Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Bài 8: Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Bằng Phương Pháp Nhóm Hạng Tử

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Chào mừng các em học sinh lớp 8 đến với chuyên mục Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 8 về chủ đề Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho các dạng bài tập thường gặp, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục môn Toán.

Đề Bài

Câu hỏi 1: Tính nhanh:
$15 \times 64 + 25 \times 100 + 36 \times 15 + 60 \times 100$

Câu hỏi 2: Khi thảo luận nhóm, một bạn ra đề bài: Hãy phân tích đa thức $x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x$ thành nhân tử.
Bạn Thái làm như sau:
$x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x = x(x^3 - 9x^2 + x - 9)$ .
Bạn Hà làm như sau:
$x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x = (x^4 - 9x^3) + (x^2 - 9x) = x^3(x - 9) + x(x - 9) = (x - 9)(x^3 + x)$ .
Bạn An làm như sau:
$x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x = (x^4 + x^2) - (9x^3 + 9x) = x^2(x^2 + 1) - 9x(x^2 + 1) = (x^2 - 9x)(x^2 + 1) = x(x - 9)(x^2 + 1)$ .
Hãy nêu ý kiến của em về lời giải của các bạn.

Bài 47 (trang 22 SGK Toán 8 Tập 1): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^2 - xy + x - y$
b) $xz + yz - 5(x + y)$
c) $3x^2 - 3xy - 5x + 5y$

Bài 48 (trang 22 SGK Toán 8 Tập 1): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^2 + 4x - y^2 + 4$
b) $3x^2 + 6xy + 3y^2 - 3z^2$
c) $x^2 - 2xy + y^2 - z^2 + 2zt - t^2$

Bài 49 (trang 22 SGK Toán 8 Tập 1): Tính nhanh:
a) $37,5 \times 6,5 - 7,5 \times 3,4 - 6,6 \times 7,5 + 3,5 \times 37,5$
b) $45^2 + 40^2 - 15^2 + 80 \times 45$

Bài 50 (trang 23 SGK Toán 8 Tập 1): Tìm $x$, biết:
a) $x(x - 2) + x - 2 = 0$
b) $5x(x - 3) - x + 3 = 0$

Phân Tích Yêu Cầu Bài Toán

Bài học này xoay quanh phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử sao cho xuất hiện nhân tử chung. Các bài tập yêu cầu chúng ta áp dụng linh hoạt cách nhóm hạng tử, đôi khi kết hợp với việc sử dụng hằng đẳng thức để đưa đa thức về dạng tích.

Đối với các bài tập tính nhanh, việc nhóm hạng tử giúp ta rút gọn biểu thức, đưa về các phép tính đơn giản hơn. Trong các bài tập tìm $x$, sau khi phân tích đa thức thành nhân tử, ta sẽ sử dụng tính chất: nếu tích của hai hoặc nhiều thừa số bằng không thì ít nhất một trong các thừa số đó phải bằng không.

Kiến Thức Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Nhân đa thức với đa thức:
$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$
Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
- Bình phương của một tổng: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- Bình phương của một hiệu: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- Hiệu hai bình phương: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
- Lập phương của một tổng: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
- Lập phương của một hiệu: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
- Tổng hai lập phương: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
- Hiệu hai lập phương: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Quy tắc đặt nhân tử chung: Khi tìm nhân tử chung, ta tìm:
- Số: Ước chung lớn nhất của các hệ số.
- Biến: Biến chung có số mũ nhỏ nhất.
- Dấu: Nếu các hạng tử đều mang dấu âm, ta có thể đặt dấu âm ra ngoài.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử:
Ta nhóm các hạng tử của đa thức một cách thích hợp để xuất hiện nhân tử chung, sau đó đặt nhân tử chung ra ngoài.
Giải phương trình tích: Nếu $A.B = 0$ , thì $A = 0$ hoặc $B = 0$ .

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Câu hỏi 1: Tính nhanh $15 \times 64 + 25 \times 100 + 36 \times 15 + 60 \times 100$

Để tính nhanh biểu thức này, ta sẽ nhóm các hạng tử sao cho xuất hiện nhân tử chung.

Bước 1: Nhận thấy các hạng tử $15 times 64$ và $36 times 15$ có nhân tử chung là 15. Các hạng tử $25 times 100$ và $60 times 100$ có nhân tử chung là 100.
Bước 2: Tiến hành nhóm các hạng tử tương ứng:
$(15 \times 64 + 36 \times 15) + (25 \times 100 + 60 \times 100)$
Bước 3: Đặt nhân tử chung ra ngoài mỗi nhóm:
$15 \times (64 + 36) + 100 \times (25 + 60)$
Bước 4: Thực hiện phép cộng trong ngoặc và tính kết quả:
$15 \times 100 + 100 \times 85$
Bước 5: Đặt nhân tử chung 100 ra ngoài:
$100 \times (15 + 85)$
Bước 6: Tính kết quả cuối cùng:
$100 \times 100 = 10000$

Mẹo kiểm tra: Sau khi nhóm, nếu các số trong ngoặc không cộng lại được số đẹp, có thể ta đã nhóm sai.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn trong việc xác định nhân tử chung hoặc thực hiện phép tính cộng/trừ sai.

Câu hỏi 2: Ý kiến về lời giải của các bạn Thái, Hà, An

Đề bài yêu cầu phân tích đa thức $x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x$ thành nhân tử.

Lời giải của bạn Thái:
$x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x = x(x^3 - 9x^2 + x - 9)$ .
Bạn Thái đã đặt nhân tử chung $x$ ra ngoài. Tuy nhiên, đa thức $x^3 - 9x^2 + x - 9$ vẫn có thể phân tích tiếp bằng phương pháp nhóm hạng tử. Đây là một bước phân tích ban đầu, chưa phải là phân tích hoàn chỉnh.
Lời giải của bạn Hà:
$x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x = (x^4 - 9x^3) + (x^2 - 9x)$
$= x^3(x - 9) + x(x - 9)$
$= (x - 9)(x^3 + x)$
Bạn Hà đã nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối. Sau đó, bạn đã đặt nhân tử chung $x^3$ và $x$ ra ngoài, rồi tiếp tục nhóm nhân tử chung $(x - 9)$ . Lời giải của bạn Hà đã phân tích đa thức thành nhân tử $(x - 9)(x^3 + x)$ . Đa thức $x^3 + x$ vẫn có thể phân tích tiếp bằng cách đặt nhân tử chung $x$.
Lời giải của bạn An:
$x^4 - 9x^3 + x^2 - 9x = (x^4 + x^2) - (9x^3 + 9x)$
$= x^2(x^2 + 1) - 9x(x^2 + 1)$
$= (x^2 - 9x)(x^2 + 1)$
$= x(x - 9)(x^2 + 1)$
Bạn An đã nhóm hạng tử thứ nhất với thứ ba, hạng tử thứ hai với thứ tư. Sau đó, bạn đặt nhân tử chung $x^2$ và $9x$ ra ngoài. Tiếp theo, bạn nhóm nhân tử chung $(x^2 + 1)$ , rồi phân tích tiếp hạng tử $(x^2 - 9x)$ thành nhân tử $x(x - 9)$ . Lời giải của bạn An đã phân tích đa thức về dạng tích cuối cùng là $x(x - 9)(x^2 + 1)$ .

Ý kiến: Lời giải của bạn An là lời giải đầy đủ và hoàn chỉnh nhất vì đã phân tích đa thức về dạng tích của các nhân tử không thể phân tích được nữa. Lời giải của bạn Hà cũng đúng nhưng chưa phân tích triệt để vì $x^3+x$ còn nhân tử $x$. Lời giải của bạn Thái mới chỉ là bước đầu tiên.

Bài 47 (trang 22 SGK Toán 8 Tập 1): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2 - xy + x - y$

Cách 1: Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối.
$x^2 - xy + x - y$
$= (x^2 - xy) + (x - y)$
Nhân tử chung của nhóm thứ nhất là $x$.
$= x(x - y) + (x - y)$
Nhân tử chung mới xuất hiện là $(x - y)$ .
$= (x - y)(x + 1)$
Cách 2: Nhóm hạng tử thứ nhất và thứ ba, hạng tử thứ hai và thứ tư.
$x^2 - xy + x - y$
$= (x^2 + x) - (xy + y)$
Nhân tử chung của nhóm thứ nhất là $x$, của nhóm thứ hai là $y$.
$= x(x + 1) - y(x + 1)$
Nhân tử chung mới xuất hiện là $(x + 1)$ .
$= (x + 1)(x - y)$

b) $xz + yz - 5(x + y)$

Bước 1: Nhóm hai hạng tử đầu tiên:
$(xz + yz) - 5(x + y)$
Bước 2: Đặt nhân tử chung $z$ trong nhóm thứ nhất:
$z(x + y) - 5(x + y)$
Bước 3: Xuất hiện nhân tử chung $(x + y)$ . Đặt nhân tử chung ra ngoài:
$(x + y)(z - 5)$

c) $3x^2 - 3xy - 5x + 5y$

Cách 1: Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối.
$3x^2 - 3xy - 5x + 5y$
$= (3x^2 - 3xy) - (5x - 5y)$ (Lưu ý đổi dấu khi nhóm hạng tử thứ 4)
Nhân tử chung của nhóm thứ nhất là $3x$ , của nhóm thứ hai là $5$.
$= 3x(x - y) - 5(x - y)$
Xuất hiện nhân tử chung $(x - y)$ .
$= (x - y)(3x - 5)$
Cách 2: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ ba, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư.
$3x^2 - 3xy - 5x + 5y$
$= (3x^2 - 5x) - (3xy - 5y)$ (Lưu ý đổi dấu khi nhóm hạng tử thứ 4)
Nhân tử chung của nhóm thứ nhất là $x$, của nhóm thứ hai là $y$.
$= x(3x - 5) - y(3x - 5)$
Xuất hiện nhân tử chung $(3x - 5)$ .
$= (3x - 5)(x - y)$

Mẹo kiểm tra: Sau khi phân tích, hãy nhân ngược các nhân tử lại để xem có khôi phục lại đa thức ban đầu không.

Bài 48 (trang 22 SGK Toán 8 Tập 1): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2 + 4x - y^2 + 4$

Bước 1: Nhận thấy $x^2 + 4x + 4$ là một hằng đẳng thức $(a+b)^2$ . Ta nhóm ba hạng tử này lại:
$(x^2 + 4x + 4) - y^2$
Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng cho nhóm thứ nhất:
$(x + 2)^2 - y^2$
Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ :
$((x + 2) - y)((x + 2) + y)$
$= (x + 2 - y)(x + 2 + y)$

b) $3x^2 + 6xy + 3y^2 - 3z^2$

Bước 1: Đặt nhân tử chung $3$ ra ngoài đa thức:
$3(x^2 + 2xy + y^2 - z^2)$
Bước 2: Nhóm ba hạng tử đầu tiên bên trong ngoặc, nhận thấy chúng tạo thành hằng đẳng thức bình phương của một tổng:
$3[(x^2 + 2xy + y^2) - z^2]$
Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^2$ cho nhóm thứ nhất:
$3[(x + y)^2 - z^2]$
Bước 4: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
$3[(x + y) - z][(x + y) + z]$
$= 3(x + y - z)(x + y + z)$

c) $x^2 - 2xy + y^2 - z^2 + 2zt - t^2$

Bước 1: Nhận thấy hai nhóm hạng tử có thể tạo thành hằng đẳng thức: $(x^2 - 2xy + y^2)$ và $(z^2 - 2zt + t^2)$ . Ta nhóm chúng lại, lưu ý đổi dấu hạng tử thứ sáu khi đặt dấu trừ đằng trước ngoặc:
$(x^2 - 2xy + y^2) - (z^2 - 2zt + t^2)$
Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu cho cả hai nhóm:
$(x - y)^2 - (z - t)^2$
Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
$[(x - y) - (z - t)][(x - y) + (z - t)]$
Bước 4: Rút gọn biểu thức trong các ngoặc:
$(x - y - z + t)(x - y + z - t)$

Lỗi hay gặp: Việc quên đổi dấu khi nhóm các hạng tử vào sau dấu trừ hoặc áp dụng sai các hằng đẳng thức.

Bài 49 (trang 22 SGK Toán 8 Tập 1): Tính nhanh:

a) $37,5 \times 6,5 - 7,5 \times 3,4 - 6,6 \times 7,5 + 3,5 \times 37,5$

Bước 1: Nhóm các hạng tử có cùng thừa số chung:
$(37,5 \times 6,5 + 3,5 \times 37,5) - (7,5 \times 3,4 + 6,6 \times 7,5)$
Bước 2: Đặt nhân tử chung $37,5$ ra ngoài nhóm thứ nhất và $7,5$ ra ngoài nhóm thứ hai:
$37,5 \times (6,5 + 3,5) - 7,5 \times (3,4 + 6,6)$
Bước 3: Thực hiện phép cộng trong ngoặc:
$37,5 \times 10 - 7,5 \times 10$
Bước 4: Thực hiện phép nhân và trừ:
$375 - 75 = 300$

b) $45^2 + 40^2 - 15^2 + 80 \times 45$

Bước 1: Sắp xếp lại các hạng tử để nhận dạng hằng đẳng thức:
$45^2 + 80 \times 45 + 40^2 - 15^2$
Bước 2: Nhận thấy $45^2 + 80 \times 45$ gợi nhớ đến hằng đẳng thức $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Ta biến đổi $80 times 45$ thành $2 times 45 times 40$.
$45^2 + 2 \times 45 \times 40 + 40^2 - 15^2$
Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng cho ba hạng tử đầu tiên:
$(45 + 40)^2 - 15^2$
Bước 4: Tính tổng trong ngoặc:
$85^2 - 15^2$
Bước 5: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
$(85 - 15)(85 + 15)$
Bước 6: Thực hiện phép tính:
$70 \times 100 = 7000$

Bài 50 (trang 23 SGK Toán 8 Tập 1): Tìm $x$, biết:

a) $x(x - 2) + x - 2 = 0$

Bước 1: Nhận thấy đa thức có dạng $(x-2)$ là nhân tử chung ở cả hai nhóm hạng tử.
$x(x - 2) + 1 \times (x - 2) = 0$
Bước 2: Đặt nhân tử chung $(x - 2)$ ra ngoài:
$(x - 2)(x + 1) = 0$
Bước 3: Áp dụng quy tắc giải phương trình tích:
$x - 2 = 0$ hoặc $x + 1 = 0$
Bước 4: Giải từng phương trình:
$x = 2$ hoặc $x = -1$
Kết luận: Vậy $x = -1$ hoặc $x = 2$ .

b) $5x(x - 3) - x + 3 = 0$

Bước 1: Biến đổi hạng tử $-x + 3$ để xuất hiện nhân tử chung $(x - 3)$ . Ta có thể viết lại là $-(x - 3)$ .
$5x(x - 3) - (x - 3) = 0$
Bước 2: Đặt nhân tử chung $(x - 3)$ ra ngoài:
$(x - 3)(5x - 1) = 0$
Bước 3: Áp dụng quy tắc giải phương trình tích:
$x - 3 = 0$ hoặc $5x - 1 = 0$
Bước 4: Giải từng phương trình:
$x = 3$ hoặc $5x = 1 implies x = 1/5$
Kết luận: Vậy $x = 3$ hoặc $x = 1/5$ .

Đáp Án/Kết Quả

Câu 1: Kết quả tính nhanh là 10000.
Câu 2: Lời giải của bạn An là hoàn chỉnh nhất. Lời giải của bạn Hà đúng nhưng chưa phân tích triệt để. Lời giải của bạn Thái mới là bước đầu tiên.
Bài 47:
a) $(x - y)(x + 1)$
b) $(x + y)(z - 5)$
c) $(x - y)(3x - 5)$
Bài 48:
a) $(x + 2 - y)(x + 2 + y)$
b) $3(x + y - z)(x + y + z)$
c) $(x - y - z + t)(x - y + z - t)$
Bài 49:
a) Kết quả tính nhanh là 300.
b) Kết quả tính nhanh là 7000.
Bài 50:
a) $x = 2$ hoặc $x = -1$ .
b) $x = 3$ hoặc $x = 1/5$ .

Lời kết

Thông qua các bài tập trên, các em đã được ôn tập và củng cố kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử, kết hợp với việc sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Nắm vững phương pháp này không chỉ giúp các em giải tốt các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng quan trọng cho nhiều chủ đề Toán học nâng cao sau này. Hãy thường xuyên luyện tập để làm chủ kiến thức nhé!

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.