Đề thi học sinh giỏi các môn - chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí

Hướng Dẫn Chi Tiết Khảo Sát Sự Biến Thiên và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bậc Ba

by · January 8, 2026

Rate this post

Hướng Dẫn Chi Tiết Khảo Sát Sự Biến Thiên và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bậc Ba

Giới Thiệu Chung

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba là một chủ đề cốt lõi trong chương trình Giải tích 12, là nền tảng để giải quyết nhiều dạng bài tập nâng cao. Hiểu rõ các bước phân tích và cách biểu diễn trực quan giúp học sinh nắm vững bản chất hàm số, từ đó tự tin chinh phục các đề thi. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết từng bước, kèm theo các lưu ý quan trọng để bạn đọc có thể áp dụng một cách chính xác và hiệu quả nhất.

Hướng Dẫn Chi Tiết Khảo Sát Sự Biến Thiên và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bậc Ba

Đề Bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) (y = 2 + 3x – x^3)
b) (y = x^3 + 4x^2 + 4x)
c) (y = x^3 + x^2 + 9x)
d) (y = -2x^3 + 5)

Hướng Dẫn Chi Tiết Khảo Sát Sự Biến Thiên và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bậc Ba

Phân Tích Yêu Cầu Bài Toán

Yêu cầu của đề bài là thực hiện hai công việc chính đối với mỗi hàm số bậc ba cho trước:

  1. Khảo sát sự biến thiên: Bao gồm việc tìm tập xác định, xét chiều biến thiên (đồng biến, nghịch biến), tìm các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu), tính giới hạn tại vô cực và xác định các đường tiệm cận (nếu có).
  2. Vẽ đồ thị: Dựa trên kết quả khảo sát, xác định các điểm đặc biệt như giao điểm với trục tọa độ, điểm uốn, các điểm cực trị (nếu có) và biểu diễn chúng lên hệ trục tọa độ để vẽ đồ thị hàm số.

Kiến Thức Nền Tảng Cần Vận Dụng

Để thực hiện khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức sau:

1. Tập Xác Định (TXĐ)

Đối với các hàm số đa thức nói chung và hàm số bậc ba nói riêng, tập xác định luôn là tập hợp số thực (mathbb{R}).

2. Đạo Hàm và Chiều Biến Thiên

  • Tính đạo hàm bậc nhất: (y’).
  • Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình (y’ = 0) để tìm các nghiệm (x_i). Các điểm này là nơi đạo hàm có thể đổi dấu.
  • Xét dấu đạo hàm: Dựa vào dấu của (y’) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm (x_i) và vô cực, ta suy ra chiều biến thiên của hàm số:
    • Nếu (y’ > 0) trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó.
    • Nếu (y’ < 0) trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

3. Cực Trị Hàm Số

  • Hàm số đạt cực đại tại (x_0) nếu (y’) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua (x0). Giá trị cực đại là (y{CD} = y(x_0)).
  • Hàm số đạt cực tiểu tại (x_0) nếu (y’) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua (x0). Giá trị cực tiểu là (y{CT} = y(x_0)).
  • Đối với hàm bậc ba, nếu (y’=0) có hai nghiệm phân biệt, hàm số sẽ có cả cực đại và cực tiểu. Nếu (y’=0) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm, hàm số không có cực trị.

4. Giới Hạn và Tiệm Cận

  • Giới hạn tại vô cực: Tính (mathop {lim }limits_{x to – infty } y) và (mathop {lim }limits_{x to + infty } y). Đối với hàm bậc ba (y = ax^3 + bx^2 + cx + d) với (a ne 0), giới hạn này luôn là (pm infty). Cụ thể:
    • Nếu (a > 0), (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty) và (mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty).
    • Nếu (a < 0), (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty) và (mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty).
  • Tiệm cận: Hàm số bậc ba không có tiệm cận ngang hay tiệm cận đứng vì tập xác định là (mathbb{R}) và các giới hạn tại (pm infty) đều là vô cực. Tuy nhiên, đồ thị có thể có tâm đối xứng.

5. Đồ Thị Hàm Số

  • Giao điểm với trục tung (Oy): Đặt (x=0) và tính (y). Điểm có tọa độ ((0; y(0))).
  • Giao điểm với trục hoành (Ox): Giải phương trình (y = 0) để tìm các nghiệm (x). Các điểm có tọa độ ((x; 0)).
  • Điểm uốn: Điểm mà đạo hàm bậc hai (y”) đổi dấu. Ta tính (y”) và giải (y” = 0) hoặc xét dấu (y”). Nếu (y”=0) tại (x=x_0) và (y”) đổi dấu khi qua (x_0), thì đồ thị có điểm uốn tại (x_0).
  • Tâm đối xứng: Đồ thị hàm bậc ba luôn có tâm đối xứng tại điểm uốn.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

a) Xét hàm số (y = 2 + 3x – x^3)

  1. Tập xác định:
    (D = mathbb{R}).

  2. Sự biến thiên:

    • Tính đạo hàm:
      (y’ = 3 – 3x^2).
    • Tìm các điểm tới hạn:
      (y’ = 0 Leftrightarrow 3 – 3x^2 = 0 Leftrightarrow x^2 = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 1 x = -1 end{array} right.).
    • Xét dấu đạo hàm và chiều biến thiên:
      • Trên khoảng ((- infty; -1)), chọn (x=-2), (y’ = 3 – 3(-2)^2 = 3 – 12 = -9 < 0). Hàm số nghịch biến.
      • Trên khoảng ((-1; 1)), chọn (x=0), (y’ = 3 – 3(0)^2 = 3 > 0). Hàm số đồng biến.
      • Trên khoảng ((1; + infty)), chọn (x=2), (y’ = 3 – 3(2)^2 = 3 – 12 = -9 < 0). Hàm số nghịch biến.
    • Cực trị:
      • Hàm số đạt cực đại tại (x = 1) với (y_{CD} = y(1) = 2 + 3(1) – 1^3 = 2 + 3 – 1 = 4).
      • Hàm số đạt cực tiểu tại (x = -1) với (y_{CT} = y(-1) = 2 + 3(-1) – (-1)^3 = 2 – 3 + 1 = 0).
    • Giới hạn vô cực:
      (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } (2 + 3x – x^3) = mathop {lim }limits_{x to – infty } (-x^3) = + infty).
      (mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } (2 + 3x – x^3) = mathop {lim }limits_{x to + infty } (-x^3) = – infty).

  3. Bảng biến thiên:

    x-∞-11+∞
    y’–0+0
    y+∞(searrow)0 (CT)(nearrow)

  4. Đồ thị:

    • Giao trục tung: Cho (x=0 Rightarrow y = 2+3(0)-0^3 = 2). Đồ thị cắt trục Oy tại ((0; 2)).
    • Giao trục hoành: Giải (2+3x-x^3 = 0). Ta có thể nhẩm nghiệm hoặc sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc ba. Dễ thấy (x=-1) là nghiệm: (2+3(-1)-(-1)^3 = 2-3+1 = 0). Chia đa thức (-(x^3 – 3x – 2)) cho ((x+1)) ta được (-(x-2)(x+1)^2). Vậy phương trình là (-(x-2)(x+1)^2 = 0), có nghiệm (x=-1) (nghiệm kép) và (x=2). Đồ thị cắt trục Ox tại ((-1; 0)) và ((2; 0)).
    • Điểm uốn: Tính đạo hàm bậc hai: (y” = -6x). Giải (y” = 0 Rightarrow -6x = 0 Rightarrow x=0). Khi (x=0), (y=2). Điểm (I(0; 2)) là điểm uốn và cũng là tâm đối xứng của đồ thị.
    • Vẽ đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đã tìm được ((-1; 0)), ((2; 0)), ((0; 2)), cực đại ((1; 4)), cực tiểu ((-1; 0)).

b) Xét hàm số (y = x^3 + 4x^2 + 4x)

  1. Tập xác định:
    (D = mathbb{R}).

  2. Sự biến thiên:

    • Tính đạo hàm:
      (y’ = 3x^2 + 8x + 4).
    • Tìm các điểm tới hạn:
      (y’ = 0 Leftrightarrow 3x^2 + 8x + 4 = 0).
      Giải phương trình bậc hai: (Delta = 8^2 – 4(3)(4) = 64 – 48 = 16).
      (x = frac{-8 pm sqrt{16}}{2(3)} = frac{-8 pm 4}{6}).
      (x_1 = frac{-8 – 4}{6} = frac{-12}{6} = -2).
      (x_2 = frac{-8 + 4}{6} = frac{-4}{6} = -frac{2}{3}).
    • Xét dấu đạo hàm và chiều biến thiên:
      Vì (y’) là tam thức bậc hai có hệ số (a=3>0) và hai nghiệm phân biệt (-2, -frac{2}{3}), (y’) dương ngoài khoảng hai nghiệm và âm trong khoảng hai nghiệm.
      • Hàm số đồng biến trên ((-infty; -2)) và ((-frac{2}{3}; +infty)).
      • Hàm số nghịch biến trên ((-2; -frac{2}{3})).
    • Cực trị:
      • Hàm số đạt cực đại tại (x = -2) với (y_{CD} = y(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 + 4(-2) = -8 + 16 – 8 = 0).
      • Hàm số đạt cực tiểu tại (x = -frac{2}{3}) với (y_{CT} = y(-frac{2}{3}) = (-frac{2}{3})^3 + 4(-frac{2}{3})^2 + 4(-frac{2}{3}) = -frac{8}{27} + 4(frac{4}{9}) – frac{8}{3} = -frac{8}{27} + frac{16}{9} – frac{8}{3} = frac{-8 + 48 – 72}{27} = -frac{32}{27}).
    • Giới hạn vô cực:
      (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } (x^3 + 4x^2 + 4x) = mathop {lim }limits_{x to – infty } x^3 = – infty).
      (mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } (x^3 + 4x^2 + 4x) = mathop {lim }limits_{x to + infty } x^3 = + infty).

  3. Bảng biến thiên:

    x-∞-2-2/3+∞
    y’+0–0
    y-∞(nearrow)0 (CĐ)(searrow)

  4. Đồ thị:

    • Giao trục tung: Cho (x=0 Rightarrow y = 0^3 + 4(0)^2 + 4(0) = 0). Đồ thị cắt trục Oy tại ((0; 0)).
    • Giao trục hoành: Giải (x^3 + 4x^2 + 4x = 0 Leftrightarrow x(x^2 + 4x + 4) = 0 Leftrightarrow x(x+2)^2 = 0).
      Nghiệm là (x=0) và (x=-2) (nghiệm kép). Đồ thị cắt trục Ox tại ((0; 0)) và ((-2; 0)).
    • Điểm uốn: Tính đạo hàm bậc hai: (y” = 6x + 8). Giải (y” = 0 Rightarrow 6x + 8 = 0 Rightarrow x = -frac{8}{6} = -frac{4}{3}).
      Khi (x = -frac{4}{3}), (y = (-frac{4}{3})^3 + 4(-frac{4}{3})^2 + 4(-frac{4}{3}) = -frac{64}{27} + 4(frac{16}{9}) – frac{16}{3} = -frac{64}{27} + frac{64}{9} – frac{16}{3} = frac{-64 + 192 – 144}{27} = -frac{16}{27}).
      Điểm (I(-frac{4}{3}; -frac{16}{27})) là điểm uốn và tâm đối xứng.
    • Vẽ đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đã tìm được ((0; 0)), ((-2; 0)), cực đại ((-2; 0)), cực tiểu ((-frac{2}{3}; -frac{32}{27})), điểm uốn (I(-frac{4}{3}; -frac{16}{27})).

c) Xét hàm số (y = x^3 + x^2 + 9x)

  1. Tập xác định:
    (D = mathbb{R}).

  2. Sự biến thiên:

    • Tính đạo hàm:
      (y’ = 3x^2 + 2x + 9).
    • Tìm các điểm tới hạn:
      Xét phương trình (y’ = 0 Leftrightarrow 3x^2 + 2x + 9 = 0).
      Tính (Delta = 2^2 – 4(3)(9) = 4 – 108 = -104 < 0).
      Vì (Delta < 0) và hệ số (a=3>0), nên (y’ > 0) với mọi (x in mathbb{R}).
    • Xét dấu đạo hàm và chiều biến thiên:
      Hàm số luôn đồng biến trên (mathbb{R}).
    • Cực trị:
      Hàm số không có cực trị.
    • Giới hạn vô cực:
      (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } (x^3 + x^2 + 9x) = mathop {lim }limits_{x to – infty } x^3 = – infty).
      (mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } (x^3 + x^2 + 9x) = mathop {lim }limits_{x to + infty } x^3 = + infty).

  3. Bảng biến thiên:

    x-∞+∞
    y’++
    y-∞(nearrow)

  4. Đồ thị:

    • Giao trục tung: Cho (x=0 Rightarrow y = 0^3 + 0^2 + 9(0) = 0). Đồ thị cắt trục Oy tại ((0; 0)).
    • Giao trục hoành: Giải (x^3 + x^2 + 9x = 0 Leftrightarrow x(x^2 + x + 9) = 0).
      Phương trình (x^2 + x + 9 = 0) có (Delta = 1^2 – 4(1)(9) = 1 – 36 = -35 < 0), vô nghiệm.
      Chỉ có nghiệm (x=0). Đồ thị cắt trục Ox tại ((0; 0)).
    • Điểm uốn: Tính đạo hàm bậc hai: (y” = 6x + 2). Giải (y” = 0 Rightarrow 6x + 2 = 0 Rightarrow x = -frac{2}{6} = -frac{1}{3}).
      Khi (x = -frac{1}{3}), (y = (-frac{1}{3})^3 + (-frac{1}{3})^2 + 9(-frac{1}{3}) = -frac{1}{27} + frac{1}{9} – 3 = frac{-1 + 3 – 81}{27} = -frac{79}{27}).
      Điểm (I(-frac{1}{3}; -frac{79}{27})) là điểm uốn và tâm đối xứng.
    • Vẽ đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đã tìm được ((0; 0)), điểm uốn (I(-frac{1}{3}; -frac{79}{27})). Đồ thị đi qua gốc tọa độ và luôn đi lên từ trái sang phải.

d) Xét hàm số (y = -2x^3 + 5)

  1. Tập xác định:
    (D = mathbb{R}).

  2. Sự biến thiên:

    • Tính đạo hàm:
      (y’ = -6x^2).
    • Tìm các điểm tới hạn:
      (y’ = 0 Leftrightarrow -6x^2 = 0 Leftrightarrow x = 0).
    • Xét dấu đạo hàm và chiều biến thiên:
      Vì (x^2 ge 0) với mọi (x), nên (y’ = -6x^2 le 0) với mọi (x in mathbb{R}).
      Hàm số luôn nghịch biến trên (mathbb{R}).
    • Cực trị:
      Hàm số không có cực trị (vì (y’) không đổi dấu tại (x=0)).
    • Giới hạn vô cực:
      (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } (-2x^3 + 5) = mathop {lim }limits_{x to – infty } (-2x^3) = + infty).
      (mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } (-2x^3 + 5) = mathop {lim }limits_{x to + infty } (-2x^3) = – infty).

  3. Bảng biến thiên:

    x-∞0+∞
    y’–0–
    y+∞(searrow)5

  4. Đồ thị:

    • Giao trục tung: Cho (x=0 Rightarrow y = -2(0)^3 + 5 = 5). Đồ thị cắt trục Oy tại ((0; 5)).
    • Giao trục hoành: Giải (-2x^3 + 5 = 0 Leftrightarrow 2x^3 = 5 Leftrightarrow x^3 = frac{5}{2} Leftrightarrow x = sqrt[3]{frac{5}{2}}). Đồ thị cắt trục Ox tại ((sqrt[3]{frac{5}{2}}; 0)).
    • Điểm uốn: Tính đạo hàm bậc hai: (y” = -12x). Giải (y” = 0 Rightarrow -12x = 0 Rightarrow x = 0).
      Khi (x = 0), (y = 5). Điểm (I(0; 5)) là điểm uốn và tâm đối xứng.
    • Vẽ đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đã tìm được ((0; 5)), ((sqrt[3]{frac{5}{2}}; 0)), điểm uốn (I(0; 5)). Đồ thị đi qua ((0; 5)) và luôn đi xuống từ trái sang phải.

Kết Luận

Việc nắm vững quy trình khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba, kết hợp với việc luyện tập thường xuyên, sẽ giúp các em học sinh xây dựng nền tảng vững chắc cho việc học Toán. Chú trọng vào việc hiểu bản chất từng bước, cách tính toán chính xác và kiểm tra lại kết quả sẽ là chìa khóa để giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Kênh Xoilac TV HD ngon