế trái:
$\frac{a+c}{b+d}$
Vì $\frac{c}{d} = \frac{a}{b}$ , nên $c = \frac{a \cdot d}{b}$ . Thay $c$ vào tử số:
$\frac{a + \frac{a \cdot d}{b}}{b+d} = \frac{a(1 + \frac{d}{b})}{b+d} = \frac{a(\frac{b+d}{b})}{b+d} = \frac{a \cdot (b+d)}{b \cdot (b+d)}$
Nếu $b+d \ne 0$ , ta rút gọn $b+d$ :
$= \frac{a}{b}$ .
Vậy $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$ . Tương tự, ta chứng minh được $\frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d}$ .

Ví dụ:
Cho tỉ lệ thức $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ .
Áp dụng tính chất:

$\frac{1+3}{2+6} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ . Ta có tỉ lệ thức mới: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ .
$\frac{1-3}{2-6} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$ . Ta có tỉ lệ thức mới: $\frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ .
$\frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$ và $\frac{3+6}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ . Ta có: $\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ .

3. Dãy Tỉ Số Bằng Nhau

Mở rộng của tỉ lệ thức là dãy tỉ số bằng nhau. Nếu ta có:
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \ldots$
thì theo tính chất trên, ta có:
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \ldots = \frac{a+c+e+\ldots}{b+d+f+\ldots}$
(với mẫu số $b+d+f+\ldots \ne 0$ ).

Ví dụ:
Cho $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ .
Ta có thể viết: $\frac{x+y}{3+5} = \frac{x}{3}$ hay $\frac{x+y}{8} = \frac{x}{3}$ .
Nếu biết thêm $x+y=16$ , ta có:
$\frac{16}{8} = \frac{x}{3}$
$2 = \frac{x}{3}$
$x = 2 \cdot 3 = 6$ .
Và vì $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ , ta có $\frac{6}{3} = \frac{y}{5}$ hay $2 = \frac{y}{5}$ , suy ra $y = 2 \cdot 5 = 10$ .

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Để nắm vững kiến thức về tỉ lệ thức, chúng ta sẽ đi qua các ví dụ cụ thể.

Ví dụ 1: Kiểm tra tỉ lệ thức

Cho bốn số sau: 1, 2, 3, 4. Hỏi ba số nào trong bốn số này có thể lập thành tỉ lệ thức?
Phân tích: Chúng ta cần chọn ra 3 số từ 4 số đã cho, sau đó kiểm tra xem chúng có lập thành tỉ lệ thức theo dạng $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ hay không. Lưu ý rằng tỉ lệ thức luôn có 4 số. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu “ba số trong bốn số này có thể lập thành tỉ lệ thức”, điều này có thể hiểu là ta sẽ dùng 3 số đó để tạo ra một tỉ lệ thức, trong đó có thể có số được lặp lại, hoặc đề bài muốn nói “bốn số nào trong ba số…” nhưng gõ nhầm. Giả sử đề bài muốn tìm 4 số để lập tỉ lệ thức.

Trong trường hợp này, ta sẽ xem xét tất cả các tích có thể có:
Các tích của hai số trong tập {1, 2, 3, 4}:

$1 \cdot 2 = 2$
$1 \cdot 3 = 3$
$1 \cdot 4 = 4$
$2 \cdot 3 = 6$
$2 \cdot 4 = 8$
$3 \cdot 4 = 12$

Ta cần tìm hai cặp số có tích bằng nhau. Trong các tích trên, không có cặp nào bằng nhau.
Điều này cho thấy không thể chọn 4 số khác nhau từ tập {1, 2, 3, 4} để lập thành tỉ lệ thức.

Tuy nhiên, nếu đề bài muốn hỏi “có thể chọn ra 3 số từ tập {1, 2, 3, 4} và một trong các số đó được lặp lại để lập thành tỉ lệ thức hay không?”
Hoặc “từ 4 số này, cặp tích nào bằng nhau để lập tỉ lệ thức?”

Chúng ta sẽ xem xét các khả năng lập tỉ lệ thức với 4 số bất kỳ, trong đó có thể có số lặp lại.
Nếu ta lấy 4 số là 1, 2, 3, 6. Tích $1 \cdot 6 = 6$ và $2 \cdot 3 = 6$ . Vậy ta có thể lập tỉ lệ thức $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ .

Trở lại với đề bài ban đầu: “Cho bốn số 1, 2, 3, 4. Hỏi ba số nào trong bốn số này có thể lập thành tỉ lệ thức?”. Câu hỏi này hơi khó hiểu. Nếu hiểu theo nghĩa thông thường của tỉ lệ thức là có 4 số, thì có lẽ đề bài có chút nhầm lẫn.
Tuy nhiên, nếu chúng ta diễn giải lại câu hỏi thành: “Từ tập hợp các số {1, 2, 3, 4}, làm thế nào để có thể tạo ra một tỉ lệ thức?”, ta có thể nghĩ đến các tổ hợp.
Rất có thể đề bài muốn nói đến việc chọn 3 số và kiểm tra xem có thể tạo ra tỉ lệ thức nào với các số đó không (có thể lặp lại 1 trong 3 số).
Ví dụ: Chọn 1, 2, 3. Ta có thể có $\frac{1}{2}$ và $\frac{3}{?}$ . Để bằng nhau, $? = 6$ . Số 6 không có trong tập.
Hoặc $\frac{1}{3}$ và $\frac{2}{?}$ => $? = 6$ .
Hoặc $\frac{2}{3}$ và $\frac{1}{?}$ => $? = 3/2$ .

Giả định đề bài là: “Cho bốn số 1, 2, 3, 4. Có thể lập được tỉ lệ thức nào từ bốn số này không?”
Ta kiểm tra các tích của từng cặp số:
$1 \times 2 = 2$
$1 \times 3 = 3$
$1 \times 4 = 4$
$2 \times 3 = 6$
$2 \times 4 = 8$
$3 \times 4 = 12$
Không có hai tích nào bằng nhau. Do đó, không thể lập tỉ lệ thức từ bốn số 1, 2, 3, 4 nếu chúng đều khác nhau và không có số nào lặp lại.

Nếu có lặp lại số:
Ví dụ: Ta dùng 3 số 1, 2, 3.
Tích 1×2 = 2. Tích 1×3 = 3. Tích 2×3 = 6.
Nếu ta tạo tỉ lệ thức có lặp số, ví dụ $\frac{a}{b} = \frac{c}{a}$ thì $a^2 = bc$ .
Trong tập {1, 2, 3, 4}:
$1^2 = 1$ . Ta có $bc = 1$ => không thể với các số nguyên dương còn lại.
$2^2 = 4$ . Ta có $bc = 4$ . Nếu b=1, c=4. Vậy ta có tỉ lệ thức $\frac{2}{1} = \frac{4}{2}$ . Các số được dùng là 1, 2, 4. (Số 2 lặp lại).
Hoặc nếu b=4, c=1. Ta có tỉ lệ thức $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Các số được dùng là 1, 2, 4. (Số 2 lặp lại).
$3^2 = 9$ . Ta có $bc = 9$ => không thể.
$4^2 = 16$ . Ta có $bc = 16$ => không thể.

Vậy, với các số 1, 2, 3, 4, ta có thể lập tỉ lệ thức:

$\frac{2}{1} = \frac{4}{2}$ (dùng các số 1, 2, 4 và lặp số 2)
$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ (dùng các số 1, 2, 4 và lặp số 2)

Mẹo kiểm tra: Khi đề bài cho một tập hợp số và yêu cầu lập tỉ lệ thức, hãy thử tính tất cả các tích của các cặp số có thể. Nếu có hai tích bằng nhau, bạn có thể lập tỉ lệ thức tương ứng. Nếu đề cho phép lặp số, hãy thử các trường hợp $a^2 = bc$ .

Lỗi hay gặp: Học sinh thường chỉ tập trung vào việc chọn 4 số khác nhau để lập tỉ lệ thức mà quên mất khả năng lặp số hoặc đề bài có thể có cách diễn đạt không rõ ràng như trong ví dụ này.

Ví dụ 2: Tìm số chưa biết trong tỉ lệ thức

Tìm $x$ trong tỉ lệ thức sau: $\frac{3}{x} = \frac{9}{15}$

Phân tích: Đây là dạng bài áp dụng trực tiếp tính chất nhân chéo của tỉ lệ thức.

Hướng dẫn giải:
Áp dụng tính chất nhân chéo, ta có:
$3 \cdot 15 = x \cdot 9$
$45 = 9x$

Để tìm $x$ , ta chia cả hai vế cho 9:
$x = \frac{45}{9}$
$x = 5$

Vậy, $x = 5$ . Tỉ lệ thức là $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$ .

Mẹo kiểm tra: Thay $x=5$ vào tỉ lệ thức ban đầu: $\frac{3}{5}$ và $\frac{9}{15}$ . Ta thấy $\frac{9}{15}$ rút gọn được cho 3 là $\frac{9 div 3}{15 div 3} = \frac{3}{5}$ . Hai tỉ số bằng nhau, vậy kết quả đúng.

Lỗi hay gặp: Học sinh có thể nhầm lẫn vị trí của các số hoặc thực hiện phép tính nhân chia sai.

Ví dụ 3: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ và $a - c = 5$ , $b = 10$ . Tìm $d$ .

Phân tích: Đề bài cho một tỉ lệ thức và một hiệu của tử số, cùng với một mẫu số. Chúng ta có thể sử dụng tính chất “bớt đi” của tỉ lệ thức hoặc tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Hướng dẫn giải:
Sử dụng tính chất $\frac{a-c}{b-d} = \frac{a}{b}$ (với $b-d \ne 0$ ).
Ta có:
$\frac{a-c}{b-d} = \frac{a}{b}$
Thay các giá trị đã biết vào:
$\frac{5}{10-d} = \frac{a}{10}$

Ta chưa biết $a$ , nên có vẻ cách này không hiệu quả lắm nếu không tìm được $a$ trước.

Cách tiếp cận khác: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau mở rộng:
Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , ta có thể viết dưới dạng $\frac{a}{10} = \frac{c}{d}$ và $a - c = 5$ .
Ta có thể suy ra:
$\frac{a}{10} = \frac{c}{d} = \frac{a-c}{10-d}$ (với $10-d \ne 0$ )

Ta có:
$\frac{a-c}{10-d} = \frac{a}{10}$
$\frac{5}{10-d} = \frac{a}{10}$

Để giải tiếp, ta cần tìm $a$ . Ta biết $a - c = 5$ và $\frac{a}{10} = \frac{c}{d}$ .
Từ $\frac{a}{10} = \frac{c}{d}$ , suy ra $c = \frac{a \cdot 10}{d}$ .
Thay vào $a - c = 5$ :
$a - \frac{10a}{d} = 5$
$a \left( 1 - \frac{10}{d} \right) = 5$
$a \left( \frac{d-10}{d} \right) = 5$

Phương trình này vẫn còn hai ẩn $a$ và $d$ . Chúng ta cần một liên hệ khác.

Quay lại cách áp dụng dãy tỉ số bằng nhau:
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
Ta có thể suy ra:
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ (với $c \ne 0$ )
Cho tỉ lệ thức này là $k$ . Tức là $a = kc$ và $b = kd$ .
Tuy nhiên, ta lại có $b=10$ . Vậy $10 = kd$ .
Và ta có $a - c = 5$ . Thay $a = kc$ :
$kc - c = 5$
$c(k-1) = 5$

Ta cũng có $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .
$\frac{a}{10} = \frac{c}{d}$ .
Từ $a - c = 5$ , ta có $a = c+5$ .
Thay vào $\frac{a}{10} = \frac{c}{d}$ :
$\frac{c+5}{10} = \frac{c}{d}$
$d(c+5) = 10c$
$dc + 5d = 10c$

Vẫn có hai ẩn $c$ và $d$ . Có lẽ chúng ta cần sử dụng tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ cùng với $a-c=5$ và $b=10$ theo một cách khác.

Áp dụng trực tiếp tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
Ta có thể viết:
$\frac{a}{10} = \frac{c}{d}$
Suy ra, ta có thể coi đây là một phần của dãy tỉ số bằng nhau.
Xét tỉ lệ thức $\frac{a}{10} = \frac{c}{d}$ .
Ta có thể dùng tính chất: $\frac{a-c}{10-d} = \frac{a}{10} = \frac{c}{d}$ (với $10-d \ne 0$ ).
Cho $k = \frac{a}{10} = \frac{c}{d}$ .
Ta biết $a - c = 5$ .
Từ $a = 10k$ và $c = dk$ .
Thay vào $a - c = 5$ :
$10k - dk = 5$
$k(10-d) = 5$

Ta vẫn còn hai ẩn $k$ và $d$ . Chúng ta cần thêm một thông tin hoặc một cách tiếp cận khác.

Xem lại đề bài: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , $a - c = 5$ , $b = 10$ . Tìm $d$ .

Cách thông minh hơn:
Từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , ta suy ra $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ (với $c \ne 0$ ).
Ta có: $\frac{a}{c} = \frac{10}{d}$ .
Ta có $a - c = 5$ , suy ra $a = c+5$ .
Thay $a$ vào tỉ lệ thức $\frac{a}{c} = \frac{10}{d}$ :
$\frac{c+5}{c} = \frac{10}{d}$
$\frac{c}{c} + \frac{5}{c} = \frac{10}{d}$
$1 + \frac{5}{c} = \frac{10}{d}$

Vẫn còn 2 ẩn $c$ và $d$ . Có lẽ tôi đã bỏ sót một tính chất hoặc giả định.
Giả định: Tỉ lệ thức này đến từ một bài toán cụ thể mà $a, b, c, d$ là các số nguyên.

Thử lại:
$\frac{a}{10} = \frac{c}{d}$
$ad = 10c$
$a = c+5$
Thay $a$ vào $ad = 10c$ :
$(c+5)d = 10c$
$cd + 5d = 10c$
$5d = 10c - cd$
$5d = c(10-d)$
$c = \frac{5d}{10-d}$

Bây giờ ta có $c$ theo $d$ .
Chúng ta cần tìm giá trị cụ thể của $d$ .
Liệu có khả năng $a,b,c,d$ phải là các số nguyên dương không? Nếu có, thì $c$ phải là số nguyên dương.
$c = \frac{5d}{10-d} > 0$ .
Vì $d$ là mẫu số nên $d \ne 0$ .
Nếu $d > 0$ , thì để $c > 0$ , ta phải có $10-d > 0$ => $d < 10[/katex]. Vậy ta có [katex]0 < d < 10[/katex]. Để [katex]c[/katex] là số nguyên, [katex]10-d[/katex] phải là ước của [katex]5d[/katex]. Ta có thể biến đổi [katex]c[/katex]: [katex]c = \frac{5d}{10-d} = \frac{5d - 50 + 50}{10-d} = \frac{-5(10-d) + 50}{10-d} = -5 + \frac{50}{10-d}[/katex]. Để [katex]c[/katex] là số nguyên, [katex]10-d[/katex] phải là ước của 50. Các ước của 50 là: {1, 2, 5, 10, 25, 50}. Và các ước âm: {-1, -2, -5, -10, -25, -50}.</p> <p>Ta xét các trường hợp cho [katex]10-d$ là ước của 50, đồng thời $0 < d < 10[/katex] (để [katex]c>0$ và $d$ là mẫu số).
Nếu $d$ là số nguyên dương, thì $10-d$ sẽ nhỏ hơn 10.
Các ước dương của 50 nhỏ hơn 10 là: {1, 2, 5}.

$10-d = 1$ => $d = 9$ .
Khi đó $c = -5 + \frac{50}{1} = -5 + 50 = 45$ .
Kiểm tra: $c = 45, d = 9$ . Ta có $\frac{c}{d} = \frac{45}{9} = 5$ .
$a = c+5 = 45+5 = 50$ .
Tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ trở thành $\frac{50}{10} = \frac{45}{9}$ .
$5 = 5$ . Điều này đúng. Vậy $d=9$ là một đáp án.
$10-d = 2$ => $d = 8$ .
Khi đó $c = -5 + \frac{50}{2} = -5 + 25 = 20$ .
Kiểm tra: $c = 20, d = 8$ . Ta có $\frac{c}{d} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$ .
$a = c+5 = 20+5 = 25$ .
Tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ trở thành $\frac{25}{10} = \frac{20}{8}$ .
$\frac{25}{10} = \frac{5}{2}$ và $\frac{20}{8} = \frac{5}{2}$ . Điều này đúng. Vậy $d=8$ là một đáp án.
$10-d = 5$ => $d = 5$ .
Khi đó $c = -5 + \frac{50}{5} = -5 + 10 = 5$ .
Kiểm tra: $c = 5, d = 5$ . Ta có $\frac{c}{d} = \frac{5}{5} = 1$ .
$a = c+5 = 5+5 = 10$ .
Tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ trở thành $\frac{10}{10} = \frac{5}{5}$ .
$1 = 1$ . Điều này đúng. Vậy $d=5$ là một đáp án.

Nếu xét cả trường hợp $d$ không nguyên dương, hoặc $c$ không nguyên dương, bài toán sẽ phức tạp hơn. Tuy nhiên, trong chương trình Toán 7, các đại lượng thường là số nguyên dương.

Kết luận: Dựa trên giả định $a, b, c, d$ là số nguyên dương, có ba giá trị có thể cho $d$ : 5, 8, 9.
Thông thường, bài toán sẽ có một đáp án duy nhất, có thể có thêm điều kiện là $d$ là số nguyên dương nhỏ nhất, hoặc các tỉ số là tối giản,... Nếu không có thêm điều kiện, thì cả ba giá trị này đều hợp lệ.

Giả sử bài toán có thêm điều kiện là các tỉ số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ là tối giản.

Nếu $d=5$ , ta có $a=10, b=10, c=5, d=5$ . Tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{10}{10} = 1$ (không tối giản).
Nếu $d=8$ , ta có $a=25, b=10, c=20, d=8$ . Tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$ (không tối giản).
Nếu $d=9$ , ta có $a=50, b=10, c=45, d=9$ . Tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{50}{10} = 5$ (không tối giản).

Có vẻ như giả định về số nguyên dương và các tỉ số tối giản cần được xem xét kỹ hơn, hoặc đề bài gốc có thiếu sót.
Trong bối cảnh Toán 7, có thể cách giải đơn giản hơn là dùng tỉ lệ thức $\frac{a}{10} = \frac{c}{d}$ và $a-c=5$ .
Ta có thể viết $a = c+5$ .
Thay vào tính chất: $\frac{a-c}{10-d} = \frac{c}{d}$
$\frac{5}{10-d} = \frac{c}{d}$
$5d = c(10-d)$
Ta cũng có $a = c+5$ , thay vào $\frac{a}{10} = \frac{c}{d}$
$\frac{c+5}{10} = \frac{c}{d}$
$d(c+5) = 10c$
$cd + 5d = 10c$
$5d = 10c - cd$
$5d = c(10-d)$

Từ hai phương trình trên:
$5d = c(10-d)$ và $d(c+5) = 10c$
Nếu không có thêm thông tin, bài toán có vô số nghiệm hoặc ít nhất là vài nghiệm nếu chỉ xét số nguyên dương.
Tuy nhiên, thường trong các bài tập kiểu này, mục tiêu là tìm một giá trị duy nhất.

Cách tiếp cận khác có lẽ là trực tiếp:
Ta có $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .
Nghĩa là $ad = bc$ .
Với $b=10$ , ta có $10a = bc$ .
Ta có $a - c = 5$ , suy ra $a = c+5$ .
Thay $a$ vào phương trình trên:
$10(c+5) = bc$
$10c + 50 = bc$
Vì $b=10$ :
$10c + 50 = 10c$
$50 = 0$ . Điều này vô lý.

Kiểm tra lại đề bài và các tính chất:
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
$a - c = 5$
$b = 10$
Tìm $d$ .

Ta có tính chất: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
$\frac{a}{c} = \frac{10}{d}$
Ta có $a - c = 5 Rightarrow a = c+5$ .
Thay vào: $\frac{c+5}{c} = \frac{10}{d}$
$\frac{c}{c} + \frac{5}{c} = \frac{10}{d}$
$1 + \frac{5}{c} = \frac{10}{d}$
$\frac{c+5}{c} = \frac{10}{d}$
$d(c+5) = 10c$
$dc + 5d = 10c$

THẬT RA, CÓ MỘT LỖI TƯỞNG THUẬT TRONG PHÂN TÍCH CỦA TÔI.
Trong ví dụ 3, tôi đã thử đi tìm $a$ và $c$ .
Nhưng đề bài chỉ yêu cầu tìm $d$ .

Hãy thử lại với tính chất: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .
Ta có $a - c = 5$ .
Và $b = 10$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , thì ta có thể viết $\frac{a}{10} = \frac{c}{d}$ .
Ta có thể suy ra $\frac{a-c}{10-d} = \frac{a}{10} = \frac{c}{d}$ (với $10-d \ne 0$ ).
Thay số vào:
$\frac{5}{10-d} = \frac{a}{10} = \frac{c}{d}$

Từ $\frac{5}{10-d} = \frac{a}{10}$ , ta có $a = \frac{5 \cdot 10}{10-d} = \frac{50}{10-d}$ .
Từ $\frac{5}{10-d} = \frac{c}{d}$ , ta có $c = \frac{5d}{10-d}$ .

Bây giờ, ta sử dụng điều kiện $a - c = 5$ .
$\frac{50}{10-d} - \frac{5d}{10-d} = 5$
$\frac{50 - 5d}{10-d} = 5$
$\frac{5(10-d)}{10-d} = 5$
$5 = 5$

Phương trình này luôn đúng với mọi $d$ sao cho $10-d \ne 0$ .
Điều này có nghĩa là có thể có nhiều giá trị của $d$ thỏa mãn.
CÓ THỂ ĐỀ BÀI ĐÃ THIẾU DỮ KIỆN HOẶC TÔI ĐANG HIỂU SAI CÁCH ÁP DỤNG.

Kiểm tra lại các tính chất:
Tính chất 3: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} Rightarrow \frac{a-c}{b-d} = \frac{a}{b}$
Ta có: $\frac{a-c}{b-d} = \frac{5}{10-d}$
Và $\frac{a}{b} = \frac{a}{10}$ .
Do đó: $\frac{5}{10-d} = \frac{a}{10}$ . (Phương trình 1)

Ta có $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .
Nghĩa là $ad = bc$ .
Với $b=10$ , ta có $ad = 10c$ .
Và $a - c = 5 Rightarrow a = c+5$ .
Thay $a$ vào $ad = 10c$ :
$(c+5)d = 10c$
$cd + 5d = 10c$
$5d = 10c - cd$
$5d = c(10-d)$ (Phương trình 2)

Ta có hai phương trình với 3 ẩn $a, c, d$ (vì $a$ cũng phụ thuộc vào $c$ và $d$ ).
Từ Phương trình 1: $a = \frac{50}{10-d}$ .
Từ Phương trình 2: $c = \frac{5d}{10-d}$ .
Kiểm tra lại $a - c = 5$ :
$\frac{50}{10-d} - \frac{5d}{10-d} = \frac{50-5d}{10-d} = \frac{5(10-d)}{10-d} = 5$ .
Phép kiểm tra này cho thấy mọi $d \ne 10$ đều là nghiệm của hệ phương trình nếu $a, c$ có thể biểu diễn như trên.

RẤT CÓ THỂ ĐỀ BÀI THIẾU DỮ KIỆN.
Hoặc là $a, b, c, d$ có tính chất đặc biệt khác (ví dụ: số nguyên).

Giả sử rằng có một tỉ lệ thức duy nhất mà bài toán muốn đề cập.
Nếu bài toán có nguồn gốc từ sách giáo khoa hoặc bài tập chuẩn, nó phải có một đáp án.
Hãy xem xét lại cách lập tỉ lệ thức từ $a-c=5$ .
Nếu ta có $a$ và $c$ có hiệu là 5.
Và $b=10$ .
$\frac{a}{10} = \frac{c}{d}$ => $ad = 10c$ .

Nếu $a=15, c=10$ (hiệu là 5).
Thì $15d = 10 \cdot 10$ => $15d = 100$ => $d = \frac{100}{15} = \frac{20}{3}$ .
Tỉ lệ thức là $\frac{15}{10} = \frac{10}{20/3}$ => $\frac{3}{2} = \frac{10 \cdot 3}{20} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$ .
Vậy $d = \frac{20}{3}$ là một khả năng.

Nếu $a=20, c=15$ (hiệu là 5).
Thì $20d = 10 \cdot 15$ => $20d = 150$ => $d = \frac{150}{20} = \frac{15}{2}$ .
Tỉ lệ thức là $\frac{20}{10} = \frac{15}{15/2}$ => $2 = \frac{15 \cdot 2}{15} = 2$ .
Vậy $d = \frac{15}{2}$ là một khả năng.

Nếu $a=10, c=5$ (hiệu là 5).
Thì $10d = 10 \cdot 5$ => $10d = 50$ => $d = 5$ .
Tỉ lệ thức là $\frac{10}{10} = \frac{5}{5}$ => $1 = 1$ .
Vậy $d = 5$ là một khả năng.

Các đáp án $d=5, d=15/2, d=20/3$ đều là các số dương.
Dựa trên các ví dụ đã phân tích, dường như bài toán này thiếu một điều kiện để xác định $d$ một cách duy nhất. Tuy nhiên, trong phạm vi Toán 7, các bài toán thường có nghiệm là số nguyên hoặc phân số đơn giản.
Đáp án $d=5$ cho tỉ lệ thức $\frac{10}{10}=\frac{5}{5}$ là đơn giản nhất.
Đáp án $d=15/2$ cho tỉ lệ thức $\frac{20}{10}=\frac{15}{15/2}$ .
Đáp án $d=20/3$ cho tỉ lệ thức $\frac{15}{10}=\frac{10}{20/3}$ .

Nếu xét tính chất $\frac{a-c}{b-d} = \frac{a}{b}$ :
$\frac{5}{10-d} = \frac{a}{10}$
Mà $a=c+5$ .
Nếu $d=5$ , thì $\frac{5}{10-5} = \frac{5}{5} = 1$ .
Vậy $\frac{a}{10} = 1$ => $a = 10$ .
Nếu $a=10$ và $a-c=5$ , thì $c = 10-5 = 5$ .
Kiểm tra tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ : $\frac{10}{10} = \frac{5}{5}$ .
$1 = 1$ . Đúng. Vậy $d=5$ là một đáp án hợp lệ.

Mẹo kiểm tra: Luôn thử lại kết quả vào tỉ lệ thức ban đầu và kiểm tra các điều kiện đề bài.

Lỗi hay gặp: Sử dụng sai tính chất, tính toán nhầm lẫn, hoặc không kiểm tra lại kết quả. Với bài toán thiếu dữ kiện, có thể học sinh sẽ bế tắc hoặc đưa ra một trong các nghiệm tìm được.

Ví dụ 4: Bài toán thực tế

Một đội công nhân sửa chữa một đoạn đường trong 3 ngày với năng suất làm việc nhất định. Nếu bổ sung thêm 6 công nhân nữa thì thời gian sửa chữa giảm còn 2 ngày. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu công nhân?

Phân tích: Bài toán này liên quan đến mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa số công nhân và thời gian hoàn thành công việc.
Gọi số công nhân ban đầu là $x$ (người).
Thời gian sửa chữa ban đầu là 3 ngày.
Khi bổ sung thêm 6 công nhân, số công nhân là $x+6$ (người).
Thời gian sửa chữa sau khi bổ sung là 2 ngày.

Mối quan hệ giữa số công nhân và thời gian hoàn thành công việc (với cùng một khối lượng công việc) là tỉ lệ nghịch. Nghĩa là, tích của số công nhân và thời gian làm việc là không đổi (đại lượng không đổi ở đây là tổng "công suất làm việc" của cả đội, tính bằng người-ngày).

Hướng dẫn giải:
Gọi năng suất của mỗi công nhân là như nhau.
Tổng lượng công việc cần làm (tính bằng công-ngày) là không đổi.
Ban đầu: Số công nhân là $x$ , thời gian là 3 ngày.
Tổng lượng công việc = $x \times 3$ (công-ngày).

Sau khi bổ sung 6 công nhân: Số công nhân là $x+6$ , thời gian là 2 ngày.
Tổng lượng công việc = $(x+6) \times 2$ (công-ngày).

Vì tổng lượng công việc không đổi, ta có phương trình:
$3x = 2(x+6)$

Bây giờ, ta giải phương trình này để tìm $x$ :
$3x = 2x + 12$
$3x - 2x = 12$
$x = 12$

Vậy, lúc đầu đội có 12 công nhân.

Kiểm tra:
Ban đầu: 12 công nhân làm trong 3 ngày. Tổng công việc = $12 \times 3 = 36$ công-ngày.
Sau khi bổ sung 6 công nhân: Số công nhân là $12+6=18$ .
Thời gian làm việc là 2 ngày. Tổng công việc = $18 \times 2 = 36$ công-ngày.
Hai kết quả bằng nhau, chứng tỏ bài giải đúng.

Lỗi hay gặp:

Nhầm lẫn giữa tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch. Nhiều học sinh sẽ viết $3x = 2(x+6)$ (tỉ lệ nghịch) thay vì $3x = 2(x+6)$ hoặc $\frac{3}{2} = \frac{x+6}{x}$ (tỉ lệ thuận).
Sai sót trong quá trình giải phương trình.

Đáp Án/Kết Quả

Bài học này đã trình bày chi tiết về tỉ lệ thức, bao gồm:

Định nghĩa tỉ lệ thức: là đẳng thức của hai tỉ số ( $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ), với $a, d$ là ngoại tỉ và $b, c$ là trung tỉ.
Các tính chất quan trọng:
- Tính chất nhân chéo: $a \cdot d = b \cdot c$ .
- Các tính chất hoán đổi vị trí các số trong tỉ lệ thức.
- Các tính chất thêm/bớt số vào tử và mẫu, dẫn đến khái niệm dãy tỉ số bằng nhau.
Ví dụ minh họa cho từng loại bài tập: kiểm tra tỉ lệ thức, tìm số chưa biết, áp dụng dãy tỉ số bằng nhau, và bài toán thực tế.

Việc nắm vững những kiến thức này là nền tảng để giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến tỉ lệ thức trong chương trình Toán lớp 7 và các cấp học cao hơn.

Tỉ lệ thức là một khái niệm toán học cơ bản nhưng vô cùng quan trọng, xuất hiện xuyên suốt trong nhiều lĩnh vực từ khoa học tự nhiên đến đời sống thực tế. Việc hiểu rõ định nghĩa, các tính chất và cách vận dụng tỉ lệ thức sẽ giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc. Bài viết này đã cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về tỉ lệ thức, hy vọng rằng với các ví dụ được trình bày, học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các dạng bài tập liên quan.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 9, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.