Giải Toán Lớp 6 Học Kỳ 2: Bài Tập Chi Tiết Và Lời Giải

Trong chương trình học toán lớp 6 học kỳ 2, việc nắm vững các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao là vô cùng quan trọng để xây dựng nền tảng vững chắc cho các cấp học tiếp theo. Bài viết này cung cấp các bài tập toán lớp 6 học kỳ 2 được biên soạn kỹ lưỡng, đi kèm với lời giải chi tiết theo từng bước, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và làm chủ các dạng toán thường gặp. Cùng với đó, các kiến thức nền tảng và phương pháp giải sẽ được hệ thống lại để tối ưu hóa quá trình học tập.

Đề Bài

Bài 1. (2,0 điểm) Tính:

a) A = \frac{11}{5} - \frac{7}{5}.\frac{3}{4};

b) B = 2022 - 40% + \frac{3}{5}.{( - 1)^{2021}}

c) C = \frac{- 8}{15}.\frac{4}{11} + \frac{- 8}{15}.\frac{7}{11} + 3frac{8}{15};

d) D = \frac{3}{2.6} + \frac{3}{6.10} + \frac{3}{10.14} + ... + \frac{3}{26.30}

Bài 2. (2,5 điểm) Tìm x, biết:

a) \frac{3}{5} + \frac{2}{5}x = 1;

b) \frac{2x - 6}{3} = \frac{x + 2}{4};

c) left| {4x - 3} right| = \frac{3}{2}:\frac{9}{8};

d) \frac{67}{9} - {\left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2} = \frac{1}{3}

Bài 3. (2,5 điểm) Một nhóm thiện nguyện tham gia chiến dịch “Giải cứu thanh long” trong vòng 3 tuần. Tuần đầu nhóm bán được \frac{1}{3} tổng khối lượng thanh long, tuần thứ hai nhóm bán được \frac{5}{8} khối lượng thanh long còn lại sau tuần đầu. Tuần thứ ba nhóm bán nốt 3 tấn thì vừa hết.

a) Hỏi tổng khối lượng thanh long nhóm thiện nguyện đã bán được?

b) Tính tỉ số phần trăm khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ ba so với khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ hai.

Bài 4. (2,5 điểm) Cho điểm O thuộc đường thẳng xy, vẽ tia Oa sao cho widehat {yOa}{rm{ }} = {30^0}.

a) Tính số đo widehat {xOa}

b) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy có chứa tia Oa, vẽ tia Ob sao cho widehat {xOb} = {30^0}. Tính số đo góc widehat {aOb}

c) Vẽ tia Oc là tia đối của tia Oa. Chứng minh rằng Ox là tia phân giác của widehat {bOc}

Bài 5. (0,5 điểm) Cho S = \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} + ... + \frac{1}{103^2}. Chứng minh rằng S < \frac{5}{32}[/katex].</p> <h2>Phân Tích Yêu Cầu</h2> <p>Các bài tập được đưa ra bao gồm nhiều dạng toán khác nhau trong chương trình lớp 6 học kỳ 2. Cụ thể, chúng ta có các dạng toán về:</p> <ul> <li><strong>Tính toán với số hữu tỉ:</strong> Bao gồm phép cộng, trừ, nhân, chia phân số, số thập phân, phần trăm, lũy thừa với số mũ nguyên.</li> <li><strong>Tìm x:</strong> Giải các phương trình tuyến tính, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa lũy thừa.</li> <li><strong>Toán đố có lời văn:</strong> Liên quan đến phân số, tỉ lệ phần trăm và các bài toán thực tế.</li> <li><strong>Hình học:</strong> Góc kề bù, góc phụ nhau, tia phân giác, xác định số đo góc dựa trên các mối quan hệ giữa các tia và góc.</li> <li><strong>Bất đẳng thức:</strong> Chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng các tính chất của chuỗi hoặc ước lượng.</li> </ul> <p>Mỗi bài tập yêu cầu vận dụng các quy tắc, công thức và phương pháp đã học một cách chính xác.</p> <h2>Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng</h2> <p>Để giải quyết các bài toán trên, học sinh cần ôn lại các kiến thức sau:</p> <ul> <li><strong>Số hữu tỉ:</strong> <ul> <li>Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân số, số thập phân.</li> <li>Quy tắc thực hiện phép tính: Nhân chia trước, cộng trừ sau; tính trong ngoặc trước.</li> <li>Lũy thừa của số hữu tỉ: [katex]x^n, {( - 1)^n}.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 1: Tính Toán Với Số Hữu Tỉ

Phương pháp giải:
Thực hiện phép tính theo đúng thứ tự ưu tiên: Lũy thừa, Nhân/Chia, Cộng/Trừ. Chú ý quy tắc dấu và quy đồng mẫu số khi cần thiết.

Lời giải chi tiết:

a)
Để tính A = \frac{11}{5} - \frac{7}{5}.\frac{3}{4}, ta thực hiện phép nhân trước:
\frac{7}{5}.\frac{3}{4} = \frac{7 \times 3}{5 \times 4} = \frac{21}{20}.
Sau đó, thực hiện phép trừ. Ta cần quy đồng mẫu số:
A = \frac{11}{5} - \frac{21}{20} = \frac{11 \times 4}{5 \times 4} - \frac{21}{20} = \frac{44}{20} - \frac{21}{20}.
A = \frac{44 - 21}{20} = \frac{23}{20}.

b)
Để tính B = 2022 - 40% + \frac{3}{5}.{( - 1)^{2021}}, ta chuyển phần trăm về phân số và tính lũy thừa:
40% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}.
Lũy thừa {( - 1)^{2021}}: Vì số mũ 2021 là số lẻ nên {( - 1)^{2021}} = -1.
Thay vào biểu thức B:
B = 2022 - \frac{2}{5} + \frac{3}{5}.( - 1).
Thực hiện phép nhân: \frac{3}{5}.( - 1) = -\frac{3}{5}.
B = 2022 - \frac{2}{5} - \frac{3}{5}.
Nhóm các phân số lại:
B = 2022 - \left( {\frac{2}{5} + \frac{3}{5}} \right) = 2022 - \frac{5}{5} = 2022 - 1.
B = 2021.

c)
Để tính C = \frac{- 8}{15}.\frac{4}{11} + \frac{- 8}{15}.\frac{7}{11} + 3frac{8}{15}, ta nhận thấy có nhân tử chung \frac{- 8}{15} ở hai số hạng đầu.
Áp dụng tính chất phân phối:
C = \frac{- 8}{15}.\left( {\frac{4}{11} + \frac{7}{11}} \right) + 3frac{8}{15}.
Tính tổng trong ngoặc: \frac{4}{11} + \frac{7}{11} = \frac{11}{11} = 1.
C = \frac{- 8}{15}.1 + 3frac{8}{15}.
C = \frac{- 8}{15} + 3 + \frac{8}{15}.
Nhóm các phân số lại:
C = \left( {\frac{- 8}{15} + \frac{8}{15}} \right) + 3 = 0 + 3.
C = 3.

d)
Để tính D = \frac{3}{2.6} + \frac{3}{6.10} + \frac{3}{10.14} + ... + \frac{3}{26.30}, ta nhận thấy đây là dạng chuỗi có thể tách.
Mỗi số hạng có dạng \frac{3}{(4k-2)(4k+2)} hoặc \frac{3}{4(2k-1)(2k+1)} không đúng.
Ta quan sát mẫu số: các cặp số là (2, 6), (6, 10), (10, 14), ..., (26, 30). Hiệu giữa hai thừa số trong mỗi mẫu là 4.
Ta có thể viết lại mỗi số hạng dạng \frac{3}{a.b} bằng cách sử dụng hiệu b-a=4:
\frac{3}{a.b} = \frac{3}{4} \left( \frac{4}{a.b} \right) = \frac{3}{4} \left( \frac{b-a}{a.b} \right) = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right).
Áp dụng cho từng số hạng:
\frac{3}{2.6} = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right)
\frac{3}{6.10} = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \right)
\frac{3}{10.14} = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{14} \right)
...
\frac{3}{26.30} = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{26} - \frac{1}{30} \right)
Tổng D là:
D = \frac{3}{4} \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{6}} \right) + \frac{3}{4} \left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{10}} \right) + \frac{3}{4} \left( {\frac{1}{10} - \frac{1}{14}} \right) + ... + \frac{3}{4} \left( {\frac{1}{26} - \frac{1}{30}} \right)
D = \frac{3}{4} \left[ \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{6}} \right) + \left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{10}} \right) + \left( {\frac{1}{10} - \frac{1}{14}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{26} - \frac{1}{30}} \right) \right]
Đây là một chuỗi cộng có tính chất "rút gọn":
D = \frac{3}{4} \left( {\frac{1}{2} - cancel{\frac{1}{6}} + cancel{\frac{1}{6}} - cancel{\frac{1}{10}} + cancel{\frac{1}{10}} - cancel{\frac{1}{14}} + ... + cancel{\frac{1}{26}} - \frac{1}{30}} \right)
Chỉ còn lại số hạng đầu và số hạng cuối:
D = \frac{3}{4} \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{30}} \right)
Quy đồng mẫu số trong ngoặc:
D = \frac{3}{4} \left( {\frac{15}{30} - \frac{1}{30}} \right) = \frac{3}{4} \left( {\frac{14}{30}} \right)
Rút gọn phân số \frac{14}{30} = \frac{7}{15}:
D = \frac{3}{4} \times \frac{7}{15}.
D = \frac{3 \times 7}{4 \times 15} = \frac{21}{60}.
Rút gọn tiếp: D = \frac{7}{20}.
Mẹo kiểm tra:
Ta có thể kiểm tra vài số hạng đầu:
\frac{3}{2.6} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}.
\frac{3}{6.10} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}.
\frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}.
Sử dụng công thức rút gọn:
\frac{3}{4} (\frac{1}{2} - \frac{1}{6}) = \frac{3}{4} (\frac{3-1}{6}) = \frac{3}{4} \frac{2}{6} = \frac{3}{4} \frac{1}{3} = \frac{1}{4}. Đúng.
\frac{3}{4} (\frac{1}{6} - \frac{1}{10}) = \frac{3}{4} (\frac{5-3}{30}) = \frac{3}{4} \frac{2}{30} = \frac{3}{4} \frac{1}{15} = \frac{1}{20}. Đúng.
Tổng của hai số hạng đầu: \frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{5+1}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}.
Theo công thức rút gọn sau 2 bước: \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - \frac{1}{10}) = \frac{3}{4} (\frac{5-1}{10}) = \frac{3}{4} \frac{4}{10} = \frac{3}{10}. Khớp.
Lỗi hay gặp:
Sai sót trong việc áp dụng công thức tách phân số, nhầm lẫn mẫu số hoặc dấu. Tính toán sai khi quy đồng mẫu số.

Bài 2: Tìm x

Phương pháp giải:
Sử dụng các quy tắc biến đổi phương trình để đưa về dạng cơ bản: x bằng một số.

• Phương trình bậc nhất: Chuyển vế, đổi dấu.
• Phương trình chứa giá trị tuyệt đối: Chia làm hai trường hợp dựa trên định nghĩa |a| = m Leftrightarrow a=m \text{ hoặc } a=-m.
• Phương trình chứa lũy thừa bậc hai: Biến đổi về dạng {(x-a)^2} = b rồi đưa về hai trường hợp.

Lời giải chi tiết:

a) \frac{3}{5} + \frac{2}{5}x = 1
Đây là phương trình bậc nhất. Chuyển \frac{3}{5} sang vế phải:
\frac{2}{5}x = 1 - \frac{3}{5}
\frac{2}{5}x = \frac{5}{5} - \frac{3}{5}
\frac{2}{5}x = \frac{2}{5}
Chia cả hai vế cho \frac{2}{5} (hoặc nhân với \frac{5}{2}):
x = \frac{2}{5} : \frac{2}{5} = 1.
Vậy x = 1.
Mẹo kiểm tra: Thay x=1 vào phương trình ban đầu: \frac{3}{5} + \frac{2}{5}(1) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1. Khớp.

b) \frac{2x - 6}{3} = \frac{x + 2}{4}
Đây là phương trình dạng \frac{a}{b} = \frac{c}{d}, ta áp dụng quy tắc nhân chéo: a.d = b.c.
4.(2x - 6) = 3.(x + 2)
Áp dụng tính chất phân phối:
8x - 24 = 3x + 6
Chuyển các hạng tử chứa x về một vế và các hạng tử tự do về vế còn lại:
8x - 3x = 6 + 24
5x = 30
Chia cả hai vế cho 5:
x = \frac{30}{5} = 6.
Vậy x = 6.
Mẹo kiểm tra: Thay x=6 vào phương trình ban đầu:
Vế trái: \frac{2(6) - 6}{3} = \frac{12 - 6}{3} = \frac{6}{3} = 2.
Vế phải: \frac{6 + 2}{4} = \frac{8}{4} = 2.
Hai vế bằng nhau, vậy x=6 là nghiệm đúng.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn khi phân phối dấu hoặc khi chuyển vế đổi dấu.

c) left| {4x - 3} right| = \frac{3}{2}:\frac{9}{8}
Trước hết, ta tính giá trị vế phải:
\frac{3}{2}:\frac{9}{8} = \frac{3}{2} \times \frac{8}{9} = \frac{3 \times 8}{2 \times 9} = \frac{24}{18}.
Rút gọn phân số: \frac{24}{18} = \frac{4}{3}.
Vậy phương trình trở thành: left| {4x - 3} right| = \frac{4}{3}.
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: 4x - 3 = \frac{4}{3}
4x = \frac{4}{3} + 3 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{13}{3}
x = \frac{13}{3} : 4 = \frac{13}{12}.
Trường hợp 2: 4x - 3 = -\frac{4}{3}
4x = -\frac{4}{3} + 3 = -\frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{5}{3}
x = \frac{5}{3} : 4 = \frac{5}{12}.
Vậy nghiệm của phương trình là x in left{ {\frac{13}{12}; \frac{5}{12}} right}.
Lỗi hay gặp: Quên chia thành hai trường hợp hoặc tính toán sai khi thực hiện phép chia/nhân phân số.

d) \frac{67}{9} - {\left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2} = \frac{1}{3}
Đưa hạng tử chứa x về một vế:
{\left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2} = \frac{67}{9} - \frac{1}{3}
Quy đồng mẫu số vế phải:
{\left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2} = \frac{67}{9} - \frac{1 \times 3}{3 \times 3} = \frac{67}{9} - \frac{3}{9} = \frac{64}{9}.
Phương trình trở thành {(x - \frac{1}{6})^2} = \frac{64}{9}.
Ta có \frac{64}{9} = {\left( {\frac{8}{3}} \right)^2}. Vậy:
{\left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2} = {\left( {\frac{8}{3}} \right)^2}
Ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: x - \frac{1}{6} = \frac{8}{3}
x = \frac{8}{3} + \frac{1}{6} = \frac{16}{6} + \frac{1}{6} = \frac{17}{6}.
Trường hợp 2: x - \frac{1}{6} = -\frac{8}{3}
x = -\frac{8}{3} + \frac{1}{6} = -\frac{16}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{15}{6}.
Rút gọn -\frac{15}{6} = -\frac{5}{2}.
Vậy nghiệm của phương trình là x in left{ {\frac{17}{6}; -\frac{5}{2}} right}.
Mẹo kiểm tra: Thay từng giá trị x vào phương trình gốc.
Lỗi hay gặp: Quên trường hợp âm khi khai căn {(x-a)^2} = b. Tính toán sai khi cộng/trừ phân số.

Bài 3: Toán Đố Về Thanh Long

Phương pháp giải:
a) Biểu diễn khối lượng thanh long bán được ở mỗi tuần theo phân số. Tìm phần khối lượng bán trong tuần thứ ba, từ đó suy ra tổng khối lượng.
b) Tính khối lượng bán trong tuần thứ hai, sau đó lập tỉ số với khối lượng bán trong tuần thứ ba và đổi sang phần trăm.

Lời giải chi tiết:

a) Hỏi tổng khối lượng thanh long nhóm thiện nguyện đã bán được?

Gọi tổng khối lượng thanh long nhóm thiện nguyện đã bán là T (tấn).

Tuần đầu, nhóm bán được \frac{1}{3} tổng khối lượng, tức là \frac{1}{3}T.
Khối lượng còn lại sau tuần đầu là: T - \frac{1}{3}T = \frac{2}{3}T.

Tuần thứ hai, nhóm bán được \frac{5}{8} khối lượng còn lại. Vậy khối lượng bán trong tuần thứ hai là: \frac{5}{8} \times \left(\frac{2}{3}Tright) = \frac{10}{24}T = \frac{5}{12}T.

Tuần thứ ba, nhóm bán nốt 3 tấn.
Khối lượng thanh long bán trong tuần thứ ba là phần còn lại sau tuần thứ nhất và thứ hai.
Phần khối lượng bán trong tuần thứ ba là: 1 - \frac{1}{3} - \frac{5}{12} (tổng khối lượng là 1 phần).
Quy đồng mẫu số: 1 = \frac{12}{12}, \frac{1}{3} = \frac{4}{12}.
Phần khối lượng bán trong tuần thứ ba là: \frac{12}{12} - \frac{4}{12} - \frac{5}{12} = \frac{12 - 4 - 5}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}.

Ta biết phần khối lượng bán trong tuần thứ ba là 3 tấn, và phần này chiếm \frac{1}{4} tổng khối lượng.
Vậy tổng khối lượng thanh long nhóm thiện nguyện đã bán được là:
T = 3 \text{ tấn} : \frac{1}{4} = 3 \times 4 = 12 \text{ (tấn)}.

b) Tính tỉ số phần trăm khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ ba so với khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ hai.

Khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ ba là 3 tấn.

Khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ hai là: \frac{5}{12}T = \frac{5}{12} \times 12 = 5 \text{ (tấn)}.

Tỉ số phần trăm khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ ba so với tuần thứ hai là:
\frac{\text{Khối lượng tuần 3}}{\text{Khối lượng tuần 2}} \times 100% = \frac{3}{5} \times 100% = 0.6 \times 100% = 60%.

Mẹo kiểm tra:
Tổng khối lượng: 12 tấn.
Tuần 1: \frac{1}{3} \times 12 = 4 tấn. Còn lại 12 - 4 = 8 tấn.
Tuần 2: \frac{5}{8} \times 8 = 5 tấn.
Tuần 3: Bán nốt 3 tấn.
Tổng cộng: 4 + 5 + 3 = 12 tấn. Khớp.
Tỉ lệ Tuần 3 so với Tuần 2: \frac{3}{5} = 60%. Khớp.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa "khối lượng còn lại" và "tổng khối lượng". Tính toán sai phép nhân phân số.

Bài 4: Hình Học Góc

Phương pháp giải:
a) Sử dụng tính chất hai góc kề bù có tổng là 180^0.
b) Xác định tia nào nằm giữa hai tia còn lại dựa vào số đo góc. Sử dụng tính chất cộng góc.
c) Sử dụng tính chất hai góc kề bù, sau đó xác định tia nào nằm giữa, sử dụng tính chất cộng góc để so sánh các góc và chứng minh tia phân giác.

Lời giải chi tiết:

a) Tính số đo widehat {xOa}
Điểm O thuộc đường thẳng xy, nên widehat{xOy} là góc bẹt, có số đo 180^0.
Hai góc widehat{yOa} và widehat{xOa} là hai góc kề bù vì Ox và Oy là hai tia đối nhau, và tia Oa nằm trên một nửa mặt phẳng bờ xy.
Do đó, tổng số đo của hai góc này là 180^0:
widehat{xOa} + widehat{yOa} = 180^0
Theo đề bài, widehat{yOa} = 30^0. Thay vào phương trình:
widehat{xOa} + 30^0 = 180^0
widehat{xOa} = 180^0 - 30^0 = 150^0.

b) Tính số đo góc widehat {aOb}
Ta có tia Oa và tia Ob cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy (chứa tia Oa).
Đề bài cho widehat {xOb} = 30^0 và ta đã tính được widehat {xOa} = 150^0.
So sánh hai góc này, ta thấy widehat {xOb} < widehat {xOa}[/katex] ([katex]30^0 < 150^0[/katex]). Điều này có nghĩa là tia Ob nằm giữa hai tia Ox và Oa. Do đó, ta có thể áp dụng tính chất cộng góc: [katex]widehat {xOb} + widehat {aOb} = widehat {xOa}[/katex] Thay các giá trị đã biết vào: [katex]30^0 + widehat {aOb} = 150^0[/katex] [katex]widehat {aOb} = 150^0 - 30^0 = 120^0[/katex].</p> <p>c) Chứng minh rằng Ox là tia phân giác của [katex]widehat {bOc}
Tia Oc là tia đối của tia Oa, nên góc widehat{aOc} là góc bẹt, có số đo 180^0.
Hai góc widehat{aOb} và widehat{bOc} là hai góc kề bù vì Oa và Oc là hai tia đối nhau, và tia Ob nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng ac.
Do đó:
widehat{aOb} + widehat{bOc} = 180^0
Ta đã tính ở câu b) widehat{aOb} = 120^0. Thay vào phương trình:
120^0 + widehat{bOc} = 180^0
widehat{bOc} = 180^0 - 120^0 = 60^0.

Để chứng minh Ox là tia phân giác của widehat{bOc}, ta cần chứng minh hai điều kiện:

1. Tia Ox nằm giữa hai tia Ob và Oc.
2. widehat{bOx} = widehat{xOc}.

Ta đã biết widehat{bOx} = 30^0 (theo đề bài).
Ta cần tính widehat{xOc}.
Xét tia Ox và tia Oc trên cùng một mặt phẳng. Góc widehat{xOc} có thể được tính bằng cách lấy widehat{xOa} cộng với widehat{aOc} hoặc dựa vào các góc đã biết.
Ta có tia Oa và Oc đối nhau, tia Ox nằm trên một nửa mặt phẳng bờ ac.
Ta biết widehat{xOa} = 150^0 và widehat{aOc} = 180^0.
Nếu xét tia Ox nằm giữa Oa và Oc thì không đúng vì widehat{xOa} < widehat{xOc}[/katex] (chưa biết). Ta xem xét vị trí của các tia. Ox và Oy đối nhau. Oa và Oc đối nhau. Ta có [katex]widehat{yOa} = 30^0[/katex]. Tia Oa và tia Oc đối nhau, tia Oy và tia Ox đối nhau. [katex]widehat{xOc}[/katex] và [katex]widehat{yOa}[/katex] là hai góc đối đỉnh nếu xem xét góc tạo bởi đường thẳng xy và đường thẳng ac, nhưng ở đây ta chỉ có tia. Cách khác: Ta có [katex]widehat{xOa} = 150^0[/katex]. Tia Oc là tia đối của Oa. [katex]widehat{xOc}[/katex] và [katex]widehat{xOa}[/katex] kề bù? Không hẳn. Ta có góc [katex]widehat{xOa} = 150^0[/katex]. Tia Oc đối tia Oa. [katex]widehat{xOc}[/katex] và [katex]widehat{xOa}[/katex] không kề bù. Xét tia Ox. Tia Oa và Oc nằm về hai phía của Ox. [katex]widehat{xOc} = widehat{xOa} + widehat{aOc}[/katex] - nếu Oa nằm giữa Ox và Oc, không đúng. Xét tổng các góc tạo thành đường tròn: [katex]widehat{xOb} = 30^0[/katex]. [katex]widehat{xOa} = 150^0[/katex]. [katex]widehat{aOc} = 180^0[/katex]. [katex]widehat{bOc} = 60^0[/katex].</p> <p>Chúng ta đã có [katex]widehat{bOx} = 30^0 và widehat{bOc} = 60^0.
Để chứng minh Ox là phân giác của widehat{bOc}, ta cần widehat{bOx} = widehat{xOc}.
Ta cần tìm widehat{xOc}.
Ta biết widehat{xOa} = 150^0. Tia Oc đối tia Oa.
Góc widehat{xOc} và góc widehat{xOa} không kề bù trực tiếp.
Hãy xét góc widehat{yOa} = 30^0. Tia Oc đối tia Oa, nên widehat{yOc} = 180^0 - 30^0 = 150^0 (góc kề bù).
Tia Ox đối tia Oy, nên widehat{xOc} = 180^0 - widehat{yOc} = 180^0 - 150^0 = 30^0.
Hoặc: widehat{xOc} và widehat{yOa} là hai góc đối đỉnh (do widehat{xOy} và widehat{aOc} là hai góc bẹt trên hai đường thẳng cắt nhau). Nhưng ở đây không phải đường thẳng cắt nhau mà là tia đối.
Ta có widehat{xOa} = 150^0. Tia Oc đối tia Oa.
widehat{xOc} = 180^0 - widehat{xOa} = 180^0 - 150^0 = 30^0 (kề bù nếu Ox nằm trên ac, không đúng).
Cách chính xác: Tia Ox và Oy đối nhau, tia Oa và Oc đối nhau.
Góc widehat{xOc} là góc tạo bởi tia Ox và tia Oc.
widehat{xOa} = 150^0. Tia Oc là tia đối của tia Oa.
Ta xét góc widehat{xOc}.
Vì tia Oc đối tia Oa, nên widehat{xOc} + widehat{xOa} = 180^0 nếu Ox nằm trên đường thẳng ac, không đúng.
widehat{xOc} = 180^0 - widehat{xOa} = 180^0 - 150^0 là sai.

Hãy sử dụng góc widehat{yOa} = 30^0.
Tia Oc đối tia Oa. Tia Ox đối tia Oy.
widehat{xOc} và widehat{yOa} là hai góc đối đỉnh. Do Ox đối Oy, Oa đối Oc, nên widehat{xOc} = widehat{yOa} = 30^0.
Kiểm tra: widehat{xOa} = 150^0, widehat{aOc} = 180^0.
Xét tia Ox. Tia Oa tạo với Ox góc 150^0. Tia Oc là tia đối của Oa.
widehat{xOc} = 180^0 - widehat{xOa} (nếu Oc cùng phía Ox với Oa). Không đúng.
widehat{xOc} = widehat{xOy} + widehat{yOc} - không dùng được.
Ta có widehat{xOa} = 150^0. Tia Oc đối với Oa.
Góc widehat{xOc} nằm ở phía bên kia của đường thẳng xy so với widehat{xOa} (nếu nhìn từ O).
Nếu ta xét tia Ox. Tia Oa tạo với Ox một góc 150^0. Tia Oc là tia đối của Oa.
Vậy Ox và Oc tạo thành góc widehat{xOc}.
Ta có widehat{xOa} + widehat{aOc} = widehat{xOc} là sai.

Ta đã có widehat{bOx} = 30^0 và widehat{bOc} = 60^0.
Để Ox là tia phân giác của widehat{bOc}, ta cần widehat{bOx} = widehat{xOc}.
Vậy ta cần chứng minh widehat{xOc} = 30^0.
Ta biết widehat{yOa} = 30^0. Tia Ox đối tia Oy. Tia Oc đối tia Oa.
Góc widehat{xOc} và widehat{yOa} là hai góc đối đỉnh khi hai đường thẳng xy và ac cắt nhau tại O.
Do Ox là tia đối của Oy, và Oc là tia đối của Oa, hai góc widehat{xOc} và widehat{yOa} là hai góc đối đỉnh.
Vậy widehat{xOc} = widehat{yOa} = 30^0.

Bây giờ ta có:
widehat{bOx} = 30^0 (đề bài cho).
widehat{xOc} = 30^0 (chứng minh trên).
Suy ra widehat{bOx} = widehat{xOc} = 30^0.

Ta cần chứng minh tia Ox nằm giữa hai tia Ob và Oc.
Ta có widehat{bOc} = 60^0.
widehat{bOx} = 30^0 và widehat{xOc} = 30^0.
Vì widehat{bOx} + widehat{xOc} = 30^0 + 30^0 = 60^0 = widehat{bOc}, nên tia Ox nằm giữa hai tia Ob và Oc.

Kết luận: Vì Ox nằm giữa Ob và Oc, và widehat{bOx} = widehat{xOc}, nên Ox là tia phân giác của widehat{bOc}.

Mẹo kiểm tra: Vẽ hình cẩn thận theo các bước và đo đạc kiểm tra các góc.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn vị trí tia, sai khi xác định góc kề bù hoặc đối đỉnh. Tính toán sai số đo góc.

Bài 5: Chứng Minh Bất Đẳng Thức

Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp so sánh hoặc khai thác tính chất của chuỗi số. Ở đây, ta sẽ so sánh từng số hạng của chuỗi S với một biểu thức có dạng \frac{1}{(n-1)(n+1)} để biến đổi về dạng chuỗi cộng có tính chất rút gọn (telescoping series).

Lời giải chi tiết:

Cho S = \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} + ... + \frac{1}{103^2}. Chứng minh rằng S < \frac{5}{32}[/katex].</p> <p>Ta có các số hạng trong tổng S có dạng [katex]\frac{1}{n^2} với n là các số lẻ bắt đầu từ 5 đến 103.
Ta sẽ so sánh \frac{1}{n^2} với \frac{1}{(n-1)(n+1)}.
Ta biết rằng: n^2 > (n-1)(n+1) vì katex(n+1) = n^2 - 1[/katex].
Do đó, \frac{1}{n^2} < \frac{1}{(n-1)(n+1)}[/katex].</p> <p>Áp dụng cho từng số hạng của S:Số hạng đầu tiên: [katex]n=5. Ta có \frac{1}{5^2} < \frac{1}{(5-1)(5+1)} = \frac{1}{4.6}[/katex]. Số hạng thứ hai: [katex]n=7[/katex]. Ta có [katex]\frac{1}{7^2} < \frac{1}{(7-1)(7+1)} = \frac{1}{6.8}[/katex]. Số hạng thứ ba: [katex]n=9[/katex]. Ta có [katex]\frac{1}{9^2} < \frac{1}{(9-1)(9+1)} = \frac{1}{8.10}[/katex]. ... Số hạng cuối cùng: [katex]n=103[/katex]. Ta có [katex]\frac{1}{103^2} < \frac{1}{(103-1)(103+1)} = \frac{1}{102.104}[/katex].</p> <p>Cộng tất cả các bất đẳng thức trên lại, ta được:[katex]S < \frac{1}{4.6} + \frac{1}{6.8} + \frac{1}{8.10} + ... + \frac{1}{102.104}[/katex].</p> <p>Bây giờ, ta xét chuỗi bên phải: [katex]A = \frac{1}{4.6} + \frac{1}{6.8} + \frac{1}{8.10} + ... + \frac{1}{102.104}.
Ta có thể áp dụng công thức tách phân số: \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right).
Áp dụng cho từng số hạng của A:
\frac{1}{4.6} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right)
\frac{1}{6.8} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \right)
\frac{1}{8.10} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{10} \right)
...
\frac{1}{102.104} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{102} - \frac{1}{104} \right)

Cộng các số hạng này lại:
A = \frac{1}{2} \left[ \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{6}} \right) + \left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{8}} \right) + \left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{10}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{102} - \frac{1}{104}} \right) \right]
Đây là một chuỗi cộng có tính chất rút gọn (telescoping series):
A = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4} - cancel{\frac{1}{6}} + cancel{\frac{1}{6}} - cancel{\frac{1}{8}} + cancel{\frac{1}{8}} - cancel{\frac{1}{10}} + ... + cancel{\frac{1}{102}} - \frac{1}{104} \right]
Chỉ còn lại số hạng đầu và số hạng cuối:
A = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{104} \right)
Quy đồng mẫu số trong ngoặc:
A = \frac{1}{2} \left( \frac{26}{104} - \frac{1}{104} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{25}{104} \right) = \frac{25}{208}.

Vậy ta có S < A = \frac{25}{208}[/katex]. Bây giờ ta cần so sánh [katex]\frac{25}{208}[/katex] với [katex]\frac{5}{32}[/katex]. Để so sánh hai phân số này, ta quy đồng mẫu số hoặc đổi sang số thập phân. Quy đồng mẫu số: Mẫu chung nhỏ nhất của 208 và 32. [katex]208 = 2^4 \times 13 = 16 \times 13[/katex] [katex]32 = 2^5 = 16 \times 2[/katex] Mẫu chung là [katex]2^5 \times 13 = 32 \times 13 = 416[/katex]. [katex]\frac{25}{208} = \frac{25 \times 2}{208 \times 2} = \frac{50}{416}[/katex]. [katex]\frac{5}{32} = \frac{5 \times 13}{32 \times 13} = \frac{65}{416}[/katex]. Ta thấy [katex]\frac{50}{416} < \frac{65}{416}[/katex]. Do đó, [katex]\frac{25}{208} < \frac{5}{32}[/katex].</p> <p>Kết hợp lại, ta có [katex]S < \frac{25}{208}[/katex] và [katex]\frac{25}{208} < \frac{5}{32}[/katex]. Vậy [katex]S < \frac{5}{32}[/katex] (điều phải chứng minh).</p> <p><em>Mẹo kiểm tra:</em>Kiểm tra công thức tách phân số: [katex]\frac{1}{2}(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{2}(\frac{3-2}{12}) = \frac{1}{2}\frac{1}{12} = \frac{1}{24}.
Số hạng đầu tiên của chuỗi là \frac{1}{4.6} = \frac{1}{24}. Khớp.
Kiểm tra phép so sánh phân số bằng số thập phân:
\frac{25}{208} \approx 0.12019.
\frac{5}{32} = 0.15625.
Rõ ràng 0.12019 < 0.15625[/katex]. Khớp. <em>Lỗi hay gặp:</em> Nhầm lẫn giữa [katex]n^2 và katex(n+1)[/katex], dẫn đến đổi dấu bất đẳng thức. Sai sót trong công thức tách phân số hoặc khi quy đồng mẫu số để so sánh hai phân số cuối cùng.

Đáp Án/Kết Quả

Bài 1:
a) A = \frac{23}{20}
b) B = 2021
c) C = 3
d) D = \frac{7}{20}

Bài 2:
a) x = 1
b) x = 6
c) x in left{ {\frac{13}{12}; \frac{5}{12}} right}
d) x in left{ {\frac{17}{6}; -\frac{5}{2}} right}

Bài 3:
a) Tổng khối lượng thanh long nhóm thiện nguyện đã bán được là 12 tấn.
b) Tỉ số phần trăm khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ ba so với khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ hai là 60%.

Bài 4:
a) widehat {xOa} = 150^0
b) widehat {aOb} = 120^0
c) Đã chứng minh Ox là tia phân giác của widehat {bOc}.

Bài 5:
Đã chứng minh S < \frac{5}{32}[/katex].

Bài viết này đã cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 6 học kỳ 2, từ các phép tính số hữu tỉ, giải phương trình, toán đố thực tế, đến các bài toán hình học và bất đẳng thức. Mỗi bài toán đều đi kèm với phương pháp giải rõ ràng và các bước thực hiện chi tiết, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và nắm bắt kiến thức. Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài này sẽ giúp các em củng cố kiến thức và tự tin hơn trong học tập.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.