Giải Bài Tập 2.3 Trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 – Kết Nối Tri Thức

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Việc nắm vững các phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Bài viết này sẽ đi sâu vào giải bài tập 2.3 trang 30 SGK Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức, giúp học sinh hiểu rõ cách xác định điều kiện xác định, quy đồng mẫu thức và biện luận nghiệm. Chúng tôi sẽ phân tích chi tiết từng bước giải, cung cấp các kiến thức nền tảng và những lưu ý quan trọng để đảm bảo tính chính xác và dễ hiểu, từ đó giúp các em tự tin chinh phục dạng bài này.

Đề Bài

Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2}{{2x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{3}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}};$

b) $\frac{1}{{x + 1}} - \frac{x}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{3x}}{{{x^3} + 1}}.$

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị của biến $x$ sao cho các phương trình đã cho được thỏa mãn. Đối với các phương trình chứa ẩn ở mẫu, bước đầu tiên và quan trọng nhất là xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. ĐKXĐ là tập hợp tất cả các giá trị của biến mà tại đó các mẫu thức trong phương trình đều khác 0. Sau khi tìm được ĐKXĐ, chúng ta sẽ tiến hành các phép biến đổi đại số để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn, thường là phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, rồi giải phương trình này. Cuối cùng, ta phải đối chiếu nghiệm tìm được với ĐKXĐ để loại bỏ những nghiệm không hợp lệ.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Với phương trình có dạng $\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)}$ (hoặc tương tự), điều kiện xác định là $B(x) \ne 0$ và $D(x) \ne 0$ .
Quy đồng mẫu thức: Để cộng, trừ các phân thức đại số, chúng ta cần đưa chúng về cùng một mẫu thức chung. Mẫu thức chung thường là BCNN của các mẫu thức riêng.
Khử mẫu: Sau khi quy đồng, nếu các mẫu thức đã giống nhau và khác 0 (theo ĐKXĐ), ta có thể bỏ mẫu để giải phương trình tương đương.
Các dạng phương trình cơ bản:
- Phương trình bậc nhất: $ax + b = 0$ . Nếu $a \ne 0$ , nghiệm là $x = -\frac{b}{a}$ . Nếu $a = 0, b \ne 0$ , phương trình vô nghiệm. Nếu $a = 0, b = 0$ , phương trình có vô số nghiệm.
- Phương trình bậc hai: $ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \ne 0$ ). Nghiệm được tìm bằng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.
Đối chiếu nghiệm với ĐKXĐ: Mọi nghiệm tìm được phải thỏa mãn ĐKXĐ. Nếu một nghiệm không thỏa mãn, nó sẽ bị loại bỏ.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Câu a: $\frac{2}{{2x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{3}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}};$

Bước 1: Tìm ĐKXĐ
Mẫu thức là $2x + 1$ và $x + 1$ .
Để các mẫu thức khác 0, ta có:
$2x + 1 \ne 0 Rightarrow x \ne -\frac{1}{2}$
$x + 1 \ne 0 Rightarrow x \ne -1$
Vậy ĐKXĐ của phương trình là $x \ne -1$ và $x \ne -\frac{1}{2}$ .
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế
Mẫu thức chung là $\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)$ .
Ta quy đồng các phân thức:
Phân thức thứ nhất: $\frac{2}{{2x + 1}} = \frac{2left( {x + 1} \right)}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$
Phân thức thứ hai: $\frac{1}{{x + 1}} = \frac{1left( {2x + 1} \right)}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}$
Phương trình trở thành:
$\frac{2left( {x + 1} \right)}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1left( {2x + 1} \right)}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$
Bước 3: Khử mẫu và giải phương trình
Vì các mẫu thức đều giống nhau và khác 0 (theo ĐKXĐ), ta có thể khử mẫu:
$2left( {x + 1} \right) + 1left( {2x + 1} \right) = 3$
Mở ngoặc và rút gọn:
$2x + 2 + 2x + 1 = 3$
$4x + 3 = 3$
Chuyển vế:
$4x = 3 - 3$
$4x = 0$
Giải phương trình bậc nhất:
$x = \frac{0}{4}$
$x = 0$
Bước 4: Kết luận
Ta so sánh nghiệm $x = 0$ với ĐKXĐ $x \ne -1$ và $x \ne -\frac{1}{2}$ .
Nghiệm $x = 0$ thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 0$ .
Mẹo kiểm tra: Thay $x = 0$ vào phương trình gốc:
Vế trái: $\frac{2}{{2(0) + 1}} + \frac{1}{{0 + 1}} = \frac{2}{1} + \frac{1}{1} = 2 + 1 = 3$ .
Vế phải: $\frac{3}{{\left( {2(0) + 1} \right)\left( {0 + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( 1 \right)\left( 1 \right)}} = \frac{3}{1} = 3$ .
Vế trái bằng vế phải, nên $x = 0$ là đúng.
Lỗi hay gặp:
- Quên tìm ĐKXĐ hoặc xác định sai ĐKXĐ.
- Quy đồng sai mẫu số chung hoặc sai phép nhân khi quy đồng.
- Sai sót trong quá trình rút gọn đại số sau khi khử mẫu.
- Không đối chiếu nghiệm với ĐKXĐ ở bước cuối cùng.

Câu b: $\frac{1}{{x + 1}} - \frac{x}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{3x}}{{{x^3} + 1}}.$

Bước 1: Tìm ĐKXĐ
Ta cần phân tích các mẫu thức thành nhân tử.
Mẫu thứ nhất: $x + 1$ .
Mẫu thứ hai: ${x^2} - x + 1$ . Biểu thức này không thể phân tích thành nhân tử với hệ số thực vì biệt thức $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0[/katex]. Do đó, [katex]{x^2} - x + 1[/katex] luôn dương với mọi [katex]x[/katex]. Mẫu thứ ba: [katex]{x^3} + 1[/katex]. Đây là dạng tổng hai lập phương, có công thức phân tích là [katex]{a^3} + {b^3} = (a+b)({a^2} - ab + {b^2})[/katex]. Vậy [katex]{x^3} + 1 = (x+1)({x^2} - x + 1)[/katex].</p> <p>Từ phân tích trên, các mẫu thức khác 0 khi:[katex]x + 1 \ne 0 Rightarrow x \ne -1$
${x^2} - x + 1 \ne 0$ (luôn đúng với mọi $x$ )
Vậy ĐKXĐ của phương trình là $x \ne -1$ .
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế
Mẫu thức chung là $\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = {x^3} + 1$ .
Ta quy đồng các phân thức:
Phân thức thứ nhất: $\frac{1}{{x + 1}} = \frac{1 \cdot \left( {{x^2} - x + 1} \right)}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^3} + 1}}$
Phân thức thứ hai: $\frac{x}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{x \cdot \left( {x + 1} \right)}{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{xleft( {x + 1} \right)}}{{{x^3} + 1}} = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^3} + 1}}$
Phương trình trở thành:
$\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^3} + 1}} - \frac{{{x^2} + x}}{{{x^3} + 1}} = \frac{{3x}}{{{x^3} + 1}}$
Bước 3: Khử mẫu và giải phương trình
Khử mẫu thức chung ${x^3} + 1$ (với $x \ne -1$ ):
$\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x} \right) = 3x$
Mở ngoặc và rút gọn:
${x^2} - x + 1 - {x^2} - x = 3x$
$( {x^2} - {x^2} ) + ( -x - x ) + 1 = 3x$
$-2x + 1 = 3x$
Chuyển vế:
$1 = 3x + 2x$
$1 = 5x$
Giải phương trình bậc nhất:
$x = \frac{1}{5}$
Bước 4: Kết luận
Ta so sánh nghiệm $x = \frac{1}{5}$ với ĐKXĐ $x \ne -1$ .
Nghiệm $x = \frac{1}{5}$ thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{1}{5}$ .
Mẹo kiểm tra: Thay $x = \frac{1}{5}$ vào phương trình gốc:
Vế trái:
$\frac{1}{{\frac{1}{5} + 1}} - \frac{\frac{1}{5}}{{{(\frac{1}{5})}^2} - \frac{1}{5} + 1} = \frac{1}{\frac{6}{5}} - \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{25} - \frac{5}{25} + \frac{25}{25}} = \frac{5}{6} - \frac{\frac{1}{5}}{\frac{21}{25}} = \frac{5}{6} - \frac{1}{5} \times \frac{25}{21} = \frac{5}{6} - \frac{5}{21}$
Tìm mẫu số chung cho 6 và 21 là 42:
$\frac{5 \times 7}{42} - \frac{5 \times 2}{42} = \frac{35 - 10}{42} = \frac{25}{42}$
Vế phải:
$\frac{3x}{{{x^3} + 1}} = \frac{3 \times \frac{1}{5}}{{{(\frac{1}{5})}^3} + 1} = \frac{\frac{3}{5}}{{\frac{1}{125} + 1}} = \frac{\frac{3}{5}}{{\frac{126}{125}}} = \frac{3}{5} \times \frac{125}{126} = \frac{3 \times 25}{126} = \frac{75}{126}$
Rút gọn phân số $\frac{75}{126}$ chia cả tử và mẫu cho 3: $\frac{25}{42}$ .
Vế trái bằng vế phải, nên $x = \frac{1}{5}$ là đúng.
Lỗi hay gặp:
- Sai sót khi phân tích mẫu thức ${x^3} + 1$ .
- Không nhận ra ${x^2} - x + 1$ luôn dương.
- Quy đồng sai, đặc biệt là ở phần $x(x+1)$ .
- Thực hiện phép trừ hai phân thức không cẩn thận, dễ sai dấu.
- Sai sót trong tính toán giá trị khi thay nghiệm kiểm tra.

Đáp Án/Kết Quả

a) Nghiệm của phương trình là $x = 0$ .
b) Nghiệm của phương trình là $x = \frac{1}{5}$ .

Kết Luận

Qua việc phân tích chi tiết hai bài toán con trong giải bài tập 2.3 trang 30 SGK Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức, chúng ta đã ôn lại các bước cơ bản để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. Việc hiểu rõ tầm quan trọng của điều kiện xác định, kỹ năng quy đồng mẫu thức, và sự cẩn trọng trong biến đổi đại số là chìa khóa để giải bài tập này một cách chính xác. Nắm vững các phương pháp này sẽ trang bị cho học sinh công cụ vững chắc để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong tương lai, cũng như tự tin hơn trong học tập.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.