Giải Toán Căn Thức Bậc Hai Và Hằng Đẳng Thức SGK Toán 9 Tập 1

Trong chương trình Toán 9, việc nắm vững các kiến thức về căn thức bậc hai và hằng đẳng thức là vô cùng quan trọng, đặc biệt là khi áp dụng vào việc giải các bài tập trong sách giáo khoa. Các bài tập này không chỉ giúp củng cố lý thuyết mà còn rèn luyện kỹ năng biến đổi biểu thức, suy luận logic và tìm ra đáp án chính xác. Bài viết này sẽ cung cấp hướng dẫn chi tiết cho các bài tập từ trang 11 đến trang 12, tập 1, bao gồm các dạng toán biến đổi, rút gọn biểu thức, giải phương trình và chứng minh đẳng thức liên quan đến căn bậc hai.

Đề Bài

Bài tập minh họa về giá trị tuyệt đối của biểu thức dạng căn bậc hai

a) ( left| {2 – sqrt 3 } right| )

b) ( left| {3 – sqrt {11} } right| )

c) ( 2sqrt {{a^2}} ) với ( a ge 0 )

d) ( 3sqrt {{{left( {a – 2} right)}^2}} ) với ( a < 2 )

Bài 9 trang 11 sgk Toán 9 – tập 1

Tìm x biết

a) ( sqrt{x^2}=7 )

b) ( sqrt{x^2}= left | -8 right | )

c) ( sqrt{4x^2}=6 )

d) ( sqrt{9x^2}= left |-12 right | )

Bài 10 trang 11 sgk Toán 9 – tập 1

Chứng minh

a) ( (sqrt{3}- 1)^{2}= 4 – 2sqrt{3} )

b) ( sqrt{4 – 2sqrt{3}}- sqrt{3} = -1 )

Bài 11 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Tính

a) ( sqrt{16}.sqrt{25}+sqrt{196}:sqrt{49} )

b) ( 36:sqrt{2.3^2.18}-sqrt{169} )

c) ( sqrt{sqrt{81}} )

d) ( sqrt{3^2+4^2} )

Bài 12 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) ( sqrt{2x+7} )

b) ( sqrt{-3x+4} )

c) ( sqrt{frac{1}{-1+x}} )

d) ( sqrt{1+x^2} )

Bài 13 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) ( 2sqrt {{a^2}} – 5a ) với ( (a<0) )

b) ( sqrt{25a^{2}}+ 3a ) với ( (age0) )

c) ( sqrt {9{a^4}} + 3{a^2} )

d) ( 5sqrt{4a^{6}} – 3a^{3} ) với ( a<0 )

Bài 14 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Phân tích thành nhân tử:

a) ( x^{2}- 3 )

b) ( x^{2}- 6 )

c) ( x^{2} + 2sqrt{3}x + 3 )

d) ( x^{2} – 2sqrt{5}x + 5 )

Bài 15 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Giải các phương trình sau:

a) ( {x^2} – 5 = 0 )

b) ( {x^2} – 2sqrt {11} x + 11 = 0 )

Bài 16 trang 12 sgk Toán 9 tập 1

Đố: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây.

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có

( m^2+V^2=V^2+m^2 )

Cộng hai vế với ( -2mV ). Ta có

( m^2-2mV+V^2=V^2-2mV+m^2 )

hay ( (m-V)^2=(V-m)^2 )

Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:

( sqrt{(m-V)^2}=sqrt{(V-m)^2} )

Do đó ( m-V=V-m )

Từ đó ta có ( 2m=2V ), suy ra ( m=V ). Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trong phần này yêu cầu áp dụng trực tiếp định nghĩa căn bậc hai, tính chất của giá trị tuyệt đối và các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi, rút gọn biểu thức, giải phương trình và chứng minh đẳng thức. Đối với các bài tập có chứa biến, cần chú ý điều kiện của biến để xác định dấu của biểu thức khi bỏ giá trị tuyệt đối hoặc khi khai phương. Bài toán đố cuối cùng kiểm tra khả năng nhận diện lỗi sai trong lập luận toán học.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Định nghĩa căn bậc hai:

   • Căn bậc hai của một số không âm (a) là một số (x) sao cho ( x^2 = a ).
   • Mỗi số không âm (a) có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: một số dương ( sqrt{a} ) (gọi là căn bậc hai số học) và một số âm ( -sqrt{a} ).
   • Với mọi (a ge 0), ( sqrt{a^2} = |a| ).

2. Giá trị tuyệt đối:

   • ( |a| = a ) nếu ( a ge 0 ).
   • ( |a| = -a ) nếu ( a < 0 ).

3. Hằng đẳng thức đáng nhớ:

   • ( (A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 )
   • ( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 )
   • ( A^2 – B^2 = (A-B)(A+B) )

4. Tính chất của căn bậc hai số học:

   • ( sqrt{a^2} = |a| )
   • ( sqrt{a.b} = sqrt{a} . sqrt{b} ) (với ( a, b ge 0 ))
   • ( sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} ) (với ( a ge 0, b > 0 ))

5. Điều kiện để căn thức có nghĩa:

   • ( sqrt{A} ) có nghĩa khi ( A ge 0 ).
   • ( sqrt{frac{A}{B}} ) có nghĩa khi ( A ge 0 ) và ( B > 0 ).

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài tập minh họa về giá trị tuyệt đối của biểu thức dạng căn bậc hai

a) Ta có ( 2^2 = 4 ) và ( (sqrt 3)^2 = 3 ). Vì ( 4 > 3 ) nên ( sqrt 4 > sqrt 3 ), suy ra ( 2 > sqrt 3 ). Do đó ( 2 – sqrt 3 > 0 ).
Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có ( |2 – sqrt 3| = 2 – sqrt 3 ).
Do đó: ( sqrt {{{left( {2 – sqrt 3 } right)}^2}} = |2 – sqrt 3| = 2 – sqrt 3 ).

b) Ta có ( 3^2 = 9 ) và ( (sqrt {11})^2 = 11 ). Vì ( 9 < 11 ) nên ( sqrt 9 < sqrt {11} ), suy ra ( 3 < sqrt {11} ). Do đó ( 3 – sqrt {11} < 0 ).
Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có ( |3 – sqrt {11}| = -(3 – sqrt {11}) = -3 + sqrt{11} = sqrt{11} – 3 ).
Do đó: ( sqrt {{{left( {3 – sqrt {11} } right)}^2}} = |3 – sqrt {11}| = sqrt{11} – 3 ).

c) Ta có ( 2sqrt {{a^2}} ). Vì ( a ge 0 ) nên ( |a| = a ).
Do đó ( 2sqrt {{a^2}} = 2|a| = 2a ).

d) Ta có ( 3sqrt {{{left( {a – 2} right)}^2}} ). Vì ( a < 2 ) nên ( a – 2 < 0 ).
Áp dụng ( sqrt{X^2} = |X| ), ta có ( sqrt {{{left( {a – 2} right)}^2}} = |a – 2| ).
Vì ( a – 2 < 0 ) nên ( |a – 2| = -(a – 2) = -a + 2 = 2 – a ).
Do đó: ( 3sqrt {{{left( {a – 2} right)}^2}} = 3|a – 2| = 3(2 – a) = 6 – 3a ).

• Mẹo kiểm tra: Với các biểu thức chứa căn bậc hai của bình phương, hãy luôn nhớ đến giá trị tuyệt đối. Kiểm tra dấu của biểu thức bên trong bình phương để xác định xem có cần đổi dấu khi bỏ ngoặc tuyệt đối hay không.
• Lỗi hay gặp: Quên mất ( sqrt{x^2} = |x| ) và thay thế bằng ( x ) hoặc ( -x ) một cách tùy tiện mà không xét điều kiện của ( x ).

Bài 9 trang 11 sgk Toán 9 – tập 1

a) Ta có ( sqrt{x^2} = |x| ).
Đề bài cho ( sqrt{x^2} = 7 ).
Suy ra ( |x| = 7 ).
( Leftrightarrow x = pm 7 ).

b) Ta có ( |-8| = 8 ). Đề bài cho ( sqrt{x^2} = |-8| ).
Suy ra ( sqrt{x^2} = 8 ).
Hay ( |x| = 8 ).
( Leftrightarrow x = pm 8 ).

c) Ta có ( sqrt{4x^2} = sqrt{(2x)^2} = |2x| ).
Đề bài cho ( sqrt{4x^2} = 6 ).
Suy ra ( |2x| = 6 ).
( Leftrightarrow 2x = pm 6 ).
( Leftrightarrow x = pm 3 ).

d) Ta có ( sqrt{9x^2} = sqrt{(3x)^2} = |3x| ).
Đề bài cho ( sqrt{9x^2} = |-12| ).
Mà ( |-12| = 12 ).
Suy ra ( |3x| = 12 ).
( Leftrightarrow 3x = pm 12 ).
( Leftrightarrow x = pm 4 ).

• Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được ( x ), thay vào đề bài để kiểm tra. Ví dụ ở câu a), với ( x=7 ) ta có ( sqrt{7^2} = sqrt{49} = 7 ) (đúng). Với ( x=-7 ) ta có ( sqrt{(-7)^2} = sqrt{49} = 7 ) (đúng).
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn ( sqrt{x^2}=x ) thay vì ( |x| ), dẫn đến bỏ sót nghiệm âm.

Bài 10 trang 11 sgk Toán 9 – tập 1

a) Ta có ( VT = (sqrt{3}- 1)^2 ).
Áp dụng hằng đẳng thức ( (A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 ) với ( A = sqrt{3} ) và ( B = 1 ).
( VT = (sqrt{3})^2 – 2.sqrt{3}.1 + 1^2 )
( = 3 – 2sqrt{3} + 1 )
( = (3+1) – 2sqrt{3} )
( = 4 – 2sqrt{3} ).
Vế phải là ( VP = 4 – 2sqrt{3} ).
Vậy ( VT = VP ), đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có ( VT = sqrt {4 – 2sqrt 3 } – sqrt 3 ).
Ta cần biến đổi biểu thức dưới dấu căn ( 4 – 2sqrt 3 ) thành dạng bình phương của một hiệu.
Ta nhận thấy ( 4 = 3 + 1 ). Do đó ( 4 – 2sqrt 3 = 3 + 1 – 2sqrt 3 ).
Sắp xếp lại: ( (sqrt{3})^2 – 2.sqrt{3}.1 + 1^2 ).
Đây chính là dạng bình phương của hiệu ( (sqrt{3} – 1)^2 ).
Vậy ( VT = sqrt {(sqrt{3} – 1)^2} – sqrt 3 ).
Áp dụng ( sqrt{X^2} = |X| ), ta có ( sqrt {(sqrt{3} – 1)^2} = |sqrt{3} – 1| ).
Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta xét dấu của ( sqrt{3} – 1 ).
Ta có ( (sqrt{3})^2 = 3 ) và ( 1^2 = 1 ). Vì ( 3 > 1 ) nên ( sqrt{3} > 1 ), suy ra ( sqrt{3} – 1 > 0 ).
Do đó ( |sqrt{3} – 1| = sqrt{3} – 1 ).
Thay vào biểu thức VT:
( VT = (sqrt{3} – 1) – sqrt 3 )
( = sqrt{3} – 1 – sqrt 3 )
( = (sqrt{3} – sqrt{3}) – 1 )
( = -1 ).
Vế phải là ( VP = -1 ).
Vậy ( VT = VP ), đẳng thức được chứng minh.

• Mẹo kiểm tra: Với các bài chứng minh dạng ( sqrt{A pm 2sqrt{B}} ), hãy thử phân tích ( A ) thành tổng của hai số mà tích của chúng là ( B ). Sau đó, dùng hằng đẳng thức ( (sqrt{x} pm sqrt{y})^2 = x+y pm 2sqrt{xy} ).
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn dấu khi khai phương ( sqrt{X^2} ) hoặc khi xét dấu của biểu thức bên trong ( |X| ).

Bài 11 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

a) Ta có:
( sqrt{16}.sqrt{25}+sqrt{196}:sqrt{49} )
( =sqrt{4^2}.sqrt{5^2}+sqrt{14^2}:sqrt{7^2} )
( =|4|.|5|+|14|:|7| )
( =4.5+14:7 )
( =20+2 )
( =22 ).

b) Ta có:
( 36:sqrt{2.3^2.18}-sqrt{169} )
Đầu tiên, ta tính giá trị dưới dấu căn thứ nhất: ( 2.3^2.18 = 2.9.18 = 18.18 = 18^2 ).
( = 36:sqrt{18^2}-sqrt{13^2} )
( = 36:|18|-|13| )
( = 36:18-13 )
( = 2-13 )
( = -11 ).

c) Ta có:
( sqrt{sqrt{81}} )
Trong ngoặc trước: ( sqrt{81} = sqrt{9^2} = |9| = 9 ).
( Rightarrow sqrt{sqrt{81}} = sqrt{9} = sqrt{3^2} = |3| = 3 ).

d) Ta có:
( sqrt{3^2+4^2} )
( =sqrt{9+16} )
( =sqrt{25} )
( =sqrt{5^2} )
( =|5| )
( =5 ).

• Mẹo kiểm tra: Tính toán từng phần nhỏ của biểu thức rồi ghép lại. Kiểm tra lại các phép tính bình phương, căn bậc hai và các phép toán số học.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn thứ tự ưu tiên các phép toán hoặc tính sai các giá trị căn bậc hai cơ bản.

Bài 12 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Để một căn thức có nghĩa, biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải không âm. Đối với căn thức dạng phân số, mẫu số phải khác 0.

a) ( sqrt{2x+7} ) có nghĩa khi và chỉ khi: ( 2x+7 ge 0 )
( Leftrightarrow 2x ge -7 )
( Leftrightarrow x ge frac{-7}{2} ).
Vậy ( x ge -frac{7}{2} ).

b) ( sqrt{-3x+4} ) có nghĩa khi và chỉ khi: ( -3x+4 ge 0 )
( Leftrightarrow -3x ge -4 )
( Leftrightarrow x le frac{-4}{-3} ) (Chia hai vế cho -3, đổi chiều bất đẳng thức)
( Leftrightarrow x le frac{4}{3} ).

c) ( sqrt{frac{1}{-1+x}} ) có nghĩa khi và chỉ khi: ( frac{1}{-1+x} ge 0 ) và ( -1+x ne 0 ).
Vì tử số là ( 1 ) (dương), nên để phân số không âm, mẫu số phải dương.
( Rightarrow -1+x > 0 )
( Leftrightarrow x > 1 ).

d) ( sqrt{1+x^2} ).
Ta có ( x^2 ge 0 ) với mọi số thực ( x ).
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức ( x^2 ge 0 ) với ( 1 ), ta được:
( x^2 + 1 ge 0 + 1 )
( Leftrightarrow x^2 + 1 ge 1 ).
Vì ( 1 > 0 ) nên ( x^2 + 1 > 0 ).
Do đó, căn thức ( sqrt{1+x^2} ) luôn có nghĩa với mọi số thực ( x ).

• Mẹo kiểm tra: Với mỗi trường hợp, hãy thử một vài giá trị của ( x ) thỏa mãn và không thỏa mãn điều kiện để kiểm tra. Ví dụ ở câu a), thử ( x=0 ) (thỏa mãn ( 0 ge -3.5 )) ta có ( sqrt{7} ) có nghĩa. Thử ( x=-4 ) (không thỏa mãn ( -4 < -3.5 )) ta có ( sqrt{2(-4)+7} = sqrt{-1} ) không có nghĩa.
• Lỗi hay gặp: Sai sót khi giải bất phương trình, đặc biệt là khi nhân hoặc chia hai vế cho số âm.

Bài 13 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

a) ( 2sqrt {{a^2}} – 5a ) với ( (a<0) ).
Ta có ( sqrt{a^2} = |a| ).
Do ( a < 0 ) nên ( |a| = -a ).
( Rightarrow 2sqrt {{a^2}} – 5a = 2|a| – 5a = 2(-a) – 5a ).
( = -2a – 5a )
( = (-2 – 5)a )
( = -7a ).

b) ( sqrt{25a^{2}}+ 3a ) với ( (age0) ).
Ta có ( sqrt{25a^2} = sqrt{(5a)^2} = |5a| ).
Do ( a ge 0 ) nên ( 5a ge 0 ), suy ra ( |5a| = 5a ).
( Rightarrow sqrt{25a^{2}}+ 3a = 5a + 3a )
( = (5 + 3)a )
( = 8a ).

c) ( sqrt {9{a^4}} + 3{a^2} ).
Ta có ( sqrt{9a^4} = sqrt{(3a^2)^2} = |3a^2| ).
Vì ( a^2 ge 0 ) với mọi ( a ) nên ( 3a^2 ge 0 ).
Do đó ( |3a^2| = 3a^2 ).
( Rightarrow sqrt {9{a^4}} + 3{a^2} = 3a^2 + 3a^2 )
( = (3 + 3)a^2 )
( = 6a^2 ).

d) ( 5sqrt{4a^{6}} – 3a^{3} ) với ( a<0 ).
Ta có ( sqrt{4a^6} = sqrt{(2a^3)^2} = |2a^3| ).
Vì ( a < 0 ) nên ( a^3 < 0 ). Do đó ( 2a^3 < 0 ).
Suy ra ( |2a^3| = -(2a^3) = -2a^3 ).
( Rightarrow 5sqrt{4a^{6}} – 3a^{3} = 5|2a^3| – 3a^3 )
( = 5(-2a^3) – 3a^3 )
( = -10a^3 – 3a^3 )
( = (-10 – 3)a^3 )
( = -13a^3 ).

• Mẹo kiểm tra: Luôn viết lại ( sqrt{X^2} = |X| ) và kiểm tra điều kiện của biến ( a ) để xác định dấu của ( |X| ).
• Lỗi hay gặp: Quên mất giá trị tuyệt đối khi khai phương bình phương, đặc biệt khi có điều kiện ( a<0 ) hoặc khi biểu thức bên trong bình phương là ( a^n ) với ( n ) lẻ.

Bài 14 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

a) Ta có:
( x^{2} – 3 = x^2 – (sqrt{3})^2 )
Áp dụng hằng đẳng thức ( A^2 – B^2 = (A-B)(A+B) ) với ( A=x ) và ( B=sqrt{3} ).
( = (x – sqrt{3})(x + sqrt{3}) ).

b) Ta có:
( x^{2}- 6 = x^2 – (sqrt{6})^2 )
Áp dụng hằng đẳng thức ( A^2 – B^2 = (A-B)(A+B) ) với ( A=x ) và ( B=sqrt{6} ).
( = (x – sqrt{6})(x + sqrt{6}) ).

c) Ta có:
( x^2 + 2sqrt{3}x + 3 )
Ta nhận thấy ( 3 = (sqrt{3})^2 ). Biểu thức trở thành:
( x^2 + 2.x.sqrt{3} + (sqrt{3})^2 )
Áp dụng hằng đẳng thức ( A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2 ) với ( A=x ) và ( B=sqrt{3} ).
( = (x + sqrt{3})^2 ).

d) Ta có:
( x^2 – 2sqrt{5}x + 5 )
Ta nhận thấy ( 5 = (sqrt{5})^2 ). Biểu thức trở thành:
( x^2 – 2.x.sqrt{5} + (sqrt{5})^2 )
Áp dụng hằng đẳng thức ( A^2 – 2AB + B^2 = (A-B)^2 ) với ( A=x ) và ( B=sqrt{5} ).
( = (x – sqrt{5})^2 ).

• Mẹo kiểm tra: Với bài toán phân tích thành nhân tử, hãy xem xét các hằng đẳng thức quen thuộc, đặc biệt là ( A^2-B^2 ) và ( (A pm B)^2 ).
• Lỗi hay gặp: Không nhận ra dạng của hằng đẳng thức hoặc tính sai các giá trị ( sqrt{k} ).

Bài 15 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

a) ( {x^2} – 5 = 0 )
( Leftrightarrow x^2 = 5 )
( Leftrightarrow x^2 = (sqrt{5})^2 )
( Leftrightarrow x = pm sqrt{5} ) (Hoặc có thể áp dụng hằng đẳng thức ( A^2 – B^2 = (A-B)(A+B) ) để phân tích: ( (x – sqrt{5})(x + sqrt{5}) = 0 ) dẫn đến ( x = sqrt{5} ) hoặc ( x = -sqrt{5} )).
Vậy tập nghiệm của phương trình là ( S = { -sqrt{5}; sqrt{5} } ).

b) ( {x^2} – 2sqrt {11} x + 11 = 0 )
Ta nhận thấy ( 11 = (sqrt{11})^2 ). Biểu thức trở thành:
( x^2 – 2.x.sqrt{11} + (sqrt{11})^2 = 0 )
Áp dụng hằng đẳng thức ( (A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 ) với ( A=x ) và ( B=sqrt{11} ).
( Leftrightarrow (x – sqrt{11})^2 = 0 )
( Leftrightarrow x – sqrt{11} = 0 )
( Leftrightarrow x = sqrt{11} ).
Vậy tập nghiệm của phương trình là ( S = { sqrt{11} } ).

• Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được nghiệm, thay vào phương trình gốc để kiểm tra xem có thỏa mãn hay không.
• Lỗi hay gặp: Sai sót khi áp dụng hằng đẳng thức hoặc giải phương trình bậc hai đơn giản.

Bài 16 trang 12 sgk Toán 9 tập 1

Phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” sai ở bước sau khi lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức ( (m-V)^2=(V-m)^2 ).
Ta có ( (m-V)^2 = (V-m)^2 ) là đúng vì ( V-m = -(m-V) ) và ( (-(m-V))^2 = (m-V)^2 ).
Tuy nhiên, khi lấy căn bậc hai hai vế, ta phải áp dụng quy tắc ( sqrt{X^2} = |X| ).
Do đó, từ ( (m-V)^2=(V-m)^2 ), ta suy ra:
( sqrt{(m-V)^2} = sqrt{(V-m)^2} )
( Leftrightarrow |m-V| = |V-m| )
Vì ( m-V ) và ( V-m ) là hai số đối nhau, chúng có cùng giá trị tuyệt đối, nên đẳng thức ( |m-V| = |V-m| ) luôn đúng.
Phép chứng minh sai lầm ở chỗ, người ta đã bỏ qua dấu giá trị tuyệt đối và viết:
( m-V = V-m )
Đẳng thức này chỉ đúng khi ( m-V = V-m ) hoặc ( m-V = -(V-m) ). Nhưng ( m-V = -(V-m) ) lại chính là ( m-V = m-V ), một đồng nhất thức. Tuy nhiên, đẳng thức ( m-V = V-m ) chỉ xảy ra khi ( m=V ) hoặc ( m=0, V=0 ). Do đó, việc suy ra ( m-V = V-m ) từ ( |m-V| = |V-m| ) là sai lầm, vì nó không bao hàm hết các trường hợp có thể xảy ra của ( m-V ) và ( V-m ) (ví dụ: ( m=1, V=2 ) thì ( |1-2| = |-1| = 1 ) và ( |2-1| = |1| = 1 ), nhưng ( 1-2 = -1 ) còn ( 2-1 = 1 ), ( -1 ne 1 )).

• Mẹo kiểm tra: Các bài toán đố về chứng minh sai thường dựa vào một lỗi logic nhỏ, phổ biến nhất là sai lầm khi khai phương biểu thức bình phương ( X^2 ) và bỏ qua giá trị tuyệt đối ( |X| ).
• Lỗi hay gặp: Không áp dụng đúng ( sqrt{X^2}=|X| ) mà thay bằng ( X ) một cách tùy tiện.

Đáp Án/Kết Quả

Các bài tập trên đã cung cấp một cái nhìn tổng quan về cách áp dụng các kiến thức về căn thức bậc hai và hằng đẳng thức để giải quyết các vấn đề toán học. Từ việc tính toán giá trị biểu thức, rút gọn, đến việc giải phương trình và phân tích đa thức, mỗi bài tập đều nhấn mạnh tầm quan trọng của việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và áp dụng chúng một cách chính xác, đặc biệt là khi làm việc với giá trị tuyệt đối và các biểu thức chứa căn.

Conclusion

Việc nắm vững các quy tắc liên quan đến căn thức bậc hai và hằng đẳng thức là nền tảng vững chắc cho học sinh khi giải toán. Bài viết này đã đi sâu vào các dạng bài tập điển hình từ sách giáo khoa Toán 9, cung cấp hướng dẫn chi tiết và các mẹo hữu ích để giải quyết chúng một cách hiệu quả. Bằng cách luyện tập thường xuyên các bài tập này, học sinh sẽ nâng cao kỹ năng biến đổi đại số, suy luận logic và tự tin hơn trong việc chinh phục các dạng toán phức tạp hơn.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.