Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9: Lý thuyết và bài tập chi tiết

by Thầy Đông · January 15, 2026

Rate this post

Trong chương trình Toán học lớp 9, việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 là một kỹ năng quan trọng, giúp học sinh vận dụng kiến thức đại số vào giải quyết các vấn đề thực tế. Bài viết này cung cấp lý thuyết đầy đủ và bài tập minh họa, bám sát sách giáo khoa Toán 9 Kết nối tri thức, giúp học sinh nắm vững phương pháp và tự tin chinh phục các dạng toán.

Đề Bài

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:
– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

Ví dụ: Bác Phương chia số tiền 800 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm và khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm. Tính số tiền bác Phương đầu tư cho mỗi khoản.

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu xác định số tiền cụ thể mà bác Phương đã đầu tư vào hai khoản khác nhau, dựa trên tổng số tiền ban đầu và tổng số tiền lãi thu được sau một năm với hai mức lãi suất khác nhau. Dữ kiện quan trọng bao gồm: tổng số tiền đầu tư ban đầu, tổng số tiền lãi, và hai mức lãi suất tương ứng. Hướng giải tổng quát là thiết lập một hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số, tương ứng với số tiền đầu tư cho mỗi khoản.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát:
$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$
trong đó a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 là các hệ số, và x, y là các ẩn số.
Các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Phương pháp thế: Rút một ẩn từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại.
- Phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp rồi cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình để khử một ẩn.
Biểu diễn lãi suất: Lãi suất được tính bằng phần trăm. Nếu một khoản tiền P có lãi suất r (dưới dạng thập phân) trong một năm, thì số tiền lãi thu được là P times r.
Thiết lập phương trình từ bài toán thực tế: Chuyển đổi các thông tin trong đề bài thành các đại lượng toán học và thiết lập mối quan hệ giữa chúng dưới dạng phương trình.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

⦁ Bước 1: Lập hệ phương trình

Chọn ẩn: Gọi số tiền bác Phương đã đầu tư cho khoản thứ nhất là x (triệu đồng) và cho khoản thứ hai là y (triệu đồng).
Đặt điều kiện: Vì x và y là số tiền đầu tư, chúng phải là các số dương. Hơn nữa, mỗi khoản đầu tư không thể vượt quá tổng số tiền ban đầu, nên ta có điều kiện: 0 < x < 800 và 0 < y < 800.
Thiết lập phương trình thứ nhất: Theo đề bài, tổng số tiền cho hai khoản đầu tư là 800 triệu đồng. Do đó, ta có phương trình:
$x + y = 800$
Thiết lập phương trình thứ hai:
- Số tiền lãi thu được mỗi năm từ khoản đầu tư thứ nhất là x nhân với lãi suất 6%/năm, tức là x times 6% = 0,06x (triệu đồng).
- Số tiền lãi thu được mỗi năm từ khoản đầu tư thứ hai là y nhân với lãi suất 8%/năm, tức là y times 8% = 0,08y (triệu đồng).
- Tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng. Do đó, ta có phương trình:
  $0,06x + 0,08y = 54$
  Để làm việc với các hệ số nguyên, ta có thể nhân cả hai vế của phương trình này với 100, ta được:
  $6x + 8y = 5400$
  Chia cả hai vế cho 2 để rút gọn:
  $3x + 4y = 2700$
Hệ phương trình: Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình cần giải:
$\begin{cases} x + y = 800 3x + 4y = 2700 \end{cases}$

⦁ Bước 2: Giải hệ phương trình

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số.
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất (x + y = 800) với 4 để hệ số của y giống với phương trình thứ hai:
$4(x + y) = 4 \times 800$
$4x + 4y = 3200$

Bây giờ, ta có hệ phương trình mới:
$\begin{cases} 4x + 4y = 3200 3x + 4y = 2700 \end{cases}$

Trừ vế theo vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:
$(4x + 4y) - (3x + 4y) = 3200 - 2700$
$4x - 3x + 4y - 4y = 500$
$x = 500$

Thay giá trị x = 500 vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu (x + y = 800):
$500 + y = 800$
Giải phương trình này cho y:
$y = 800 - 500$
$y = 300$

⦁ Bước 3: Trả lời

Kiểm tra điều kiện của ẩn:

x = 500. Điều kiện là 0 < x < 800. 500 thỏa mãn điều kiện này.
y = 300. Điều kiện là 0 < y < 800. 300 thỏa mãn điều kiện này.

Cả hai giá trị tìm được đều thỏa mãn điều kiện đặt ra.

Trả lời: Số tiền bác Phương đã đầu tư cho khoản thứ nhất là 500 triệu đồng và cho khoản thứ hai là 300 triệu đồng.

Mẹo kiểm tra:

Tổng số tiền đầu tư: 500 + 300 = 800 triệu đồng (đúng).
Tiền lãi khoản 1: 500 times 6% = 30 triệu đồng.
Tiền lãi khoản 2: 300 times 8% = 24 triệu đồng.
Tổng tiền lãi: 30 + 24 = 54 triệu đồng (đúng).

Lỗi hay gặp:

Quên đặt điều kiện cho ẩn số.
Nhầm lẫn công thức tính lãi suất hoặc sai sót trong quá trình biến đổi đại số khi giải hệ phương trình.
Không kiểm tra lại nghiệm tìm được với điều kiện của bài toán.

Bài tập Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài 1. Nhân dịp ngày Giỗ Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này tủ lạnh giảm 40% giá niêm yết và máy giặt giảm 25% giá niêm yết. Vì thế, cô Ngọc đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

⦁ Bước 1: Lập hệ phương trình

Chọn ẩn: Gọi giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh là x (triệu đồng) và giá niêm yết của một chiếc máy giặt là y (triệu đồng).
Đặt điều kiện: 0 < x < 25,4 và 0 < y < 25,4.
Phương trình 1: Tổng giá niêm yết là 25,4 triệu đồng:
$x + y = 25,4$
Phương trình 2:
- Giá tủ lạnh sau giảm: x times (100% - 40%) = x times 60% = 0,6x (triệu đồng).
- Giá máy giặt sau giảm: y times (100% - 25%) = y times 75% = 0,75y (triệu đồng).
- Tổng số tiền mua hai mặt hàng sau giảm giá là 16,77 triệu đồng:
  $0,6x + 0,75y = 16,77$
  Nhân hai vế với 100 để loại bỏ số thập phân:
  $60x + 75y = 1677$
Hệ phương trình:
$\begin{cases} x + y = 25,4 60x + 75y = 1677 \end{cases}$

⦁ Bước 2: Giải hệ phương trình
Nhân phương trình thứ nhất với 75:
$75(x + y) = 75 \times 25,4$
$75x + 75y = 1905$

Hệ phương trình mới:
$\begin{cases} 75x + 75y = 1905 60x + 75y = 1677 \end{cases}$

Trừ vế theo vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:
$(75x + 75y) - (60x + 75y) = 1905 - 1677$
$15x = 228$
$x = \frac{228}{15} = 15,2$

Thay x = 15,2 vào phương trình x + y = 25,4:
$15,2 + y = 25,4$
$y = 25,4 - 15,2 = 10,2$

⦁ Bước 3: Trả lời
Kiểm tra điều kiện: x = 15,2 và y = 10,2 đều thỏa mãn 0 < x < 25,4 và 0 < y < 25,4.

Trả lời: Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh là 15,2 triệu đồng và giá niêm yết của một chiếc máy giặt là 10,2 triệu đồng.

Bài 2. Hai người thợ cùng làm công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ rồi người thứ hai làm tiếp 6 giờ thì hoàn thành được 75% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình hoàn thành trong bao lâu?

Hướng dẫn giải

Chọn ẩn: Gọi x là số giờ để người thứ nhất hoàn thành công việc nếu làm một mình, và y là số giờ để người thứ hai hoàn thành công việc nếu làm một mình.
Đặt điều kiện: x > 0 và y > 0.
Phân tích năng suất:
- Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được 1/x (công việc).
- Trong 1 giờ, người thứ hai làm được 1/y (công việc).
- Khi làm chung, trong 1 giờ cả hai người làm được 1/16 (công việc).
Phương trình 1: Dựa vào năng suất làm chung:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}$
Phương trình 2:
- Trong 15 giờ, người thứ nhất làm được 15 times frac{1}{x} = frac{15}{x} (công việc).
- Trong 6 giờ, người thứ hai làm được 6 times frac{1}{y} = frac{6}{y} (công việc).
- Tổng cộng hoàn thành 75% công việc, tức là 3/4 công việc:
  $\frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}$
Hệ phương trình:
$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} \frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4} \end{cases}$
Đặt ẩn phụ: Để đưa về hệ phương trình bậc nhất, ta đặt u = 1/x và v = 1/y. Điều kiện mới là u > 0 và v > 0.
Hệ phương trình trở thành:
$\begin{cases} u + v = \frac{1}{16} 15u + 6v = \frac{3}{4} \end{cases}$
Giải hệ phương trình với ẩn phụ:
Nhân phương trình thứ nhất với 6:
$6(u + v) = 6 \times \frac{1}{16}$
$6u + 6v = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
Hệ phương trình mới:
$\begin{cases} 6u + 6v = \frac{3}{8} 15u + 6v = \frac{3}{4} \end{cases}$
Trừ vế theo vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:
$(15u + 6v) - (6u + 6v) = \frac{3}{4} - \frac{3}{8}$
$9u = \frac{6}{8} - \frac{3}{8} = \frac{3}{8}$
$u = \frac{3}{8 \times 9} = \frac{3}{72} = \frac{1}{24}$
Thay u = 1/24 vào phương trình u + v = 1/16:
$\frac{1}{24} + v = \frac{1}{16}$
$v = \frac{1}{16} - \frac{1}{24} = \frac{3}{48} - \frac{2}{48} = \frac{1}{48}$
Tìm lại ẩn ban đầu:
- u = 1/x = 1/24 implies x = 24
- v = 1/y = 1/48 implies y = 48
Trả lời:
Các giá trị x = 24 và y = 48 đều thỏa mãn điều kiện x > 0 và y > 0.
Nếu làm một mình, người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ, còn người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.

Học tốt Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Việc nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, kết hợp với việc luyện tập thường xuyên các dạng bài tập khác nhau sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán. Hãy chú ý đến việc phân tích đề bài, đặt ẩn và điều kiện phù hợp, cũng như kiểm tra lại kết quả sau khi giải.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 là một công cụ mạnh mẽ để kết nối kiến thức toán học với thế giới xung quanh, giúp các em nhìn nhận vấn đề một cách logic và khoa học hơn.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 15, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.