Giải Toán Lớp 12 Bài 1 Trang 18 SGK Giải Tích: Tìm Cực Trị Hàm Số
Chào mừng bạn đến với bài viết chi tiết về cách tìm các điểm cực trị của hàm số, tập trung vào giải toán lớp 12 bài 1 trang 18 SGK Giải Tích. Trong chương trình Toán lớp 12, việc xác định cực trị của hàm số là một kỹ năng nền tảng, giúp chúng ta hiểu sâu hơn về đồ thị hàm số và ứng dụng trong nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chuẩn xác, dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể từ sách giáo khoa, đảm bảo bạn có thể tự tin chinh phục dạng bài này. Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua từng bước, từ việc xác định tập xác định, tính đạo hàm, lập bảng biến thiên cho đến việc suy luận và kết luận về các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Đề Bài
Áp dụng quy tắc tìm cực trị của hàm số, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10)
b) (y = x^4 + 2x^2 – 3)
c) (y = x + frac{1}{x})
d) (y = x^3(1 – x)^2)
e) (y = sqrt{x^2 – x + 1})
Phân Tích Yêu Cầu
Bài toán yêu cầu chúng ta tìm các điểm cực trị (cực đại và cực tiểu) cho năm hàm số khác nhau. Để giải quyết yêu cầu này, chúng ta cần áp dụng một quy trình toán học có hệ thống, bắt đầu từ việc phân tích tính chất của từng hàm số và sử dụng công cụ đạo hàm để xác định các điểm mà tại đó hàm số có khả năng đạt cực trị. Các dữ kiện quan trọng bao gồm biểu thức của hàm số, tập xác định của nó, và các giá trị của đạo hàm. Hướng giải tổng quát sẽ xoay quanh việc tính đạo hàm bậc nhất, tìm nghiệm của đạo hàm, và sau đó sử dụng dấu của đạo hàm để xác định tính chất đơn điệu của hàm số, từ đó suy ra điểm cực trị.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để tìm cực trị của hàm số, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
- Tập xác định của hàm số: Đây là tập hợp tất cả các giá trị của biến số mà tại đó biểu thức của hàm số có nghĩa.
- Đạo hàm của hàm số: Đạo hàm bậc nhất (y’) cho biết tốc độ thay đổi tức thời của hàm số.
- Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Nếu hàm số (y = f(x)) đạt cực trị tại điểm (x_0) và hàm số có đạo hàm tại (x_0), thì (f'(x_0) = 0). Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng, tức là (f'(x_0) = 0) chưa chắc đã là điểm cực trị.
- Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
- Quy tắc 1: Nếu (f'(x)) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua (x_0) (tức là (f'(x) > 0) với (x < x_0) và (f'(x) < 0) với (x > x_0) trong một lân cận của (x_0)), thì hàm số đạt cực đại tại (x_0). Nếu (f'(x)) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua (x_0), thì hàm số đạt cực tiểu tại (x_0).
- Quy tắc 2: Nếu (f'(x_0) = 0) và (f”(x_0) < 0), thì hàm số đạt cực đại tại (x_0). Nếu (f'(x_0) = 0) và (f”(x_0) > 0), thì hàm số đạt cực tiểu tại (x_0). (Quy tắc này thường dùng cho các hàm đa thức bậc cao).
- Bảng biến thiên: Bảng này tóm tắt tập xác định, các điểm làm cho đạo hàm bằng không hoặc không xác định, dấu của đạo hàm trên các khoảng, và sự biến thiên (tăng/giảm) của hàm số.
Quy trình chung để tìm cực trị của hàm số (y = f(x)) là:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm (f'(x)). Tìm tất cả các điểm (x_i) mà tại đó (f'(x_i) = 0) hoặc (f'(x_i)) không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên cho hàm số. Bảng này sẽ bao gồm các điểm đã tìm ở Bước 2, dấu của (f'(x)) trên các khoảng giữa các điểm này, và giới hạn của (f(x)) tại các đầu mút của tập xác định (nếu có).
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, xác định các điểm cực trị. Nếu (f'(x)) đổi dấu từ dương sang âm tại (x_0), hàm số đạt cực đại tại (x_0). Nếu (f'(x)) đổi dấu từ âm sang dương tại (x_0), hàm số đạt cực tiểu tại (x_0).
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.
Phần a: (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10)
Bước 1: Tập xác định
Hàm số đã cho là một hàm đa thức, do đó tập xác định là (D = mathbb{R}).
Bước 2: Tính đạo hàm và tìm điểm dừng
Ta tính đạo hàm bậc nhất của hàm số:
(y’ = frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 – 36x – 10))
(y’ = 6x^2 + 6x – 36)
Để tìm các điểm cực trị, ta cho (y’ = 0):
(6x^2 + 6x – 36 = 0)
Chia cả hai vế cho 6:
(x^2 + x – 6 = 0)
Ta phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm:
((x + 3)(x – 2) = 0)
Vậy, ta có hai nghiệm là (x = -3) và (x = 2). Đây là các điểm dừng của hàm số.
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Ta xét dấu của (y’ = 6(x+3)(x-2)) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm (x = -3) và (x = 2).
- Với (x < -3), chọn (x = -4): (y’ = 6(-4+3)(-4-2) = 6(-1)(-6) = 36 > 0). Hàm số đồng biến.
- Với (-3 < x < 2), chọn (x = 0): (y’ = 6(0+3)(0-2) = 6(3)(-2) = -36 < 0). Hàm số nghịch biến.
- Với (x > 2), chọn (x = 3): (y’ = 6(3+3)(3-2) = 6(6)(1) = 36 > 0). Hàm số đồng biến.
Ta cũng cần xét giới hạn của hàm số khi (x) tiến ra vô cùng:
(mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } (2x^3 + 3x^2 – 36x – 10) = -infty)
(mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } (2x^3 + 3x^2 – 36x – 10) = +infty)
Bảng biến thiên:
| x | (-infty) | -3 | 2 | (+infty) |
|---|---|---|---|---|
| (y’) | + | 0 | – | 0 |
| (y) | (-infty) | (71) | (-infty) | (-infty) |
Bước 4: Kết luận điểm cực trị
Dựa vào bảng biến thiên:
- Tại (x = -3), (y’) đổi dấu từ dương sang âm. Do đó, hàm số đạt cực đại tại (x = -3). Giá trị cực đại là (y_{CĐ} = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 – 36(-3) – 10 = 2(-27) + 3(9) + 108 – 10 = -54 + 27 + 108 – 10 = 71).
- Tại (x = 2), (y’) đổi dấu từ âm sang dương. Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại (x = 2). Giá trị cực tiểu là (y_{CT} = 2(2)^3 + 3(2)^2 – 36(2) – 10 = 2(8) + 3(4) – 72 – 10 = 16 + 12 – 72 – 10 = 28 – 82 = -54).
Mẹo kiểm tra: Đối với hàm đa thức bậc ba có hai nghiệm phân biệt cho đạo hàm, điểm cực đại thường ứng với nghiệm nhỏ hơn và điểm cực tiểu ứng với nghiệm lớn hơn (nếu hệ số của (x^3) dương).
Lỗi hay gặp: Tính sai đạo hàm, giải sai phương trình (y’=0), hoặc xác định sai dấu của (y’) trên các khoảng.
Phần b: (y = x^4 + 2x^2 – 3)
Bước 1: Tập xác định
Hàm số là đa thức, nên tập xác định là (D = mathbb{R}).
Bước 2: Tính đạo hàm và tìm điểm dừng
(y’ = frac{d}{dx}(x^4 + 2x^2 – 3))
(y’ = 4x^3 + 4x)
Cho (y’ = 0):
(4x^3 + 4x = 0)
(4x(x^2 + 1) = 0)
Vì (x^2 + 1 > 0) với mọi (x in mathbb{R}), nên phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất là (x = 0).
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Ta xét dấu của (y’ = 4x(x^2 + 1)). Vì (4(x^2 + 1) > 0) với mọi (x), dấu của (y’) phụ thuộc vào dấu của (x).
- Với (x < 0), (y’ < 0). Hàm số nghịch biến.
- Với (x > 0), (y’ > 0). Hàm số đồng biến.
Xét giới hạn:
(mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } (x^4 + 2x^2 – 3) = +infty)
(mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } (x^4 + 2x^2 – 3) = +infty)
Bảng biến thiên:
| x | (-infty) | 0 | (+infty) |
|---|---|---|---|
| (y’) | – | 0 | + |
| (y) | (+infty) | (-3) | (+infty) |
| (searrow) | (nearrow) |
Bước 4: Kết luận điểm cực trị
Tại (x = 0), (y’) đổi dấu từ âm sang dương. Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại (x = 0). Giá trị cực tiểu là (y_{CT} = (0)^4 + 2(0)^2 – 3 = -3).
Hàm số không có điểm cực đại.
Mẹo kiểm tra: Hàm số (y = x^4 + 2x^2 – 3) là hàm chẵn (vì chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của (x)), nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Nếu có cực trị, nó sẽ là cực tiểu tại (x=0).
Lỗi hay gặp: Quên xét dấu của (x^2+1) hoặc nhầm lẫn giữa điều kiện cần và đủ.
Phần c: (y = x + frac{1}{x})
Bước 1: Tập xác định
Hàm số có mẫu số là (x), nên (x ne 0). Tập xác định là (D = mathbb{R} setminus {0}).
Bước 2: Tính đạo hàm và tìm điểm dừng
(y’ = frac{d}{dx}(x + x^{-1}))
(y’ = 1 – x^{-2} = 1 – frac{1}{x^2})
Cho (y’ = 0):
(1 – frac{1}{x^2} = 0)
(frac{x^2 – 1}{x^2} = 0)
(x^2 – 1 = 0)
((x – 1)(x + 1) = 0)
Ta có hai nghiệm là (x = 1) và (x = -1). Cả hai điểm này đều thuộc tập xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Ta xét dấu của (y’ = frac{(x-1)(x+1)}{x^2}). Mẫu số (x^2 > 0) với mọi (x ne 0). Do đó, dấu của (y’) phụ thuộc vào dấu của tử số ((x-1)(x+1)).
- Với (x < -1), chọn (x = -2): (y’ = frac{(-2-1)(-2+1)}{(-2)^2} = frac{(-3)(-1)}{4} = frac{3}{4} > 0). Hàm số đồng biến.
- Với (-1 < x < 0), chọn (x = -0.5): (y’ = frac{(-0.5-1)(-0.5+1)}{(-0.5)^2} = frac{(-1.5)(0.5)}{0.25} = frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0). Hàm số nghịch biến.
- Với (0 < x < 1), chọn (x = 0.5): (y’ = frac{(0.5-1)(0.5+1)}{(0.5)^2} = frac{(-0.5)(1.5)}{0.25} = frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0). Hàm số nghịch biến.
- Với (x > 1), chọn (x = 2): (y’ = frac{(2-1)(2+1)}{(2)^2} = frac{(1)(3)}{4} = frac{3}{4} > 0). Hàm số đồng biến.
Xét giới hạn:
(mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } (x + frac{1}{x}) = -infty)
(mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } (x + frac{1}{x}) = +infty)
(mathop {lim }limits_{x to 0^- } y = mathop {lim }limits_{x to 0^- } (x + frac{1}{x}) = 0 + (-infty) = -infty)
(mathop {lim }limits_{x to 0^+ } y = mathop {lim }limits_{x to 0^+ } (x + frac{1}{x}) = 0 + (+infty) = +infty)
Bảng biến thiên:
| x | (-infty) | -1 | 0 | 1 | (+infty) |
|---|---|---|---|---|---|
| (y’) | + | 0 | – | – | 0 |
| (y) | (-infty) | (-2) | (-infty) | (+infty) | (2) |
| (nearrow) | (searrow) | (searrow) |
Bước 4: Kết luận điểm cực trị
- Tại (x = -1), (y’) đổi dấu từ dương sang âm. Hàm số đạt cực đại tại (x = -1). Giá trị cực đại là (y_{CĐ} = -1 + frac{1}{-1} = -1 – 1 = -2).
- Tại (x = 1), (y’) đổi dấu từ âm sang dương. Hàm số đạt cực tiểu tại (x = 1). Giá trị cực tiểu là (y_{CT} = 1 + frac{1}{1} = 1 + 1 = 2).
Mẹo kiểm tra: Hàm số (y = x + frac{1}{x}) có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (là hàm lẻ). Điểm cực đại tại (x=-1) và cực tiểu tại (x=1) là hợp lý.
Lỗi hay gặp: Quên xét điểm (x=0) không thuộc tập xác định khi xét dấu (y’), hoặc nhầm lẫn dấu của (y’) ở các khoảng.
Phần d: (y = x^3(1 – x)^2)
Bước 1: Tập xác định
Hàm số là đa thức, nên tập xác định là (D = mathbb{R}).
Bước 2: Tính đạo hàm và tìm điểm dừng
Ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tích và đạo hàm của hàm hợp.
(y’ = frac{d}{dx}[x^3(1 – x)^2])
(y’ = (x^3)'(1 – x)^2 + x^3[(1 – x)^2]’)
(y’ = 3x^2(1 – x)^2 + x^3[2(1 – x)(1 – x)’])
(y’ = 3x^2(1 – x)^2 + x^3[2(1 – x)(-1)])
(y’ = 3x^2(1 – x)^2 – 2x^3(1 – x))
Ta có thể đặt nhân tử chung (x^2(1 – x)):
(y’ = x^2(1 – x)[3(1 – x) – 2x])
(y’ = x^2(1 – x)[3 – 3x – 2x])
(y’ = x^2(1 – x)(3 – 5x))
Cho (y’ = 0):
(x^2(1 – x)(3 – 5x) = 0)
Các nghiệm là (x = 0) (nghiệm kép), (x = 1), và (x = frac{3}{5}).
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Ta xét dấu của (y’ = x^2(1 – x)(3 – 5x)).
Lưu ý rằng (x^2 ge 0) với mọi (x), và (x^2 = 0) chỉ khi (x=0). Do đó, dấu của (y’) phụ thuộc vào dấu của ((1 – x)(3 – 5x)) (trừ điểm (x=0)).
Ta xét các khoảng:
- Với (x < frac{3}{5}) (và (x ne 0)):
- Nếu (x < 0), (1-x > 0), (3-5x > 0). Vậy (y’ = (+)(+)(+) > 0).
- Nếu (0 < x < frac{3}{5}), (1-x > 0), (3-5x > 0). Vậy (y’ = (+)(+)(+) > 0).
Như vậy, với (x < frac{3}{5}) và (x ne 0), (y’ > 0).
- Với (frac{3}{5} < x < 1): (1-x > 0), (3-5x < 0). Vậy (y’ = (+)(+)(-) < 0). Hàm số nghịch biến.
- Với (x > 1): (1-x < 0), (3-5x < 0). Vậy (y’ = (+)(-)(-) > 0). Hàm số đồng biến.
Xét giới hạn:
(mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } x^3(1 – x)^2 = (-infty)(+infty) = -infty)
(mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } x^3(1 – x)^2 = (+infty)(+infty) = +infty)
Bảng biến thiên:
| x | (-infty) | 0 | (frac{3}{5}) | 1 | (+infty) |
|---|---|---|---|---|---|
| (y’) | + | 0 | + | 0 | – |
| (y) | (-infty) | 0 | (frac{108}{3125}) | 0 | (+infty) |
| (nearrow) | (nearrow) | (searrow) |
Bước 4: Kết luận điểm cực trị
- Tại (x = 0), (y’) không đổi dấu (luôn dương trước và sau (x=0) khi (x ne 0)). Do đó, (x=0) không phải là điểm cực trị.
- Tại (x = frac{3}{5}), (y’) đổi dấu từ dương sang âm. Hàm số đạt cực đại tại (x = frac{3}{5}). Giá trị cực đại là (y_{CĐ} = (frac{3}{5})^3 (1 – frac{3}{5})^2 = frac{27}{125} (frac{2}{5})^2 = frac{27}{125} frac{4}{25} = frac{108}{3125}).
- Tại (x = 1), (y’) đổi dấu từ âm sang dương. Hàm số đạt cực tiểu tại (x = 1). Giá trị cực tiểu là (y_{CT} = (1)^3 (1 – 1)^2 = 1 cdot 0 = 0).
Mẹo kiểm tra: Quan sát biểu thức (y’ = x^2(1 – x)(3 – 5x)). (x^2) là nhân tử luôn dương (trừ (x=0)), nên nó không làm đổi dấu (y’). Dấu của (y’) chủ yếu phụ thuộc vào ((1-x)(3-5x)).
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn khi xét dấu (y’) tại các điểm nghiệm, đặc biệt là nghiệm kép (x=0).
Phần e: (y = sqrt{x^2 – x + 1})
Bước 1: Tập xác định
Để căn bậc hai có nghĩa, biểu thức dưới dấu căn phải không âm: (x^2 – x + 1 ge 0).
Ta xét biệt thức (Delta = (-1)^2 – 4(1)(1) = 1 – 4 = -3).
Vì (Delta < 0) và hệ số của (x^2) là (1 > 0), nên (x^2 – x + 1 > 0) với mọi (x in mathbb{R}).
Do đó, tập xác định của hàm số là (D = mathbb{R}).
Bước 2: Tính đạo hàm và tìm điểm dừng
(y’ = frac{d}{dx}(sqrt{x^2 – x + 1}))
(y’ = frac{1}{2sqrt{x^2 – x + 1}} cdot (x^2 – x + 1)’)
(y’ = frac{2x – 1}{2sqrt{x^2 – x + 1}})
Cho (y’ = 0):
(frac{2x – 1}{2sqrt{x^2 – x + 1}} = 0)
(2x – 1 = 0)
(x = frac{1}{2})
Lưu ý: Mẫu số (2sqrt{x^2 – x + 1}) luôn dương và không bao giờ bằng 0, nên (y’) luôn xác định trên (D = mathbb{R}).
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Ta xét dấu của (y’ = frac{2x – 1}{2sqrt{x^2 – x + 1}}). Vì mẫu số luôn dương, dấu của (y’) phụ thuộc vào dấu của tử số (2x – 1).
- Với (x < frac{1}{2}), (2x – 1 < 0), nên (y’ < 0). Hàm số nghịch biến.
- Với (x > frac{1}{2}), (2x – 1 > 0), nên (y’ > 0). Hàm số đồng biến.
Xét giới hạn:
(mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } sqrt{x^2 – x + 1} = +infty) (vì (x^2) chi phối)
(mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } sqrt{x^2 – x + 1} = +infty)
Bảng biến thiên:
| x | (-infty) | (frac{1}{2}) | (+infty) |
|---|---|---|---|
| (y’) | – | 0 | + |
| (y) | (+infty) | (frac{sqrt{3}}{2}) | (+infty) |
| (searrow) | (nearrow) |
Bước 4: Kết luận điểm cực trị
Tại (x = frac{1}{2}), (y’) đổi dấu từ âm sang dương. Hàm số đạt cực tiểu tại (x = frac{1}{2}).
Giá trị cực tiểu là (y_{CT} = sqrt{(frac{1}{2})^2 – frac{1}{2} + 1} = sqrt{frac{1}{4} – frac{2}{4} + frac{4}{4}} = sqrt{frac{3}{4}} = frac{sqrt{3}}{2}).
Hàm số không có điểm cực đại.
Mẹo kiểm tra: Hàm số (y = sqrt{f(x)}) đạt cực trị tại các điểm cực trị của (f(x)) (nếu (f(x) > 0)). Ở đây (f(x) = x^2 – x + 1) là một parabol có đỉnh tại (x = frac{-(-1)}{2(1)} = frac{1}{2}), và giá trị nhỏ nhất là (f(frac{1}{2}) = frac{3}{4} > 0). Do đó, (y) cũng có cực tiểu tại (x = frac{1}{2}).
Lỗi hay gặp: Tính sai đạo hàm của hàm căn thức, hoặc quên xét điều kiện của biểu thức dưới dấu căn.
Đáp Án/Kết Quả
Sau khi phân tích chi
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 14, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
