Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Dạng Hình Học Lớp 9

Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học là một kỹ năng quan trọng giúp học sinh lớp 9 vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các bài toán thực tế. Bài viết này cung cấp phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp các em nắm vững cách giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học một cách hiệu quả.

Đề Bài

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm 5cm thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng 153cm². Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu.

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 20cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 4cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông.

Câu 1: Một thửa ruộng tam giác có diện tích 180m². Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy lên 4m và chiều cao tương ứng giảm đi 1m thì diện tích không đổi.

A. 10m
B. 35m
C. 36m
D. 18m

Câu 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình phương đường chéo gấp 5 lần chu vi. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

A. 6m và 12m
B. 7m và 13m
C. 8m và 14m
D. 9m và 15m

Câu 3: Một tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông hơn kém nhau 8m. Nếu tăng một cạnh góc vuông lên 2 lần và giảm một cạnh góc vuông đi 3 lần thì được tam giác mới có diện tích 51m². Tính độ dài hai cạnh góc vuông.

A. 8m và 16m
B. 9m và 17m
C. 10m và 18m
D. 11m và 19m

Câu 4: Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1m. Nếu chiều dài tăng thêm 1/4 lần độ dài của nó thì được một hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 3m². Tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu.

A. 12m²
B. 13m²
C. 14m²
D. 15m²

Câu 5: Một tam giác vuông có chu vi là 60m và có cạnh huyền là 25m. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác.

A. 28m và 7m
B. 18m và 17m
C. 30m và 5m
D. 20m và 15m

Câu 6: Một hình chữ nhật có cạnh này bằng 2/3 cạnh kia. Nếu bớt đi mỗi cạnh 5m thì diện tích của hình chữ nhật giảm đi 16%. Tính các kích thước của hình chữ nhật ban đầu.

A. 75m và 50m
B. 60m và 40m
C. 30m và 20m
D. 45m và 30m

Câu 7: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256m².

A. 70m và 70m
B. 60m và 80m
C. 30m và 110m
D. 50m và 90m

Câu 8: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 250m. Tính diện tích của khu vườn biết rằng nếu một cạnh giảm 3 lần và cạnh còn lại tăng 2 lần thì chu vi của khu vườn không đổi.

A. 3720m²
B. 3730m²
C. 3740m²
D. 3750m²

Bài 1. Một tam giác vuông có chu vi 30cm, độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác?

Bài 2. Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng 100m². Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68m². Tính diện tích thửa ruộng đó?

Bài 3. Một sân bóng hình chữ nhật có diện tích là 100m². Tính độ dài các cạnh của sân bóng, biết rằng nếu tăng chiều rộng của sân bóng lên 2m và giảm chiều dài của sân bóng đi 5m thì diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm 5m².

Bài 4. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m. Đường chéo hình chữ nhật là 10m. Tính độ dài hai cạnh của mảnh đất hình chữ nhật.

Bài 5. Một tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm². Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài toán dạng này yêu cầu chúng ta xác định rõ các đại lượng chưa biết, mối quan hệ giữa chúng và cách thiết lập một phương trình toán học để tìm ra lời giải. Điều cốt yếu là đọc kỹ đề bài, xác định hình học cụ thể (hình chữ nhật, tam giác, hình vuông…), các thuộc tính của chúng (cạnh, diện tích, chu vi, đường chéo, chiều cao, cạnh huyền…) và cách các đại lượng này thay đổi theo yêu cầu bài toán. Sau khi đã có phương trình, chúng ta cần giải nó và kiểm tra lại nghiệm với điều kiện ban đầu của bài toán.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

• Công thức Hình học cơ bản:
  • Hình chữ nhật có chiều dài $a$, chiều rộng $b$: Diện tích S = a \times b, Chu vi P = 2(a+b).
  • Hình vuông có cạnh $a$: Diện tích S = a^2, Chu vi P = 4a.
  • Tam giác có cạnh đáy $a$, chiều cao tương ứng $h$: Diện tích S = \frac{1}{2} a \times h.
  • Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $a, b$ và cạnh huyền $c$: Định lý Pi-ta-go c^2 = a^2 + b^2.
• Phương pháp lập phương trình:
  • Bước 1: Lập phương trình
    • Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn (ví dụ: độ dài phải dương).
    • Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn số dựa trên các mối quan hệ cho trong đề bài.
    • Thiết lập phương trình biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng đã biết và chưa biết.
  • Bước 2: Giải phương trình
    • Sử dụng các kỹ thuật đại số để tìm nghiệm của phương trình.
  • Bước 3: Đối chiếu và kết luận
    • Kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện ban đầu của ẩn số hay không.
    • Rút ra kết luận cuối cùng cho bài toán.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ đi qua các ví dụ cụ thể để minh họa cho phương pháp này.

Ví dụ 1: Hình chữ nhật tăng kích thước

• Phân tích:

  • Hình chữ nhật ban đầu có chiều rộng $x$ cm, chiều dài 3x cm. Điều kiện: $x > 0$.
  • Kích thước mới: chiều rộng x+5 cm, chiều dài 3x+5 cm.
  • Diện tích hình chữ nhật mới: $153$ cm².

• Thiết lập phương trình:
  Diện tích hình chữ nhật mới là (x+5)(3x+5). Ta có phương trình:
  \left(x+5right)\left(3x+5right) = 153

• Giải phương trình:
  3x^2 + 5x + 15x + 25 = 153
3x^2 + 20x + 25 - 153 = 0
3x^2 + 20x - 128 = 0
  Ta giải phương trình bậc hai này:
  Delta = b^2 - 4ac = 20^2 - 4(3)(-128) = 400 + 1536 = 1936
\sqrt{1936} = 44
  Nghiệm của phương trình là:
  x_1 = \frac{-20 + 44}{2 \times 3} = \frac{24}{6} = 4
x_2 = \frac{-20 - 44}{2 \times 3} = \frac{-64}{6} = -\frac{32}{3}

• Đối chiếu và kết luận:
  Điều kiện là $x > 0$. Do đó, ta loại nghiệm x_2 = -\frac{32}{3}.
  Ta nhận nghiệm x_1 = 4.
  Chiều rộng ban đầu là $4$ cm.
  Chiều dài ban đầu là 3x = 3 \times 4 = 12 cm.
  Chu vi của hình chữ nhật ban đầu là 2(4+12) = 2(16) = 32 cm.

• Mẹo kiểm tra: Chiều rộng mới: 4+5=9 cm. Chiều dài mới: 12+5=17 cm. Diện tích mới: 9 \times 17 = 153 cm². Đúng với đề bài.

• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa kích thước ban đầu và kích thước mới; sai sót khi giải phương trình bậc hai.

Ví dụ 2: Tam giác vuông với cạnh huyền và mối liên hệ cạnh góc vuông

• Phân tích:

  • Tam giác vuông có cạnh huyền $20$ cm.
  • Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau $4$ cm. Gọi một cạnh góc vuông là $x$ cm ($x > 0$). Cạnh góc vuông còn lại là x+4 cm.
  • Áp dụng định lý Pi-ta-go.

• Thiết lập phương trình:
  Theo định lý Pi-ta-go: a^2 + b^2 = c^2
  x^2 + (x+4)^2 = 20^2

• Giải phương trình:
  x^2 + (x^2 + 8x + 16) = 400
2x^2 + 8x + 16 - 400 = 0
2x^2 + 8x - 384 = 0
  Chia cả hai vế cho 2:
  x^2 + 4x - 192 = 0
  Ta giải phương trình bậc hai này:
  Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-192) = 16 + 768 = 784
\sqrt{784} = 28
  Nghiệm của phương trình là:
  x_1 = \frac{-4 + 28}{2 \times 1} = \frac{24}{2} = 12
x_2 = \frac{-4 - 28}{2 \times 1} = \frac{-32}{2} = -16

• Đối chiếu và kết luận:
  Điều kiện là $x > 0$. Ta loại nghiệm x_2 = -16.
  Ta nhận nghiệm x_1 = 12.
  Một cạnh góc vuông là $12$ cm.
  Cạnh góc vuông còn lại là x+4 = 12+4 = 16 cm.

• Mẹo kiểm tra: 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400. Cạnh huyền bình phương là 20^2 = 400. Đúng.

• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa cạnh góc vuông và cạnh huyền; sai sót khi khai triển hằng đẳng thức hoặc giải phương trình bậc hai.

Câu 1: Diện tích tam giác không đổi

• Phân tích:

  • Tam giác có diện tích $180$ m².
  • Gọi cạnh đáy là $x$ m ($x > 0$).
  • Chiều cao tương ứng là $h$ m. Ta có S = \frac{1}{2} x h = 180, suy ra h = \frac{360}{x}.
  • Cạnh đáy tăng $4$ m: x+4 m.
  • Chiều cao giảm $1$ m: h-1 = \frac{360}{x} - 1 m.
  • Diện tích mới không đổi: $180$ m².

• Thiết lập phương trình:
  \frac{1}{2} \left(x+4right) \left(\frac{360}{x} - 1right) = 180

• Giải phương trình:
  Nhân hai vế với 2: \left(x+4right) \left(\frac{360}{x} - 1right) = 360
  Khai triển: x \left(\frac{360}{x}\right) - x + 4 \left(\frac{360}{x}\right) - 4 = 360
360 - x + \frac{1440}{x} - 4 = 360
-x + \frac{1440}{x} - 4 = 0
  Nhân cả hai vế với $x$ (do $x > 0$, nên x \ne 0):
  -x^2 + 1440 - 4x = 0
x^2 + 4x - 1440 = 0
  Ta giải phương trình bậc hai này:
  Delta = 4^2 - 4(1)(-1440) = 16 + 5760 = 5776
\sqrt{5776} = 76
  Nghiệm của phương trình là:
  x_1 = \frac{-4 + 76}{2 \times 1} = \frac{72}{2} = 36
x_2 = \frac{-4 - 76}{2 \times 1} = \frac{-80}{2} = -40

• Đối chiếu và kết luận:
  Điều kiện là $x > 0$. Ta loại nghiệm x_2 = -40.
  Ta nhận nghiệm x_1 = 36.
  Vậy cạnh đáy của thửa ruộng là 36m.

• Đáp án là C.

Câu 2: Hình chữ nhật, mối quan hệ cạnh, đường chéo và chu vi

• Phân tích:

  • Gọi chiều rộng là $x$ m ($x > 0$).
  • Chiều dài là x+6 m.
  • Chu vi là P = 2(x + x+6) = 2(2x+6) = 4x+12 m.
  • Bình phương đường chéo: Theo Pi-ta-go, d^2 = x^2 + (x+6)^2.
  • Mối quan hệ: d^2 = 5P.

• Thiết lập phương trình:
  x^2 + (x+6)^2 = 5(4x+12)

• Giải phương trình:
  x^2 + (x^2 + 12x + 36) = 20x + 60
2x^2 + 12x + 36 = 20x + 60
2x^2 + 12x - 20x + 36 - 60 = 0
2x^2 - 8x - 24 = 0
  Chia cả hai vế cho 2:
  x^2 - 4x - 12 = 0
  Ta giải phương trình bậc hai này:
  Delta = (-4)^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64
\sqrt{64} = 8
  Nghiệm của phương trình là:
  x_1 = \frac{4 + 8}{2 \times 1} = \frac{12}{2} = 6
x_2 = \frac{4 - 8}{2 \times 1} = \frac{-4}{2} = -2

• Đối chiếu và kết luận:
  Điều kiện là $x > 0$. Ta loại nghiệm x_2 = -2.
  Ta nhận nghiệm x_1 = 6.
  Chiều rộng là $6$ m.
  Chiều dài là x+6 = 6+6 = 12 m.

• Đáp án là A.

Câu 3: Tam giác vuông, thay đổi kích thước cạnh

• Phân tích:

  • Gọi một cạnh góc vuông là $x$ m ($x > 0$).
  • Cạnh góc vuông còn lại là x+8 m.
  • Diện tích ban đầu: S_{ban đầu} = \frac{1}{2} x (x+8).
  • Giả sử tăng cạnh nhỏ lên 2 lần: 2x.
  • Giảm cạnh lớn đi 3 lần: \frac{x+8}{3}.
  • Diện tích mới: S_{mới} = \frac{1}{2} (2x) \left(\frac{x+8}{3}\right) = 51 m².

• Thiết lập phương trình:
  \frac{1}{2} (2x) \left(\frac{x+8}{3}\right) = 51

• Giải phương trình:
  x \left(\frac{x+8}{3}\right) = 51
\frac{x(x+8)}{3} = 51
x(x+8) = 153
x^2 + 8x = 153
x^2 + 8x - 153 = 0
  Ta giải phương trình bậc hai này:
  Delta = 8^2 - 4(1)(-153) = 64 + 612 = 676
\sqrt{676} = 26
  Nghiệm của phương trình là:
  x_1 = \frac{-8 + 26}{2 \times 1} = \frac{18}{2} = 9
x_2 = \frac{-8 - 26}{2 \times 1} = \frac{-34}{2} = -17

• Đối chiếu và kết luận:
  Điều kiện là $x > 0$. Ta loại nghiệm x_2 = -17.
  Ta nhận nghiệm x_1 = 9.
  Một cạnh góc vuông là $9$ m.
  Cạnh góc vuông còn lại là x+8 = 9+8 = 17 m.

• Đáp án là B.

Câu 4: Hình chữ nhật, thay đổi chiều dài

• Phân tích:

  • Gọi chiều rộng là $x$ m ($x > 0$).
  • Chiều dài là x+1 m.
  • Diện tích ban đầu: S_{ban đầu} = x(x+1).
  • Chiều dài tăng thêm 1/4 lần độ dài của nó: d_{mới} = (x+1) + \frac{1}{4}(x+1) = \frac{5}{4}(x+1).
  • Chiều rộng giữ nguyên là $x$.
  • Diện tích mới: S_{mới} = x \times \frac{5}{4}(x+1).
  • Diện tích mới tăng thêm $3$ m², nghĩa là S<em>{mới} = S</em>{ban đầu} + 3.

• Thiết lập phương trình:
  x \times \frac{5}{4}(x+1) = x(x+1) + 3

• Giải phương trình:
  \frac{5}{4}x(x+1) - x(x+1) = 3
\left(\frac{5}{4} - 1right) x(x+1) = 3
\frac{1}{4} x(x+1) = 3
x(x+1) = 12
x^2 + x = 12
x^2 + x - 12 = 0
  Ta giải phương trình bậc hai này:
  Delta = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49
\sqrt{49} = 7
  Nghiệm của phương trình là:
  x_1 = \frac{-1 + 7}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3
x_2 = \frac{-1 - 7}{2 \times 1} = \frac{-8}{2} = -4

• Đối chiếu và kết luận:
  Điều kiện là $x > 0$. Ta loại nghiệm x_2 = -4.
  Ta nhận nghiệm x_1 = 3.
  Chiều rộng là $3$ m.
  Chiều dài là x+1 = 3+1 = 4 m.
  Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là 3 \times 4 = 12 m².

• Đáp án là A.

Câu 5: Tam giác vuông, chu vi và cạnh huyền

• Phân tích:

  • Chu vi P = 60 m, cạnh huyền c = 25 m.
  • Tổng hai cạnh góc vuông a+b = P - c = 60 - 25 = 35 m.
  • Gọi một cạnh góc vuông là $x$ m ($0 < x < 35$).
  • Cạnh góc vuông còn lại là 35-x m.
  • Áp dụng định lý Pi-ta-go: a^2 + b^2 = c^2.

• Thiết lập phương trình:
  x^2 + (35-x)^2 = 25^2

• Giải phương trình:
  x^2 + (1225 - 70x + x^2) = 625
2x^2 - 70x + 1225 - 625 = 0
2x^2 - 70x + 600 = 0
  Chia cả hai vế cho 2:
  x^2 - 35x + 300 = 0
  Ta giải phương trình bậc hai này:
  Delta = (-35)^2 - 4(1)(300) = 1225 - 1200 = 25
\sqrt{25} = 5
  Nghiệm của phương trình là:
  x_1 = \frac{35 + 5}{2 \times 1} = \frac{40}{2} = 20
x_2 = \frac{35 - 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15

• Đối chiếu và kết luận:
  Cả hai nghiệm x_1=20 và x_2=15 đều thỏa mãn điều kiện $0 < x < 35$.
  Nếu x=20, thì cạnh còn lại là 35-20=15.
  Nếu x=15, thì cạnh còn lại là 35-15=20.
  Vậy hai cạnh góc vuông là 20m và 15m.

• Đáp án là D.

Câu 6: Hình chữ nhật, thay đổi kích thước và diện tích giảm

• Phân tích:

  • Gọi một cạnh là $x$ m ($x>5$).
  • Cạnh kia là \frac{2}{3}x m.
  • Diện tích ban đầu: S_{ban đầu} = x \times \frac{2}{3}x = \frac{2}{3}x^2.
  • Cạnh thứ nhất bớt 5m: x-5 m.
  • Cạnh thứ hai bớt 5m: \frac{2}{3}x - 5 m.
  • Diện tích mới: S_{mới} = (x-5)(\frac{2}{3}x - 5).
  • Diện tích giảm 16% nghĩa là còn 100% - 16% = 84% diện tích ban đầu.
  • S<em>{mới} = 0.84 \times S</em>{ban đầu}.

• Thiết lập phương trình:
  \left(x-5right)\left(\frac{2}{3}x - 5right) = 0.84 \times \left(\frac{2}{3}x^2right)

• Giải phương trình:
  Khai triển vế trái: \frac{2}{3}x^2 - 5x - \frac{10}{3}x + 25 = 0.84 \times \frac{2}{3}x^2
\frac{2}{3}x^2 - \left(5 + \frac{10}{3}\right)x + 25 = \frac{1.68}{3}x^2
\frac{2}{3}x^2 - \frac{25}{3}x + 25 = 0.56x^2
  Chuyển vế:
  \left(\frac{2}{3} - 0.56right)x^2 - \frac{25}{3}x + 25 = 0
\left(\frac{2}{3} - \frac{56}{100}\right)x^2 - \frac{25}{3}x + 25 = 0
\left(\frac{200 - 168}{300}\right)x^2 - \frac{25}{3}x + 25 = 0
\frac{32}{300}x^2 - \frac{25}{3}x + 25 = 0
\frac{8}{75}x^2 - \frac{25}{3}x + 25 = 0
  Nhân cả hai vế với 75 để khử mẫu:
  8x^2 - 25 \times 25x + 25 \times 75 = 0
8x^2 - 625x + 1875 = 0
  Ta giải phương trình bậc hai này. Sử dụng máy tính hoặc phân tích:
  Delta = (-625)^2 - 4(8)(1875) = 390625 - 60000 = 330625
\sqrt{330625} = 575
  Nghiệm của phương trình là:
  x_1 = \frac{625 + 575}{2 \times 8} = \frac{1200}{16} = 75
x_2 = \frac{625 - 575}{2 \times 8} = \frac{50}{16} = \frac{25}{8} = 3.125

• Đối chiếu và kết luận:
  Điều kiện là $x > 5$. Ta loại nghiệm x_2 = 3.125.
  Ta nhận nghiệm x_1 = 75.
  Một cạnh là $75$ m.
  Cạnh kia là \frac{2}{3} \times 75 = 50 m.

• Đáp án là A.

Câu 7: Khu vườn hình chữ nhật, có lối đi

• Phân tích:

  • Chu vi khu vườn là $280$ m. Nửa chu vi là $140$ m.
  • Gọi một cạnh của vườn là $x$ m ($0 < x < 140$).
  • Cạnh còn lại là 140-x m.
  • Diện tích toàn bộ khu vườn là S_{vườn} = x(140-x).
  • Lối đi rộng $2$ m bao quanh vườn (nằm trong vườn).
  • Khu đất còn lại để trồng trọt có diện tích $4256$ m².
  • Kích thước khu đất trồng trọt: chiều dài x-2-2 = x-4 m, chiều rộng (140-x)-2-2 = 136-x m.

• Thiết lập phương trình:
  (x-4)(136-x) = 4256

• Giải phương trình:
  Khai triển: 136x - x^2 - 544 + 4x = 4256
-x^2 + 140x - 544 = 4256
-x^2 + 140x - 544 - 4256 = 0
-x^2 + 140x - 4800 = 0
  Nhân cả hai vế với -1:
  x^2 - 140x + 4800 = 0
  Ta giải phương trình bậc hai này:
  Delta = (-140)^2 - 4(1)(4800) = 19600 - 19200 = 400
\sqrt{400} = 20
  Nghiệm của phương trình là:
  x_1 = \frac{140 + 20}{2 \times 1} = \frac{160}{2} = 80
x_2 = \frac{140 - 20}{2 \times 1} = \frac{120}{2} = 60

• Đối chiếu và kết luận:
  Nếu x=80, thì cạnh còn lại là 140-80=60. Điều kiện $0 < x < 140$ thỏa mãn.
  Nếu x=60, thì cạnh còn lại là 140-60=80. Điều kiện $0 < x < 140$ thỏa mãn.
  Vậy khu vườn có một cạnh là 80m, cạnh còn lại là 60m.

• Đáp án là B.

Câu 8: Khu vườn hình chữ nhật, thay đổi kích thước cạnh, chu vi không đổi

• Phân tích:

  • Chu vi khu vườn là $250$ m. Nửa chu vi là $125$ m.
  • Gọi cạnh thứ nhất là $x$ m ($0 < x < 125$).
  • Cạnh thứ hai là 125-x m.
  • Diện tích ban đầu: S_{ban đầu} = x(125-x).
  • Giả sử cạnh thứ nhất giảm đi 3 lần: \frac{x}{3} m.
  • Cạnh thứ hai tăng lên 2 lần: 2(125-x) m.
  • Chu vi mới không đổi.
  • Chu vi mới: P_{mới} = 2left(\frac{x}{3} + 2(125-x)\right).

• Thiết lập phương trình:
  P_{mới} = 250
  2left(\frac{x}{3} + 2(125-x)\right) = 250

• Giải phương trình:
  Chia hai vế cho 2: \frac{x}{3} + 2(125-x) = 125
\frac{x}{3} + 250 - 2x = 125
\frac{x}{3} - 2x = 125 - 250
\frac{x - 6x}{3} = -125
\frac{-5x}{3} = -125
-5x = -375
x = \frac{-375}{-5} = 75

• Đối chiếu và kết luận:
  Ta nhận nghiệm x=75. Điều kiện $0 < x < 125$ thỏa mãn.
  Cạnh thứ nhất là $75$ m.
  Cạnh thứ hai là 125-75 = 50 m.
  Diện tích của khu vườn hình chữ nhật ban đầu là 75 \times 50 = 3750 m².

• Đáp án là D.

Đáp Án/Kết Quả

• Ví dụ 1: Chu vi hình chữ nhật ban đầu là 32 cm.
• Ví dụ 2: Hai cạnh góc vuông của tam giác là 12cm và 16cm.
• Câu 1: Cạnh đáy là 36m. (Đáp án C)
• Câu 2: Chiều rộng 6m, chiều dài 12m. (Đáp án A)
• Câu 3: Hai cạnh góc vuông là 9m và 17m. (Đáp án B)
• Câu 4: Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 12m². (Đáp án A)
• Câu 5: Hai cạnh góc vuông là 20m và 15m. (Đáp án D)
• Câu 6: Hai kích thước là 75m và 50m. (Đáp án A)
• Câu 7: Kích thước vườn là 60m và 80m. (Đáp án B)
• Câu 8: Diện tích khu vườn là 3750m². (Đáp án D)

Bài tập tự luyện

Bài 1. Một tam giác vuông có chu vi 30cm, độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác?

• Gợi ý: Gọi hai cạnh góc vuông là $x$ và x+7. Cạnh huyền là 30 - (x + x+7) = 23-2x. Áp dụng Pitago: x^2 + (x+7)^2 = (23-2x)^2.

Bài 2. Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng 100m². Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68m². Tính diện tích thửa ruộng đó?

• Gợi ý: Gọi chiều dài là $x$, chiều rộng là $y$. Lập hệ phương trình:
  \begin{cases} (x+2)(y+3) - xy = 100 xy - (x-2)(y-2) = 68 \end{cases}
  Rút gọn hệ phương trình để tìm $x, y$.

Bài 3. Một sân bóng hình chữ nhật có diện tích là 100m². Tính độ dài các cạnh của sân bóng, biết rằng nếu tăng chiều rộng của sân bóng lên 2m và giảm chiều dài của sân bóng đi 5m thì diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm 5m².

• Gợi ý: Gọi chiều dài là $x$, chiều rộng là $y$. Lập hệ phương trình:
  \begin{cases} xy = 100 (x-5)(y+2) - xy = 5 \end{cases}
  Rút gọn hệ phương trình để tìm $x, y$.

Bài 4. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m. Đường chéo hình chữ nhật là 10m. Tính độ dài hai cạnh của mảnh đất hình chữ nhật.

• Gợi ý: Gọi hai cạnh là $x, y$. Ta có hệ:
  \begin{cases} 2(x+y) = 28 implies x+y = 14 x^2 + y^2 = 10^2 = 100 \end{cases}
  Từ x+y=14, suy ra (x+y)^2 = 14^2 = 196.
  Ta có (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy.
  196 = 100 + 2xy implies 2xy = 96 implies xy = 48.
  Tìm hai số có tổng là 14 và tích là 48 (phương trình t^2 - 14t + 48 = 0).

Bài 5. Một tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm². Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.

• Gợi ý: Gọi cạnh đáy là $x$ dm, chiều cao là \frac{3}{4}x dm.
  Diện tích ban đầu: S_1 = \frac{1}{2} x (\frac{3}{4}x).
  Chiều cao mới: \frac{3}{4}x + 3. Cạnh đáy mới: x-3.
  Diện tích mới: S_2 = \frac{1}{2} (x-3)(\frac{3}{4}x + 3).
  Ta có S_2 = S_1 + 12. Giải phương trình tìm $x$.

Bài viết này đã trình bày chi tiết phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học lớp 9, bao gồm các bước thực hiện, các lưu ý quan trọng và các ví dụ minh họa. Nắm vững các kiến thức cơ bản về hình học và kỹ năng giải phương trình sẽ giúp các em tự tin chinh phục dạng bài này.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.