Giải Toán Cao Cấp Online: Giải Tích I Nhiều Biến – Buổi II

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Nội dung này cung cấp hướng dẫn chi tiết về giải tích toán cao cấp online với trọng tâm là các bài toán về hàm nhiều biến. Chúng ta sẽ khám phá các khái niệm cốt lõi như đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng, và vi phân, giúp người học nắm vững phương pháp giải toán cao cấp online một cách hiệu quả.

Đề Bài

Trong các hàm nhiều biến sau đây, hãy xác định đạo hàm riêng các cấp, vi phân toàn phần và tính đạo hàm theo hướng của hàm số tại các điểm và theo các vectơ chỉ hướng cho trước.

Bài 1: Cho hàm số $z = f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ .
a) Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2.
b) Tính vi phân toàn phần $dz$.
c) Tính đạo hàm theo hướng của hàm số tại điểm $M(1,2)$ theo hướng của vectơ $vec{u} = (2,1)$ .

Bài 2: Cho hàm số $z = f(x,y) = x^2y - \cos (x+y)$ .
a) Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2.
b) Tính vi phân toàn phần $dz$.
c) Tính đạo hàm theo hướng của hàm số tại điểm $M(\pi,0)$ theo hướng của vectơ $vec{v} = (-1, 2)$ .

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài toán yêu cầu thực hiện các phép tính cơ bản trong giải tích hàm nhiều biến, bao gồm:

Đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2: Tìm tốc độ thay đổi của hàm số theo từng biến độc lập khi các biến khác không đổi.
Vi phân toàn phần: Biểu diễn sự thay đổi tổng thể của hàm số khi tất cả các biến thay đổi một lượng nhỏ.
Đạo hàm theo hướng: Đo lường tốc độ thay đổi của hàm số theo một hướng cụ thể trong không gian hai chiều.

Mỗi bài toán cung cấp một hàm số $z=f(x,y)$ , một điểm cụ thể $M(x_0, y_0)$ và một vectơ chỉ hướng $vec{u}$ hoặc $vec{v}$ .

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức sau:

1. Đạo hàm riêng cấp 1:
Cho hàm số $z = f(x,y)$ .

Đạo hàm riêng của $z$ theo $x$ tại điểm $(x,y)$ là:
$\dfrac{partial z}{partial x} = lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h, y) - f(x,y)}{h}$
Khi tính $\dfrac{partial z}{partial x}$ , ta xem $y$ là hằng số.
Đạo hàm riêng của $z$ theo $y$ tại điểm $(x,y)$ là:
$\dfrac{partial z}{partial y} = lim_{k \to 0} \dfrac{f(x, y+k) - f(x,y)}{k}$
Khi tính $\dfrac{partial z}{partial y}$ , ta xem $x$ là hằng số.

2. Đạo hàm riêng cấp 2:

$\dfrac{partial^2 z}{partial x^2} = \dfrac{partial}{partial x}\left(\dfrac{partial z}{partial x}\right)$
$\dfrac{partial^2 z}{partial y^2} = \dfrac{partial}{partial y}\left(\dfrac{partial z}{partial y}\right)$
$\dfrac{partial^2 z}{partial x partial y} = \dfrac{partial}{partial y}\left(\dfrac{partial z}{partial x}\right)$
$\dfrac{partial^2 z}{partial y partial x} = \dfrac{partial}{partial x}\left(\dfrac{partial z}{partial y}\right)$
(Theo định lý Schwarz, nếu các đạo hàm riêng này liên tục trong một lân cận của điểm đang xét thì $\dfrac{partial^2 z}{partial x partial y} = \dfrac{partial^2 z}{partial y partial x}$ ).

3. Vi phân toàn phần:
$dz = \dfrac{partial z}{partial x} dx + \dfrac{partial z}{partial y} dy$

4. Gradient (Vectơ đạo hàm riêng):
Gradient của hàm $z=f(x,y)$ tại điểm $(x,y)$ là vectơ:
$nabla f(x,y) = \left(\dfrac{partial f}{partial x}, \dfrac{partial f}{partial y}\right)$

5. Đạo hàm theo hướng:
Đạo hàm của hàm $z = f(x,y)$ tại điểm $M(x_0, y<em>0)$ theo hướng của vectơ đơn vị $vec{e}$ là:
` $D</em>{vec{e}}f(x_0, y_0) = nabla f(x_0, y_0) \cdot vec{e}$ `
Nếu vectơ chỉ hướng $vec{u}$ không phải là vectơ đơn vị, ta chuẩn hóa nó thành vectơ đơn vị $vec{e} = \dfrac{vec{u}}{||vec{u}||}$ .

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 1: $z = f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$

a) Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2.

Đạo hàm riêng cấp 1:
Xem $y$ là hằng số khi tính theo $x$:
$\dfrac{partial z}{partial x} = \dfrac{partial}{partial x}(x^3 + y^3 - 3xy) = 3x^2 - 3y$
Xem $x$ là hằng số khi tính theo $y$:
$\dfrac{partial z}{partial y} = \dfrac{partial}{partial y}(x^3 + y^3 - 3xy) = 3y^2 - 3x$
Đạo hàm riêng cấp 2:
$\dfrac{partial^2 z}{partial x^2} = \dfrac{partial}{partial x}(3x^2 - 3y) = 6x$
$\dfrac{partial^2 z}{partial y^2} = \dfrac{partial}{partial y}(3y^2 - 3x) = 6y$
$\dfrac{partial^2 z}{partial x partial y} = \dfrac{partial}{partial y}(3x^2 - 3y) = -3$
$\dfrac{partial^2 z}{partial y partial x} = \dfrac{partial}{partial x}(3y^2 - 3x) = -3$
Ta thấy $\dfrac{partial^2 z}{partial x partial y} = \dfrac{partial^2 z}{partial y partial x} = -3$ .

b) Tính vi phân toàn phần $dz$.

Sử dụng công thức $dz = \dfrac{partial z}{partial x} dx + \dfrac{partial z}{partial y} dy$ :
$dz = (3x^2 - 3y) dx + (3y^2 - 3x) dy$

c) Tính đạo hàm theo hướng của hàm số tại điểm $M(1,2)$ theo hướng của vectơ $vec{u} = (2,1)$ .

Bước 1: Tính Gradient tại điểm $M(1,2)$.
Trước hết, tính đạo hàm riêng cấp 1 tại $M(1,2)$:
$\dfrac{partial z}{partial x}bigg|_{M(1,2)} = 3(1)^2 - 3(2) = 3 - 6 = -3$
$\dfrac{partial z}{partial y}bigg|_{M(1,2)} = 3(2)^2 - 3(1) = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$
Gradient tại $M(1,2)$ là:
$nabla f(1,2) = (-3, 9)$
Bước 2: Chuẩn hóa vectơ chỉ hướng $vec{u} = (2,1)$ .
Tính độ dài của $vec{u}$ :
$||vec{u}|| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
Vectơ đơn vị theo hướng $vec{u}$ là:
$vec{e} = \dfrac{vec{u}}{||vec{u}||} = \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}, \dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)$
Bước 3: Tính đạo hàm theo hướng.
$D_{vec{e}}f(1,2) = nabla f(1,2) \cdot vec{e}$
$D_{vec{e}}f(1,2) = (-3, 9) \cdot \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}, \dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)$
$D_{vec{e}}f(1,2) = (-3)\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) + (9)\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)$
$D_{vec{e}}f(1,2) = \dfrac{-6}{\sqrt{5}} + \dfrac{9}{\sqrt{5}} = \dfrac{3}{\sqrt{5}}$
$D_{vec{e}}f(1,2) = \dfrac{3sqrt{5}}{5}$

Mẹo kiểm tra:

Với đạo hàm riêng, hãy thử đạo hàm hàm số ngược lại (ví dụ: đạo hàm $\dfrac{partial z}{partial x}$ theo $y$ để xem có ra các thành phần đã lấy đạo hàm theo $y$ ban đầu hay không).
Với đạo hàm theo hướng, nếu hướng là trục $x$ hoặc $y$ (vectơ đơn vị), đạo hàm theo hướng phải bằng đạo hàm riêng tương ứng.

Lỗi hay gặp:

Quên chuẩn hóa vectơ chỉ hướng.
Nhầm lẫn phép nhân vô hướng với phép nhân vectơ thông thường.
Sai sót trong quy tắc tính đạo hàm cơ bản của các hàm đa thức hoặc hàm lượng giác.

Bài 2: $z = f(x,y) = x^2y - \cos (x+y)$

a) Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2.

Đạo hàm riêng cấp 1:
Xem $y$ là hằng số khi tính theo $x$:
$\dfrac{partial z}{partial x} = \dfrac{partial}{partial x}(x^2y - \cos (x+y)) = 2xy - (-\sin (x+y))\cdot 1 = 2xy + \sin (x+y)$
Xem $x$ là hằng số khi tính theo $y$:
$\dfrac{partial z}{partial y} = \dfrac{partial}{partial y}(x^2y - \cos (x+y)) = x^2 - (-\sin (x+y))\cdot 1 = x^2 + \sin (x+y)$
Đạo hàm riêng cấp 2:
$\dfrac{partial^2 z}{partial x^2} = \dfrac{partial}{partial x}(2xy + \sin (x+y)) = 2y + \cos (x+y) \cdot 1 = 2y + \cos (x+y)$
$\dfrac{partial^2 z}{partial y^2} = \dfrac{partial}{partial y}(x^2 + \sin (x+y)) = 0 + \cos (x+y) \cdot 1 = \cos (x+y)$
$\dfrac{partial^2 z}{partial x partial y} = \dfrac{partial}{partial y}(2xy + \sin (x+y)) = 2x + \cos (x+y) \cdot 1 = 2x + \cos (x+y)$
$\dfrac{partial^2 z}{partial y partial x} = \dfrac{partial}{partial x}(x^2 + \sin (x+y)) = 2x + \cos (x+y) \cdot 1 = 2x + \cos (x+y)$
Ta thấy $\dfrac{partial^2 z}{partial x partial y} = \dfrac{partial^2 z}{partial y partial x} = 2x + \cos (x+y)$ .

b) Tính vi phân toàn phần $dz$.

Sử dụng công thức $dz = \dfrac{partial z}{partial x} dx + \dfrac{partial z}{partial y} dy$ :
$dz = (2xy + \sin (x+y)) dx + (x^2 + \sin (x+y)) dy$

c) Tính đạo hàm theo hướng của hàm số tại điểm $M(\pi,0)$ theo hướng của vectơ $vec{v} = (-1, 2)$ .

Bước 1: Tính Gradient tại điểm $M(\pi,0)$ .
Trước hết, tính đạo hàm riêng cấp 1 tại $M(\pi,0)$ :
$\dfrac{partial z}{partial x}bigg|_{M(\pi,0)} = 2(\pi)(0) + \sin (\pi+0) = 0 + \sin (\pi) = 0$
$\dfrac{partial z}{partial y}bigg|_{M(\pi,0)} = (\pi)^2 + \sin (\pi+0) = \pi^2 + \sin (\pi) = \pi^2$
Gradient tại $M(\pi,0)$ là:
$nabla f(\pi,0) = (0, \pi^2)$
Bước 2: Chuẩn hóa vectơ chỉ hướng $vec{v} = (-1, 2)$ .
Tính độ dài của $vec{v}$ :
$||vec{v}|| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$
Vectơ đơn vị theo hướng $vec{v}$ là:
$vec{e'} = \dfrac{vec{v}}{||vec{v}||} = \left(\dfrac{-1}{\sqrt{5}}, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$
Bước 3: Tính đạo hàm theo hướng.
$D_{vec{e'}}f(\pi,0) = nabla f(\pi,0) \cdot vec{e'}$
$D_{vec{e'}}f(\pi,0) = (0, \pi^2) \cdot \left(\dfrac{-1}{\sqrt{5}}, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$
$D_{vec{e'}}f(\pi,0) = (0)\left(\dfrac{-1}{\sqrt{5}}\right) + (\pi^2)\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$
$D_{vec{e'}}f(\pi,0) = 0 + \dfrac{2pi^2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2pi^2}{\sqrt{5}}$
$D_{vec{e'}}f(\pi,0) = \dfrac{2pi^2sqrt{5}}{5}$

Mẹo kiểm tra:

Đảm bảo các hàm lượng giác như $\sin$ và $\cos$ được tính toán chính xác với đối số là tổng của các biến.
Kiểm tra lại quy tắc đạo hàm của hàm hợp (chain rule) khi có các biểu thức như $\cos (x+y)$ .

Lỗi hay gặp:

Sai sót trong việc lấy đạo hàm của hàm $\cos (x+y)$ , đặc biệt là dấu và việc nhân với đạo hàm của biểu thức bên trong.
Nhầm lẫn giữa giá trị của $\pi$ và các giá trị góc khác trong lượng giác.
Tính toán sai độ dài vectơ hoặc tích vô hướng.

Đáp Án/Kết Quả

Bài 1:
a) Đạo hàm riêng cấp 1: $\dfrac{partial z}{partial x} = 3x^2 - 3y$ , $\dfrac{partial z}{partial y} = 3y^2 - 3x$ .
Đạo hàm riêng cấp 2: $\dfrac{partial^2 z}{partial x^2} = 6x$ , $\dfrac{partial^2 z}{partial y^2} = 6y$ , $\dfrac{partial^2 z}{partial x partial y} = \dfrac{partial^2 z}{partial y partial x} = -3$ .
b) Vi phân toàn phần: $dz = (3x^2 - 3y) dx + (3y^2 - 3x) dy$ .
c) Đạo hàm theo hướng tại $M(1,2)$ theo $vec{u}=(2,1)$ là $\dfrac{3sqrt{5}}{5}$ .

Bài 2:
a) Đạo hàm riêng cấp 1: $\dfrac{partial z}{partial x} = 2xy + \sin (x+y)$ , $\dfrac{partial z}{partial y} = x^2 + \sin (x+y)$ .
Đạo hàm riêng cấp 2: $\dfrac{partial^2 z}{partial x^2} = 2y + \cos (x+y)$ , $\dfrac{partial^2 z}{partial y^2} = \cos (x+y)$ , $\dfrac{partial^2 z}{partial x partial y} = \dfrac{partial^2 z}{partial y partial x} = 2x + \cos (x+y)$ .
b) Vi phân toàn phần: $dz = (2xy + \sin (x+y)) dx + (x^2 + \sin (x+y)) dy$ .
c) Đạo hàm theo hướng tại $M(\pi,0)$ theo $vec{v}=(-1,2)$ là $\dfrac{2pi^2sqrt{5}}{5}$ .

Việc thành thạo các kỹ năng tính toán đạo hàm riêng, vi phân toàn phần và đạo hàm theo hướng là nền tảng quan trọng khi bạn học giải tích toán cao cấp online. Các kiến thức này không chỉ giúp giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là cơ sở cho nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, kinh tế, và khoa học dữ liệu. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao khả năng giải toán cao cấp online của bạn.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.