Giải Toán Hình 12 Bài 2 SGK (Trang 89)

Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho giải toán hình 12 bài 2 SGK, giúp học sinh nắm vững phương pháp tìm phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích yêu cầu, ôn lại kiến thức nền tảng và đi sâu vào từng bước giải cho cả hai mặt phẳng tọa độ đã cho, đảm bảo bạn có thể tự tin làm các dạng bài tương tự.

Đề Bài

Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số:
(left{begin{matrix} x=2+t y=-3+2t z= 1+3t end{matrix}right.)

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) ((Oxy))
b) ((Oyz))

Phân Tích Yêu Cầu

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm phương trình tham số của hai đường thẳng mới. Mỗi đường thẳng này là hình chiếu vuông góc của đường thẳng gốc (d) lên một mặt phẳng tọa độ cụ thể.

• Mặt phẳng (Oxy): Đây là mặt phẳng chứa trục Ox và Oy, có phương trình là (z = 0). Khi chiếu một đường thẳng lên mặt phẳng này, tọa độ (z) của mọi điểm trên đường thẳng sẽ trở thành 0.
• Mặt phẳng (Oyz): Đây là mặt phẳng chứa trục Oy và Oz, có phương trình là (x = 0). Khi chiếu một đường thẳng lên mặt phẳng này, tọa độ (x) của mọi điểm trên đường thẳng sẽ trở thành 0.

Chúng ta cần áp dụng các kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng và phép chiếu trong không gian tọa độ Oxyz để giải quyết bài toán này.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ các kiến thức sau:

1. Phương trình tham số của đường thẳng:
   Một đường thẳng (Delta) đi qua điểm (M_0(x_0; y_0; z_0)) và có vectơ chỉ phương (vec{u} = (a; b; c)) có phương trình tham số là:
   (left{begin{matrix} x = x_0 + at y = y_0 + bt z = z_0 + ct end{matrix}right.), với (t in mathbb{R}).

2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
   Nếu (vec{u}_1) và (vec{u}_2) là hai vectơ chỉ phương của cùng một đường thẳng, thì (vec{u}_1 = k vec{u}_2) với (k neq 0).

3. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
   Một mặt phẳng ((P)) có vectơ pháp tuyến (vec{n}) nghĩa là (vec{n}) vuông góc với mọi vectơ nằm trên mặt phẳng ((P)).

4. Quan hệ vuông góc giữa hai vectơ:
   Hai vectơ (vec{a}) và (vec{b}) vuông góc với nhau nếu (vec{a} cdot vec{b} = 0).

5. Tích có hướng của hai vectơ:
   Cho (vec{a} = (a_1; a_2; a_3)) và (vec{b} = (b_1; b_2; b_3)). Tích có hướng của (vec{a}) và (vec{b}) là một vectơ ([vec{a}; vec{b}]) vuông góc với cả (vec{a}) và (vec{b}). Nếu (vec{a}) và (vec{b}) không song song, thì ([vec{a}; vec{b}]) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và có (vec{a}), (vec{b}) là hai vectơ chỉ phương.

6. Giao tuyến của hai mặt phẳng:
   Giao tuyến của hai mặt phẳng ((P_1)) và ((P_2)) là một đường thẳng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng này vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của ((P_1)) và ((P_2)), do đó có thể tìm bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến đó: (vec{u} = [vec{n}_1; vec{n}_2]).

Các phương pháp tìm hình chiếu:

• Cách 1 (Sử dụng mặt phẳng chứa đường thẳng gốc và vuông góc với mặt phẳng chiếu):

  • Gọi (d’) là hình chiếu của (d) lên mặt phẳng ((P)).
  • Tìm mặt phẳng ((Q)) chứa đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng ((P)).
    • Vectơ chỉ phương của (d) là (vec{u}_d).
    • Vectơ pháp tuyến của ((P)) là (vec{n}_P).
    • Vectơ pháp tuyến của ((Q)) sẽ là (vec{n}_Q = [vec{u}_d; vec{n}_P]).
    • Chọn một điểm bất kỳ thuộc (d) làm điểm thuộc ((Q)).
  • Đường thẳng (d’) chính là giao tuyến của hai mặt phẳng ((P)) và ((Q)). Tìm phương trình giao tuyến này.

• Cách 2 (Tìm hình chiếu của hai điểm bất kỳ):

  • Chọn hai điểm (A, B) thuộc đường thẳng (d).
  • Tìm hình chiếu vuông góc của (A) và (B) lên mặt phẳng chiếu ((P)), lần lượt là (A’) và (B’).
  • Đường thẳng (d’) chính là đường thẳng đi qua (A’) và (B’).

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

a) Hình chiếu trên mặt phẳng (Oxy)

Mặt phẳng ((Oxy)) có phương trình là (z = 0). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ((Oxy)) là (vec{k} = (0; 0; 1)).

Đường thẳng (d) có phương trình: (left{begin{matrix} x=2+t y=-3+2t z= 1+3t end{matrix}right.).
Vectơ chỉ phương của (d) là (vec{u}_d = (1; 2; 3)).

Áp dụng Cách 1:

• Tìm mặt phẳng ((P)) chứa (d) và vuông góc với ((Oxy)).

  • ((P)) chứa (d) nên nhận điểm (M(2; -3; 1)) thuộc (d).
  • Vectơ pháp tuyến của ((P)) là (vec{n}_P = [vec{u}_d; vec{k}]).
    (vec{n}_P = left[(1; 2; 3); (0; 0; 1)right] = (2 cdot 1 – 3 cdot 0; 3 cdot 0 – 1 cdot 1; 1 cdot 0 – 2 cdot 0) = (2; -1; 0)).
  • Phương trình mặt phẳng ((P)) là: (2(x – 2) – 1(y – (-3)) + 0(z – 1) = 0)
    (Leftrightarrow 2(x – 2) – (y + 3) = 0)
    (Leftrightarrow 2x – 4 – y – 3 = 0)
    (Leftrightarrow 2x – y – 7 = 0).

• Tìm giao tuyến (Delta) của ((P)) và ((Oxy)).
  (Delta) là giao tuyến của:
  (left{begin{matrix} 2x – y – 7 = 0 z = 0 end{matrix}right.)

  Để viết phương trình tham số của (Delta), ta cần một điểm thuộc (Delta) và một vectơ chỉ phương của (Delta).

  • Vectơ chỉ phương của (Delta) vuông góc với (vec{n}P = (2; -1; 0)) và (vec{k} = (0; 0; 1)).
    (vec{u}Delta = left[ vec{n}_P; vec{k} right] = left[ (2; -1; 0); (0; 0; 1) right] = (-1 cdot 1 – 0 cdot 0; 0 cdot 0 – 2 cdot 1; 2 cdot 0 – (-1) cdot 0) = (-1; -2; 0)).
    Ta có thể chọn vectơ chỉ phương khác là ((1; 2; 0)) (nhân ((-1; -2; 0)) với -1).

  • Để tìm một điểm thuộc (Delta), ta cho một ẩn một giá trị tùy ý. Ví dụ, cho (t=0) trong phương trình tham số của (d) ban đầu, ta có điểm (M(2; -3; 1)). Tuy nhiên, điểm này không thuộc ((Oxy)).
    Thay vào phương trình mặt phẳng ((P)) và ((Oxy)), ta chọn giá trị cho x hoặc y.
    Cho (x = 4), ta có (2(4) – y – 7 = 0 Rightarrow 8 – y – 7 = 0 Rightarrow y = 1).
    Điểm (M_0(4; 1; 0)) thuộc ((P)) và ((Oxy)).

  • Vậy phương trình tham số của hình chiếu (Delta) trên ((Oxy)) là:
    (left{begin{matrix} x = 4 + t y = 1 + 2t z = 0 end{matrix}right.)

Áp dụng Cách 2 (kiểm tra lại):

• Chọn hai điểm thuộc (d):

  • Cho (t = 0), ta được điểm (M(2; -3; 1)).
  • Cho (t = 1), ta được điểm (N(3; -1; 4)).

• Tìm hình chiếu của (M) và (N) lên ((Oxy)).

  • Hình chiếu của (M(2; -3; 1)) lên ((Oxy)) là (M'(2; -3; 0)).
  • Hình chiếu của (N(3; -1; 4)) lên ((Oxy)) là (N'(3; -1; 0)).

• Đường thẳng (Delta) là đường thẳng đi qua (M’) và (N’).

  • Vectơ chỉ phương của (Delta) là (vec{M’N’} = (3-2; -1-(-3); 0-0) = (1; 2; 0)).

  • Đường thẳng (Delta) đi qua (M'(2; -3; 0)) và nhận ((1; 2; 0)) làm VTCP.

  • Phương trình tham số của (Delta) là:
    (left{begin{matrix} x = 2 + t y = -3 + 2t z = 0 end{matrix}right.)

  • Mẹo kiểm tra: Hai phương trình tham số tìm được ở Cách 1 và Cách 2 có cùng một đường thẳng không?

    • Cách 1: (M_0(4; 1; 0)) với VTCP ((1; 2; 0)).
    • Cách 2: (M'(2; -3; 0)) với VTCP ((1; 2; 0)).
      Hai phương trình này mô tả hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
      Xét điểm (M'(2; -3; 0)) của Cách 2. Thay vào phương trình Cách 1: (2 = 4 + t Rightarrow t = -2), (-3 = 1 + 2t Rightarrow 2t = -4 Rightarrow t = -2), (0 = 0). Điểm (M’) thuộc đường thẳng ở Cách 1. Do đó hai đường thẳng trùng nhau.
      Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa điểm đi qua và vectơ chỉ phương, hoặc sai sót trong tính toán tích có hướng và giao tuyến. Cách 2 thường dễ hơn và ít sai sót hơn cho bài toán chiếu lên mặt phẳng tọa độ.

b) Hình chiếu trên mặt phẳng (Oyz)

Mặt phẳng ((Oyz)) có phương trình là (x = 0). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ((Oyz)) là (vec{i} = (1; 0; 0)).

Đường thẳng (d) có phương trình: (left{begin{matrix} x=2+t y=-3+2t z= 1+3t end{matrix}right.).
Vectơ chỉ phương của (d) là (vec{u}_d = (1; 2; 3)).

Áp dụng Cách 2 (Ưu tiên cho bài toán chiếu lên mặt phẳng tọa độ):

• Chọn hai điểm thuộc (d):

  • Cho (t = 0), ta được điểm (M(2; -3; 1)).
  • Cho (t = 1), ta được điểm (N(3; -1; 4)).

• Tìm hình chiếu của (M) và (N) lên ((Oyz)).

  • Hình chiếu của (M(2; -3; 1)) lên ((Oyz)) là (M”(0; -3; 1)) (chỉ đổi tọa độ (x) thành 0).
  • Hình chiếu của (N(3; -1; 4)) lên ((Oyz)) là (N”(0; -1; 4)) (chỉ đổi tọa độ (x) thành 0).

• Đường thẳng (Delta’) là đường thẳng đi qua (M”) và (N”).

  • Vectơ chỉ phương của (Delta’) là (vec{M”N”} = (0-0; -1-(-3); 4-1) = (0; 2; 3)).

  • Đường thẳng (Delta’) đi qua (M”(0; -3; 1)) và nhận ((0; 2; 3)) làm VTCP.

  • Phương trình tham số của (Delta’) là:
    (left{begin{matrix} x = 0 y = -3 + 2t z = 1 + 3t end{matrix}right.)

  • Mẹo kiểm tra: Kiểm tra xem vectơ chỉ phương ((0; 2; 3)) có vuông góc với vectơ pháp tuyến của ((Oyz)) là ((1; 0; 0)) không. ((0; 2; 3) cdot (1; 0; 0) = 0 cdot 1 + 2 cdot 0 + 3 cdot 0 = 0). Điều này là đúng. Đồng thời, tọa độ (x) của mọi điểm trên đường thẳng này đều bằng 0, đúng với phương trình mặt phẳng ((Oyz)).

  • Lỗi hay gặp: Quên đổi tọa độ (x) thành 0 cho hình chiếu hoặc sai khi tính vectơ chỉ phương từ hai điểm.

Đáp Án/Kết Quả

a) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng ((Oxy)) là đường thẳng (Delta) có phương trình tham số:
(left{begin{matrix} x = 2 + t y = -3 + 2t z = 0 end{matrix}right.)

b) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng ((Oyz)) là đường thẳng (Delta’) có phương trình tham số:
(left{begin{matrix} x = 0 y = -3 + 2t z = 1 + 3t end{matrix}right.)

Việc hiểu rõ quy trình chiếu và áp dụng linh hoạt các phương pháp sẽ giúp bạn chinh phục các dạng bài toán hình học không gian một cách dễ dàng.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.