Giải Toán Lớp 7 Học Kỳ 2: Tuyển Tập Bài Tập Đầy Đủ Và Chi Tiết

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Chào mừng các em học sinh đến với bộ sưu tập các bài toán trọng tâm dành cho học kỳ 2 lớp 7. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao, bao gồm đơn thức, đa thức và hình học. Mục tiêu là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin chinh phục mọi thử thách. Hãy cùng tìm hiểu chi tiết!

Đề Bài

Bài 1. (2,0 điểm)
Cho đơn thức $A = \left( {\frac{2}{3}{x^3}y} \right).\left( {\frac{1}{2}x{y^2}} \right)^3.\left( {\frac{{ - 8}}{5}{x^2}} \right)$

a) Thu gọn, xác định hệ số, phần biến và bậc của đơn thức A;
b) Tính giá trị của biểu thức A tại $x = 2;,y = \frac{{ - 1}}{2}$ .

Bài 2. (2,0 điểm) Cho hai đa thức
$P(x) = {x^4} + 3{x^3} - x + \frac{1}{2} - {x^3} - 4x$
$Q(x) = \frac{3}{2} - 4{x^3} + {x^4} - 2x - 3x + 2{x^3}$ .

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức P(x), Q(x) theo lũy thừa giảm của biến.
b) Tính $P(x) + Q(x);,P(x) - Q(x)$ .

Bài 3. (2,0 điểm) Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) $A(x) = 3x - 2$ ;
b) $B(x) = 2(3x - 1) - 5(x - 1)$ ;
c) $C(x) = \frac{1}{2}{x^3} - 2x$ ;
d) $D(x) = 2{x^2} - 5x - 7$ .

Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A và $widehat A < {90^0}[/katex], CD là tia phân giác của góc ACB (D $in$ AB). Từ D kẻ DE $bot$ AC tại E, DF $bot$ BC tại F. Đường thẳng DE cắt BC tại K, đường thẳng DF cắt AC tại H. a) Chứng minh [katex]\Delta$ ECD = $\Delta$ FCD;
b) Chứng minh $\Delta$ ECK = $\Delta$ FCH;
c) Gọi M là trung điểm của HK. Chứng minh ba điểm C, D, M thẳng hàng.

Bài 5. (0,5 điểm) Cho đa thức $fleft( x \right) = ax^2 + bx + c$ với a, b, c là các hằng số.
Biết $fleft( 0 \right),fleft( 1 \right),fleft( - 1 \right),fleft( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)$ là các số nguyên. Chứng minh rằng a, b, c là các số nguyên.

Phân Tích Yêu Cầu

Bài viết này tổng hợp các bài toán ôn tập học kỳ 2 lớp 7, bao gồm các dạng toán về đơn thức, đa thức và hình học. Mỗi bài toán đều đi kèm với yêu cầu cụ thể về cách giải và kết quả. Đối với các bài toán về đơn thức, đa thức, chúng ta cần thực hiện các phép tính như thu gọn, cộng, trừ, tìm nghiệm. Đối với bài toán hình học, yêu cầu là chứng minh các đẳng thức tam giác bằng nhau và chứng minh tính thẳng hàng của ba điểm dựa trên các định lý và tính chất hình học. Bài cuối cùng yêu cầu chứng minh tính nguyên của các hệ số dựa trên giá trị của đa thức tại các điểm cho trước.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần ôn lại và áp dụng các kiến thức sau:

Đơn thức và Đa thức:
- Đơn thức: Khái niệm, thu gọn đơn thức, xác định hệ số, phần biến, bậc của đơn thức.
- Đa thức: Khái niệm, thu gọn đa thức, sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng/giảm của biến.
- Phép cộng, trừ đa thức: Quy tắc cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
- Nghiệm của đa thức: Giá trị của biến làm cho đa thức có giá trị bằng 0.
- Các quy tắc về lũy thừa: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ , $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ , $(xy)^n = x^n y^n$ .
Hình học:
- Tam giác cân: Định nghĩa, tính chất các góc, đường phân giác, đường cao, đường trung tuyến.
- Trường hợp bằng nhau của tam giác: c.g.c, g.c.g, c.c.c, c.h - g.nhọn.
- Tính chất đường phân giác: Chia đôi góc, tạo ra các tam giác bằng nhau.
- Đường vuông góc, đường song song: Tính chất.
- Trực tâm của tam giác: Giao điểm ba đường cao.
- Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân: Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao và đường phân giác.
- Tính chất ba điểm thẳng hàng: Chứng minh thông qua các định lý hoặc tính chất đặc biệt.
Số học và Đại số:
- Số nguyên, phân số: Các phép toán cơ bản.
- Tính chất chia hết, tính chất của số nguyên: Sử dụng để chứng minh các đại lượng là số nguyên.
- Biến đổi đại số: Áp dụng linh hoạt các phép biến đổi để suy luận.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ đi vào chi tiết từng bài tập.

Lời giải Bài 1: Đơn thức

a) Thu gọn, xác định hệ số, phần biến và bậc của đơn thức A:

Đơn thức đã cho là:
$A = \left( {\frac{2}{3}{x^3}y} \right).\left( {\frac{1}{2}x{y^2}} \right)^3.\left( {\frac{{ - 8}}{5}{x^2}} \right)$

Đầu tiên, ta xử lý lũy thừa của đơn thức thứ hai:
$\left( {\frac{1}{2}x{y^2}} \right)^3 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3 \cdot x^3 \cdot \left( {y^2} \right)^3} = \frac{1}{8}x^3y^6$

Bây giờ, ta thay thế vào biểu thức A:
$A = \left( {\frac{2}{3}{x^3}y} \right).\left( {\frac{1}{8}{x^3}{y^6}} \right).\left( {\frac{{ - 8}}{5}{x^2}} \right)$

Tiếp theo, ta nhóm các hệ số với nhau và các biến với nhau:
$A = \left( {\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{{ - 8}}{5}} \right) \cdot \left( {{x^3} \cdot {x^3} \cdot {x^2}} \right) \cdot \left( {y \cdot {y^6}} \right)$

Thực hiện phép nhân các hệ số:
$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{{ - 8}}{5} = \frac{2 \cdot 1 \cdot ( - 8)}{3 \cdot 8 \cdot 5} = \frac{ - 16}{120}$
Rút gọn phân số: $\frac{ 16}{120} = \frac{ 8}{60} = \frac{ 4}{30} = \frac{2}{15}$ . Vậy hệ số là $\frac{{ - 2}}{15}$ .

Thực hiện phép nhân các biến x:
${x^3} \cdot {x^3} \cdot {x^2} = {x^{3+3+2}} = {x^8}$

Thực hiện phép nhân các biến y:
$y \cdot {y^6} = {y^{1+6}} = {y^7}$

Vậy, đơn thức A sau khi thu gọn là:
$A = \frac{{ - 2}}{15}{x^8}{y^7}$

Hệ số: $\frac{{ - 2}}{15}$
Phần biến: ${x^8}{y^7}$
Bậc của đơn thức A: $8 + 7 = 15$

b) Tính giá trị của biểu thức A tại $x = 2;,y = \frac{{ - 1}}{2}$ :

Ta đã có đơn thức A sau khi thu gọn là $A = \frac{{ - 2}}{15}{x^8}{y^7}$ .
Bây giờ, ta thay giá trị của x và y vào biểu thức này:
$A = \frac{{ - 2}}{15} \cdot (2)^8 \cdot \left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^7$

Tính các giá trị lũy thừa:
$(2)^8 = 256$
$\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^7 = \frac{{( - 1)^7}}{2^7} = \frac{{ - 1}}{128}$

Thay vào biểu thức A:
$A = \frac{{ - 2}}{15} \cdot 256 \cdot \left( {\frac{{ - 1}}{128}} \right)$

Thực hiện phép nhân:
$A = \frac{{ - 2 \cdot 256 \cdot ( - 1)}}{{15 \cdot 128}}$
$A = \frac{{512}}{{15 \cdot 128}}$

Ta nhận thấy $512 = 2 \cdot 256$ và $256 = 2 \cdot 128$ , vậy $512 = 4 \cdot 128$ .
$A = \frac{{4 \cdot 128}}{{15 \cdot 128}}$

Rút gọn 128 ở cả tử và mẫu:
$A = \frac{4}{15}$

Mẹo kiểm tra: Khi thay số vào, hãy cẩn thận với dấu âm và thứ tự thực hiện phép tính. Sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra lại các phép tính nhân và chia lũy thừa.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn khi tính lũy thừa của số âm hoặc sai sót trong quy tắc nhân các đơn thức.

Lời giải Bài 2: Cộng, trừ đa thức

Cho hai đa thức:
$P(x) = {x^4} + 3{x^3} - x + \frac{1}{2} - {x^3} - 4x$
$Q(x) = \frac{3}{2} - 4{x^3} + {x^4} - 2x - 3x + 2{x^3}$ .

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức P(x), Q(x) theo lũy thừa giảm của biến:

Thu gọn P(x):
Nhóm các hạng tử đồng dạng:
$P(x) = {x^4} + (3{x^3} - {x^3}) + (-x - 4x) + \frac{1}{2}$
$P(x) = {x^4} + 2{x^3} - 5x + \frac{1}{2}$
Các hạng tử đã được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của x (4, 3, 1, 0).

Thu gọn Q(x):
Nhóm các hạng tử đồng dạng:
$Q(x) = {x^4} + (-4{x^3} + 2{x^3}) + (-2x - 3x) + \frac{3}{2}$
$Q(x) = {x^4} - 2{x^3} - 5x + \frac{3}{2}$
Các hạng tử đã được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của x (4, 3, 1, 0).

b) Tính $P(x) + Q(x);,P(x) - Q(x)$ :

Tính $P(x) + Q(x)$ :
Ta cộng hai đa thức đã thu gọn:
$P(x) + Q(x) = \left( {x^4} + 2{x^3} - 5x + \frac{1}{2} \right) + \left( {x^4} - 2{x^3} - 5x + \frac{3}{2} \right)$
Nhóm các hạng tử đồng dạng:
$P(x) + Q(x) = ({x^4} + {x^4}) + (2{x^3} - 2{x^3}) + (-5x - 5x) + \left( {\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \right)$
$P(x) + Q(x) = 2{x^4} + 0x^3 - 10x + \frac{4}{2}$
$P(x) + Q(x) = 2{x^4} - 10x + 2$

Tính $P(x) - Q(x)$ :
Ta trừ hai đa thức đã thu gọn:
$P(x) - Q(x) = \left( {x^4} + 2{x^3} - 5x + \frac{1}{2} \right) - \left( {x^4} - 2{x^3} - 5x + \frac{3}{2} \right)$
Lưu ý đổi dấu tất cả các hạng tử của Q(x) khi trừ:
$P(x) - Q(x) = {x^4} + 2{x^3} - 5x + \frac{1}{2} - {x^4} + 2{x^3} + 5x - \frac{3}{2}$
Nhóm các hạng tử đồng dạng:
$P(x) - Q(x) = ({x^4} - {x^4}) + (2{x^3} + 2{x^3}) + (-5x + 5x) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} \right)$
$P(x) - Q(x) = 0x^4 + 4{x^3} + 0x - \frac{2}{2}$
$P(x) - Q(x) = 4{x^3} - 1$

Mẹo kiểm tra: Khi cộng hoặc trừ đa thức, hãy đặt các hạng tử đồng dạng thẳng cột để tránh sai sót. Sau khi thực hiện phép tính, kiểm tra lại xem còn hạng tử nào chưa được nhóm hoặc có hạng tử nào bị bỏ sót dấu hay không.
Lỗi hay gặp: Quên đổi dấu của tất cả các hạng tử khi thực hiện phép trừ đa thức, hoặc nhầm lẫn khi cộng trừ các hệ số phân số.

Lời giải Bài 3: Tìm nghiệm đa thức

Để tìm nghiệm của đa thức, ta cho đa thức đó bằng 0 và giải phương trình tìm biến.

a) $A(x) = 3x - 2$
Cho $A(x) = 0$ :
$3x - 2 = 0$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$
Vậy nghiệm của đa thức A(x) là $x = \frac{2}{3}$ .

b) $B(x) = 2(3x - 1) - 5(x - 1)$
Cho $B(x) = 0$ :
$2(3x - 1) - 5(x - 1) = 0$
Mở ngoặc:
$6x - 2 - 5x + 5 = 0$
Thu gọn:
$x + 3 = 0$
$x = - 3$
Vậy nghiệm của đa thức B(x) là $x = - 3$ .

c) $C(x) = \frac{1}{2}{x^3} - 2x$
Cho $C(x) = 0$ :
$\frac{1}{2}{x^3} - 2x = 0$
Đặt nhân tử chung là $\frac{1}{2}x$ :
$\frac{1}{2}x \left( {x^2} - 4 \right) = 0$
Ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: $\frac{1}{2}x = 0 implies x = 0$
Trường hợp 2: $x^2 - 4 = 0 implies x^2 = 4 implies x = \pm 2$
Vậy tập nghiệm của đa thức C(x) là $left{ {0;,2;, - 2} right}$ .

d) $D(x) = 2{x^2} - 5x - 7$
Đây là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm (nếu đã học). Ở đây, ta sẽ phân tích thành nhân tử.
Cho $D(x) = 0$ :
$2{x^2} - 5x - 7 = 0$
Ta tìm hai số có tích bằng $2 \cdot (-7) = -14$ và tổng bằng $-5$ . Hai số đó là $2$ và $-7$ .
Tách hạng tử $-5x$ thành $2x - 7x$ :
$2{x^2} + 2x - 7x - 7 = 0$
Nhóm các hạng tử đồng dạng:
$2x(x + 1) - 7(x + 1) = 0$
Đặt nhân tử chung $(x + 1)$ :
$(x + 1)(2x - 7) = 0$
Ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: $x + 1 = 0 implies x = - 1$
Trường hợp 2: $2x - 7 = 0 implies 2x = 7 implies x = \frac{7}{2}$
Vậy nghiệm của đa thức D(x) là $-1$ và $\frac{7}{2}$ .

Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được nghiệm, hãy thay giá trị nghiệm đó vào đa thức ban đầu. Nếu đa thức có giá trị bằng 0 thì nghiệm đó là đúng. Ví dụ, với $A(x) = 3x - 2$ , thay $x = \frac{2}{3}$ ta có $3(\frac{2}{3}) - 2 = 2 - 2 = 0$ .
Lỗi hay gặp: Sai sót trong quá trình biến đổi đại số khi giải phương trình, đặc biệt là khi đặt nhân tử chung hoặc sử dụng công thức nghiệm bậc hai. Quên trường hợp nghiệm khi phân tích đa thức thành nhân tử (ví dụ quên nghiệm $x=0$ khi có thừa số $x$).

Lời giải Bài 4: Hình học

Cho tam giác ABC cân tại A và $widehat A < {90^0}[/katex], CD là tia phân giác của góc ACB (D $in$ AB). Từ D kẻ DE $bot$ AC tại E, DF $bot$ BC tại F. Đường thẳng DE cắt BC tại K, đường thẳng DF cắt AC tại H. <img src="https://dehocsinhgioi.com/wp-content/uploads/2026/01/capture6.webp" alt="" width="395" height="374" /> a) Chứng minh [katex]\Delta$ ECD = $\Delta$ FCD;

Xét $\Delta$ ECD và $\Delta$ FCD, ta có:

$widehat {CED} = widehat {CFD} = 90^0$ (do DE $bot$ AC, DF $bot$ BC).
CD là cạnh chung.
$widehat {{C_1}} = widehat {{C_2}}$ (do CD là tia phân giác của $widehat{ACB}$ ).

Do đó, $\Delta$ ECD = $\Delta$ FCD (trường hợp cạnh huyền - góc nhọn).

b) Chứng minh $\Delta$ ECK = $\Delta$ FCH;

Từ $\Delta$ ECD = $\Delta$ FCD (chứng minh ở câu a), ta suy ra EC = FC.
Xét $\Delta$ ECK và $\Delta$ FCH, ta có:

$widehat {KEC} = widehat {HFC} = 90^0$ (theo giả thiết DE $bot$ AC, DF $bot$ BC, và các điểm E, F nằm trên AC, BC tương ứng). Lưu ý rằng K nằm trên đường thẳng BC và H nằm trên đường thẳng AC.
EC = FC (chứng minh ở trên).
$widehat {ECK}$ và $widehat {FCH}$ là hai góc đối đỉnh (nếu K nằm giữa B và C, H nằm giữa A và C) hoặc $widehat {ECK} = widehat {FCH}$ là góc C chung (tùy thuộc vào cách vẽ và vị trí các điểm). Tuy nhiên, theo hình vẽ và giả thiết, K là giao điểm của DE và BC, H là giao điểm của DF và AC. Góc C chung cho cả hai tam giác $\Delta$ ECD và $\Delta$ FCD. Khi xét $\Delta$ ECK và $\Delta$ FCH, ta cần sử dụng tính chất của góc C. Thật ra, $widehat {ECK}$ và $widehat {FCH}$ là góc $widehat{C}$ của tam giác ABC.

Correction on angle C for part b: $widehat{ECK}$ là góc $widehat{BC D}$ và $widehat{FCH}$ là góc $widehat{ACD}$ .
Trong tam giác ABC cân tại A, CD là tia phân giác $widehat{ACB}$ .
Từ $\Delta ECD = \Delta FCD$ , ta có ED = FD và $widehat{EDC} = widehat{FDC}$ .
Xét hai tam giác $\Delta$ ECK và $\Delta$ FCH.
$widehat {KEC} = widehat {HFC} = 90^0$ .
EC = FC.
$widehat {C}$ (hoặc $widehat{EC K}$ và $widehat{FC H}$ ) là góc chung của $\Delta$ ABC.
Vậy, $\Delta$ ECK = $\Delta$ FCH (g.c.g).

c) Gọi M là trung điểm của HK. Chứng minh ba điểm C, D, M thẳng hàng.

Từ $\Delta$ ECK = $\Delta$ FCH (chứng minh ở câu b), ta suy ra KC = HC.
Do KC = HC nên $\Delta$ HKC cân tại C.
Trong $\Delta$ HKC, CD là tia phân giác của $widehat{ACB}$ .
Mặt khác, ta có $widehat {CED} = 90^0$ và $widehat {CFD} = 90^0$ . DE cắt BC tại K, DF cắt AC tại H.
D là giao điểm của DE và DF.
Ta có DE $perp$ AC tại E và DF $perp$ BC tại F.
Xét $\Delta$ HKC, CD là tia phân giác của $widehat{C}$ .
Vì $\Delta$ HKC cân tại C (do HC = KC), nên đường phân giác CD đồng thời là đường cao và đường trung tuyến.
Do đó, CD $perp$ HK và D là trung điểm của HK.

Tuy nhiên, giả thiết cho M là trung điểm của HK.
Nếu D là trung điểm của HK, thì CD đi qua trung điểm của HK.
Từ $\Delta$ ECK = $\Delta$ FCH, ta suy ra $widehat{CKD}$ và $widehat{CH F}$ không nhất thiết bằng nhau.
Chúng ta cần chứng minh D là trực tâm của $\Delta$ HKC.
Ta đã có KE $perp$ AC (vì DE $perp$ AC). H nằm trên AC, K nằm trên BC. Vậy KE là đường cao của $\Delta$ HKC ứng với cạnh HC.
Ta có DF $perp$ BC (vì DF $perp$ BC). H nằm trên AC, K nằm trên BC. Vậy DF là đường cao của $\Delta$ HKC ứng với cạnh KC.
D là giao điểm của KE (hay DE) và DF.
Do đó, D là trực tâm của $\Delta$ HKC.
Trong $\Delta$ HKC, CD là đường cao ứng với cạnh HK (vì D là trực tâm và CD $perp$ HK).
Tam giác ABC cân tại A, CD là phân giác $widehat{ACB}$ . E trên AC, F trên BC. DE cắt BC tại K, DF cắt AC tại H.
Ta đã chứng minh $\Delta$ ECD = $\Delta$ FCD và $\Delta$ ECK = $\Delta$ FCH.
Từ $\Delta$ ECK = $\Delta$ FCH, ta có KC = HC. Suy ra $\Delta$ HKC cân tại C.
Trong $\Delta$ HKC cân tại C, đường phân giác CD đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh HK.
Do đó, CD đi qua trung điểm M của HK.
Suy ra, ba điểm C, D, M thẳng hàng.

Mẹo kiểm tra: Vẽ hình cẩn thận, ghi rõ giả thiết và kết luận cho từng câu. Khi chứng minh bằng nhau hai tam giác, hãy liệt kê đủ các yếu tố (cạnh, góc) và chỉ rõ trường hợp bằng nhau.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn các cặp cạnh, góc tương ứng khi chứng minh tam giác bằng nhau. Không xác định đúng góc chung hoặc góc kề bù. Sai sót trong suy luận tính chất của tam giác cân hoặc đường phân giác.

Lời giải Bài 5: Chứng minh tính nguyên của hệ số

Cho đa thức $fleft( x \right) = ax^2 + bx + c$ với a, b, c là các hằng số.
Biết $fleft( 0 \right),fleft( 1 \right),fleft( - 1 \right),fleft( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)$ là các số nguyên.
Chứng minh rằng a, b, c là các số nguyên.

Ta lần lượt tính giá trị của đa thức tại các điểm đã cho:

Tính $f(0)$:
$f(0) = a \cdot (0)^2 + b \cdot 0 + c = c$
Theo giả thiết, $f(0)$ là số nguyên. Do đó, $c$ là số nguyên.
Tính $f(1)$:
$f(1) = a \cdot (1)^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c$
Theo giả thiết, $f(1)$ là số nguyên. Vì $c$ đã biết là số nguyên, nên $a + b = f(1) - c$ cũng là một số nguyên.
Nhân đôi: $2(a+b) = 2a + 2b$ là số nguyên. (Phương trình 1)
Tính $f(-1)$ :
$f(-1) = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = a - b + c$
Theo giả thiết, $f(-1)$ là số nguyên. Vì $c$ đã biết là số nguyên, nên $a - b = f(-1) - c$ cũng là một số nguyên.
Nhân đôi: $2(a-b) = 2a - 2b$ là số nguyên. (Phương trình 2)
Tính $fleft( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)$ :
$fleft( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = a \cdot \left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^2 + b \cdot \left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) + c$
$fleft( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = a \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{2}b + c = \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + c$
Theo giả thiết, $fleft( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)$ là số nguyên.
Ta có: $\frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b = fleft( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) - c$ . Vế phải là số nguyên.
Nhân cả hai vế với 4:
$4 \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b \right) = 4 \left( fleft( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) - c \right)$
$a - 2b = 4 \left( fleft( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) - c \right)$
Vế phải là một số nguyên (vì $fleft( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)$ và $c$ là số nguyên).
Do đó, $a - 2b$ là số nguyên. (Phương trình 3)

Bây giờ, ta sử dụng các phương trình đã có:
Từ (2) và (3):
Ta có $2a - 2b$ là số nguyên (từ PT 2).
Ta có $a - 2b$ là số nguyên (từ PT 3).
Xem xét hiệu: $(2a - 2b) - (a - 2b) = 2a - 2b - a + 2b = a$ .
Vì $2a - 2b$ và $a - 2b$ đều là số nguyên, nên hiệu của chúng, $a$, cũng là số nguyên.

Từ (1) và kết quả $a$ là số nguyên:
Ta có $2a + 2b$ là số nguyên (từ PT 1).
Vì $a$ là số nguyên, nên $2a$ cũng là số nguyên.
Do đó, $2b = (2a + 2b) - 2a$ là hiệu của hai số nguyên, nên $2b$ là số nguyên.
Nếu $2b$ là số nguyên, thì $b$ có thể là số nguyên hoặc bán nguyên (ví dụ: 1/2, 3/2...). Tuy nhiên, chúng ta đã có $a+b$ là số nguyên và $a$ là số nguyên.
Nếu $a+b = k$ (nguyên) và $a$ là nguyên, thì $b = k - a$ cũng phải là số nguyên.

Vậy, ta đã chứng minh được $a$, $b$, và $c$ đều là các số nguyên.

Mẹo kiểm tra: Liệt kê các điều kiện (f(0), f(1),...) là số nguyên. Sau đó, biến đổi các biểu thức $f(x)$ tương ứng để tạo ra các phương trình liên quan đến a, b, c. Hãy kiên nhẫn với các phép biến đổi đại số và sử dụng tính chất "tổng/hiệu của hai số nguyên là số nguyên".
Lỗi hay gặp: Sai sót trong quá trình tính toán giá trị của $f(x)$, đặc biệt là với các giá trị x là phân số hoặc dấu âm. Quên sử dụng giả thiết $c$ là số nguyên, hoặc nhầm lẫn khi suy luận từ $2b$ là số nguyên sang $b$ là số nguyên (nếu không có các điều kiện khác).

Đáp Án/Kết Quả

Bài 1:
a) $A = \frac{{ - 2}}{15}{x^8}{y^7}$ . Hệ số: $\frac{{ - 2}}{15}$ , Phần biến: ${x^8}{y^7}$ , Bậc: 15.
b) $A = \frac{4}{15}$ .
Bài 2:
a) $P(x) = {x^4} + 2{x^3} - 5x + \frac{1}{2}$ , $Q(x) = {x^4} - 2{x^3} - 5x + \frac{3}{2}$ .
b) $P(x) + Q(x) = 2{x^4} - 10x + 2$ .
$P(x) - Q(x) = 4{x^3} - 1$ .
Bài 3:
a) $x = \frac{2}{3}$ .
b) $x = - 3$ .
c) $x in left{ {0;,2;, - 2} right}$ .
d) $x = - 1$ hoặc $x = \frac{7}{2}$ .
Bài 4: Các chứng minh đã được trình bày chi tiết ở phần "Hướng Dẫn Giải Chi Tiết".
Bài 5: Đã chứng minh được a, b, c là các số nguyên.

Đây là tổng hợp các bài toán luyện tập quan trọng cho kỳ thi học kỳ 2 lớp 7. Việc nắm vững các phương pháp giải từ đơn thức, đa thức đến hình học sẽ giúp các em tự tin hơn rất nhiều. Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao!

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.