Giải Toán Lớp 11 Bài 2: Cấp Số Cộng (Cánh Diều)

by Thầy Đông · January 8, 2026

Rate this post

Giải Toán Lớp 11 Bài 2 sách Cánh Diều tập trung vào chủ đề Cấp Số Cộng, một trong những kiến thức nền tảng quan trọng của chương trình Toán học lớp 11. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong sách, giúp học sinh nắm vững định nghĩa, công thức tính số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu của cấp số cộng. Bên cạnh đó, bài viết còn bổ sung các mẹo làm bài và lỗi sai thường gặp, nhằm nâng cao khả năng tự học và giải toán cho các em.

Đề Bài

Câu hỏi khởi động trang 49 Toán 11 Tập 1: Ruộng bậc thang là một hình thức canh tác có nhiều ở khu vực Tây Bắc và Đông Bắc Việt Nam. Hình ảnh ruộng bậc thang thể hiện nét đẹp văn hóa, là công trình nghệ thuật độc đáo của đồng bào vùng cao phía Bắc. Ruộng bậc thang ở một số nơi đã trở thành những địa chỉ tham quan du lịch đầy hấp dẫn của du khách trong nước và quốc tế. Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất nằm ở độ cao 1 250 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,2 m. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là bao nhiêu so với mực nước biển?

Hoạt động 1 trang 49 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số – 2; 3; 8; 13; 18; 23; 28. Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.

Luyện tập 1 trang 49 Toán 11 Tập 1: Cho (un) là cấp số cộng có u1= – 7, u2= – 2. Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng đó.

Luyện tập 2 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với un= – 5n + 7 (n ≥ 1). Dãy (un) có là cấp số cộng không? Vì sao?

Hoạt động 2 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1, công sai d.
a) Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng theo u1 và d.
b) Dự đoán công thức tính un theo u1 theo d.

Luyện tập 3 trang 50 Toán 11 Tập 1: Hãy giải bài toán trong phần mở đầu.

Hoạt động 3 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1, công sai d.
a) So sánh các tổng sau: u1 + un; u2 + un-1; u3 + un-2; …; un + u1.
b) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un. So sánh n(un + u1) với 2Sn.

Luyện tập 4 trang 51 Toán 11 Tập 1: Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau:
a) 3; 1; – 1; … với n = 10;
b) 1,2; 1,7; 2,2; … với n = 15.

Bài 1 trang 51 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp cố cộng?
a) 10; – 2; – 14; – 26; – 38;
b) 12;54;2;114;72 ;
c) 12; 22; 32; 42; 52;
d) 1; 4; 7; 10; 13.

Bài 2 trang 52 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu u1 và công sai d.
a) un = 3 – 2n;
b) un = $3n+75$ ;
c) un = 3n.

Bài 3 trang 52 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1= – 3, công sai d = 5.
a) Viết công thức của số hạng tổng quát un.
b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?
c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?

Bài 4 trang 52 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (un) có u1= 4, u2= 1. Tính u10.

Bài 5 trang 52 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (un) có u1=13 và u1 + u2 + u3 = – 1.
a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát un.
b) Số – 67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên.
c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?

Bài 6 trang 52 Toán 11 Tập 1: Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số (un) với un= 0,3n + 5 với mọi n ≥ 1.

Bài 7 trang 52 Toán 11 Tập 1: Chiều cao (đơn vị: centimet) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức:
xn = 75 + 5(n – 1).
a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao 3 năm tuổi là bao nhiêu centimet?
b) Dãy số (xn) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimet?

Bài 8 trang 52 Toán 11 Tập 1: Khi kí kết hợp đồng lao động đối với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:
Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm, tiền lương được tăng 18 triệu.
Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu.
Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:
a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?
b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán này yêu cầu chúng ta nắm vững khái niệm và các tính chất của cấp số cộng. Cấp số cộng là một dãy số mà hiệu của hai số hạng liên tiếp bất kỳ là một hằng số (gọi là công sai). Chúng ta cần xác định công sai, số hạng đầu để tìm các số hạng khác, số hạng tổng quát và tính tổng của một số hạng đầu tiên. Các bài tập được thiết kế để kiểm tra khả năng áp dụng định nghĩa, công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

1. Định nghĩa Cấp số cộng

Một dãy số (un) được gọi là một cấp số cộng nếu kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Công thức: un = un-1 + d, với n ≥ 2.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nhận xét: Nếu (un) là cấp số cộng thì số hạng bất kỳ (trừ số hạng đầu và cuối của cấp số cộng hữu hạn) bằng trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó: uk = $\frac{u{k-1} + u{k+1}}{2}$ , với k ≥ 2.

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1 và công sai d, thì công thức tính số hạng tổng quát un là:
$u_n = u_1 + (n-1)d$ , với n ≥ 1.

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng (un) với số hạng đầu u1 và công sai d. Đặt Sn = u1 + u2 + … + un.
Khi đó, công thức tính tổng Sn là:
$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$
Hoặc có thể viết lại theo u1 và d:
$S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Câu hỏi khởi động trang 49 Toán 11 Tập 1:

Phân tích: Đề bài cho biết độ cao thửa thấp nhất là 1250 m (tương ứng với số hạng đầu u1). Độ chênh lệch giữa các thửa ruộng liên tiếp là 1,2 m (công sai d). Ta cần tìm độ cao của thửa ruộng thứ 10 (tức là u10).
Lời giải:
Ta có thửa ruộng thấp nhất có độ cao $u1 = 1 250 \text{ m}$ .
Độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là $d = 1.2 \text{ m}$ .
Đây là một cấp số cộng. Ta cần tìm độ cao của thửa ruộng thứ 10, tức là $u{10}$ .
Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_n = u1 + (n-1)d$
$u{10} = 1 250 + (10-1) \times 1.2$
$u{10} = 1 250 + 9 \times 1.2$
$u{10} = 1 250 + 10.8$
$u_{10} = 1 260.8 \text{ m}$
Mẹo kiểm tra: Nhận thấy độ cao tăng dần, nên thửa ruộng thứ 10 chắc chắn cao hơn thửa thứ nhất.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa số hạng thứ n và số lần tăng (ví dụ: lấy 10d thay vì 9d).

Hoạt động 1 trang 49 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Cho dãy số – 2; 3; 8; 13; 18; 23; 28. Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.
Lời giải:
Ta xét hiệu của các số hạng liên tiếp:
$3 - (-2) = 5$
$8 - 3 = 5$
$13 - 8 = 5$
$18 - 13 = 5$
$23 - 18 = 5$
$28 - 23 = 5$
Quan sát, ta thấy kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều lớn hơn số hạng đứng ngay trước nó là 5 đơn vị. Đây chính là dấu hiệu của một cấp số cộng với công sai $d = 5$ .

Luyện tập 1 trang 49 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Cho (un) là cấp số cộng có u1= – 7, u2= – 2. Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng đó.
Lời giải:
Công sai của cấp số cộng đã cho là:
$d = u_2 - u_1 = -2 - (-7) = -2 + 7 = 5$ .
Ta có $u_1 = -7$ , $u_2 = -2$ .
Số hạng thứ ba là: $u_3 = u_2 + d = -2 + 5 = 3$ .
Số hạng thứ tư là: $u_4 = u_3 + d = 3 + 5 = 8$ .
Số hạng thứ năm là: $u_5 = u_4 + d = 8 + 5 = 13$ .
Vậy năm số hạng đầu của cấp số cộng là: – 7; – 2; 3; 8; 13.

Luyện tập 2 trang 50 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Cho dãy số (un) với un= – 5n + 7 (n ≥ 1). Dãy (un) có là cấp số cộng không? Vì sao?
Lời giải:
Để kiểm tra xem dãy số có phải là cấp số cộng hay không, ta xét hiệu của hai số hạng liên tiếp $u_{n+1} - un$ .
Ta có: $u{n+1} = -5(n+1) + 7 = -5n - 5 + 7 = -5n + 2$ .
Xét hiệu:
$u_{n+1} - un = (-5n + 2) - (-5n + 7)$
$u{n+1} - un = -5n + 2 + 5n - 7$
$u{n+1} - un = -5$
Vì hiệu $u{n+1} - u_n = -5$ là một hằng số không đổi với mọi n ≥ 1, nên dãy số (un) là một cấp số cộng.
Mẹo kiểm tra: Nếu công thức số hạng tổng quát là dạng $u_n = an + b$ , thì đó luôn là cấp số cộng với công sai d = a.
Lỗi hay gặp: Tính sai $u_{n+1}$ hoặc khi trừ hai biểu thức.

Hoạt động 2 trang 50 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1, công sai d.
a) Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng theo u1 và d.
b) Dự đoán công thức tính un theo u1 theo d.
Lời giải:
a) Theo định nghĩa cấp số cộng, ta có:
Số hạng thứ nhất: $u_1$
Số hạng thứ hai: $u_2 = u_1 + d$
Số hạng thứ ba: $u_3 = u_2 + d = (u_1 + d) + d = u_1 + 2d$
Số hạng thứ tư: $u_4 = u_3 + d = (u_1 + 2d) + d = u_1 + 3d$
Số hạng thứ năm: $u_5 = u_4 + d = (u_1 + 3d) + d = u_1 + 4d$
Năm số hạng đầu của cấp số cộng là: $u_1; u_1 + d; u_1 + 2d; u_1 + 3d; u_1 + 4d$ .
b) Quan sát quy luật từ năm số hạng đầu tiên:
$u_1 = u_1 + 0 \cdot d$
$u_2 = u_1 + 1 \cdot d$
$u_3 = u_1 + 2 \cdot d$
$u_4 = u_1 + 3 \cdot d$
$u_5 = u_1 + 4 \cdot d$
Ta dự đoán công thức tính số hạng tổng quát $u_n$ theo $u_1$ và d là:
$u_n = u_1 + (n-1)d$ .

Luyện tập 3 trang 50 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Hãy giải bài toán trong phần mở đầu.
Lời giải:
Bài toán đã được giải chi tiết ở phần “Câu hỏi khởi động trang 49”.
Độ cao các thửa ruộng so với mực nước biển tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 1 250 \text{ m}$ và công sai $d = 1.2 \text{ m}$ .
Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_n = u1 + (n-1)d$ .
Vậy độ cao của thửa ruộng thứ 10 so với mực nước biển là:
$u{10} = 1 250 + (10 - 1) \times 1.2 = 1 250 + 9 \times 1.2 = 1 250 + 10.8 = 1 260.8 \text{ m}$ .

Hoạt động 3 trang 50 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1, công sai d.
a) So sánh các tổng sau: u1 + un; u2 + un-1; u3 + un-2; …; un + u1.
b) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un. So sánh n(un + u1) với 2Sn.
Lời giải:
a) Ta biết công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n = u_1 + (n-1)d$ .
Xét từng tổng:
$u_1 + u_n = u_1 + (u_1 + (n-1)d) = 2u_1 + (n-1)d$ .
$u2 + u{n-1}$
Ta có $u_2 = u1 + d$ .
$u{n-1} = u_1 + ((n-1)-1)d = u_1 + (n-2)d$ .
Vậy $u2 + u{n-1} = (u_1 + d) + (u_1 + (n-2)d) = 2u_1 + d + nd - 2d = 2u_1 + nd - d = 2u_1 + (n-1)d$ .
$u3 + u{n-2}$
Ta có $u_3 = u1 + 2d$ .
$u{n-2} = u_1 + ((n-2)-1)d = u_1 + (n-3)d$ .
Vậy $u3 + u{n-2} = (u_1 + 2d) + (u_1 + (n-3)d) = 2u_1 + 2d + nd - 3d = 2u_1 + nd - d = 2u_1 + (n-1)d$ .
Tiếp tục như vậy, ta thấy tất cả các tổng này đều bằng nhau và bằng $2u_1 + (n-1)d$ .
Do đó: $u_1 + u_n = u2 + u{n-1} = u3 + u{n-2} = ... = u_n + u_1$ .
b) Ta có tổng $S_n = u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n$ .
Ta có thể viết lại tổng này như sau:
$2S_n = (u_1 + u_n) + (u2 + u{n-1}) + ... + (u_n + u_1)$ .
Từ phần a), ta biết mỗi cặp tổng trong dấu ngoặc đều bằng $u_1 + u_n$ .
Có tất cả $n$ cặp như vậy (ví dụ: cặp đầu tiên là $u_1$ và $u_n$ , cặp thứ hai là $u2$ và $u{n-1}$ , …).
Do đó, $2S_n = n \times (u_1 + u_n)$ .
Vậy, $n(u_1 + u_n) = 2S_n$ .

Luyện tập 4 trang 51 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau:
a) 3; 1; – 1; … với n = 10;
b) 1,2; 1,7; 2,2; … với n = 15.
Lời giải:
a) Dãy số 3; 1; – 1; … là cấp số cộng với số hạng đầu $u1 = 3$ và công sai $d = 1 - 3 = -2$ .
Ta cần tính tổng của 10 số hạng đầu tiên ( $n = 10$ ).
Trước hết, ta tìm số hạng thứ 10:
$u{10} = u1 + (10-1)d = 3 + 9 \times (-2) = 3 - 18 = -15$ .
Tổng của 10 số hạng đầu là:
$S{10} = \frac{n(u1 + u{10})}{2} = \frac{10(3 + (-15))}{2} = \frac{10(-12)}{2} = \frac{-120}{2} = -60$ .
b) Dãy số 1,2; 1,7; 2,2; … là cấp số cộng với số hạng đầu $u1 = 1.2$ và công sai $d = 1.7 - 1.2 = 0.5$ .
Ta cần tính tổng của 15 số hạng đầu tiên ( $n = 15$ ).
Trước hết, ta tìm số hạng thứ 15:
$u{15} = u1 + (15-1)d = 1.2 + 14 \times 0.5 = 1.2 + 7 = 8.2$ .
Tổng của 15 số hạng đầu là:
$S{15} = \frac{n(u1 + u{15})}{2} = \frac{15(1.2 + 8.2)}{2} = \frac{15(9.4)}{2} = \frac{141}{2} = 70.5$ .

Bài 1 trang 51 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp cố cộng?
a) 10; – 2; – 14; – 26; – 38;
b) 12;54;2;114;72 ;
c) 12; 22; 32; 42; 52;
d) 1; 4; 7; 10; 13.
Lời giải:
Ta xét hiệu của các số hạng liên tiếp cho từng dãy.
a) 10; – 2; – 14; – 26; – 38;
$-2 - 10 = -12$
$-14 - (-2) = -12$
$-26 - (-14) = -12$
$-38 - (-26) = -12$
Hiệu không đổi bằng -12. Vậy đây là cấp số cộng.
b) 12;54;2;114;72 ;
$\frac{5}{4} - 12 = \frac{5 - 48}{4} = -\frac{43}{4}$
$2 - \frac{5}{4} = \frac{8 - 5}{4} = \frac{3}{4}$
Hiệu khác nhau. Vậy đây không là cấp số cộng.
c) 12; 22; 32; 42; 52;
$22 - 12 = 10$
$32 - 22 = 10$
$42 - 32 = 10$
$52 - 42 = 10$
Hiệu không đổi bằng 10. Vậy đây là cấp số cộng.
d) 1; 4; 7; 10; 13.
$4 - 1 = 3$
$7 - 4 = 3$
$10 - 7 = 3$
$13 - 10 = 3$
Hiệu không đổi bằng 3. Vậy đây là cấp số cộng.
Kết luận: Các dãy số là cấp số cộng là: a), c), d).

Bài 2 trang 52 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu u1 và công sai d.
a) un = 3 – 2n;
b) un = $3n+75$ ;
c) un = 3n.
Lời giải:
a) $un = 3 - 2n$
$u{n+1} = 3 - 2(n+1) = 3 - 2n - 2 = 1 - 2n$
$u_{n+1} - u_n = (1 - 2n) - (3 - 2n) = 1 - 2n - 3 + 2n = -2$ .
Hiệu không đổi bằng -2. Vậy đây là cấp số cộng.
Số hạng đầu: $u_1 = 3 - 2(1) = 1$ .
Công sai: $d = -2$ .
b) $un = \frac{3n+7}{5}$
$u{n+1} = \frac{3(n+1)+7}{5} = \frac{3n+3+7}{5} = \frac{3n+10}{5}$
$u_{n+1} - u_n = \frac{3n+10}{5} - \frac{3n+7}{5} = \frac{3n+10 - 3n - 7}{5} = \frac{3}{5}$ .
Hiệu không đổi bằng $\frac{3}{5}$ . Vậy đây là cấp số cộng.
Số hạng đầu: $u_1 = \frac{3(1)+7}{5} = \frac{10}{5} = 2$ .
Công sai: $d = \frac{3}{5}$ .
c) $un = 3^n$
$u{n+1} = 3^{n+1}$
$u_{n+1} - u_n = 3^{n+1} - 3^n = 3^n(3 - 1) = 2 \cdot 3^n$ .
Hiệu phụ thuộc vào n, không phải là hằng số. Vậy đây không là cấp số cộng.

Bài 3 trang 52 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1= – 3, công sai d = 5.
a) Viết công thức của số hạng tổng quát un.
b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?
c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?
Lời giải:
a) Ta áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n-1)d$ .
Với $u_1 = -3$ và $d = 5$ , ta có:
$u_n = -3 + (n-1)5 = -3 + 5n - 5 = 5n - 8$ .
Vậy công thức số hạng tổng quát là $u_n = 5n - 8$ .
b) Để tìm xem số 492 là số hạng thứ mấy, ta giải phương trình $u_n = 492$ .
$5n - 8 = 492$
$5n = 492 + 8$
$5n = 500$
$n = \frac{500}{5} = 100$ .
Vậy số 492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng trên.
c) Để xét xem số 300 có là số hạng của cấp số cộng trên không, ta giải phương trình $u_n = 300$ và kiểm tra xem n có phải là số nguyên dương hay không.
$5n - 8 = 300$
$5n = 300 + 8$
$5n = 308$
$n = \frac{308}{5} = 61.6$ .
Vì $n = 61.6$ không phải là số nguyên dương, nên số 300 không phải là số hạng nào của cấp số cộng trên.

Bài 4 trang 52 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Cho cấp số cộng (un) có u1= 4, u2= 1. Tính u10.
Lời giải:
Công sai của cấp số cộng (un) là:
$d = u_2 - u1 = 1 - 4 = -3$ .
Ta cần tính số hạng thứ 10 ( $u{10}$ ).
Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_n = u1 + (n-1)d$ .
$u{10} = 4 + (10-1)(-3)$
$u{10} = 4 + 9(-3)$
$u{10} = 4 - 27$
$u{10} = -23$ .
Vậy $u{10} = -23$ .
Mẹo kiểm tra: Số hạng thứ 2 nhỏ hơn số hạng thứ nhất, suy ra công sai âm, các số hạng sau sẽ giảm dần.

Bài 5 trang 52 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Cho cấp số cộng (un) có u1=13 và u1+ u2+ u3= – 1.
a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát un.
b) Số – 67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên.
c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?
Lời giải:
a) Ta có: $u_1 = 13$ .
$u_2 = u_1 + d = 13 + d$ .
$u_3 = u_1 + 2d = 13 + 2d$ .
Theo đề bài, $u_1 + u_2 + u_3 = -1$ .
Thay các giá trị vào, ta có:
$13 + (13 + d) + (13 + 2d) = -1$
$39 + 3d = -1$
$3d = -1 - 39$
$3d = -40$
$d = -\frac{40}{3}$ .
Công sai là $d = -\frac{40}{3}$ .
Công thức số hạng tổng quát là:
$u_n = u_1 + (n-1)d = 13 + (n-1)(-\frac{40}{3})$
$u_n = 13 - \frac{40}{3}n + \frac{40}{3}$
$u_n = -\frac{40}{3}n + \frac{39+40}{3}$
$u_n = -\frac{40}{3}n + \frac{79}{3}$ .
b) Để tìm xem số – 67 là số hạng thứ mấy, ta giải $u_n = -67$ .
$-\frac{40}{3}n + \frac{79}{3} = -67$
Nhân cả hai vế với 3:
$-40n + 79 = -67 \times 3$
$-40n + 79 = -201$
$-40n = -201 - 79$
$-40n = -280$
$n = \frac{-280}{-40} = 7$ .
Vậy số – 67 là số hạng thứ 7 của cấp số cộng.
c) Để kiểm tra số 7 có phải là số hạng của cấp số cộng trên không, ta giải $u_n = 7$ .
$-\frac{40}{3}n + \frac{79}{3} = 7$
Nhân cả hai vế với 3:
$-40n + 79 = 7 \times 3$
$-40n + 79 = 21$
$-40n = 21 - 79$
$-40n = -58$
$n = \frac{-58}{-40} = \frac{58}{40} = \frac{29}{20}$ .
Vì $n = \frac{29}{20}$ không phải là số nguyên dương, nên số 7 không phải là một số hạng của cấp số cộng trên.

Bài 6 trang 52 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số (un) với un= 0,3n + 5 với mọi n ≥ 1.
Lời giải:
Trước hết, ta kiểm tra xem dãy số có phải là cấp số cộng hay không.
$un = 0.3n + 5$
$u{n+1} = 0.3(n+1) + 5 = 0.3n + 0.3 + 5 = 0.3n + 5.3$
Xét hiệu:
$u_{n+1} - u_n = (0.3n + 5.3) - (0.3n + 5) = 0.3$ .
Vì hiệu không đổi bằng 0.3, nên đây là một cấp số cộng.
Số hạng đầu: $u_1 = 0.3(1) + 5 = 5.3$ .
Công sai: $d = 0.3$ .
Ta cần tính tổng của 100 số hạng đầu ( $n = 100$ ).
Sử dụng công thức $S_n = \frac{n}{2}[2u1 + (n-1)d]$ :
$S{100} = \frac{100}{2}[2(5.3) + (100-1)(0.3)]$
$S{100} = 50[10.6 + 99 \times 0.3]$
$S{100} = 50[10.6 + 29.7]$
$S{100} = 50[40.3]$
$S{100} = 2015$ .
Hoặc có thể tính u100 trước:
$u{100} = 0.3(100) + 5 = 30 + 5 = 35$ .
$S{100} = \frac{n(u1 + u{100})}{2} = \frac{100(5.3 + 35)}{2} = \frac{100(40.3)}{2} = 50(40.3) = 2015$ .

Bài 7 trang 52 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Chiều cao (đơn vị: centimet) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: xn = 75 + 5(n – 1).
a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao 3 năm tuổi là bao nhiêu centimet?
b) Dãy số (xn) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimet?
Lời giải:
a) Chiều cao của đứa trẻ 3 tuổi ( $n = 3$ ) là:
$x_3 = 75 + 5(3 - 1) = 75 + 5(2) = 75 + 10 = 85 \text{ cm}$ .
Vậy chiều cao của đứa trẻ 3 tuổi là 85 cm.
b) Ta viết lại công thức: $xn = 75 + 5n - 5 = 5n + 70$ .
Đây là một công thức có dạng $an + b$ , nên dãy số (xn) là một cấp số cộng.
Để xác định công sai, ta xét hiệu:
$x{n+1} - xn = (5(n+1) + 70) - (5n + 70)$
$x{n+1} - xn = (5n + 5 + 70) - (5n + 70)$
$x{n+1} - x_n = 5n + 75 - 5n - 70 = 5$ .
Công sai $d = 5$ .
Điều này có nghĩa là trung bình mỗi năm, chiều cao của đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên 5 cm.

Bài 8 trang 52 Toán 11 Tập 1:

Đề bài: Khi kí kết hợp đồng lao động đối với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:
Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm, tiền lương được tăng 18 triệu.
Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu.
Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:
a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?
b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?
Lời giải:
Ta sẽ phân tích từng phương án dưới dạng cấp số cộng.
Phương án 1: Tiền lương theo năm.
Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 120 \text{ triệu}$ và công sai $d_1 = 18 \text{ triệu}$ .
Số hạng tổng quát (tiền lương năm thứ n) là: $u_n = 120 + (n-1)18$ .
Phương án 2: Tiền lương theo quý.
Một năm có 4 quý. Hợp đồng 3 năm tương đương 12 quý, hợp đồng 10 năm tương đương 40 quý.
Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu $v_1 = 24 \text{ triệu}$ và công sai $d_2 = 1.8 \text{ triệu}$ .
Số hạng tổng quát (tiền lương quý thứ k) là: $vk = 24 + (k-1)1.8$ .
Tổng tiền lương trong 12 quý là $S{12}$ , và trong 40 quý là $S_{40}$ .
a) Kí hợp đồng lao động 3 năm:
- Phương án 1: Tính tổng lương 3 năm ( $n=3$ ).
 $u_3 = 120 + (3-1)18 = 120 + 2 \times 18 = 120 + 36 = 156 \text{ triệu}$ .
 Tổng lương 3 năm: $S_3 = \frac{3(u_1 + u_3)}{2} = \frac{3(120 + 156)}{2} = \frac{3(276)}{2} = 3 \times 138 = 414 \text{ triệu}$ .
- Phương án 2: Tính tổng lương trong 12 quý ( $k=12$ ).
 $v{12} = 24 + (12-1)1.8 = 24 + 11 \times 1.8 = 24 + 19.8 = 43.8 \text{ triệu}$ .
 Tổng lương 12 quý: $S{12} = \frac{12(v1 + v{12})}{2} = \frac{12(24 + 43.8)}{2} = \frac{12(67.8)}{2} = 6 \times 67.8 = 406.8 \text{ triệu}$ .
- Kết luận a: Với hợp đồng 3 năm, Phương án 1 (414 triệu) tốt hơn Phương án 2 (406.8 triệu). Nên chọn Phương án 1.
b) Kí hợp đồng lao động 10 năm:
- Phương án 1: Tính tổng lương 10 năm ( $n=10$ ).
 $u{10} = 120 + (10-1)18 = 120 + 9 \times 18 = 120 + 162 = 282 \text{ triệu}$ .
 Tổng lương 10 năm: $S{10} = \frac{10(u1 + u{10})}{2} = \frac{10(120 + 282)}{2} = \frac{10(402)}{2} = 5 \times 402 = 2010 \text{ triệu}$ .
- Phương án 2: Tính tổng lương trong 40 quý ( $k=40$ ).
 $v{40} = 24 + (40-1)1.8 = 24 + 39 \times 1.8 = 24 + 70.2 = 94.2 \text{ triệu}$ .
 Tổng lương 40 quý: $S{40} = \frac{40(v1 + v{40})}{2} = \frac{40(24 + 94.2)}{2} = \frac{40(118.2)}{2} = 20 \times 118.2 = 2364 \text{ triệu}$ .
- Kết luận b: Với hợp đồng 10 năm, Phương án 2 (2364 triệu) tốt hơn Phương án 1 (2010 triệu). Nên chọn Phương án 2.

Đáp Án/Kết Quả

Câu hỏi khởi động & Luyện tập 3: Thửa ruộng thứ 10 có độ cao 1 260,8 m so với mực nước biển.
Hoạt động 1: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai đều lớn hơn số hạng đứng ngay trước nó 5 đơn vị.
Luyện tập 1: Năm số hạng đầu là: – 7; – 2; 3; 8; 13.
Luyện tập 2: Dãy số $u_n = -5n + 7$ là cấp số cộng với $u_1 = 2$ , $d = -5$ .
Hoạt động 2: Năm số hạng đầu là $u_1; u_1 + d; u_1 + 2d; u_1 + 3d; u_1 + 4d$ . Công thức số hạng tổng quát là $u_n = u_1 + (n-1)d$ .
Hoạt động 3: Các tổng $u_1 + u_n = u2 + u{n-1} = ... = u_n + u_1$ . $n(u_1 + u_n) = 2S_n$ .
Luyện tập 4:
a) Tổng 10 số hạng đầu là -60.
b) Tổng 15 số hạng đầu là 70.5.
Bài 1: Các dãy là cấp số cộng: a), c), d).
Bài 2:
a) Cấp số cộng, $u_1 = 1$ , $d = -2$ .
b) Cấp số cộng, $u_1 = 2$ , $d = \frac{3}{5}$ .
c) Không là cấp số cộng.
Bài 3:
a) $u_n = 5n - 8$ .
b) Số 492 là số hạng thứ 100.
c) Số 300 không là số hạng của cấp số cộng này.
Bài 4: $u_{10} = -23$ .
Bài 5:
a) $d = -\frac{40}{3}$ , $u_n = -\frac{40}{3}n + \frac{79}{3}$ .
b) Số – 67 là số hạng thứ 7.
c) Số 7 không phải là số hạng của cấp số cộng này.
Bài 6: Tổng 100 số hạng đầu là 2015.
Bài 7:
a) Chiều cao là 85 cm.
b) Dãy số là cấp số cộng, chiều cao tăng 5 cm mỗi năm.
Bài 8:
a) Với hợp đồng 3 năm, nên chọn Phương án 1.
b) Với hợp đồng 10 năm, nên chọn Phương án 2.

Conclusion

Nắm vững kiến thức về Cấp Số Cộng là chìa khóa để giải quyết hiệu quả Toán Lớp 11 Bài 2 nói riêng và các bài toán liên quan đến dãy số nói chung. Bài viết đã trình bày chi tiết các định nghĩa, công thức và hướng dẫn giải từng dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Hy vọng qua đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc chinh phục các bài toán về cấp số cộng, từ đó củng cố kiến thức và đạt kết quả cao trong học tập.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.