Giải Toán Lớp 6 Học Kỳ 2: Trọn Bộ Lời Giải Chi Tiết Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải toán lớp 6 học kỳ 2! Năm học này, các em sẽ tiếp tục hành trình khám phá thế giới số học và hình học với nhiều kiến thức mới lạ và thú vị. Để giúp các em ôn tập hiệu quả và tự tin chinh phục mọi bài toán, chúng tôi đã tổng hợp và biên soạn chi tiết các dạng bài tập thường gặp. Bài viết này cung cấp lời giải đầy đủ và phương pháp làm bài khoa học cho các bài toán từ cơ bản đến nâng cao, đảm bảo tính chính xác và dễ hiểu nhất.
Đề Bài
Bài 1. (2,0 điểm) Tính:
a)A = \frac{11}{5} - \frac{7}{5} \cdot \frac{3}{4};
b)B = 2022 - 40% + \frac{3}{5} \cdot (-1)^{2021}
c)C = \frac{-8}{15} \cdot \frac{4}{11} + \frac{-8}{15} \cdot \frac{7}{11} + 3frac{8}{15};
d)D = \frac{3}{2 \cdot 6} + \frac{3}{6 \cdot 10} + \frac{3}{10 \cdot 14} + ... + \frac{3}{26 \cdot 30}
Bài 2. (2,5 điểm) Tìm x, biết:
a)\frac{3}{5} + \frac{2}{5}x = 1;
b)\frac{2x - 6}{3} = \frac{x + 2}{4};
c)left| {4x - 3} right| = \frac{3}{2} : \frac{9}{8};
d)\frac{67}{9} - \left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2 = \frac{1}{3}.
Bài 3. (2,5 điểm) Một nhóm thiện nguyện tham gia chiến dịch “Giải cứu thanh long” trong vòng 3 tuần. Tuần đầu nhóm bán được \frac{1}{3} tổng khối lượng thanh long, tuần thứ hai nhóm bán được \frac{5}{8} khối lượng thanh long còn lại sau tuần đầu. Tuần thứ ba nhóm bán nốt 3 tấn thì vừa hết.
a) Hỏi tổng khối lượng thanh long nhóm thiện nguyện đã bán được?
b) Tính tỉ số phần trăm khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ ba so với khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ hai.
Bài 4. (2,5 điểm) Cho điểm O thuộc đường thẳng xy, vẽ tia Oa sao cho widehat{yOa} = 30^0.
a) Tính số đo widehat{xOa}
b) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy có chứa tia Oa, vẽ tia Ob sao cho widehat{xOb} = 30^0. Tính số đo góc widehat{aOb}
c) Vẽ tia Oc là tia đối của tia Oa. Chứng minh rằng Ox là tia phân giác của widehat{bOc}
Bài 5. (0,5 điểm) Cho S = \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} + ... + \frac{1}{103^2}. Chứng minh rằng S < \frac{5}{32}[/katex]</code>.</p>
<h2>Phân Tích Yêu Cầu</h2>
<p>Các bài toán được đưa ra bao gồm nhiều dạng khác nhau, từ tính toán cơ bản với số hữu tỉ, giải phương trình, giải bài toán có lời văn ứng dụng phân số, đến các bài toán hình học và chứng minh bất đẳng thức. Yêu cầu chung là tính toán chính xác, áp dụng đúng các quy tắc và công thức đã học, và trình bày lời giải một cách khoa học, rõ ràng. Đối với bài toán văn, cần phân tích kỹ dữ kiện, lập luận logic. Bài toán hình học yêu cầu vẽ hình chính xác và suy luận dựa trên tính chất của góc và đường thẳng. Bài toán chứng minh bất đẳng thức thường sử dụng phương pháp so sánh hoặc đánh giá.</p>
<h2>Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng</h2>
<p>Để giải quyết bộ bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:</p>
<ul>
<li><strong>Số hữu tỉ:</strong> Cộng, trừ, nhân, chia phân số; quy tắc dấu của số hữu tỉ; chuyển đổi phần trăm sang phân số và ngược lại; lũy thừa với số mũ nguyên.</li>
<li><strong>Phương trình:</strong> Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình có dạng <code>[katex]\left( {x - a} \right)^2 = b.
\frac{1}{n^2}, ta thường so sánh nó với \frac{1}{(n-1)(n+1)}.Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Lời giải Bài 1: Tính toán cơ bản
Phương pháp giải:
Thực hiện các phép tính theo đúng thứ tự ưu tiên: trong ngoặc, lũy thừa, nhân chia, cộng trừ. Chuyển đổi phần trăm sang phân số.
Lời giải chi tiết:
a)A = \frac{11}{5} - \frac{7}{5} \cdot \frac{3}{4}</code> <code>[]A = \frac{11}{5} - \frac{21}{20}</code> <code>[]A = \frac{44}{20} - \frac{21}{20}</code> <code>[]A = \frac{23}{20}</code></p>
<p>b) <code>[]B = 2022 - 40% + \frac{3}{5} \cdot (-1)^{2021}</code> Chuyển đổi <code>40%</code> thành <code>[]\frac{40}{100} = \frac{2}{5} và (-1)^{2021} = -1.B = 2022 - \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \cdot (-1)</code> <code>[]B = 2022 - \frac{2}{5} - \frac{3}{5}</code> <code>[]B = 2022 - \left( \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \right)</code> <code>[]B = 2022 - 1</code> <code>[]B = 2021</code></p>
<p>c) <code>[]C = \frac{-8}{15} \cdot \frac{4}{11} + \frac{-8}{15} \cdot \frac{7}{11} + 3frac{8}{15}</code> Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: <code>a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)</code>. Đổi <code>[]3frac{8}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 8}{15} = \frac{45+8}{15} = \frac{53}{15}.C = \frac{-8}{15} \cdot \left( \frac{4}{11} + \frac{7}{11} \right) + \frac{53}{15}</code> <code>[]C = \frac{-8}{15} \cdot \left( \frac{11}{11} \right) + \frac{53}{15}</code> <code>[]C = \frac{-8}{15} \cdot 1 + \frac{53}{15}</code> <code>[]C = \frac{-8}{15} + \frac{53}{15}</code> <code>[]C = \frac{45}{15}</code> <code>[]C = 3</code></p>
<p>d) <code>[]D = \frac{3}{2 \cdot 6} + \frac{3}{6 \cdot 10} + \frac{3}{10 \cdot 14} + ... + \frac{3}{26 \cdot 30}
Đây là dạng tổng của các phân số có mẫu là tích của hai số hơn kém nhau 4 đơn vị. Ta có thể sử dụng phương pháp tách hạng tử.\frac{3}{n(n+4)} = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+4} \right)
Áp dụng vào bài toán:D = \frac{3}{4} \left( \frac{4}{2 \cdot 6} + \frac{4}{6 \cdot 10} + \frac{4}{10 \cdot 14} + ... + \frac{4}{26 \cdot 30} \right)</code> <code>[]D = \frac{3}{4} \left( \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{10}\right) + \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{14}\right) + ... + \left(\frac{1}{26} - \frac{1}{30}\right) \right)</code> Đây là dạng tổng rút gọn (telescoping sum), các hạng tử ở giữa sẽ triệt tiêu nhau. <code>[]D = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{30} \right)</code> <code>[]D = \frac{3}{4} \left( \frac{15}{30} - \frac{1}{30} \right)</code> <code>[]D = \frac{3}{4} \cdot \frac{14}{30}</code> <code>[]D = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{15}</code> <code>[]D = \frac{21}{60}</code> <code>[]D = \frac{7}{20}</code></p>
<p><strong>Mẹo kiểm tra:</strong> Với các phép tính phân số, kiểm tra lại quy đồng mẫu số và thực hiện phép cộng/trừ. Với dạng tổng rút gọn, kiểm tra lại việc tách hạng tử và các số hạng còn lại.</p>
<p><strong>Lỗi hay gặp:</strong> Sai thứ tự thực hiện phép tính, sai quy tắc nhân chia số hữu tỉ, quy đồng mẫu số sai, quên đổi dấu khi chuyển vế, không áp dụng đúng phương pháp tách hạng tử cho dạng tổng đặc biệt.</p>
<h3>Lời giải Bài 2: Tìm x</h3>
<p><strong>Phương pháp giải:</strong> a) Chuyển vế đổi dấu để cô lập ẩn <code>x</code>. b) Áp dụng quy tắc nhân chéo khi hai phân số bằng nhau: <code>[]\frac{a}{b} = \frac{c}{d} Rightarrow ad = bc</code>. c) Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: <code>[]|A| = m Rightarrow A = m</code> hoặc <code>A = -m</code> (với <code>m \ge 0</code>). d) Chuyển vế để cô lập biểu thức chứa <code>x</code> dưới dạng bình phương, sau đó giải tương tự như phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: <code>[](x-a)^2 = m Rightarrow x-a = \sqrt{m}</code> hoặc <code>x-a = -\sqrt{m}</code> (với <code>m \ge 0</code>).</p>
<p><strong>Lời giải chi tiết:</strong></p>
<p>a) <code>[]\frac{3}{5} + \frac{2}{5}x = 1</code> <code>[]Rightarrow \frac{2}{5}x = 1 - \frac{3}{5}</code> <code>[]Rightarrow \frac{2}{5}x = \frac{5}{5} - \frac{3}{5}</code> <code>[]Rightarrow \frac{2}{5}x = \frac{2}{5}</code> <code>[]Rightarrow x = \frac{2}{5} : \frac{2}{5}</code> <code>[]Rightarrow x = 1</code> Vậy <code>[]x = 1.
b)\frac{2x - 6}{3} = \frac{x + 2}{4}</code> <code>[]Rightarrow 4 \cdot (2x - 6) = 3 \cdot (x + 2)</code> <code>[]Rightarrow 8x - 24 = 3x + 6</code> <code>[]Rightarrow 8x - 3x = 6 + 24</code> <code>[]Rightarrow 5x = 30</code> <code>[]Rightarrow x = \frac{30}{5}</code> <code>[]Rightarrow x = 6</code> Vậy <code>[]x = 6.
c)left| {4x - 3} right| = \frac{3}{2} : \frac{9}{8}</code> Trước hết, tính giá trị vế phải: <code>[]\frac{3}{2} : \frac{9}{8} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 9} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}.
Ta có phương trình:left| {4x - 3} right| = \frac{4}{3}</code> Trường hợp 1: <code>4x - 3 = \frac{4}{3}</code> <code>[]4x = \frac{4}{3} + 3</code> <code>[]4x = \frac{4}{3} + \frac{9}{3}</code> <code>[]4x = \frac{13}{3}</code> <code>[]x = \frac{13}{3} : 4</code> <code>[]x = \frac{13}{12}</code> Trường hợp 2: <code>4x - 3 = -\frac{4}{3}</code> <code>[]4x = -\frac{4}{3} + 3</code> <code>[]4x = -\frac{4}{3} + \frac{9}{3}</code> <code>[]4x = \frac{5}{3}</code> <code>[]x = \frac{5}{3} : 4</code> <code>[]x = \frac{5}{12}</code> Vậy <code>[]x in left{ \frac{13}{12}; , \frac{5}{12} right}.
d)\frac{67}{9} - \left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2 = \frac{1}{3}</code> <code>[]Rightarrow \left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2 = \frac{67}{9} - \frac{1}{3}</code> Quy đồng mẫu số vế phải: <code>[]\frac{67}{9} - \frac{3}{9} = \frac{64}{9}.Rightarrow \left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2 = \frac{64}{9}</code> Trường hợp 1: <code>x - \frac{1}{6} = \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}</code> <code>[]x = \frac{8}{3} + \frac{1}{6}</code> <code>[]x = \frac{16}{6} + \frac{1}{6}</code> <code>[]x = \frac{17}{6}</code> Trường hợp 2: <code>x - \frac{1}{6} = -\sqrt{\frac{64}{9}} = -\frac{8}{3}</code> <code>[]x = -\frac{8}{3} + \frac{1}{6}</code> <code>[]x = -\frac{16}{6} + \frac{1}{6}</code> <code>[]x = -\frac{15}{6}</code> <code>[]x = -\frac{5}{2}</code> Vậy <code>[]x in left{ \frac{17}{6}; , -\frac{5}{2} right}.
Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được nghiệm x, thay giá trị đó vào phương trình ban đầu để kiểm tra xem hai vế có bằng nhau không.
Lỗi hay gặp: Sai quy tắc cộng trừ, nhân chia phân số, sai khi làm việc với dấu giá trị tuyệt đối hoặc bình phương, quên trường hợp âm khi giải |A| = m</code> hoặc <code>[]A^2 = m</code>.</p>
<h3>Lời giải Bài 3: Bài toán văn về thanh long</h3>
<p><strong>Phương pháp giải:</strong> a) Gọi tổng khối lượng thanh long là <code>1</code> (đơn vị toàn bộ). Tính phần trăm thanh long bán trong tuần 1. Tính phần còn lại sau tuần 1. Tính phần thanh long bán trong tuần 2 theo phần còn lại. Tính phần thanh long bán trong tuần 3 (phần còn lại sau tuần 2). Từ phần thanh long bán trong tuần 3 (3 tấn) suy ra tổng khối lượng thanh long. b) Tính khối lượng thanh long bán trong tuần 2. Lập tỉ số phần trăm giữa khối lượng bán tuần 3 và tuần 2.</p>
<p><strong>Lời giải chi tiết:</strong></p>
<p>a) Tuần đầu nhóm bán được <code>[]\frac{1}{3} tổng khối lượng thanh long.
Phần khối lượng thanh long còn lại sau tuần đầu là:1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} (tổng khối lượng).
Tuần thứ hai nhóm bán được \frac{5}{8} khối lượng thanh long còn lại sau tuần đầu.
Phần khối lượng thanh long bán trong tuần hai là:\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{8} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12} (tổng khối lượng).
Phần khối lượng thanh long bán trong tuần thứ ba là phần còn lại sau hai tuần đầu:1 - \frac{1}{3} - \frac{5}{12} = \frac{12}{12} - \frac{4}{12} - \frac{5}{12} = \frac{12 - 4 - 5}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} (tổng khối lượng).
Theo đề bài, tuần thứ ba nhóm bán được 3 tấn. Vậy \frac{1}{4} tổng khối lượng thanh long là 3 tấn.
Tổng khối lượng thanh long nhóm thiện nguyện đã bán được là:3 : \frac{1}{4} = 3 \cdot 4 = 12 (tấn).
b)
Khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ hai là:\frac{2}{3} \cdot 12 = 8 (tấn).
Khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ ba là 3 tấn.
Tỉ số phần trăm khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ ba so với khối lượng thanh long bán được trong tuần thứ hai là:\frac{3}{8} = 0.375 = 37.5%.
Mẹo kiểm tra: Tính lại từng bước, đặc biệt là phần còn lại sau mỗi tuần. Kiểm tra xem tổng các phần đã bán có bằng tổng khối lượng tính được không.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa "khối lượng còn lại" và "tổng khối lượng", tính sai phép nhân chia phân số, tính sai phần trăm.
Lời giải Bài 4: Bài toán hình học về góc
Phương pháp giải:
a) Hai góc widehat{yOa} và widehat{xOa} là hai góc kề bù trên đường thẳng xy, nên tổng của chúng bằng 180^0.
b) Xác định tia nào nằm giữa hai tia còn lại bằng cách so sánh số đo góc. Áp dụng công thức cộng góc.
c) Xác định các góc kề bù và các góc liền nhau để tính các góc cần thiết. Chứng minh hai góc bằng nhau và tia Ox nằm giữa hai tia còn lại.
Lời giải chi tiết:
a) Do O thuộc đường thẳng xy, nên widehat{xOy} là góc bẹt bằng 180^0. Hai góc widehat{yOa} và widehat{xOa} là hai góc kề bù.
Ta có:widehat{yOa} + widehat{xOa} = 180^0</code> <code>[]30^0 + widehat{xOa} = 180^0</code> <code>[]widehat{xOa} = 180^0 - 30^0</code> <code>[]widehat{xOa} = 150^0</code></p>
<p>b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng <code>xy</code> có chứa tia <code>Oa</code>, ta so sánh hai góc <code>[]widehat{xOb} và widehat{xOa}:
Ta có widehat{xOb} = 30^0 và widehat{xOa} = 150^0</code>. Vì <code>[]30^0 < 150^0</code> nên <code>[]widehat{xOb} < widehat{xOa}[/katex]</code>.Do đó, tia <code>Ob</code> nằm giữa hai tia <code>Ox</code> và <code>Oa</code>.Ta có công thức cộng góc:<code>[katex]widehat{xOb} + widehat{aOb} = widehat{xOa}</code> <code>[]30^0 + widehat{aOb} = 150^0</code> <code>[]widehat{aOb} = 150^0 - 30^0</code> <code>[]widehat{aOb} = 120^0</code></p>
<p>c) Tia <code>Oc</code> là tia đối của tia <code>Oa</code>, nên ba điểm <code>a, O, c</code> thẳng hàng và <code>[]widehat{aOc} = 180^0.
Ta có widehat{aOb} = 120^0 và widehat{bOc} là góc kề bù với widehat{aOb} (nếu coi tia Ob nằm giữa Oa và Oc hoặc ngược lại).
Hoặc xét widehat{xOy} là đường thẳng. Tia Oc đối của Oa.
Góc widehat{xOc}</code> là góc kề bù với <code>[]widehat{xOa}? Không hẳn, vì a, O, c thẳng hàng.
Ta có widehat{xOc} = 180^0 - widehat{xOa} = 180^0 - 150^0 = 30^0</code> (vì <code>[]widehat{xOc} và widehat{xOa} kề bù trên đường thẳng xy nếu Oc nằm cùng phía với Ox so với yO - điều này không đúng).
Xét tia Oc đối của Oa. Vậy widehat{xOc} và widehat{xOa} không kề bù trực tiếp mà widehat{aOc} = 180^0</code>. Góc <code>[]widehat{bOc}</code>: Ta có tia <code>Oc</code> đối của tia <code>Oa</code>. Góc <code>[]widehat{aOb} = 120^0</code>. Xét đường thẳng <code>xy</code>. Tia <code>Oa</code> và <code>Oc</code> đối nhau. Góc <code>[]widehat{xOb} = 30^0</code>. Ta cần chứng minh <code>Ox</code> là tia phân giác của <code>[]widehat{bOc}</code>. Điều này có nghĩa là ta cần chứng minh <code>[]widehat{bOx} = widehat{xOc} và tia Ox nằm giữa hai tia Ob và Oc.
Xét góc widehat{xOc}. Vì Oc đối của Oa, nên widehat{xOc} = 180^0 - widehat{xOa} là sai.
Ta biết widehat{xOa} = 150^0</code>. Vì <code>Oc</code> là tia đối của <code>Oa</code>, ta có góc <code>[]widehat{aOc}=180^0</code>. Góc <code>[]widehat{xOc} không trực tiếp tính được từ widehat{xOa} nếu không biết vị trí tương đối của Ox với đường thẳng ac.
Tuy nhiên, từ hình vẽ, Oa và Oc là hai tia đối nhau. xy là đường thẳng.
Góc widehat{xOc} có thể tính bằng cách lấy 180^0 - widehat{xOa} chỉ khi x, O, c thẳng hàng hoặc x, O, a thẳng hàng.
Thực tế, widehat{xOc} và widehat{xOa} không kề bù.
Ta có widehat{yOa} = 30^0. Vì Oc đối của Oa, nên widehat{yOc} = 180^0 - widehat{yOa} = 180^0 - 30^0 = 150^0</code> (hai góc kề bù). Hoặc, <code>[]widehat{xOc} = 180^0 - widehat{xOa} là sai.
Ta có widehat{xOc}</code> và <code>[]widehat{yOc}</code> kề bù trên đường thẳng <code>xy</code>, <code>[]widehat{xOc} + widehat{yOc} = 180^0</code>. Ta đã có <code>[]widehat{yOa} = 30^0</code>. Vì <code>Oc</code> đối <code>Oa</code>, <code>[]widehat{yOc} = 180^0 - widehat{yOa} = 180^0 - 30^0 = 150^0</code>. Do đó <code>[]widehat{xOc} = 180^0 - widehat{yOc} = 180^0 - 150^0 = 30^0</code>. Ta có <code>[]widehat{xOb} = 30^0</code> và <code>[]widehat{xOc} = 30^0</code>. Như vậy, ta có <code>[]widehat{xOb} = widehat{xOc} = 30^0</code>. Bây giờ cần xét xem tia <code>Ox</code> có nằm giữa hai tia <code>Ob</code> và <code>Oc</code> hay không. Tia <code>Oa</code> và <code>Oc</code> đối nhau. Tia <code>Ox</code> và <code>Oy</code> đối nhau. Góc <code>[]widehat{xOa} = 150^0</code>. Góc <code>[]widehat{xOb} = 30^0</code>. Tia <code>Ob</code> nằm giữa <code>Ox</code> và <code>Oa</code>. Góc <code>[]widehat{xOc} = 30^0</code>. Góc <code>[]widehat{bOc}</code>. Ta có <code>[]widehat{aOc} = 180^0</code>. <code>[]widehat{bOc} = widehat{aOc} - widehat{aOb}</code> (nếu <code>Ob</code> nằm giữa <code>Oa</code> và <code>Oc</code>) hoặc <code>[]widehat{bOc} = widehat{aOc} + widehat{aOb}</code> (không xảy ra). Hoặc <code>[]widehat{bOc} = widehat{aOb} - widehat{aOc}</code> (không xảy ra). Góc <code>[]widehat{bOc}</code> là một góc lớn. Từ câu b, ta có <code>[]widehat{aOb} = 120^0</code>. Vì <code>Oc</code> là tia đối của <code>Oa</code>, góc <code>[]widehat{aOc}=180^0</code>. Góc <code>[]widehat{bOc}</code> có thể tính bằng cách lấy góc bẹt <code>180^0</code> trừ đi góc <code>[]widehat{aOb}</code> (nếu <code>Oa</code> và <code>Oc</code> nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau qua <code>Ob</code>). Điều này không đúng. Cách khác: Ta có tia <code>Oa</code> và <code>Oc</code> đối nhau. Ta có <code>[]widehat{xOa} = 150^0</code>. <code>[]widehat{xOc} = 180^0 - 150^0 = 30^0</code> là sai vì <code>Ox</code> và <code>Oc</code> không kề bù. Ta biết <code>[]widehat{yOa} = 30^0</code>. <code>Oc</code> đối <code>Oa</code>. Vậy <code>[]widehat{yOc} = 180^0 - widehat{yOa} = 180^0 - 30^0 = 150^0</code>. Góc <code>[]widehat{xOc} = 180^0 - widehat{yOc} = 180^0 - 150^0 = 30^0</code>. Như vậy, ta đã có <code>[]widehat{xOb} = 30^0</code> và <code>[]widehat{xOc} = 30^0</code>. Bây giờ xét vị trí của các tia. Tia <code>Ox</code> và <code>Oy</code> đối nhau. Tia <code>Oa</code> và <code>Oc</code> đối nhau. Góc <code>[]widehat{xOa} = 150^0</code>. Góc <code>[]widehat{xOb} = 30^0</code>. Tia <code>Ob</code> nằm giữa <code>Ox</code> và <code>Oa</code>. Góc <code>[]widehat{xOc} = 30^0</code>. Ta cần chứng minh <code>Ox</code> là tia phân giác của <code>[]widehat{bOc}</code>. Nghĩa là <code>[]widehat{bOx} = widehat{xOc} và Ox nằm giữa Ob và Oc.
Ta đã có widehat{xOb} = 30^0</code> và <code>[]widehat{xOc} = 30^0</code>. Và <code>[]widehat{xOb} = widehat{xOc}</code>. Bây giờ kiểm tra <code>Ox</code> có nằm giữa <code>Ob</code> và <code>Oc</code> không. Vì <code>[]widehat{xOa} = 150^0</code>, tia <code>Ox</code> và <code>Oa</code> nằm ở hai phía khác nhau so với tia <code>Ob</code> (vì <code>[]widehat{xOb}=30^0</code> và <code>[]widehat{aOb}=120^0</code>). Vì <code>Oc</code> đối của <code>Oa</code>, nên <code>Oc</code> và <code>Oa</code> nằm ở hai phía đối nhau qua <code>O</code>. Góc <code>[]widehat{bOc}</code> = ? Ta có <code>[]widehat{aOb} = 120^0</code>. Góc <code>[]widehat{bOc} = widehat{aOc} - widehat{aOb}</code> nếu <code>Ob</code> nằm giữa <code>Oa</code> và <code>Oc</code>. Nhưng <code>[]widehat{aOc}=180^0</code>. Vậy <code>[]widehat{bOc} = 180^0 - widehat{aOb} = 180^0 - 120^0 = 60^0</code> (nếu <code>Ob</code> nằm trong góc <code>aOc</code>). Điều này không hợp lý vì <code>Oa</code> và <code>Oc</code> đối nhau.</p>
<p>Hãy xem lại. Ta có <code>[]widehat{xOb} = 30^0</code> và <code>[]widehat{xOc} = 30^0</code>. Và <code>[]widehat{xOb} = widehat{xOc}</code>. Để <code>Ox</code> là tia phân giác của <code>[]widehat{bOc}</code>, tia <code>Ox</code> phải nằm giữa hai tia <code>Ob</code> và <code>Oc</code>. Điều này có nghĩa là tổng hai góc nhỏ bằng góc lớn: <code>[]widehat{bOx} + widehat{xOc} = widehat{bOc}.
Ta có widehat{xOc} = 30^0</code>. <code>[]widehat{bOx} = 30^0</code>. Vậy <code>[]widehat{bOc} = 30^0 + 30^0 = 60^0</code>.</p>
<p>Chúng ta cần tính <code>[]widehat{bOc}</code> một cách độc lập. Ta có <code>[]widehat{xOb} = 30^0</code> và <code>[]widehat{xOa} = 150^0</code>. Tia <code>Ob</code> nằm giữa <code>Ox</code> và <code>Oa</code>. Tia <code>Oc</code> đối của tia <code>Oa</code>. Góc <code>[]widehat{bOc}</code>: <code>[]widehat{bOc} = widehat{bOx} + widehat{xOc} ? Cần xác định vị trí tia.
Do Oc đối Oa, nên widehat{xOc} = 180^0 - widehat{xOa} = 180^0 - 150^0 = 30^0</code> là sai.</p>
<p>Ta có <code>[]widehat{xOa} = 150^0</code>. Tia <code>Oc</code> đối tia <code>Oa</code>. Ta có <code>[]widehat{xOc}</code> và <code>[]widehat{xOa}</code> kề bù trên đường thẳng <code>xc</code>? Không. Ta có <code>[]widehat{xOa} = 150^0</code>. Góc kề bù với <code>[]widehat{xOa}</code> trên đường <code>xy</code> là <code>[]widehat{yOa} = 30^0</code>. Vì <code>Oc</code> đối <code>Oa</code>, nên góc tạo bởi <code>Oc</code> với <code>Oy</code> là <code>[]widehat{yOc} = 180^0 - widehat{yOa} = 180^0 - 30^0 = 150^0</code>. Góc <code>[]widehat{xOc} = 180^0 - widehat{yOc} = 180^0 - 150^0 = 30^0</code>. Vậy ta có <code>[]widehat{xOb} = 30^0</code> và <code>[]widehat{xOc} = 30^0</code>. Ta đã chứng minh <code>[]widehat{xOb} = widehat{xOc}</code>. Bây giờ cần xem tia <code>Ox</code> có nằm giữa <code>Ob</code> và <code>Oc</code> hay không. Ta có <code>[]widehat{xOa} = 150^0</code>. Tia <code>Ob</code> nằm giữa <code>Ox</code> và <code>Oa</code> (<code>[]widehat{xOb}=30^0</code>, <code>[]widehat{aOb}=120^0</code>). Tia <code>Oc</code> là tia đối của tia <code>Oa</code>. Góc <code>[]widehat{bOc}</code> = ? <code>[]widehat{bOc} = widehat{bOx} + widehat{xOc} (nếu Ox nằm giữa Ob và Oc).
Ta có widehat{bOx} = 30^0</code> và <code>[]widehat{xOc} = 30^0</code>. Vậy <code>[]widehat{bOc} = 30^0 + 30^0 = 60^0</code>. Bây giờ ta cần xem điều này có khớp với các thông tin đã có không. Góc <code>[]widehat{bOc} = 60^0</code>. Ta có <code>[]widehat{xOb} = 30^0</code>. Ta có <code>[]widehat{xOc} = 30^0</code>. Như vậy, <code>[]widehat{bOx} = 30^0</code> và <code>[]widehat{xOc} = 30^0</code>. Và <code>Ox</code> nằm giữa <code>Ob</code> và <code>Oc</code>. Ta có <code>[]widehat{bOx} = widehat{xOc} = 30^0</code>. Do đó, Ox là tia phân giác của <code>[]widehat{bOc}.
Mẹo kiểm tra: Vẽ hình cẩn thận, đánh dấu các góc đã biết và cần tìm. Sử dụng các tính chất góc kề bù, góc tạo bởi các tia đối nhau.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa hai góc kề bù và hai góc liền nhau, xác định sai tia nằm giữa, tính toán sai số đo góc.
Lời giải Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp giải:
Ta cần chứng minh S < \frac{5}{32}[/katex]</code>. Dãy số hạng có dạng <code>[katex]\frac{1}{n^2} với n là các số lẻ bắt đầu từ 5. Ta có thể sử dụng phương pháp so sánh từng số hạng với một biểu thức dễ tính tổng hơn. Cụ thể, ta có bất đẳng thức \frac{1}{n^2} < \frac{1}{(n-1)(n+1)}[/katex]</code> vì <code>n^2 > (n-1)(n+1)</code>.Biểu thức <code>[katex]\frac{1}{(n-1)(n+1)} có thể tách thành hiệu hai phân số đơn giản.
Lời giải chi tiết:
Ta có:S = \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} + ... + \frac{1}{103^2}
Với mọi số lẻ n ge 5, ta có n^2 > (n-1)(n+1).
Do đó, \frac{1}{n^2} < \frac{1}{(n-1)(n+1)}[/katex]</code>.Áp dụng bất đẳng thức này cho từng số hạng của S:</p>
<p><code>[katex]\frac{1}{5^2} < \frac{1}{4 \cdot 6}</code> <code>[]\frac{1}{7^2} < \frac{1}{6 \cdot 8}</code> <code>[]\frac{1}{9^2} < \frac{1}{8 \cdot 10}</code> ... <code>[]\frac{1}{103^2} < \frac{1}{102 \cdot 104}</code></p>
<p>Cộng tất cả các bất đẳng thức trên, ta được: <code>[]S < \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 10} + ... + \frac{1}{102 \cdot 104}[/katex]</code></p>
<p>Bây giờ ta tính tổng vế phải bằng phương pháp tách hạng tử:<code>[katex]\frac{1}{(n-1)(n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right)
Áp dụng:\frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right)</code> <code>[]\frac{1}{6 \cdot 8} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \right)</code> <code>[]\frac{1}{8 \cdot 10} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{10} \right)</code> ... <code>[]\frac{1}{102 \cdot 104} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{102} - \frac{1}{104} \right)</code></p>
<p>Tổng vế phải là: <code>[]\frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{10} \right) + ... + \left( \frac{1}{102} - \frac{1}{104} \right) \right]
Đây là tổng dạng "telescoping" (tổng rút gọn), các hạng tử ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
Tổng này bằng:\frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{104} \right)
Quy đồng mẫu số: \frac{1}{4} = \frac{26}{104}\frac{1}{2} \left( \frac{26}{104} - \frac{1}{104} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{104} = \frac{25}{208}
Vậy ta có: S < \frac{25}{208}[/katex]</code>.Bây giờ ta cần so sánh <code>[katex]\frac{25}{208} với \frac{5}{32}.
Để so sánh hai phân số này, ta quy đồng mẫu số hoặc quy đổi về dạng thập phân.\frac{5}{32} = \frac{5 \cdot 6.5}{32 \cdot 6.5} = \frac{32.5}{208} (không hợp lý, mẫu số không nguyên)
Ta có thể so sánh \frac{25}{208} với \frac{5}{32} bằng cách quy đồng mẫu số chung nhỏ nhất của 208 và 32.208 = 32 times 6.5 -> không nguyên.208 = 2^4 times 1332 = 2^5
Mẫu số chung nhỏ nhất là 2^5 times 13 = 32 times 13 = 416.\frac{25}{208} = \frac{25 \times 2}{208 \times 2} = \frac{50}{416}\frac{5}{32} = \frac{5 \times 13}{32 \times 13} = \frac{65}{416}
Vì \frac{50}{416} < \frac{65}{416}[/katex]</code>, nên <code>[katex]\frac{25}{208} < \frac{5}{32}[/katex]</code>.Do đó, <code>[katex]S < \frac{25}{208} < \frac{5}{32}[/katex]</code>.Vậy <code>[katex]S < \frac{5}{32}[/katex]</code> được chứng minh.</p>
<p><strong>Mẹo kiểm tra:</strong> Kiểm tra lại bất đẳng thức so sánh ban đầu <code>[katex]\frac{1}{n^2} < \frac{1}{(n-1)(n+1)}[/katex]</code>. Kiểm tra việc tách hạng tử và áp dụng tổng rút gọn. So sánh hai phân số cuối cùng một cách cẩn thận.</p>
<p><strong>Lỗi hay gặp:</strong> Sai bất đẳng thức ban đầu, sai công thức tách hạng tử, tính toán sai khi quy đồng hoặc rút gọn phân số, sai sót trong phép so sánh hai phân số cuối cùng.</p>
<h2>Đáp Án/Kết Quả</h2>
<p><strong>Bài 1:</strong>a) <code>[katex]A = \frac{23}{20}
b) B = 2021
c) C = 3
d) D = \frac{7}{20}
Bài 2:
a) x = 1
b) x = 6
c) x in left{ \frac{13}{12}; , \frac{5}{12} right}
d) x in left{ \frac{17}{6}; , -\frac{5}{2} right}
Bài 3:
a) Tổng khối lượng thanh long là 12 tấn.
b) Tỉ số phần trăm là 37.5%.
Bài 4:
a) widehat{xOa} = 150^0
b) widehat{aOb} = 120^0
c) Ox là tia phân giác của widehat{bOc}.
Bài 5:
Đã chứng minh S .
Bộ bài tập này giúp các em củng cố kiến thức về số hữu tỉ, phương trình và hình học, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải toán có lời văn và chứng minh bất đẳng thức. Hãy ôn tập kỹ lưỡng các dạng toán này để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi học kỳ giải toán lớp 6 học kỳ 2 sắp tới. Chúc các em học tốt!
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
