Hướng Dẫn Giải Chi Tiết Đề Thi Giải Toán Trên Máy Tính Cầm Tay Lớp 12 (Năm Học 2009-2010)

Chào mừng các em đến với chuyên mục giải toán trên máy tính cầm tay lớp 12 tại dehocsinhgioi.com. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải đề thi Giải Toán Trên Máy Tính Cầm Tay dành cho học sinh lớp 12, tổ chức trong năm học 2009-2010. Chuyên mục này nhấn mạnh việc áp dụng máy tính cầm tay vào quá trình giải toán, giúp các em tối ưu thời gian và đạt kết quả cao.

Đề Bài

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi Giải Toán Trên Máy Tính Cầm Tay Lớp 12, năm học 2009-2010:

Câu 1:

Cho hàm số y = x^3 - 3x^2 + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình x^3 - 3x^2 + 1 = m có ba nghiệm phân biệt.

Câu 2:

Giải phương trình:
\sin^2 x + 2sin x \cos x - 3cos^2 x = 0

Câu 3:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = \sqrt{1 - \cos^2 x} + \sqrt{1 + \sin x}

Câu 4:

Trong không gian cho tam giác ABC với các đỉnh A(1; 2; 3), B(-1; 0; 1), C(-2; -1; 0).
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết SA = a, SB = b, SC = c. Chứng minh rằng SA^2 + SC^2 = SB^2 + SD^2.

Phân Tích Yêu Cầu

Đề bài bao gồm 5 câu hỏi thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của chương trình Toán lớp 12, bao gồm: khảo sát hàm số và phương trình, lượng giác, tìm cực trị hàm số, hình học không gian và các bài toán liên quan đến tam giác, hình chóp. Yêu cầu chung là áp dụng kiến thức đã học và kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để tìm ra đáp án chính xác.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết đề thi này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: Tìm tập xác định, giới hạn, đạo hàm, bảng biến thiên, điểm đặc biệt, tiệm cận.
• Phương trình lượng giác: Các công thức lượng giác cơ bản, phương trình lượng giác dạng thuần nhất bậc hai.
• Tìm cực trị hàm số: Sử dụng tính chất của căn bậc hai, hàm số lượng giác, chu kỳ của hàm số.
• Hình học không gian: Tích vô hướng của hai vectơ, độ dài vectơ, tọa độ trực tâm, diện tích tam giác trong không gian.
• Kiến thức về hình chóp: Quan hệ giữa các cạnh, các mặt trong hình chóp.
• Kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay (CASIO):
  • Tính toán đạo hàm, giá trị hàm số tại các điểm.
  • Giải phương trình, bất phương trình (chế độ Solve).
  • Tìm giới hạn, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.
  • Tính toán vectơ, độ dài, tích vô hướng.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Câu 1: Khảo sát hàm số và phương trình

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 1:

1. Tập xác định: D = mathbb{R}.
2. Sự biến thiên:
   • Tính đạo hàm: y' = 3x^2 - 6x.
   • Tìm các điểm cực trị: y' = 0 Leftrightarrow 3x(x-2) = 0 Leftrightarrow x = 0 hoặc x = 2.
   • y(0) = 1, y(2) = 8 - 12 + 1 = -3.
   • Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_{CD} = 1.
   • Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y_{CT} = -3.
   • \lim<em>{x \to +\infty} y = +\infty, \lim</em>{x \to -\infty} y = -\infty.
3. Đồ thị:
   • Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng vì nó là hàm đa thức bậc ba.
   • Điểm uốn: y'' = 6x - 6. y'' = 0 Leftrightarrow x = 1. y(1) = 1 - 3 + 1 = -1. Điểm uốn là I(1; -1).
   • Đồ thị đi qua các điểm đặc biệt: (0; 1) (cực đại), (2; -3) (cực tiểu), (1; -1) (điểm uốn).
   • Vẽ đồ thị dựa trên bảng biến thiên và các điểm đã tìm được.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x^3 - 3x^2 + 1 = m có ba nghiệm phân biệt:

• Phương trình này tương đương với việc tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 1 và đường thẳng y = m.
• Dựa vào đồ thị đã vẽ ở câu a, để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt, đường thẳng y = m phải nằm giữa hai giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số.
• Giá trị cực đại là y_{CD} = 1 (tại x = 0).
• Giá trị cực tiểu là y_{CT} = -3 (tại x = 2).
• Vậy, phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi -3 < m < 1[/katex].</li> </ul> <p><em>Mẹo kiểm tra:</em> Sử dụng máy tính cầm tay để vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng [katex]y=m với các giá trị m khác nhau để xác nhận số giao điểm.

  Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn dấu của các giá trị cực trị, hoặc quên mất điều kiện "ba nghiệm phân biệt" (suy ra không bao gồm hai đầu mút).

  Câu 2: Giải phương trình lượng giác

  Giải phương trình: \sin^2 x + 2sin x \cos x - 3cos^2 x = 0

  1. Nhận dạng: Đây là phương trình lượng giác thuần nhất bậc hai.
  2. Xét trường hợp \cos x = 0:
     • Nếu \cos x = 0, thì \sin x = \pm 1.
     • Thay vào phương trình: (\pm 1)^2 + 2(\pm 1)(0) - 3(0)^2 = 0 Leftrightarrow 1 = 0 (vô lý).
     • Vậy \cos x \ne 0.
  3. Chia cả hai vế cho \cos^2 x:
     • Ta có: \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3cos^2 x}{\cos^2 x} = 0
     • \tan^2 x + 2tan x - 3 = 0.
  4. Đặt t = \tan x:
     • Phương trình trở thành: t^2 + 2t - 3 = 0.
     • Đây là phương trình bậc hai với a=1, b=2, c=-3.
     • Ta có thể giải bằng công thức nghiệm hoặc nhẩm nghiệm: katex(t-1) = 0[/katex].
     • Suy ra t = 1 hoặc t = -3.
  5. Tìm x:
     • Trường hợp 1: \tan x = 1.
       • x = \frac{\pi}{4} + kpi, với k in mathbb{Z}.
     • Trường hợp 2: \tan x = -3.
       • x = arctan(-3) + npi, với n in mathbb{Z}. (Sử dụng máy tính để tính arctan(-3)).

  Mẹo kiểm tra: Nhập phương trình gốc vào máy tính (ở chế độ Solve hoặc Mode 5-2 nếu đưa về dạng đa thức), sau đó nhập từng nghiệm tìm được vào phương trình gốc để kiểm tra.

  Lỗi hay gặp: Quên xét trường hợp \cos x = 0, tính sai arctan, hoặc quên thêm hằng số kpi/npi.

  Câu 3: Tìm cực trị hàm số

  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = \sqrt{1 - \cos^2 x} + \sqrt{1 + \sin x}

  1. Rút gọn biểu thức:

     • Ta biết \sin^2 x + \cos^2 x = 1, suy ra 1 - \cos^2 x = \sin^2 x.
     • Do đó, \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|.
     • Hàm số trở thành: y = |\sin x| + \sqrt{1 + \sin x}.

  2. Phân tích miền giá trị của \sin x:

     • Ta có -1 \le \sin x \le 1.
     • Do \sin x \ge -1, biểu thức dưới dấu căn 1 + \sin x luôn không âm, nên \sqrt{1 + \sin x} luôn xác định.

  3. Xét hai trường hợp cho |\sin x|:

     • Trường hợp 1: \sin x \ge 0 (tức là 2kpi \le x \le \pi + 2kpi).

       • Khi đó |\sin x| = \sin x.
       • Hàm số trở thành: y = \sin x + \sqrt{1 + \sin x}.
       • Đặt t = \sin x. Vì \sin x \ge 0 và \sin x \le 1, ta có 0 \le t \le 1.
       • Xét hàm số f(t) = t + \sqrt{1 + t} trên đoạn [0, 1].
       • Tính đạo hàm: f'(t) = 1 + \frac{1}{2sqrt{1 + t}}.
       • Vì t \ge 0, 1+t > 0, nên f'(t) > 0.
       • Do đó, f(t) là hàm đồng biến trên [0, 1].
       • Giá trị nhỏ nhất là f(0) = 0 + \sqrt{1+0} = 1 (khi \sin x = 0).
       • Giá trị lớn nhất là f(1) = 1 + \sqrt{1+1} = 1 + \sqrt{2} (khi \sin x = 1).

     • Trường hợp 2: \sin x < 0[/katex]</strong> (tức là [katex]\pi + 2kpi < x < 2pi + 2kpi[/katex]).</p> <ul> <li>Khi đó [katex]|\sin x| = -\sin x.

     • Hàm số trở thành: y = -\sin x + \sqrt{1 + \sin x}.
     • Đặt t = \sin x. Vì \sin x < 0[/katex] và [katex]\sin x \ge -1[/katex], ta có [katex]-1 \le t < 0[/katex].</li> <li>Xét hàm số [katex]g(t) = -t + \sqrt{1 + t} trên đoạn [-1, 0).
     • Tính đạo hàm: g'(t) = -1 + \frac{1}{2sqrt{1 + t}}.
     • Đặt g'(t) = 0 Leftrightarrow \frac{1}{2sqrt{1 + t}} = 1 Leftrightarrow \sqrt{1 + t} = \frac{1}{2} Leftrightarrow 1 + t = \frac{1}{4} Leftrightarrow t = -\frac{3}{4}.
     • Giá trị t = -\frac{3}{4} nằm trong khoảng [-1, 0).
     • Tính các giá trị:
       • g(-1) = -(-1) + \sqrt{1+(-1)} = 1 + 0 = 1 (khi \sin x = -1).
       • g(-\frac{3}{4}) = -(-\frac{3}{4}) + \sqrt{1 + (-\frac{3}{4})} = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} (khi \sin x = -\frac{3}{4}).
     • Khi t \to 0^-, g(t) \to -0 + \sqrt{1+0} = 1.
     • Vậy trên đoạn [-1, 0), giá trị nhỏ nhất là 1 (tại \sin x = -1) và giá trị lớn nhất là \frac{5}{4} (tại \sin x = -\frac{3}{4}).

Mẹo kiểm tra: Dùng máy tính ở chế độ CALC, thay các giá trị \sin x = 1, 0, -1, -3/4 vào hàm y = |\sin x| + \sqrt{1 + \sin x}.

Lỗi hay gặp: Sai khi xử lý dấu giá trị tuyệt đối |\sin x|, quên xét các khoảng giá trị của \sin x, hoặc tính sai đạo hàm và điểm cực trị của hàm phụ.

Câu 4: Hình học không gian

Trong không gian cho tam giác ABC với các đỉnh A(1; 2; 3), B(-1; 0; 1), C(-2; -1; 0).

a) Tính diện tích tam giác ABC:

1. Tìm các vectơ cạnh:
   • vec{AB} = B - A = (-1-1; 0-2; 1-3) = (-2; -2; -2).
   • vec{AC} = C - A = (-2-1; -1-2; 0-3) = (-3; -3; -3).
   • Lưu ý: Ta nhận thấy vec{AC} = \frac{3}{2} vec{AB}. Điều này có nghĩa là hai vectơ này cùng phương, ba điểm A, B, C thẳng hàng.
2. Kiểm tra lại tọa độ:
   • A(1, 2, 3)
   • B(-1, 0, 1) => vec{AB} = (-2, -2, -2)
   • C(-2, -1, 0) => vec{AC} = (-3, -3, -3)
   • Thực sự, vec{AC} = \frac{3}{2} vec{AB}.
3. Kết luận về diện tích:
   • Vì ba điểm A, B, C thẳng hàng, chúng không tạo thành một tam giác.
   • Diện tích tam giác ABC bằng 0.

Mẹo kiểm tra: Dùng máy tính kiểm tra tích có hướng vec{AB} \times vec{AC}. Nếu kết quả là vectơ không (0; 0; 0), tức là các vectơ cùng phương và ba điểm thẳng hàng.

Lỗi hay gặp: Tính toán sai tọa độ vectơ, hoặc không nhận ra sự thẳng hàng của ba điểm mà vẫn cố gắng tính tích có hướng.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

• Như đã phân tích ở câu a, ba điểm A, B, C thẳng hàng và không tạo thành tam giác.
• Trong trường hợp này, khái niệm "trực tâm của tam giác" không còn ý nghĩa hình học thông thường. Tuy nhiên, nếu bài toán vẫn yêu cầu tìm tọa độ H thỏa mãn điều kiện trực tâm, thì đó là một bài toán không xác định hoặc có cách giải đặc biệt dựa trên định nghĩa.
• Thông thường, nếu các điểm thẳng hàng, đề bài sẽ không hỏi về trực tâm. Giả sử đề bài có một sai sót về tọa độ và các điểm này không thẳng hàng. Khi đó, quy trình tìm trực tâm như sau:
  1. Gọi H(x_H; y_H; z_H).
  2. Trực tâm H là giao điểm của ba đường cao. Đường cao hạ từ A vuông góc với BC, từ B vuông góc với AC, từ C vuông góc với AB.
  3. AH perp BC Rightarrow vec{AH} \cdot vec{BC} = 0.
  4. BH perp AC Rightarrow vec{BH} \cdot vec{AC} = 0.
  5. CH perp AB Rightarrow vec{CH} \cdot vec{AB} = 0.
  6. Ta cần tính các vectơ:
     • vec{BC} = C - B = (-2 - (-1); -1 - 0; 0 - 1) = (-1; -1; -1).
     • vec{AC} = (-3; -3; -3) (từ câu a).
     • vec{AB} = (-2; -2; -2) (từ câu a).
     • vec{AH} = (x_H - 1; y_H - 2; z_H - 3).
     • vec{BH} = (x_H + 1; y_H - 0; z_H - 1).
     • vec{CH} = (x_H + 2; y_H + 1; z_H - 0).
  7. Lập hệ phương trình:
     • (x_H - 1)(-1) + (y_H - 2)(-1) + (z_H - 3)(-1) = 0 Leftrightarrow -x_H - y_H - z_H + 6 = 0 Leftrightarrow x_H + y_H + z_H = 6.
     • (x_H + 1)(-3) + (y_H)( -3) + (z_H - 1)(-3) = 0 Leftrightarrow -3x_H - 3y_H - 3z_H + 3 = 0 Leftrightarrow x_H + y_H + z_H = 1.
  8. Ta thấy hai phương trình đầu mâu thuẫn nhau (6 \ne 1). Điều này càng khẳng định rằng với tọa độ đã cho, ba điểm thẳng hàng và không có trực tâm theo nghĩa thông thường. Nếu bài toán cho tọa độ khác để tạo thành tam giác, ta sẽ có 3 phương trình tương tự nhau và có thể giải để tìm x_H, y_H, z_H.

Lỗi hay gặp: Nếu không nhận ra A, B, C thẳng hàng, học sinh có thể bị kẹt ở hệ phương trình mâu thuẫn hoặc tìm sai tọa độ vectơ.

Câu 5: Hình chóp

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết SA = a, SB = b, SC = c. Chứng minh rằng SA^2 + SC^2 = SB^2 + SD^2.

1. Đặt hệ tọa độ:
   • Để đơn giản, ta đặt đỉnh A tại gốc tọa độ (0; 0; 0).
   • Vì ABCD là hình chữ nhật, ta có thể đặt các đỉnh trên các trục tọa độ hoặc song song với các trục.
   • Đặt A = (0; 0; 0).
   • Đặt B = (x_B; 0; 0) (trên trục Ox).
   • Đặt D = (0; y_D; 0) (trên trục Oy).
   • Do ABCD là hình chữ nhật, C = (x_B; y_D; 0).
   • Đặt S = (x_S; y_S; z_S).
2. Biểu diễn các độ dài theo tọa độ:
   • SA^2 = (x_S - 0)^2 + (y_S - 0)^2 + (z_S - 0)^2 = x_S^2 + y_S^2 + z_S^2 = a^2.
   • SB^2 = (x_S - x_B)^2 + (y_S - 0)^2 + (z_S - 0)^2 = (x_S - x_B)^2 + y_S^2 + z_S^2 = b^2.
   • SC^2 = (x_S - x_B)^2 + (y_S - y_D)^2 + (z_S - 0)^2 = (x_S - x_B)^2 + (y_S - y_D)^2 + z_S^2 = c^2.
   • SD^2 = (x_S - 0)^2 + (y_S - y_D)^2 + (z_S - 0)^2 = x_S^2 + (y_S - y_D)^2 + z_S^2.
3. Kiến thức cần áp dụng: Ta cần chứng minh SA^2 + SC^2 = SB^2 + SD^2.
4. Biến đổi biểu thức:
   • Xét vế trái: SA^2 + SC^2 = (x_S^2 + y_S^2 + z_S^2) + ((x_S - x_B)^2 + (y_S - y_D)^2 + z_S^2).
   • Xét vế phải: SB^2 + SD^2 = ((x_S - x_B)^2 + y_S^2 + z_S^2) + (x_S^2 + (y_S - y_D)^2 + z_S^2).
5. So sánh hai vế:
   • Ta thấy cả hai vế đều chứa: x_S^2, (x_S - x_B)^2, y_S^2, (y_S - y_D)^2, z_S^2 (hai lần).
   • Cụ thể:
     • Vế trái = x_S^2 + y_S^2 + z_S^2 + (x_S - x_B)^2 + (y_S - y_D)^2 + z_S^2
     • Vế phải = (x_S - x_B)^2 + y_S^2 + z_S^2 + x_S^2 + (y_S - y_D)^2 + z_S^2
   • Khi sắp xếp lại, hai vế hoàn toàn giống nhau.
6. Khẳng định:
   • Do đó, SA^2 + SC^2 = SB^2 + SD^2 luôn đúng với mọi hình chóp có đáy là hình chữ nhật.

Lỗi hay gặp: Chọn hệ tọa độ không hợp lý dẫn đến tính toán phức tạp, hoặc nhầm lẫn công thức tính khoảng cách/độ dài vectơ.

Đáp Án/Kết Quả

• Câu 1: Đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 1 có cực đại tại (0; 1), cực tiểu tại (2; -3), điểm uốn tại (1; -1). Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi -3 < m < 1[/katex].</li> <li><strong>Câu 2:</strong> Phương trình [katex]\sin^2 x + 2sin x \cos x - 3cos^2 x = 0 có nghiệm x = \frac{\pi}{4} + kpi hoặc x = arctan(-3) + npi (k, n in mathbb{Z}).
• Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, giá trị lớn nhất là 1 + \sqrt{2}.
• Câu 4: Ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng, do đó diện tích tam giác ABC bằng 0 và không xác định trực tâm theo nghĩa thông thường.
• Câu 5: Đã chứng minh được SA^2 + SC^2 = SB^2 + SD^2 dựa trên việc đặt hệ tọa độ và áp dụng công thức khoảng cách.

Lời Kết

Giải đề thi giải toán trên máy tính cầm tay lớp 12 là một cơ hội tuyệt vời để ôn tập và củng cố kiến thức. Bài viết này đã cung cấp một hướng dẫn chi tiết, từng bước giải cho mỗi câu hỏi, cùng với các mẹo và lỗi thường gặp. Việc nắm vững phương pháp giải và thực hành thường xuyên với máy tính cầm tay sẽ giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi quan trọng. Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao!

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.