Giải Bài Tập Hình Học Lớp 11: Phép Biến Hình Và Phép Tịnh Tiến Chuẩn Xác, Dễ Hiểu
Nắm vững kiến thức về các phép biến hình là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán trong chương trình Hình học lớp 11. Bài viết này tập trung vào việc cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho các bài tập liên quan đến phép biến hình và phép tịnh tiến, giúp học sinh có thể tự tin chinh phục các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Chúng tôi sẽ bám sát sách giáo khoa và đưa ra các phương pháp giải tối ưu nhất.
Đề Bài
Bài 1: Phép Biến Hình
Câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 1 trang 4: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M’ của điểm M lên đường thẳng d.
Câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 1 trang 4: Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M’ là điểm sao cho MM’ = a. Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu trên có phải là một phép biến hình không?
Bài 1 (trang 7 SGK Hình học 11): Chứng minh:
Bài 2: Phép Tịnh Tiến
Câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 2 trang 5: Cho hai tam giác đều ABE và BCD bằng nhau trên hình 1.5. Tìm phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm B, C, D.
Câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 2 trang 7: Nêu cách xác định ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vecto v→.
Câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 2 trang 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vecto v→ = (1; 2). Tìm tọa độ của điểm M’ là ảnh của điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến Tv→.
Phân Tích Yêu Cầu
Các bài tập và câu hỏi trong phần này yêu cầu học sinh hiểu rõ khái niệm về phép biến hình, cách xác định hình chiếu, cũng như cách thực hiện và mô tả phép tịnh tiến trong mặt phẳng, bao gồm cả trường hợp trong hệ tọa độ Oxy. Chúng ta cần xác định đúng vector tịnh tiến, áp dụng đúng công thức tọa độ và chứng minh các tính chất hình học liên quan.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
- Phép Biến Hình: Là một quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của một không gian lên một điểm M’ duy nhất của không gian đó.
- Hình Chiếu Vuông Góc: Cho điểm M và đường thẳng d, hình chiếu vuông góc M’ của M lên d là giao điểm của đường thẳng đi qua M và vuông góc với d.
- Phép Tịnh Tiến:
- Định nghĩa: Phép tịnh tiến theo vecto v→ là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M’M→ = v→.
- Tọa độ: Nếu M(x, y) và v→ = (a, b), thì ảnh M'(x’, y’) của M qua phép tịnh tiến theo v→ có tọa độ:
x' = x + ay' = y + b - Biến đổi đường thẳng: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó (hoặc trùng với chính nó). Cụ thể, để tìm ảnh của đường thẳng d, ta lấy hai điểm bất kỳ A, B trên d, tìm ảnh A’, B’ của chúng qua phép tịnh tiến, khi đó đường thẳng A’B’ chính là ảnh của d.
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Trả lời câu hỏi Bài 1: Phép Biến Hình
1. Dựng hình chiếu vuông góc M’ của điểm M lên đường thẳng d:
- Cách dựng: Từ điểm M, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng d. Gọi giao điểm của đường thẳng này với d là M’.
- Minh họa: Điểm M’ chính là hình chiếu vuông góc của M trên d.
Giải bài tập Toán 11 | Hình chiếu M' của M lên d
2. Quy tắc đặt tương ứng M với M’ sao cho MM’ = a (a > 0) có phải là phép biến hình không?
- Phân tích: Một quy tắc được gọi là phép biến hình nếu nó đặt tương ứng mỗi điểm M với một điểm M’ duy nhất.
- Lập luận: Với một điểm M cho trước và một số dương a, tập hợp các điểm M’ sao cho MM’ = a là một đường tròn tâm M bán kính a. Có vô số điểm M’ thỏa mãn điều kiện này. Do đó, quy tắc này không phải là một phép biến hình vì nó không xác định duy nhất điểm ảnh M’.
- Ví dụ minh họa: Nếu a = 4 cm, ta có thể tìm được nhiều điểm M’ cách M một khoảng bằng 4 cm, như hình vẽ.
Bài 1 (trang 7 SGK Hình học 11): Chứng minh
- Đề bài: Yêu cầu chứng minh một tính chất nào đó liên quan đến phép biến hình (hình ảnh bài gốc bị cắt ngắn, không hiển thị đầy đủ nội dung chứng minh).
- Lưu ý: Để hoàn thành bài toán này, cần có đề bài đầy đủ. Nếu đề bài yêu cầu chứng minh hai hình bằng nhau qua một phép biến hình, ta cần chỉ ra phép biến hình đó bảo toàn khoảng cách hoặc các tính chất hình học khác.
Trả lời câu hỏi Bài 2: Phép Tịnh Tiến
1. Phép tịnh tiến biến A, B, E thành B, C, D:
- Phân tích: Để tìm phép tịnh tiến, ta cần xác định vector tịnh tiến v→. Vector này sẽ được tạo thành từ vector nối một điểm với ảnh của nó.
- Lập luận: Theo yêu cầu, phép tịnh tiến biến A thành B, B thành C, E thành D. Ta có thể chọn vector tịnh tiến là v→ = AB→.
- Nếu tịnh tiến A theo AB→ ta được B.
- Nếu tịnh tiến B theo AB→ ta được C (vì BC→ = AB→).
- Nếu tịnh tiến E theo AB→ ta được D (vì ED→ = AB→).
- Kết luận: Phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm B, C, D là phép tịnh tiến theo vecto v→ = AB→.
Giải bài tập Toán 11 | Phép tịnh tiến ABE thành BCD
2. Cách xác định ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vecto v→:
- Cách xác định:
- Chọn hai điểm phân biệt A và B bất kỳ thuộc đường thẳng d.
- Tìm ảnh A’ của A và ảnh B’ của B qua phép tịnh tiến theo vecto v→.
- Đường thẳng đi qua hai điểm A’ và B’ chính là ảnh d’ của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vecto v→.
- Lý do: Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách và sự thẳng hàng. Nếu A, B thuộc d, thì A’, B’ sẽ thuộc ảnh d’. Vì phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng), nên đường thẳng A’B’ chính là ảnh của d.
Giải bài tập Toán 11 | Ảnh đường thẳng qua phép tịnh tiến
3. Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M(3; -1) qua phép tịnh tiến theo v→ = (1; 2):
- Áp dụng công thức: Cho điểm M(x, y) và vecto tịnh tiến v→ = (a, b). Ảnh M'(x’, y’) có tọa độ:
x' = x + ay' = y + b - Thay số:
Với M(3; -1) và v→ = (1; 2), ta có:x' = 3 + 1 = 4y' = -1 + 2 = 1 - Kết quả: Tọa độ của điểm M’ là (4; 1).
Đáp Án/Kết Quả
Bài 1 (Phép Biến Hình):
- Hình chiếu M' của M lên d là giao điểm của đường thẳng vuông góc với d tại M và d.
- Quy tắc MM' = a không phải là phép biến hình vì không xác định ảnh duy nhất.
- Chứng minh cho Bài 1 (trang 7) tùy thuộc vào đề bài đầy đủ, nhưng thường liên quan đến việc sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép biến hình.
Bài 2 (Phép Tịnh Tiến):
- Phép tịnh tiến biến A, B, E thành B, C, D là phép tịnh tiến theo vecto v→ = AB→.
- Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến là đường thẳng d' đi qua ảnh của hai điểm bất kỳ trên d.
- Ảnh M' của M(3; -1) qua phép tịnh tiến theo v→ = (1; 2) là M'(4; 1).
Kết Luận
Việc hiểu rõ các khái niệm về phép biến hình và phép tịnh tiến, cùng với việc thực hành giải các bài tập mẫu, sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm của chương. Bằng cách áp dụng đúng các định nghĩa, công thức tọa độ và quy tắc, học sinh có thể dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hình và phép tịnh tiến trong mặt phẳng, đặt nền móng vững chắc cho việc học các phép biến hình phức tạp hơn ở các chương sau hoặc các cấp học cao hơn.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
