Giải Bài Tập Toán Lớp 7 Bài 1: Đại Lượng Tỉ Lệ Thuận
Khi tìm hiểu về đại lượng tỉ lệ thuận trong chương trình Toán lớp 7, các em học sinh sẽ được làm quen với khái niệm cốt lõi này. Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết về cách giải các dạng bài tập liên quan, giúp nắm vững kiến thức về hệ số tỉ lệ và ứng dụng trong thực tế. Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua các ví dụ và bài tập cụ thể, đảm bảo hiểu rõ bản chất của tỉ lệ thuận để chinh phục giải toán lớp 7 bài 1.
Đề Bài
Dưới đây là tổng hợp các bài tập và câu hỏi liên quan đến đại lượng tỉ lệ thuận trong chương trình Toán lớp 7, được trích từ sách giáo khoa và các nguồn tham khảo uy tín.
Câu hỏi trang 51:
Hãy viết công thức tính:
a) Quãng đường đi được $s$ (km) theo thời gian $t$ (h) của một vật chuyển động đều với vận tốc 15 km/h.
b) Khối lượng $m$ (kg) theo thể tích $V$ (m^3) của thanh kim loại đồng chất có khối lượng riêng $D$ (kg/m^3). (Chú ý: $D$ là một hằng số khác 0).
Câu hỏi trang 52:
Cho biết $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ k = \frac{3}{5}. Hỏi $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ nào?
Câu hỏi trang 52 (Hình 9):
Hình 9 là một biểu đồ hình cột biểu diễn khối lượng của bốn con khủng long. Mỗi con khủng long ở các cột b, c, d nặng bao nhiêu tấn nếu biết rằng con khủng long ở cột a nặng 10 tấn và chiều cao các cột được cho trong bảng sau:
| Cột | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| Chiều cao (mm) | 10 | 8 | 50 | 30 |
Câu hỏi trang 53:
Cho biết hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ thuận với nhau:
| x | x_1 = 3 | x_2 = 4 | x_3 = 5 | x_4 = 6 |
|---|---|---|---|---|
| y | y_1 = 6 | y_2 = ? | y_3 = ? | y_4 = ? |
a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$.
b) Thay mỗi dấu “?” trong bảng trên bằng một số thích hợp.
c) Có nhận xét gì về tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của $y$ và $x$?
Bài 1 trang 53 sgk Toán lớp 7 Tập 1:
Cho biết đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với nhau và khi x = 6 thì y = 4.
a) Tìm hệ số tỉ lệ $k$ của $y$ đối với $x$.
b) Hãy biểu diễn $y$ theo $x$.
c) Tính giá trị của $y$ khi x = 9; x = 15.
Bài 2 trang 54 sgk Toán lớp 7 Tập 1:
Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
| x | -3 | -1 | 1 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | -4 |
Bài 3 trang 54 sgk Toán lớp 7 Tập 1:
Các giá trị tương ứng của $V$ và $m$ được cho tương ứng trong bảng sau:
| V | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| m | 7,8 | 15,6 | 23,4 | 31,2 | 39 |
| \frac{m}{V} |
a) Điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng trên (tính tỉ số \frac{m}{V}).
b) Hai đại lượng $m$ và $V$ có tỉ lệ thuận hay không?
Bài 4 trang 54 sgk Toán lớp 7 Tập 1:
Cho biết $z$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ $k$ và $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $h$. Hãy chứng tỏ rằng $z$ tỉ lệ thuận với $x$ và tìm hệ số tỉ lệ.
Phân Tích Yêu Cầu
Các bài tập trong phần này đều xoay quanh khái niệm đại lượng tỉ lệ thuận. Yêu cầu chung là:
- Hiểu định nghĩa: Hai đại lượng $y$ và $x$ gọi là tỉ lệ thuận nếu y = kx, trong đó $k$ là một hằng số khác 0. Hằng số $k$ được gọi là hệ số tỉ lệ.
- Áp dụng công thức: Sử dụng mối quan hệ y = kx để tìm hệ số tỉ lệ $k$ khi biết một cặp giá trị tương ứng của $x$ và $y$, hoặc để tìm giá trị của $y$ khi biết $x$ và $k$ (và ngược lại).
- Nhận biết mối quan hệ tỉ lệ thuận: Kiểm tra xem hai đại lượng có tỉ lệ thuận với nhau hay không bằng cách tính tỉ số giữa các cặp giá trị tương ứng. Nếu tỉ số này không đổi, chúng tỉ lệ thuận.
- Chuyển đổi hệ số tỉ lệ: Hiểu mối quan hệ giữa hệ số tỉ lệ khi đổi vai trò giữa hai đại lượng (ví dụ: $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo $k$, thì $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo \frac{1}{k}).
- Tính chất bắc cầu: Hiểu rằng nếu $z$ tỉ lệ thuận với $y$ và $y$ tỉ lệ thuận với $x$, thì $z$ cũng tỉ lệ thuận với $x$.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để giải quyết các bài tập về đại lượng tỉ lệ thuận, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
Định nghĩa đại lượng tỉ lệ thuận:
Nếu hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ thuận với nhau, thì ta có thể viết dưới dạng công thức:
y = kx
Trong đó, $k$ là một hằng số khác 0, được gọi là hệ số tỉ lệ.Tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận:
Nếu hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ $k$, thì:- y_1 = kx_1, y_2 = kx_2, y_3 = kx_3, …
- Tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của $y$ và $x$ luôn không đổi và bằng $k$:
\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_3}{x_3} = \ldots = k (với x_i \ne 0). - Nếu x_1, x_2, \ldots là các giá trị khác 0 của $x$ và y_1, y_2, \ldots là các giá trị tương ứng của $y$, thì ta có:
\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \ldots
Từ đó suy ra: \frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2} hoặc y_1 x_2 = y_2 x_1.
Hệ số tỉ lệ khi đổi vai trò:
Nếu $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k$ (y = kx), thì $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ \frac{1}{k} (x = \frac{1}{k}y), với k \ne 0.Tính chất bắc cầu:
Nếu đại lượng $z$ tỉ lệ thuận với đại lượng $y$ theo hệ số tỉ lệ k_1 (z = k_1y) và đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với đại lượng $x$ theo hệ số tỉ lệ k_2 (y = k_2x), thì đại lượng $z$ cũng tỉ lệ thuận với đại lượng $x$ theo hệ số tỉ lệ k = k_1k_2 (z = k_1(k_2x) = (k_1k_2)x).
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Câu hỏi trang 51: Công thức tính
a) Quãng đường đi được $s$ theo thời gian $t$:
Khi vật chuyển động đều với vận tốc không đổi, quãng đường đi được tỉ lệ thuận với thời gian chuyển động.
Công thức chung là: Quãng đường = Vận tốc $times$ Thời gian.
Với vận tốc v = 15 km/h, thời gian $t$ (h), quãng đường $s$ (km), ta có:
s = 15 \times t
Hay s = 15t.
Ở đây, $s$ tỉ lệ thuận với $t$ theo hệ số tỉ lệ k = 15.
b) Khối lượng $m$ theo thể tích $V$:
Khối lượng của một vật đồng chất tỉ lệ thuận với thể tích của nó.
Công thức chung là: Khối lượng = Khối lượng riêng $times$ Thể tích.
Với khối lượng riêng $D$ (kg/m^3), thể tích $V$ (m^3), khối lượng $m$ (kg), ta có:
m = D \times V
Hay m = DV.
Ở đây, $m$ tỉ lệ thuận với $V$ theo hệ số tỉ lệ k = D.
Câu hỏi trang 52: Hệ số tỉ lệ nghịch đảo
Cho biết $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ k = \frac{3}{5}.
Điều này có nghĩa là: y = \frac{3}{5}x.
Ta cần tìm hệ số tỉ lệ khi $x$ tỉ lệ thuận với $y$. Ta cần biểu diễn $x$ theo $y$.
Từ y = \frac{3}{5}x, ta nhân cả hai vế với \frac{5}{3} (là nghịch đảo của \frac{3}{5}):
\frac{5}{3}y = \frac{5}{3} \times \frac{3}{5}x
\frac{5}{3}y = x
Hay x = \frac{5}{3}y.
Vậy, $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ h = \frac{5}{3}.
- Mẹo kiểm tra: Hệ số tỉ lệ khi đổi vai trò phải là nghịch đảo của hệ số ban đầu. \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3}.
- Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa y = kx và x = ky.
Câu hỏi trang 52 (Hình 9): Tỉ lệ trên biểu đồ
Ta có thông tin: con khủng long ở cột a nặng 10 tấn và có chiều cao 10 mm.
Các đại lượng “khối lượng” và “chiều cao cột” biểu diễn tỉ lệ thuận với nhau.
Hệ số tỉ lệ $k$ (khối lượng trên chiều cao) là: k = \frac{\text{Khối lượng cột a}}{\text{Chiều cao cột a}} = \frac{10 \text{ tấn}}{10 \text{ mm}} = 1 \text{ tấn/mm}.
Bây giờ, ta tính khối lượng cho các cột còn lại:
- Cột b: Chiều cao 8 mm. Khối lượng m_b = k \times 8 \text{ mm} = 1 \text{ tấn/mm} \times 8 \text{ mm} = 8 tấn.
- Cột c: Chiều cao 50 mm. Khối lượng m_c = k \times 50 \text{ mm} = 1 \text{ tấn/mm} \times 50 \text{ mm} = 50 tấn.
- Cột d: Chiều cao 30 mm. Khối lượng m_d = k \times 30 \text{ mm} = 1 \text{ tấn/mm} \times 30 \text{ mm} = 30 tấn.
Vậy, con khủng long ở cột b nặng 8 tấn, cột c nặng 50 tấn, và cột d nặng 30 tấn.
Câu hỏi trang 53: Điền số vào bảng
Cho biết $y$ và $x$ tỉ lệ thuận với nhau.
| x | x_1 = 3 | x_2 = 4 | x_3 = 5 | x_4 = 6 |
| :– | :——– | :——– | :——– | :——– |
| y | y_1 = 6 | y_2 = ? | y_3 = ? | y_4 = ? |
a) Xác định hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$:
Ta có cặp giá trị tương ứng x_1 = 3 và y_1 = 6.
Hệ số tỉ lệ k = \frac{y_1}{x_1} = \frac{6}{3} = 2.
b) Điền số vào bảng:
Sử dụng công thức y = kx với k = 2.
- Với x_2 = 4: y_2 = k \times x_2 = 2 \times 4 = 8.
- Với x_3 = 5: y_3 = k \times x_3 = 2 \times 5 = 10.
- Với x_4 = 6: y_4 = k \times x_4 = 2 \times 6 = 12.
Bảng hoàn chỉnh:
| x | x_1 = 3 | x_2 = 4 | x_3 = 5 | x_4 = 6 |
| :– | :——– | :——– | :——– | :——– |
| y | y_1 = 6 | y_2 = 8 | y_3 = 10 | y_4 = 12 |
c) Nhận xét về tỉ số giữa hai giá trị tương ứng:
Ta thấy các tỉ số sau đây đều bằng 2:
\frac{y_1}{x_1} = \frac{6}{3} = 2
\frac{y_2}{x_2} = \frac{8}{4} = 2
\frac{y_3}{x_3} = \frac{10}{5} = 2
\frac{y_4}{x_4} = \frac{12}{6} = 2
Nhận xét: Tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của $y$ và $x$ luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ k=2.
Bài 1 trang 53 sgk Toán lớp 7 Tập 1
Cho biết $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với nhau và khi x = 6 thì y = 4.
Công thức tổng quát cho hai đại lượng tỉ lệ thuận là y = kx.
a) Tìm hệ số tỉ lệ $k$ của $y$ đối với $x$:
Thay cặp giá trị x = 6 và y = 4 vào công thức y = kx:
4 = k \times 6
k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
Vậy hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$ là k = \frac{2}{3}.
b) Hãy biểu diễn $y$ theo $x$:
Với k = \frac{2}{3}, ta có biểu diễn của $y$ theo $x$ là:
y = \frac{2}{3}x.
c) Tính giá trị của $y$ khi x = 9; x = 15:
Sử dụng biểu thức y = \frac{2}{3}x:
- Khi x = 9: y = \frac{2}{3} \times 9 = 2 \times 3 = 6.
- Khi x = 15: y = \frac{2}{3} \times 15 = 2 \times 5 = 10.
Bài 2 trang 54 sgk Toán lớp 7 Tập 1
Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền số thích hợp vào ô trống.
| x | -3 | -1 | 1 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | -4 |
Hai đại lượng tỉ lệ thuận nên y = kx.
Ta có một cặp giá trị tương ứng: khi x = 2 thì y = -4.
Thay vào công thức y = kx:
-4 = k \times 2
k = \frac{-4}{2} = -2.
Vậy, mối quan hệ giữa $y$ và $x$ là y = -2x.
Bây giờ, ta điền các giá trị còn lại vào bảng:
- Với x = -3: y = (-2) \times (-3) = 6.
- Với x = -1: y = (-2) \times (-1) = 2.
- Với x = 1: y = (-2) \times 1 = -2.
- Với x = 5: y = (-2) \times 5 = -10.
Bảng hoàn chỉnh:
| x | -3 | -1 | 1 | 2 | 5 |
| :– | :— | :— | :– | :– | :– |
| y | 6 | 2 | -2 | -4 | -10 |
Bài 3 trang 54 sgk Toán lớp 7 Tập 1
Các giá trị tương ứng của $V$ và $m$ được cho trong bảng:
| V | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| m | 7,8 | 15,6 | 23,4 | 31,2 | 39 |
| \frac{m}{V} |
a) Điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng trên:
Ta tính tỉ số \frac{m}{V} cho từng cặp giá trị:
- Khi V=1, m=7,8: \frac{m}{V} = \frac{7,8}{1} = 7,8.
- Khi V=2, m=15,6: \frac{m}{V} = \frac{15,6}{2} = 7,8.
- Khi V=3, m=23,4: \frac{m}{V} = \frac{23,4}{3} = 7,8.
- Khi V=4, m=31,2: \frac{m}{V} = \frac{31,2}{4} = 7,8.
- Khi V=5, m=39: \frac{m}{V} = \frac{39}{5} = 7,8.
Bảng hoàn chỉnh:
| V | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :- | :—- | :—- | :—– | :—– | :—- |
| m | 7,8 | 15,6 | 23,4 | 31,2 | 39 |
| \frac{m}{V} | 7,8 | 7,8 | 7,8 | 7,8 | 7,8 |
b) Hai đại lượng $m$ và $V$ có tỉ lệ thuận hay không?
Quan sát bảng, ta thấy tỉ số \frac{m}{V} giữa các cặp giá trị tương ứng của $m$ và $V$ luôn không đổi và bằng 7,8.
Theo định nghĩa, nếu tỉ số giữa hai đại lượng là một hằng số khác 0, thì hai đại lượng đó tỉ lệ thuận với nhau.
Vậy, $m$ và $V$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Mối quan hệ giữa chúng là m = 7,8V.
Bài 4 trang 54 sgk Toán lớp 7 Tập 1: Tính chất bắc cầu
Cho biết $z$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ $k$, và $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $h$.
- $z$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số $k$ nghĩa là: z = k \times y.
- $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $h$ nghĩa là: y = h \times x.
Ta cần chứng tỏ $z$ tỉ lệ thuận với $x$ và tìm hệ số tỉ lệ.
Ta thay biểu thức của $y$ từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất:
z = k \times y = k \times (h \times x)
z = (k \times h) \times x.
Đặt h' = k \times h. Vì $k$ và $h$ là các hằng số khác 0 (theo định nghĩa tỉ lệ thuận), nên $h’$ cũng là một hằng số khác 0.
Ta có z = h' \times x.
Điều này chứng tỏ rằng $z$ tỉ lệ thuận với $x$ và hệ số tỉ lệ của $z$ đối với $x$ là h' = k \times h.
- Mẹo kiểm tra: Tính chất này tương tự như phép nhân các số thực. Nếu a = 2b và b = 3c, thì a = 2(3c) = 6c. Hệ số mới là tích của hai hệ số ban đầu.
- Lỗi hay gặp: Quên kiểm tra điều kiện hằng số $k, h$ phải khác 0 để $h’$ cũng khác 0.
Đáp Án/Kết Quả
Các bài tập đã giải cho thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa các đại lượng tỉ lệ thuận.
- Công thức cơ bản là y = kx, với $k$ là hệ số tỉ lệ không đổi.
- Khi hai đại lượng $x, y$ tỉ lệ thuận, tỉ số \frac{y}{x} luôn bằng $k$ (với x \ne 0).
- Nếu y = kx, thì x = \frac{1}{k}y, nghĩa là $x$ tỉ lệ thuận với $y$ với hệ số tỉ lệ là \frac{1}{k}.
- Tính chất bắc cầu cho phép suy luận mối quan hệ tỉ lệ thuận giữa các đại lượng qua một đại lượng trung gian: nếu z = k_1y và y = k_2x, thì z = k_1k_2x.
Hiểu rõ các nguyên tắc này giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán thực tế liên quan đến tốc độ, khối lượng riêng, bản đồ, và nhiều ứng dụng khác.
Kết Luận
Thông qua việc phân tích và giải chi tiết các bài tập từ sách giáo khoa, chúng ta đã củng cố kiến thức về đại lượng tỉ lệ thuận trong chương trình giải toán lớp 7 bài 1. Nắm vững định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thuận và cách xác định hệ số tỉ lệ là chìa khóa để giải quyết thành công các dạng bài tập liên quan. Sự hiểu biết này không chỉ giúp ích trong học tập mà còn là nền tảng cho nhiều khái niệm toán học và ứng dụng thực tế sau này.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
