Giải Toán Lớp 7 Bài Đại Lượng Tỉ Lệ Nghịch Sách Cánh Diều Trang 68 Chi Tiết

Giải toán lớp 7 bài đại lượng tỉ lệ nghịch là chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học lớp 7, giúp học sinh nắm vững mối quan hệ giữa hai đại lượng khi một đại lượng tăng lên thì đại lượng kia giảm đi theo một tỉ lệ nhất định. Trang 68 sách Toán lớp 7 tập 1, bộ sách Cánh Diều, cung cấp các bài tập thực tế để củng cố kiến thức này. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh và quý phụ huynh tiếp cận bài toán một cách hiệu quả.

Đề Bài

Bài 1 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Giá trị của hai đại lượng x, y được cho bởi bảng sau:

Bài 2 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Cho biết x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 36 thì y = 15

a) Tìm hệ số tỉ lệ.

b) Viết công thức tính y theo x

c) Tính giá trị của y khi x = 12; x =18; x = 60.

Bài 3 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Theo dự định, một nhóm thợ có 35 người sẽ xây một tòa nhà hết 168 ngày. Nhưng khi bắt đầu làm, có một số người không tham gia được nên nhóm thợ chỉ còn 28 người. Hỏi khi đó, nhóm thợ phải mất bao lâu để xây xong tòa nhà? Giả sử năng suất làm việc của mỗi người là như nhau.

Bài 4 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Chị Lan định mua 10 bông hoa với số tiền định trước. Nhưng do vào dịp lễ nên giá hoa tăng 25%. Hỏi với số tiền đó, chị Lan mua được bao nhiêu bông hoa?

Bài 5 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Ở nội dung 400 m nữ tại vòng loại Thế vận hội mùa hè năm 2016, vận động viên Nguyễn Thị Ánh Viên đã về đích với thành tích 4 phút 36 giây 85. Cũng ở nội dung bơi 400 m nữ tại Giải bơi lội vô địch thế giới tổ chức tại Kazan (Nga) năm 2015, Ánh Viên đạt thành tích là 4 phút 38 giây 78. Tính tỉ số giữa tốc độ trung bình của Ánh Viên tại Thế vận hội mùa hè năm 2016 và tại Giải bơi lội vô địch thế giới tổ chức ở Kazan (Nga) năm 2015.

Bài 6 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Một loại tàu cao tốc hiện nay ở Nhật Bản có thể di chuyển với tốc độ trung bình là 300 km/h, nhanh gấp 1,43 lần so với thế hệ tàu cao tốc đầu tiên. Nếu tàu cao tốc loại đó chạy một quãng đường trong 4 giờ thì tàu cao tốc thế hệ đầu tiên sẽ phải chạy quãng đường đó trong bao nhiêu giờ?

Bài 7 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Một bánh răng có 40 răng, quay mỗi phút được 15 vòng, nó khớp với một bánh răng thứ hai. Giả sử bánh răng thứ hai quay một phút được 20 vòng. Hỏi bánh răng thứ hai có bao nhiêu răng?

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập này đều xoay quanh khái niệm đại lượng tỉ lệ nghịch. Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch là chìa khóa để giải quyết chúng. Cụ thể:

• Hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau nếu có một hằng số $a$ khác 0 sao cho x \cdot y = a. Hằng số $a$ được gọi là hệ số tỉ lệ.
• Từ định nghĩa này, ta suy ra các tính chất quan trọng:
  • Nếu x_1, x_2 là hai giá trị khác 0 của $x$ và y_1, y_2 là hai giá trị tương ứng của $y$, thì x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = a.
  • Tỉ số giữa hai giá trị bất kì của $x$ bằng tỉ số nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của $y$. Cụ thể, \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}.

Các bài toán yêu cầu xác định xem hai đại lượng có tỉ lệ nghịch hay không, tìm hệ số tỉ lệ, viết công thức liên hệ và tính toán các giá trị tương ứng.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần nắm vững:

1. Định nghĩa đại lượng tỉ lệ nghịch: Hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau nếu x \cdot y = a (với $a$ là hằng số khác 0).
2. Hệ số tỉ lệ: Hằng số $a$ trong biểu thức x \cdot y = a được gọi là hệ số tỉ lệ.
3. Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch:
   • Nếu x_1 và y_1, x_2 và y_2 là các cặp giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, thì:
     x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2
   • Ta có thể viết công thức tính $y$ theo $x$ là y = \frac{a}{x} hoặc công thức tính $x$ theo $y$ là x = \frac{a}{y}.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 1 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Phân tích: Để xác định hai đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ nghịch hay không, ta cần kiểm tra xem tích của các cặp giá trị tương ứng $(x, y)$ có luôn không đổi hay không.

Các bước làm:
Ta tính tích $x cdot y$ cho từng cặp giá trị trong bảng:

• Với x = 3, y = 32: x \cdot y = 3 \cdot 32 = 96.
• Với x = 4, y = 24: x \cdot y = 4 \cdot 24 = 96.
• Với x = 6, y = 16: x \cdot y = 6 \cdot 16 = 96.
• Với x = 8, y = 12: x \cdot y = 8 \cdot 12 = 96.

Mẹo kiểm tra: Nếu tất cả các tích đều bằng một số không đổi, thì hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch.

Lỗi hay gặp: Tính toán sai phép nhân.

Kết quả: Vì tích của các cặp giá trị tương ứng $x cdot y$ đều bằng 96 (một hằng số khác 0), nên hai đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ nghịch với nhau với hệ số tỉ lệ là a = 96.

Bài 2 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Phân tích: Bài toán cho biết $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch và cung cấp một cặp giá trị cụ thể để tìm hệ số tỉ lệ, từ đó viết công thức và tính các giá trị khác.

Các bước làm:

a) Tìm hệ số tỉ lệ:
Vì $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có công thức x \cdot y = a.
Với cặp giá trị x = 36 và y = 15, ta có:
a = x \cdot y = 36 \cdot 15

Ta thực hiện phép nhân:
36 \times 15 = 36 \times (10 + 5) = 36 \times 10 + 36 \times 5 = 360 + 180 = 540.

Vậy, hệ số tỉ lệ là a = 540.

b) Viết công thức tính y theo x:
Từ định nghĩa x \cdot y = a, ta có thể rút ra công thức tính $y$ theo $x$ bằng cách chia cả hai vế cho $x$ (vì $x$ khác 0):
y = \frac{a}{x}
Thay a = 540 vào, ta được công thức:
y = \frac{540}{x}

c) Tính giá trị của y khi x = 12; x = 18; x = 60:
Sử dụng công thức y = \frac{540}{x}:

• Khi x = 12:
  y = \frac{540}{12}
  Để tính \frac{540}{12}: Ta có thể chia nhẩm hoặc đặt phép chia. 540 div 12 = (540 div 6) div 2 = 90 div 2 = 45.
  Vậy, khi x = 12 thì y = 45.

• Khi x = 18:
  y = \frac{540}{18}
  Để tính \frac{540}{18}: 540 div 18 = (540 div 9) div 2 = 60 div 2 = 30.
  Vậy, khi x = 18 thì y = 30.

• Khi x = 60:
  y = \frac{540}{60}
  Ta có thể giản ước: y = \frac{54}{6} = 9.
  Vậy, khi x = 60 thì y = 9.

Mẹo kiểm tra: Với hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nếu một đại lượng tăng lên, đại lượng kia phải giảm xuống. Kiểm tra lại các cặp giá trị: (36, 15) -> (12, 45) (x giảm, y tăng), (12, 45) -> (18, 30) (x tăng, y giảm), (18, 30) -> (60, 9) (x tăng, y giảm).

Lỗi hay gặp: Sai sót trong phép nhân, chia; nhầm lẫn giữa tỉ lệ nghịch và tỉ lệ thuận.

Đáp án:
a) Hệ số tỉ lệ là a = 540.
b) Công thức tính y theo x là y = \frac{540}{x}.
c) Khi x = 12 thì y = 45.
Khi x = 18 thì y = 30.
Khi x = 60 thì y = 9.

Bài 3 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Phân tích: Bài toán nói về số người và thời gian hoàn thành công việc. Nếu năng suất mỗi người là như nhau, thì số người và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi số người giảm đi, thời gian hoàn thành sẽ tăng lên.

Các bước làm:
Gọi thời gian để nhóm thợ hoàn thành công việc là $x$ (ngày).
Số người ban đầu là 35, thời gian dự định là 168 ngày.
Số người thực tế là 28.

Vì số người và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có tích của số người và thời gian là không đổi (hệ số tỉ lệ).
Hệ số tỉ lệ a = \text{số người} \times \text{thời gian}.

Sử dụng cặp giá trị ban đầu để tìm hệ số tỉ lệ:
a = 35 \times 168

Ta tính phép nhân:
35 \times 168 = 35 \times (100 + 60 + 8) = 3500 + 2100 + 280 = 5880.
Hệ số tỉ lệ là a = 5880.

Bây giờ, với số người thực tế là 28, ta tìm thời gian $x$:
28 \times x = a
28 \times x = 5880

Để tìm $x$, ta chia 5880 cho 28:
x = \frac{5880}{28}

Ta có thể rút gọn hoặc chia nhẩm:
5880 div 28 = (5880 div 4) div 7 = 1470 div 7 = 210.

Mẹo kiểm tra: Số người giảm từ 35 xuống 28 (giảm \frac{35-28}{35} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}, tức là còn \frac{4}{5} số người). Thời gian phải tăng lên theo tỉ lệ nghịch, tức là nhân với \frac{5}{4}.
Thời gian mới = 168 \times \frac{5}{4} = (168 div 4) \times 5 = 42 \times 5 = 210 ngày. Kết quả này khớp.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn tỉ lệ nghịch với tỉ lệ thuận, tính toán sai phép nhân hoặc phép chia.

Đáp án: Nhóm thợ phải mất 210 ngày để xây xong tòa nhà.

Bài 4 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Phân tích: Bài toán liên quan đến số lượng hoa và giá mỗi bông hoa khi tổng số tiền mua là không đổi. Giá hoa tăng thì số bông hoa mua được sẽ giảm. Đây là mối quan hệ tỉ lệ nghịch.

Các bước làm:
Gọi số hoa chị Lan định mua ban đầu là n_1 = 10 bông.
Gọi giá ban đầu của mỗi bông hoa là P_1.
Tổng số tiền chị Lan có là S = n_1 \times P_1 = 10 \times P_1.

Do dịp lễ, giá hoa tăng 25%. Giá hoa mới, P_2, sẽ là:
P_2 = P_1 + 25% \times P_1 = P_1 + 0.25 \times P_1 = 1.25 \times P_1.

Gọi số hoa chị Lan mua được với giá mới là n_2.
Vì tổng số tiền không đổi, ta có:
n_2 \times P_2 = S
n_2 \times (1.25 \times P_1) = 10 \times P_1

Để tìm n_2, ta chia cả hai vế cho 1.25 \times P_1:
n_2 = \frac{10 \times P_1}{1.25 \times P_1}

Giản ước P_1 (vì P_1 là giá hoa nên khác 0):
n_2 = \frac{10}{1.25}

Ta tính phép chia:
1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}.
n_2 = \frac{10}{\frac{5}{4}} = 10 \times \frac{4}{5} = \frac{40}{5} = 8.

Mẹo kiểm tra: Giá hoa tăng lên 1.25 lần (tức là nhân với 1.25). Do tỉ lệ nghịch, số bông hoa mua được phải giảm đi theo tỉ lệ nghịch đảo, tức là chia cho 1.25 (hoặc nhân với \frac{1}{1.25} = \frac{4}{5}).
Số hoa mới = 10 \times \frac{4}{5} = 8 bông.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn việc tăng giá hoa 25% với việc số tiền tăng 25%; tính sai phép chia số thập phân.

Đáp án: Với số tiền đó, chị Lan mua được 8 bông hoa.

Bài 5 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Phân tích: Bài toán yêu cầu tính tỉ số tốc độ trung bình. Quãng đường bơi là không đổi (400m). Khi quãng đường không đổi, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Tốc độ trung bình chính là vận tốc trung bình.

Các bước làm:
Đổi các đơn vị thời gian về cùng đơn vị giây để dễ dàng tính toán.

Thành tích tại Thế vận hội mùa hè 2016: 4 phút 36 giây 85

• 4 phút = 4 \times 60 = 240 giây.
• Tổng thời gian t_{2016} = 240 + 36.85 = 276.85 giây.

Thành tích tại Giải bơi lội vô địch thế giới 2015 (Kazan): 4 phút 38 giây 78

• 4 phút = 4 \times 60 = 240 giây.
• Tổng thời gian t_{2015} = 240 + 38.78 = 278.78 giây.

Quãng đường d = 400 m là không đổi.
Vận tốc $v$ và thời gian $t$ tỉ lệ nghịch với nhau theo công thức v = \frac{d}{t}.

Tỉ số giữa tốc độ trung bình tại Thế vận hội 2016 (v<em>{2016}) và tại Giải vô địch thế giới 2015 (v</em>{2015}) là:
\frac{v<em>{2016}}{v</em>{2015}} = \frac{\frac{d}{t<em>{2016}}}{\frac{d}{t</em>{2015}}}

Vì $d$ là hằng số và khác 0, ta có thể rút gọn $d$:
\frac{v<em>{2016}}{v</em>{2015}} = \frac{t<em>{2015}}{t</em>{2016}}

Thay số vào, ta được tỉ số giữa tốc độ trung bình:
\frac{v<em>{2016}}{v</em>{2015}} = \frac{278.78}{276.85}

Thực hiện phép chia:
$278.78 div 276.85 approx 1.007334$

Làm tròn kết quả theo yêu cầu (nếu có) hoặc theo độ chính xác hợp lý. Bài gốc làm tròn đến 1,007.

Mẹo kiểm tra: Vận động viên có thời gian hoàn thành tốt hơn (ít giây hơn) thì tốc độ sẽ cao hơn. Ánh Viên đạt thành tích tốt hơn năm 2016 so với năm 2015 (276.85 giây < 278.78 giây), nên tốc độ năm 2016 phải cao hơn năm 2015. Tỉ số phải lớn hơn 1.

Lỗi hay gặp: Đổi đơn vị thời gian sai, nhầm lẫn tỉ lệ nghịch với tỉ lệ thuận (tính sai tỉ số \frac{t<em>{2016}}{t</em>{2015}} thay vì \frac{t<em>{2015}}{t</em>{2016}}).

Đáp án: Tỉ số giữa tốc độ trung bình của Ánh Viên tại Thế vận hội mùa hè năm 2016 và tại Giải bơi lội vô địch thế giới tổ chức ở Kazan (Nga) năm 2015 là khoảng 1.007.

Bài 6 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Phân tích: Bài toán so sánh tốc độ và thời gian di chuyển của hai thế hệ tàu cao tốc trên cùng một quãng đường. Khi quãng đường không đổi, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Các bước làm:
Gọi vận tốc của tàu cao tốc hiện nay là v_2 và thời gian nó di chuyển là t_2.
Gọi vận tốc của tàu cao tốc thế hệ đầu tiên là v_1 và thời gian nó di chuyển là t_1.

Theo đề bài:

• v_2 = 300 km/h.
• t_2 = 4 giờ.
• v_2 = 1.43 \times v_1. Từ đó suy ra v_1 = \frac{v_2}{1.43} = \frac{300}{1.43} km/h.

Vì quãng đường là như nhau cho cả hai thế hệ tàu, ta có:
Quãng đường S = v_1 \times t_1 = v_2 \times t_2.

Ta cần tìm t_1 khi biết v_1, v_2, t_2.
Sử dụng mối quan hệ tỉ lệ nghịch: v_1 \times t_1 = v_2 \times t_2.
Thay thế v_1 bằng \frac{v_2}{1.43}:
(\frac{v_2}{1.43}) \times t_1 = v_2 \times t_2

Chia cả hai vế cho v_2 (vì v_2 \ne 0):
\frac{t_1}{1.43} = t_2

Suy ra: t_1 = 1.43 \times t_2.
Thay t_2 = 4 giờ vào:
t_1 = 1.43 \times 4

Thực hiện phép nhân:
1.43 \times 4 = (1 + 0.4 + 0.03) \times 4 = 4 + 1.6 + 0.12 = 5.72.

Mẹo kiểm tra: Tàu cao tốc hiện nay nhanh hơn tàu thế hệ đầu tiên. Do đó, để đi cùng quãng đường, tàu thế hệ đầu tiên sẽ mất nhiều thời gian hơn. Kết quả 5.72 giờ lớn hơn 4 giờ, là hợp lý.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn tỉ lệ nghịch, tính sai tỉ số giữa hai vận tốc.

Đáp án: Tàu cao tốc thế hệ đầu tiên sẽ phải chạy quãng đường đó trong 5.72 giờ.

Bài 7 trang 68 SGK Toán Cánh diều lớp 7 tập 1

Phân tích: Bài toán về hai bánh răng khớp nhau. Khi hai bánh răng khớp nhau, tổng số “răng” di chuyển trong một đơn vị thời gian là như nhau. Số răng của mỗi bánh răng và số vòng quay mỗi phút là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Các bước làm:
Gọi số răng của bánh răng thứ nhất là R_1 và số vòng quay mỗi phút của nó là N_1.
Gọi số răng của bánh răng thứ hai là R_2 và số vòng quay mỗi phút của nó là N_2.

Theo đề bài:

• R_1 = 40 răng.
• N_1 = 15 vòng/phút.
• N_2 = 20 vòng/phút.
• Ta cần tìm R_2.

Vì số răng và số vòng quay mỗi phút là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có tích của chúng là hằng số (hệ số tỉ lệ):
R_1 \times N_1 = R_2 \times N_2

Thay các giá trị đã biết vào phương trình:
40 \times 15 = R_2 \times 20

Ta tính tích bên trái:
40 \times 15 = 600.

Vậy phương trình trở thành:
600 = R_2 \times 20

Để tìm R_2, ta chia 600 cho 20:
R_2 = \frac{600}{20}
R_2 = \frac{60}{2} = 30.

Mẹo kiểm tra: Bánh răng thứ hai quay nhanh hơn (20 vòng/phút so với 15 vòng/phút). Do tỉ lệ nghịch, bánh răng thứ hai phải có ít răng hơn. Số răng 30 nhỏ hơn 40, là hợp lý.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn tỉ lệ nghịch với tỉ lệ thuận.

Đáp án: Bánh răng thứ hai có 30 răng.

Đáp Án/Kết Quả

Bài 1

Hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau vì tích $x cdot y$ luôn bằng 96.

Bài 2

a) Hệ số tỉ lệ là a = 540.
b) Công thức tính y theo x là y = \frac{540}{x}.
c) Khi x = 12 thì y = 45.
Khi x = 18 thì y = 30.
Khi x = 60 thì y = 9.

Bài 3

Nhóm thợ phải mất 210 ngày để xây xong tòa nhà.

Bài 4

Chị Lan mua được 8 bông hoa.

Bài 5

Tỉ số giữa tốc độ trung bình của Ánh Viên tại Thế vận hội mùa hè năm 2016 và tại Giải bơi lội vô địch thế giới tổ chức ở Kazan (Nga) năm 2015 là khoảng 1.007.

Bài 6

Tàu cao tốc thế hệ đầu tiên sẽ phải chạy quãng đường đó trong 5.72 giờ.

Bài 7

Bánh răng thứ hai có 30 răng.

Bài viết này đã cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập về giải toán lớp 7 bài đại lượng tỉ lệ nghịch trong sách Cánh Diều trang 68. Việc nắm vững khái niệm và tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch sẽ giúp các em học sinh tự tin giải quyết các dạng bài tương tự. Chúc các em học tốt!

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.