Giải Bài Tập Hình Học Lớp 11: Hướng Dẫn Chi Tiết và Chuẩn Xác

by Thầy Đông · January 15, 2026

Rate this post

Chào mừng bạn đến với chuyên mục giải toán hình 11 chất lượng cao, nơi cung cấp những lời giải chi tiết, dễ hiểu và bám sát chương trình học. Mục tiêu của chúng tôi là giúp học sinh nắm vững kiến thức, tự tin chinh phục mọi dạng bài tập hình học lớp 11, từ đó đạt kết quả cao trong học tập. Bài viết này tập trung vào các khái niệm cơ bản và các bài tập điển hình về phép biến hình và phép tịnh tiến.

Đề Bài

Bài 1: Phép biến hình

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 1 trang 4: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và M. Dựng hình chiếu vuông góc M’ của điểm M lên đường thẳng d.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 1 trang 4: Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M’ là điểm sao cho MM’ = a. Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu trên có phải là một phép biến hình không?

Bài 2: Phép tịnh tiến

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 2 trang 5: Cho hai tam giác đều ABE và BCD bằng nhau trên hình 1.5. Tìm phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm B, C, D.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 2 trang 7: Nêu cách xác định ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vecto v→.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 2 trang 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vecto v→ = (1; 2). Tìm tọa độ của điểm M’ là ảnh của điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến Tv→ .

Bài 1 (trang 7 SGK Hình học 11): Chứng minh:

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập được trình bày trong phần này xoay quanh hai chủ đề chính: khái niệm phép biến hình và phép tịnh tiến trong mặt phẳng. Yêu cầu chung là hiểu rõ định nghĩa, cách xác định và các tính chất cơ bản của chúng. Cụ thể:

Bài 1 yêu cầu hiểu về phép chiếu vuông góc và định nghĩa phép biến hình.
Bài 2 yêu cầu vận dụng định nghĩa phép tịnh tiến để tìm vectơ tịnh tiến, xác định ảnh của một đối tượng hình học (đường thẳng) và tính toán tọa độ ảnh của một điểm.
Bài tập cuối cùng yêu cầu chứng minh một tính chất liên quan đến phép tịnh tiến.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Phép Biến Hình

Định nghĩa: Phép biến hình trong mặt phẳng là một quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với một điểm M’ duy nhất.
Các loại phép biến hình: Phép đồng nhất, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự, phép co giãn.
Phép chiếu vuông góc: Cho đường thẳng d và một điểm M. Phép chiếu vuông góc của M lên d là điểm M’ trên d sao cho đường thẳng MM’ vuông góc với d.

2. Phép Tịnh Tiến

Định nghĩa: Phép tịnh tiến theo vectơ v→ là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M’M = v→.
Các tính chất:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ tự.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến theo vectơ v→ = (a; b) biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x’; y’) thì:
$\begin{cases} x' = x + a y' = y + b \end{cases}$

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 1: Phép Biến Hình

Trả lời câu hỏi 1 (trang 4): Dựng hình chiếu vuông góc M’ của M lên d.

Cách dựng: Từ điểm M, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng d. Giao điểm của đường thẳng này với d chính là điểm M’.
Lý do: Theo định nghĩa, hình chiếu vuông góc của M lên d là điểm M’ trên d sao cho MM’ vuông góc với d.
Mẹo kiểm tra: Đảm bảo đường thẳng MM’ thực sự vuông góc với d và M’ nằm trên d.
Lỗi hay gặp: Kẻ đường thẳng không vuông góc với d, hoặc M’ không nằm trên d.

Trả lời câu hỏi 2 (trang 4): Quy tắc MM’ = a có phải phép biến hình không?

Phân tích: Quy tắc này gán cho mỗi điểm M một tập hợp các điểm M’ sao cho khoảng cách MM’ bằng a. Tuy nhiên, định nghĩa phép biến hình yêu cầu mỗi điểm M phải tương ứng với một điểm M’ duy nhất.
Ví dụ: Nếu a = 4 cm, với mỗi điểm M, tập hợp các điểm M’ cách M một khoảng 4 cm là một đường tròn tâm M bán kính 4 cm. Có vô số điểm M’ thỏa mãn điều kiện này.
Kết luận: Quy tắc này không phải là một phép biến hình vì nó không xác định một điểm M’ duy nhất cho mỗi điểm M.

Bài 2: Phép Tịnh Tiến

Trả lời câu hỏi 1 (trang 5): Tìm phép tịnh tiến biến A, B, E thành B, C, D.

Phân tích: Ta cần tìm một vectơ v→ sao cho phép tịnh tiến theo v→ biến A thành B, B thành C, và E thành D.
Xác định vectơ tịnh tiến:
- Để biến A thành B, vectơ tịnh tiến phải là v→ = AB→.
- Để biến B thành C, vectơ tịnh tiến phải là v→ = BC→.
- Để biến E thành D, vectơ tịnh tiến phải là v→ = ED→.
Kiểm tra: Do hai tam giác ABE và BCD bằng nhau và có cách sắp xếp đỉnh tương ứng, ta có thể suy ra các vectơ AB→, BC→, ED→ là bằng nhau.
Lời giải: Phép tịnh tiến cần tìm là phép tịnh tiến theo vectơ v→ = AB→ (hoặc BC→, hoặc ED→).

Trả lời câu hỏi 2 (trang 7): Cách xác định ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vecto v→.

Nguyên tắc: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó. Để xác định ảnh của đường thẳng d, ta chỉ cần tìm ảnh của hai điểm bất kỳ trên d.
Các bước thực hiện:
1. Lấy hai điểm phân biệt A và B thuộc đường thẳng d.
2. Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v→ để tìm ảnh của A và B, lần lượt là A’ và B’.
3. Đường thẳng đi qua hai điểm A’ và B’ chính là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ v→.
Lý do: Nếu A’ và B’ là ảnh của A và B, thì AA’ = BB’ = v→. Điều này suy ra tứ giác ABA’B’ là hình bình hành (hoặc trường hợp đặc biệt là hình chữ nhật, hình vuông nếu A, B, v thẳng hàng hoặc vuông góc). Do đó, đường thẳng A’B’ song song hoặc trùng với đường thẳng AB (chính là d).
Mẹo kiểm tra: Ảnh của đường thẳng d, ký hiệu là d’, phải song song với d (trừ trường hợp d’ trùng d). Nếu d có phương trình Ax + By + C = 0, thì d’ có dạng Ax + By + C’ = 0.
Lỗi hay gặp: Lấy hai điểm không phân biệt, hoặc xác định sai ảnh của hai điểm.

Trả lời câu hỏi 3 (trang 7): Tìm tọa độ M’ là ảnh của M(3; -1) qua phép tịnh tiến theo vecto v→ = (1; 2).

Áp dụng biểu thức tọa độ:
Cho M(x; y) = (3; -1) và vectơ tịnh tiến v→ = (a; b) = (1; 2).
Tọa độ điểm M'(x’; y’) được tính như sau:
$\begin{cases} x' = x + a = 3 + 1 = 4 y' = y + b = -1 + 2 = 1 \end{cases}$
Kết quả: Vậy M'(4; 1).

Bài 1 (trang 7 SGK Hình học 11): Chứng minh

Đề bài: Chứng minh rằng nếu phép tịnh tiến biến điểm A thành A’ và biến điểm B thành B’ thì AB = A’B’.

Phân tích: Bài toán yêu cầu chứng minh phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
Sử dụng định nghĩa: Theo định nghĩa phép tịnh tiến, ta có AA’ = v→ và BB’ = v→, với v→ là vectơ tịnh tiến.
Suy luận:
Xét các vectơ AB→ và A’B’→.
Ta có A’B’→ = AB→ + BB’→ – AA’→.
Vì BB’ = v→ và AA’ = v→, nên BB’→ = AA’→.
Do đó, A’B’→ = AB→ + v→ – v→ = AB→.
Kết luận: Hai vectơ bằng nhau thì độ dài của chúng cũng bằng nhau. Vậy AB = A’B’. Điều này chứng tỏ phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách.

Đáp Án/Kết Quả

Câu hỏi 1 (trang 4): Hình chiếu vuông góc M’ của M lên d được dựng bằng cách kẻ đường thẳng từ M vuông góc với d, giao điểm là M’.
Câu hỏi 2 (trang 4): Quy tắc MM’ = a không phải phép biến hình vì không xác định M’ duy nhất.
Câu hỏi 3 (trang 5): Phép tịnh tiến theo vectơ v→ = AB→ (hoặc BC→, ED→).
Câu hỏi 4 (trang 7): Ảnh của đường thẳng d là đường thẳng d’ đi qua ảnh của hai điểm bất kỳ trên d.
Câu hỏi 5 (trang 7): M'(4; 1).
Bài 1 (trang 7): Đã chứng minh được AB = A’B’.

Kết Luận

Việc nắm vững các khái niệm cơ bản về phép biến hình và phép tịnh tiến là nền tảng quan trọng cho chương trình giải toán hình 11. Các bài tập đã được trình bày giúp củng cố định nghĩa, cách xác định và các tính chất quan trọng, đặc biệt là cách áp dụng biểu thức tọa độ. Hy vọng những hướng dẫn chi tiết này sẽ hỗ trợ đắc lực cho quá trình học tập của bạn.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 15, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.