Hướng Dẫn Giải Chi Tiết: Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8 Chuẩn Xác

Trong chương trình toán lớp 8, phần giải bài toán bằng cách lập phương trình đóng vai trò vô cùng quan trọng. Đây là chuyên đề không chỉ xuất hiện trong các bài kiểm tra 1 tiết, đề thi học kỳ mà còn là nền tảng vững chắc, liên quan trực tiếp đến kiến thức thi tuyển sinh lớp 10. Để giúp các em học sinh nắm vững kiến thức này, hệ thống giáo dục trực tuyến Vinastudy xin trình bày chi tiết các dạng bài tập cùng phương pháp giải tối ưu, đảm bảo tính chính xác và dễ hiểu.

Đề Bài

Bài 1 :

Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp ba lần chữ số hàng chục. Nếu viết thêm chữ số 2 xen giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu 200 đơn vị. Tìm số ban đầu ?

Bài 2 :

Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị. Nếu ta đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì được số mới kém số cũ 36 đơn vị. Tìm số ban đầu ?

Bài 3.

Một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 16. Nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu 630 đơn vị. Tìm số ban đầu ?

Bài 4.

Hai giá sách có 320 cuốn sách. Nếu chuyển 40 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu ở mỗi giá.

Bài 5.

Một cửa hàng ngày thứ nhất bán được nhiều hơn ngày thứ hai 420kg gạo.Tính số gạo cửa hàng bán được trong ngày thứ nhất biết nếu ngày thứ nhất bán được thêm 120kg gạo thì số gạo bán được sẽ bán được gấp rưỡi ngày thứ hai.

Bài 6.

Tổng số dầu của hai thùng A và B là 125 lít. Nếu lấy bớt ở thùng dầu A đi 30 lít và thêm vào thùng dầu B 10 lít thì số dầu thùng A bằng \frac{3}{4} số dầu thùng B. Tính số dầu lúc đầu ở mỗi thùng.

Bài 7.

Giá sách thứ nhất có số sách bằng \frac{3}{4} số sách của giá sách thứ hai. Nếu ta chuyển 30 quyển sách từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trong giá thứ nhất bằng \frac{5}{9} số sách trong giá thứ hai. Hỏi cả hai giá sách có bao nhiêu quyển sách ?

Bài 8.

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 112 m. Biết rằng nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì khu vườn trở thành hình vuông. Tính diện tích của khu vườn ban đầu.

Bài 9.

Một hình chữ nhật có chu vi bằng 114 cm. Biết rằng nếu giảm chiều rộng đi 5cm và tăng chiều dài thêm 8cm thì diện tích khu vườn không đổi. Tính diên tích hình chữ nhật.

Bài 10.

Một hình chữ nhật có chiều dài bằng \frac{5}{4} chiều rộng. Nếu tăng chiều dài thêm 3 cm và tăng chiều rộng thêm 8 cm thì hình chữ nhật trở thành hình vuông. Tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu ?

Bài 11.

Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 98m. Nếu giảm chiều rộng 5m và tăng chiều dài 2m thì diện tích giảm 101 {{m}^{2}}. Tính diện tích mảnh đất ban đầu ?

Bài 12 :

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 152 m. Nếu tăng chiều rộng lên ba lần và tăng chiều dài lên hai lần thì chu vi của khu vườn là 368m. Tính diện tích của khu vườn ban đầu.

Bài 13.

Một người đi ô tô từ A đến B với vận tốc 35 km/h. Khi đến B người đó nghỉ 40 phút rồi quay về A với vận tốc 30 km/h. Tính quãng đường AB, biết thời gian cả đi và về là 4 giờ 8 phút.

Bài 14.

Một người đi ô tô từ A đến B với vận tốc 40 km/h rồi quay về A với vận tốc 36 km/h. Tính quãng đường AB, biết thời gian đi từ A đến B ít hơn thời gian đi từ B về A là 10 phút.

Bài 15.

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Trên quãng đường từ B về A, vận tốc ô tô tăng thêm 10 km/h nên thời gian về ngắn hơn thời gian đi là 36 phút. Tính quãng đường từ A đến B ?

Câu 16:

Một xe ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h. Sau khi đi được 1 giờ thì xe bị hỏng phải dừng lại sửa 15 phút. Do đó đến B đúng giờ dự định ô tô phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính quãng đường AB ?

Câu 17:

Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định 10 km/h và đi nửa sau kém hơn dự định 6 km/h. Biết ô tô đến đúng dự định. Tính thời gian dự định đi quãng đường AB ?

Câu 18:

Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50km/h. Sau khi đi được \frac{2}{3} quãng đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đường còn lại. Do đó, người đó đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB ?

Bài 19 :

Một ô tô đi từ Hà Nội đến Đền Hùng với vận tốc 30 km/h. Trên quãng đường từ đền Hùng về Hà Nội, vận tốc ô tô tăng thêm 10 km/h nên thời gian về ngắn hơn thời gian đi là 30 phút. Tính quãng đường tử Hà Nội đến Đền Hùng ?

Bài 20 :

Một người đi xe máy dự định từ A đến B trong thời gian nhất định. Sau khi đi được nửa quãng đường với vận tốc 30 km/h thì người đó đi tiếp nửa quãng đường còn lại với vận tốc 36 km/h do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian dự định đi quãng đường AB ?

Phân Tích Yêu Cầu

Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” yêu cầu học sinh xác định các đại lượng chưa biết, chọn ẩn số phù hợp, biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn đó, thiết lập phương trình dựa trên mối quan hệ cho trước trong đề bài, giải phương trình và cuối cùng là kiểm tra điều kiện của bài toán để đưa ra kết quả chính xác. Điểm mấu chốt là hiểu rõ mối liên hệ giữa các đại lượng (vận tốc, thời gian, quãng đường; số sách; lượng gạo; dầu mỏ; diện tích, chu vi;…) để lập nên phương trình tương ứng.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

1. Biểu diễn số có hai chữ số: Nếu chữ số hàng chục là $x$ và chữ số hàng đơn vị là $y$, thì số đó có giá trị là 10x + y.
2. Quan hệ giữa các đại lượng trong chuyển động:
   • Quãng đường = Vận tốc $times$ Thời gian (s = v \times t)
   • Vận tốc = Quãng đường / Thời gian (v = s / t)
   • Thời gian = Quãng đường / Vận tốc (t = s / v)
3. Các bài toán về tỉ lệ: Biết mối quan hệ tỉ lệ giữa các đại lượng (gấp rưỡi, bằng \frac{a}{b} lần, v.v.).
4. Bài toán về hình học:
   • Chu vi hình chữ nhật: P = 2(l + w)
   • Diện tích hình chữ nhật: S = l \times w
   • Chu vi hình vuông: P = 4a
   • Diện tích hình vuông: S = a^2
5. Chuyển đổi đơn vị: Chuyển đổi thời gian (phút sang giờ), khối lượng, khoảng cách cho phù hợp với đơn vị của vận tốc và thời gian.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 1: Số có hai chữ số với điều kiện về chữ số và giá trị

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho hai điều kiện: một liên quan đến mối quan hệ giữa các chữ số, và một liên quan đến sự thay đổi giá trị của số khi chèn thêm một chữ số.
• Kiến thức cần dùng: Biểu diễn số có hai chữ số, cách tạo số mới khi xen chữ số.
• Giải chi tiết:
  Gọi chữ số hàng chục là $x$. Điều kiện x in {mathbb{N}^} và $x < 10$.
  Chữ số hàng đơn vị gấp ba lần chữ số hàng chục, nên chữ số hàng đơn vị là 3x. Điều kiện 3x < 10[/katex]. Suy ra $x$ có thể là 1, 2, 3. Giá trị của số ban đầu là [katex]10x + 3x = 13x[/katex]. Khi viết thêm chữ số 2 xen giữa hai chữ số ấy, ta được số mới có dạng [katex]x2(3x)[/katex]. Giá trị của số mới này là [katex]100x + 2 \times 10 + 3x = 103x + 20[/katex]. Theo đề bài, số mới lớn hơn số ban đầu 200 đơn vị: [katex]103x + 20 = 13x + 200[/katex] [katex]103x - 13x = 200 - 20[/katex] [katex]90x = 180[/katex] [katex]x = 2[/katex]. Kiểm tra điều kiện: [katex]x=2[/katex] là số tự nhiên khác 0, [katex]3x = 3 \times 2 = 6 < 10[/katex]. Thỏa mãn. Chữ số hàng chục là 2, chữ số hàng đơn vị là 6.</li> <li><strong>Mẹo kiểm tra:</strong> Số ban đầu là 26. Chữ số hàng đơn vị (6) gấp ba lần chữ số hàng chục (2). Viết thêm số 2 vào giữa ta được 226. Số mới (226) lớn hơn số ban đầu (26) là [katex]226 - 26 = 200. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giá trị của số có hai chữ số với chính hai chữ số đó. Quên điều kiện cho chữ số (từ 0-9, chữ số hàng chục khác 0).

Bài 2: Số có hai chữ số với điều kiện về chữ số và vị trí

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho mối quan hệ giữa hai chữ số và sự thay đổi giá trị số khi đổi chỗ hai chữ số đó.
• Kiến thức cần dùng: Biểu diễn số có hai chữ số, cách đổi chỗ chữ số.
• Giải chi tiết:
  Gọi chữ số hàng đơn vị là $x$. Điều kiện x in {mathbb{N}^} và $x < 10$.
  Chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị, nên chữ số hàng chục là 2x. Điều kiện 2x < 10[/katex], suy ra $x < 5$. Vậy [katex]x in {1, 2, 3, 4}[/katex]. Giá trị của số ban đầu là [katex]2x \times 10 + x = 20x + x = 21x[/katex]. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị, ta được số mới có giá trị là [katex]x \times 10 + 2x = 10x + 2x = 12x[/katex]. Theo đề bài, số mới kém số cũ 36 đơn vị: [katex]21x = 12x + 36[/katex] [katex]21x - 12x = 36[/katex] [katex]9x = 36[/katex] [katex]x = 4[/katex]. Kiểm tra điều kiện: [katex]x=4[/katex] là số tự nhiên khác 0, [katex]2x = 2 \times 4 = 8 < 10[/katex]. Thỏa mãn. Chữ số hàng đơn vị là 4, chữ số hàng chục là 8.</li> <li><strong>Mẹo kiểm tra:</strong> Số ban đầu là 84. Chữ số hàng chục (8) gấp đôi chữ số hàng đơn vị (4). Đổi chỗ hai chữ số ta được số 48. Số mới (48) kém số cũ (84) là [katex]84 - 48 = 36. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn thứ tự chữ số hàng chục và hàng đơn vị khi đặt ẩn hoặc khi viết số mới.

Bài 3: Số có hai chữ số với điều kiện tổng các chữ số và giá trị số mới

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho mối liên hệ giữa tổng hai chữ số và sự thay đổi giá trị số khi chèn thêm chữ số 0.
• Kiến thức cần dùng: Biểu diễn số có hai chữ số, cách tạo số mới khi xen chữ số 0.
• Giải chi tiết:
  Gọi chữ số hàng chục là $x$. Điều kiện x in {mathbb{N}^} và $x < 10$.
  Tổng hai chữ số là 16, nên chữ số hàng đơn vị là 16 - x. Điều kiện 16-x < 10[/katex], suy ra $x > 6$. Vậy [katex]x in {7, 8, 9}[/katex]. Giá trị của số ban đầu là [katex]x \times 10 + (16-x) = 10x + 16 - x = 9x + 16[/katex]. Khi viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số ấy, ta được số mới có dạng [katex]x0(16-x)[/katex]. Giá trị của số mới này là [katex]x \times 100 + 0 \times 10 + (16-x) = 100x + 16 - x = 99x + 16[/katex]. Theo đề bài, số mới lớn hơn số ban đầu 630 đơn vị: [katex]99x + 16 = (9x + 16) + 630[/katex] [katex]99x + 16 = 9x + 646[/katex] [katex]99x - 9x = 646 - 16[/katex] [katex]90x = 630[/katex] [katex]x = 7[/katex]. Kiểm tra điều kiện: [katex]x=7[/katex] là số tự nhiên khác 0, [katex]16-x = 16-7 = 9 < 10[/katex]. Thỏa mãn. Chữ số hàng chục là 7, chữ số hàng đơn vị là 9.</li> <li><strong>Mẹo kiểm tra:</strong> Số ban đầu là 79. Tổng hai chữ số là [katex]7+9=16. Viết thêm số 0 vào giữa ta được 709. Số mới (709) lớn hơn số ban đầu (79) là 709 - 79 = 630. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn công thức tạo số mới khi xen số 0, ví dụ: 100x + 10(0) + y thay vì 100x + y.

Bài 4: Bài toán về phân chia hai đại lượng

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho tổng số lượng hai đối tượng và điều kiện sau khi chuyển một phần từ đối tượng này sang đối tượng kia.
• Kiến thức cần dùng: Lập phương trình dựa trên tổng và hiệu (hoặc tỉ lệ) sau khi thay đổi.
• Giải chi tiết:
  Gọi số cuốn sách lúc đầu ở giá thứ nhất là $x$ (cuốn). Điều kiện x in {mathbb{N}^<em>}, $x < 320$.
  Số cuốn sách lúc đầu ở giá thứ hai là 320 - x (cuốn).
  Sau khi chuyển 40 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai:
  Số sách ở giá thứ nhất còn lại: x - 40 (cuốn). Điều kiện x \ge 40.
  Số sách ở giá thứ hai lúc đó: (320 - x) + 40 = 360 - x (cuốn).
  Theo đề bài, số sách ở giá thứ hai sẽ bằng số sách ở giá thứ nhất:
  360 - x = x - 40
  360 + 40 = x + x
  400 = 2x
  x = 200.
  Kiểm tra điều kiện: x = 200. 200 in {mathbb{N}^</em>}, $200 < 320$, 200 \ge 40. Thỏa mãn.
  Số sách lúc đầu ở giá thứ nhất: 200 cuốn.
  Số sách lúc đầu ở giá thứ hai: 320 - 200 = 120 cuốn.
• Mẹo kiểm tra: Ban đầu: Giá 1: 200 cuốn, Giá 2: 120 cuốn. Tổng 320 cuốn. Chuyển 40 cuốn từ Giá 1 sang Giá 2: Giá 1 còn 200 - 40 = 160 cuốn. Giá 2 có 120 + 40 = 160 cuốn. Hai giá bằng nhau. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn số lượng sau khi chuyển hoặc lập phương trình sai mối quan hệ "bằng nhau".

Bài 5: Bài toán về lượng hàng bán được theo ngày

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho mối liên hệ về lượng hàng bán được giữa hai ngày và một điều kiện giả định để tạo phương trình.
• Kiến thức cần dùng: Lập phương trình dựa trên mối quan hệ số lượng và tỉ lệ.
• Giải chi tiết:
  Gọi số gạo cửa hàng bán được trong ngày thứ nhất là $x$ (kg). Điều kiện $x > 0$.
  Số gạo bán được trong ngày thứ hai là x - 420 (kg). Điều kiện x - 420 > 0, suy ra $x > 420$.
  Nếu ngày thứ nhất bán được thêm 120kg gạo thì số gạo bán được là x + 120 (kg).
  Theo đề bài, lúc này, số gạo bán được sẽ gấp rưỡi (tức là gấp \frac{3}{2} lần) ngày thứ hai:
  x + 120 = \frac{3}{2}(x - 420)
  Nhân cả hai vế với 2 để khử mẫu:
  2(x + 120) = 3(x - 420)
  2x + 240 = 3x - 1260
  240 + 1260 = 3x - 2x
  1500 = x.
  Kiểm tra điều kiện: x = 1500. $1500 > 0$ và $1500 > 420$. Thỏa mãn.
  Số gạo cửa hàng bán được trong ngày thứ nhất là 1500 kg.
• Mẹo kiểm tra: Ngày 1 bán 1500 kg. Ngày 2 bán 1500 - 420 = 1080 kg. Nếu ngày 1 bán thêm 120 kg thì có 1500 + 120 = 1620 kg. Số này gấp rưỡi ngày 2 là \frac{3}{2} \times 1080 = 3 \times 540 = 1620 kg. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn "gấp rưỡi" là $1.5$ hay \frac{3}{2}. Sai biểu diễn số lượng ngày thứ hai.

Bài 6: Bài toán về dung tích hai thùng chứa

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho tổng dung tích ban đầu và điều kiện về tỉ lệ dung tích sau khi thay đổi lượng chất lỏng ở mỗi thùng.
• Kiến thức cần dùng: Lập phương trình dựa trên tổng ban đầu và tỉ lệ sau khi thay đổi.
• Giải chi tiết:
  Gọi số dầu lúc đầu ở thùng A là $x$ (lít). Điều kiện x in {mathbb{N}^<em>}, $0 < x < 125$.
  Số dầu lúc đầu ở thùng B là 125 - x (lít).
  Sau khi thay đổi:
  Số dầu ở thùng A còn lại: x - 30 (lít). Điều kiện x \ge 30.
  Số dầu ở thùng B lúc đó: (125 - x) + 10 = 135 - x (lít).
  Theo đề bài, số dầu thùng A bằng \frac{3}{4} số dầu thùng B:
  x - 30 = \frac{3}{4}(135 - x)
  Nhân cả hai vế với 4 để khử mẫu:
  4(x - 30) = 3(135 - x)
  4x - 120 = 405 - 3x
  4x + 3x = 405 + 120
  7x = 525
  x = \frac{525}{7} = 75.
  Kiểm tra điều kiện: x = 75. 75 in {mathbb{N}^</em>}, $0 < 75 < 125$, 75 \ge 30. Thỏa mãn.
  Số dầu lúc đầu ở thùng A là 75 lít.
  Số dầu lúc đầu ở thùng B là 125 - 75 = 50 lít.
• Mẹo kiểm tra: Ban đầu: Thùng A: 75 lít, Thùng B: 50 lít. Tổng 125 lít. Thay đổi: Thùng A còn 75 - 30 = 45 lít. Thùng B có 50 + 10 = 60 lít. Số dầu thùng A (45) bằng \frac{3}{4} số dầu thùng B (60) vì \frac{3}{4} \times 60 = 3 \times 15 = 45. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Sai biểu diễn số lượng dầu ở thùng B sau khi thay đổi.

Bài 7: Bài toán về số lượng sách trên hai giá

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho mối quan hệ tỉ lệ giữa số sách hai giá ban đầu và mối quan hệ tỉ lệ sau khi chuyển một số sách.
• Kiến thức cần dùng: Lập phương trình dựa trên tỉ lệ và sự thay đổi số lượng.
• Giải chi tiết:
  Gọi số sách lúc đầu ở giá thứ hai là $x$ (quyển). Điều kiện x in {mathbb{N}^<em>}.
  Số sách lúc đầu ở giá thứ nhất là \frac{3}{4}x (quyển). Điều kiện \frac{3}{4}x phải là số nguyên, tức $x$ chia hết cho 4.
  Sau khi chuyển 30 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai:
  Số sách ở giá thứ nhất còn lại: \frac{3}{4}x - 30 (quyển). Điều kiện \frac{3}{4}x \ge 30.
  Số sách ở giá thứ hai lúc đó: x + 30 (quyển).
  Theo đề bài, số sách trong giá thứ nhất lúc sau bằng \frac{5}{9} số sách trong giá thứ hai lúc đó:
  \frac{3}{4}x - 30 = \frac{5}{9}(x + 30)
  Nhân cả hai vế với 36 (Bội chung nhỏ nhất của 4 và 9) để khử mẫu:
  36 \times (\frac{3}{4}x - 30) = 36 \times \frac{5}{9}(x + 30)
  27x - 1080 = 20(x + 30)
  27x - 1080 = 20x + 600
  27x - 20x = 600 + 1080
  7x = 1680
  x = \frac{1680}{7} = 240.
  Kiểm tra điều kiện: x = 240. 240 in {mathbb{N}^</em>}, 240 chia hết cho 4. \frac{3}{4} \times 240 = 180. 180 \ge 30. Thỏa mãn.
  Số sách lúc đầu ở giá thứ hai là 240 quyển.
  Số sách lúc đầu ở giá thứ nhất là \frac{3}{4} \times 240 = 180 quyển.
  Cả hai giá sách có tổng số sách là 240 + 180 = 420 quyển.
• Mẹo kiểm tra: Ban đầu: Giá 1: 180 cuốn, Giá 2: 240 cuốn. Tỉ lệ \frac{180}{240} = \frac{3}{4}. Chuyển 30 cuốn từ Giá 1 sang Giá 2: Giá 1 còn 180 - 30 = 150 cuốn. Giá 2 có 240 + 30 = 270 cuốn. Tỉ lệ mới \frac{150}{270} = \frac{15}{27} = \frac{5}{9}. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn khi thiết lập phương trình, ví dụ đặt tỉ lệ sai hoặc nhầm lẫn số lượng sau khi chuyển.

Bài 8: Bài toán về khu vườn hình chữ nhật

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho chu vi ban đầu và mối quan hệ về kích thước (chiều rộng, chiều dài) sau khi thay đổi, dẫn đến hình dạng mới là hình vuông.
• Kiến thức cần dùng: Công thức chu vi, diện tích hình chữ nhật, hình vuông. Thiết lập phương trình từ điều kiện hai cạnh bằng nhau khi trở thành hình vuông.
• Giải chi tiết:
  Nửa chu vi hình chữ nhật ban đầu là 112 : 2 = 56 (m).
  Gọi chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là $x$ (m). Điều kiện $x > 0$.
  Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là 56 - x (m). Điều kiện 56 - x > 0 Rightarrow x < 56[/katex]. Sau khi thay đổi: Chiều rộng mới: [katex]4x[/katex] (m). Chiều dài mới: [katex]3(56 - x) = 168 - 3x[/katex] (m). Khu vườn lúc sau trở thành hình vuông, nghĩa là chiều rộng mới bằng chiều dài mới: [katex]4x = 168 - 3x[/katex] [katex]4x + 3x = 168[/katex] [katex]7x = 168[/katex] [katex]x = \frac{168}{7} = 24[/katex]. Kiểm tra điều kiện: [katex]x = 24[/katex]. $24 > 0$ và $24 < 56$. Thỏa mãn. Chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là 24 m. Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là [katex]56 - 24 = 32[/katex] m. Diện tích khu vườn hình chữ nhật ban đầu là: [katex]24 \times 32 = 768[/katex] m[katex]^2[/katex].</li> <li><strong>Mẹo kiểm tra:</strong> Ban đầu: Rộng 24m, Dài 32m. Chu vi [katex]2(24+32) = 2(56) = 112m. Thay đổi: Rộng mới 4 \times 24 = 96m. Dài mới 3 \times 32 = 96m. Hai kích thước bằng nhau, là hình vuông. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn công thức chu vi, hoặc không đặt điều kiện cho kích thước.

Bài 9: Bài toán về hình chữ nhật với điều kiện diện tích không đổi

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho chu vi ban đầu và điều kiện thay đổi kích thước (chiều rộng giảm, chiều dài tăng) làm diện tích không đổi.
• Kiến thức cần dùng: Công thức chu vi, diện tích hình chữ nhật. Lập phương trình dựa trên hai biểu thức diện tích bằng nhau.
• Giải chi tiết:
  Nửa chu vi hình chữ nhật là 114 : 2 = 57 (cm).
  Gọi chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu là $x$ (cm). Điều kiện $x > 0$.
  Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu là 57 - x (cm). Điều kiện 57 - x > 0 Rightarrow x < 57[/katex]. Diện tích hình chữ nhật lúc đầu: [katex]S_1 = x(57 - x) = 57x - x^2[/katex] (cm[katex]^2[/katex]). Sau khi thay đổi: Chiều rộng mới: [katex]x - 5[/katex] (cm). Điều kiện [katex]x \ge 5[/katex]. Chiều dài mới: [katex](57 - x) + 8 = 65 - x[/katex] (cm). Diện tích hình chữ nhật mới: [katex]S_2 = (x - 5)(65 - x)[/katex] (cm[katex]^2[/katex]). Theo đề bài, diện tích không đổi ([katex]S_1 = S_2[/katex]): [katex]57x - x^2 = (x - 5)(65 - x)[/katex] [katex]57x - x^2 = 65x - x^2 - 325 + 5x[/katex] [katex]57x - x^2 = 70x - x^2 - 325[/katex] [katex]57x = 70x - 325[/katex] [katex]325 = 70x - 57x[/katex] [katex]325 = 13x[/katex] [katex]x = \frac{325}{13} = 25[/katex]. Kiểm tra điều kiện: [katex]x = 25[/katex]. $25 > 0$, $25 < 57$, [katex]25 \ge 5[/katex]. Thỏa mãn. Chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu là 25 cm. Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu là [katex]57 - 25 = 32[/katex] cm. Diện tích hình chữ nhật là: [katex]25 \times 32 = 800[/katex] cm[katex]^2[/katex].</li> <li><strong>Mẹo kiểm tra:</strong> Ban đầu: Rộng 25cm, Dài 32cm. Chu vi [katex]2(25+32) = 2(57) = 114cm. Diện tích 25 \times 32 = 800 cm^2. Thay đổi: Rộng mới 25 - 5 = 20cm. Dài mới 32 + 8 = 40cm. Diện tích mới 20 \times 40 = 800 cm^2. Diện tích không đổi. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Khai triển biểu thức diện tích mới sai, hoặc nhầm lẫn với bài toán diện tích tăng/giảm.

Bài 10: Hình chữ nhật với điều kiện trở thành hình vuông

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho mối quan hệ tỉ lệ giữa chiều dài và chiều rộng, và điều kiện kích thước thay đổi làm hình chữ nhật trở thành hình vuông.
• Kiến thức cần dùng: Công thức hình chữ nhật. Thiết lập phương trình từ điều kiện hai cạnh bằng nhau.
• Giải chi tiết:
  Gọi chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu là $x$ (cm). Điều kiện $x > 0$.
  Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu là \frac{5}{4}x (cm).
  Sau khi thay đổi:
  Chiều dài mới: \frac{5}{4}x + 3 (cm).
  Chiều rộng mới: x + 8 (cm).
  Theo đề bài, hình chữ nhật mới trở thành hình vuông, nghĩa là chiều dài mới bằng chiều rộng mới:
  \frac{5}{4}x + 3 = x + 8
  \frac{5}{4}x - x = 8 - 3
  \frac{1}{4}x = 5
  x = 20.
  Kiểm tra điều kiện: x = 20. $20 > 0$. Thỏa mãn.
  Chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là 20 cm.
  Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là \frac{5}{4} \times 20 = 25 cm.
  Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: 20 \times 25 = 500 cm^2.
• Mẹo kiểm tra: Ban đầu: Rộng 20cm, Dài 25cm. Tỉ lệ \frac{25}{20} = \frac{5}{4}. Thay đổi: Dài mới 25 + 3 = 28cm. Rộng mới 20 + 8 = 28cm. Hai kích thước bằng nhau, là hình vuông. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn mối quan hệ giữa chiều dài và chiều rộng.

Bài 11: Miếng đất hình chữ nhật với điều kiện diện tích giảm

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho chu vi ban đầu và điều kiện thay đổi kích thước (chiều rộng giảm, chiều dài tăng) làm diện tích giảm một lượng cụ thể.
• Kiến thức cần dùng: Công thức chu vi, diện tích hình chữ nhật. Lập phương trình dựa trên mối quan hệ diện tích ban đầu, diện tích mới và lượng giảm.
• Giải chi tiết:
  Tổng chiều dài và chiều rộng của miếng đất hình chữ nhật là 98 : 2 = 49 (m).
  Gọi chiều rộng của miếng đất hình chữ nhật ban đầu là $x$ (m). Điều kiện $x > 0$.
  Chiều dài của miếng đất hình chữ nhật ban đầu là 49 - x (m). Điều kiện 49 - x > 0 Rightarrow x < 49[/katex]. Diện tích miếng đất hình chữ nhật ban đầu: [katex]S_1 = x(49 - x)[/katex] (m[katex]^2[/katex]). Sau khi thay đổi: Chiều rộng khi đó: [katex]x - 5[/katex] (m). Điều kiện [katex]x \ge 5[/katex]. Chiều dài khi đó: [katex](49 - x) + 2 = 51 - x[/katex] (m). Diện tích miếng đất hình chữ nhật khi thay đổi: [katex]S_2 = (x - 5)(51 - x)[/katex] (m[katex]^2[/katex]). Theo đề bài, diện tích giảm 101 m[katex]^2[/katex], nghĩa là [katex]S_1 - S_2 = 101[/katex]: [katex]x(49 - x) - (x - 5)(51 - x) = 101[/katex] [katex]49x - x^2 - (51x - x^2 - 255 + 5x) = 101[/katex] [katex]49x - x^2 - (56x - x^2 - 255) = 101[/katex] [katex]49x - x^2 - 56x + x^2 + 255 = 101[/katex] [katex]-7x + 255 = 101[/katex] [katex]255 - 101 = 7x[/katex] [katex]154 = 7x[/katex] [katex]x = \frac{154}{7} = 22[/katex]. Kiểm tra điều kiện: [katex]x = 22[/katex]. $22 > 0$, $22 < 49$, [katex]22 \ge 5[/katex]. Thỏa mãn. Chiều rộng của miếng đất hình chữ nhật là 22 m. Chiều dài của miếng đất hình chữ nhật là [katex]49 - 22 = 27[/katex] m. Diện tích miếng đất hình chữ nhật ban đầu là: [katex]22 \times 27 = 594[/katex] m[katex]^2[/katex].</li> <li><strong>Mẹo kiểm tra:</strong> Ban đầu: Rộng 22m, Dài 27m. Chu vi [katex]2(22+27) = 2(49) = 98m. Diện tích 22 \times 27 = 594 m^2. Thay đổi: Rộng mới 22 - 5 = 17m. Dài mới 27 + 2 = 29m. Diện tích mới 17 \times 29 = 493 m^2. Diện tích giảm 594 - 493 = 101 m^2. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Sai biểu thức diện tích mới hoặc nhầm lẫn dấu khi thiết lập phương trình S_1 - S_2 = 101.

Bài 12: Khu vườn hình chữ nhật với chu vi thay đổi

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho chu vi ban đầu và chu vi sau khi thay đổi kích thước (chiều rộng tăng, chiều dài tăng).
• Kiến thức cần dùng: Công thức chu vi hình chữ nhật. Lập phương trình từ điều kiện chu vi mới.
• Giải chi tiết:
  Nửa chu vi hình chữ nhật ban đầu: 152 : 2 = 76 (m).
  Gọi chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là $x$ (m). Điều kiện $x > 0$.
  Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là 76 - x (m). Điều kiện 76 - x > 0 Rightarrow x < 76[/katex]. Sau khi thay đổi: Chiều rộng mới: [katex]3x[/katex] (m). Chiều dài mới: [katex]2(76 - x) = 152 - 2x[/katex] (m). Chu vi khu vườn lúc sau là 368m. Nửa chu vi mới là [katex]368 : 2 = 184[/katex] m. Ta có phương trình: (Chiều rộng mới + Chiều dài mới) = Nửa chu vi mới [katex]3x + (152 - 2x) = 184[/katex] [katex]x + 152 = 184[/katex] [katex]x = 184 - 152[/katex] [katex]x = 32[/katex]. Kiểm tra điều kiện: [katex]x = 32[/katex]. $32 > 0$ và $32 < 76$. Thỏa mãn. Chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là 32 m. Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là [katex]76 - 32 = 44[/katex] m. Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: [katex]44 \times 32 = 1408[/katex] m[katex]^2[/katex].</li> <li><strong>Mẹo kiểm tra:</strong> Ban đầu: Rộng 32m, Dài 44m. Chu vi [katex]2(32+44) = 2(76) = 152m. Thay đổi: Rộng mới 3 \times 32 = 96m. Dài mới 2 \times 44 = 88m. Chu vi mới 2(96+88) = 2(184) = 368m. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn công thức chu vi hoặc sai biểu thức chiều dài/chiều rộng sau khi thay đổi.

Bài 13: Bài toán chuyển động - Đi và về có nghỉ

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho vận tốc đi, vận tốc về, thời gian nghỉ và tổng thời gian cả đi lẫn về (không kể nghỉ). Cần tính quãng đường.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian. Đổi đơn vị thời gian.
• Giải chi tiết:
  Đổi đơn vị: 4 giờ 8 phút = 4 + \frac{8}{60} = 4 + \frac{2}{15} = \frac{62}{15} giờ.
  Thời gian nghỉ: 40 phút = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} giờ.
  Gọi quãng đường AB là $x$ (km). Điều kiện $x > 0$.
  Vận tốc đi từ A đến B là 35 km/h.
  Thời gian đi từ A đến B là t<em>{đi} = \frac{x}{35} (giờ).
  Vận tốc đi từ B về A là 30 km/h.
  Thời gian đi từ B về A là t</em>{về} = \frac{x}{30} (giờ).
  Tổng thời gian thực tế (không tính nghỉ) là t<em>{đi} + t</em>{về} = \frac{62}{15} - \frac{2}{3} giờ.
  \frac{62}{15} - \frac{2}{3} = \frac{62}{15} - \frac{10}{15} = \frac{52}{15} giờ.
  Ta có phương trình:
  \frac{x}{35} + \frac{x}{30} = \frac{52}{15}
  Quy đồng mẫu số chung là 210:
  \frac{6x}{210} + \frac{7x}{210} = \frac{52 \times 14}{210}
  \frac{13x}{210} = \frac{728}{210}
  13x = 728
  x = \frac{728}{13} = 56.
  Kiểm tra điều kiện: x = 56 > 0. Thỏa mãn.
  Quãng đường AB là 56 km.
• Mẹo kiểm tra: Thời gian đi: 56/35 = 1.6 giờ. Thời gian về: 56/30 \approx 1.867 giờ. Tổng thời gian đi về: 1.6 + 1.867 \approx 3.467 giờ. Đổi: 52/15 \approx 3.467 giờ. Thời gian nghỉ 40 phút. Tổng thời gian cả đi, nghỉ, về: 3.467 + 40/60 \approx 3.467 + 0.667 = 4.134 giờ. $4$ giờ $8$ phút = 4 + 8/60 = 4 + 2/15 \approx 4.133 giờ. Chính xác.
• Lỗi hay gặp: Quên đổi đơn vị thời gian hoặc quên trừ thời gian nghỉ ra khỏi tổng thời gian.

Bài 14: Bài toán chuyển động - Đi và về với thời gian chênh lệch

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho vận tốc đi, vận tốc về và hiệu thời gian giữa hai lượt đi/về. Cần tính quãng đường.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian. Đổi đơn vị thời gian.
• Giải chi tiết:
  Đổi đơn vị: 10 phút = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} giờ.
  Gọi quãng đường AB là $x$ (km). Điều kiện $x > 0$.
  Vận tốc đi từ A đến B là 40 km/h.
  Thời gian đi từ A đến B là t<em>{đi} = \frac{x}{40} (giờ).
  Vận tốc đi từ B về A là 36 km/h.
  Thời gian đi từ B về A là t</em>{về} = \frac{x}{36} (giờ).
  Theo đề bài, thời gian đi từ A đến B ít hơn thời gian đi từ B về A là 10 phút. Ta biết vận tốc đi (40 km/h) lớn hơn vận tốc về (36 km/h) nên thời gian đi phải ít hơn thời gian về.
  t<em>{về} - t</em>{đi} = \frac{1}{6} giờ.
  \frac{x}{36} - \frac{x}{40} = \frac{1}{6}
  Quy đồng mẫu số chung là 360:
  \frac{10x}{360} - \frac{9x}{360} = \frac{60}{360}
  \frac{x}{360} = \frac{60}{360}
  x = 60.
  Kiểm tra điều kiện: x = 60 > 0. Thỏa mãn.
  Quãng đường AB là 60 km.
• Mẹo kiểm tra: Thời gian đi: 60/40 = 1.5 giờ. Thời gian về: 60/36 = \frac{5}{3} \approx 1.667 giờ. Hiệu thời gian: \frac{5}{3} - 1.5 = \frac{5}{3} - \frac{3}{2} = \frac{10-9}{6} = \frac{1}{6} giờ. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn thời gian nào ít hơn, dẫn đến viết sai phương trình (ví dụ: t<em>{đi} - t</em>{về} = \frac{1}{6}).

Bài 15: Bài toán chuyển động - Tăng tốc về, thời gian ngắn hơn

• Phân tích yêu cầu: Bài toán cho vận tốc đi, vận tốc về tăng thêm, và hiệu thời gian giữa hai lượt đi/về. Cần tính quãng đường.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian. Đổi đơn vị thời gian.
• Giải chi tiết:
  Đổi đơn vị: 36 phút = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} giờ.
  Gọi quãng đường AB là $x$ (km). Điều kiện $x > 0$.
  Vận tốc ô tô đi từ A đến B là 40 km/h.
  Thời gian đi từ A đến B là t<em>{đi} = \frac{x}{40} (giờ).
  Vận tốc ô tô đi từ B về A là 40 + 10 = 50 km/h.
  Thời gian đi từ B về A là t</em>{về} = \frac{x}{50} (giờ).
  Theo đề bài, thời gian về ngắn hơn thời gian đi là 36 phút. Ta biết vận tốc về (50 km/h) lớn hơn vận tốc đi (40 km/h) nên thời gian về phải ít hơn thời gian đi.
  t<em>{đi} - t</em>{về} = \frac{3}{5} giờ.
  \frac{x}{40} - \frac{x}{50} = \frac{3}{5}
  Quy đồng mẫu số chung là 200:
  \frac{5x}{200} - \frac{4x}{200} = \frac{3 \times 40}{200}
  \frac{x}{200} = \frac{120}{200}
  x = 120.
  Kiểm tra điều kiện: x = 120 > 0. Thỏa mãn.
  Quãng đường AB là 120 km.
• Mẹo kiểm tra: Thời gian đi: 120/40 = 3 giờ. Thời gian về: 120/50 = 2.4 giờ. Hiệu thời gian: 3 - 2.4 = 0.6 giờ. Đổi: 0.6 \text{ giờ} = 0.6 \times 60 = 36 phút. Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn vận tốc, thời gian giữa đi và về.

Câu 16: Bài toán chuyển động - Hỏng xe, tăng tốc về đích đúng giờ

• Phân tích yêu cầu: Xe đi được một phần thời gian/quãng đường, bị hỏng, nghỉ, sau đó phải tăng tốc để đến đích đúng giờ dự định.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian. Quản lý thời gian và quãng đường theo từng giai đoạn.
• Giải chi tiết:
  Đổi đơn vị: 15 phút = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} giờ.
  Gọi thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là $T$ (giờ). Điều kiện $T > 0$.
  Vận tốc dự định là 48 km/h.
  Quãng đường AB là S_{AB} = 48T (km).
  Trong 1 giờ đầu tiên, ô tô đi được quãng đường: S<em>1 = 48 \times 1 = 48 km.
  Thời gian còn lại để đến B đúng giờ dự định là T - 1 (giờ).
  Ô tô bị hỏng và dừng lại sửa 15 phút (\frac{1}{4} giờ).
  Thời gian thực tế còn lại để đi để kịp giờ là (T - 1) - \frac{1}{4} = T - \frac{5}{4} (giờ).
  Do phải đến đúng giờ dự định, ô tô phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Vận tốc mới là 48 + 6 = 54 km/h.
  Quãng đường còn lại ô tô phải đi là S</em>{AB} - S<em>1 = 48T - 48 (km).
  Ta có phương trình cho quãng đường còn lại và thời gian còn lại với vận tốc mới:
  48T - 48 = 54 \times (T - \frac{5}{4})
  48T - 48 = 54T - 54 \times \frac{5}{4}
  48T - 48 = 54T - \frac{270}{4}
  48T - 48 = 54T - \frac{135}{2}
  Chuyển vế:
  54T - 48T = \frac{135}{2} - 48
  6T = \frac{135}{2} - \frac{96}{2}
  6T = \frac{39}{2}
  T = \frac{39}{12} = \frac{13}{4} giờ.
  Kiểm tra điều kiện: T = \frac{13}{4} > 0. Thỏa mãn.
  Quãng đường AB là S</em>{AB} = 48 \times T = 48 \times \frac{13}{4} = 12 \times 13 = 156 km.
• Mẹo kiểm tra: Thời gian dự định là 13/4 = 3.25 giờ. Đi 1 giờ đầu: 48km. Thời gian còn lại dự định là 3.25 - 1 = 2.25 giờ. Nghỉ 15 phút (0.25 giờ). Thời gian thực để đi nốt quãng đường là 2.25 - 0.25 = 2 giờ. Vận tốc mới là 54 km/h. Quãng đường còn lại là 156 - 48 = 108 km. Thời gian đi quãng đường còn lại là 108 / 54 = 2 giờ. Đúng với thời gian thực tế còn lại.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn thời gian còn lại để đi, hoặc thiết lập phương trình liên quan đến quãng đường.

Câu 17: Bài toán chuyển động - Chia đôi quãng đường, hai vận tốc khác nhau

• Phân tích yêu cầu: Một ô tô đi một quãng đường AB với vận tốc dự định, nhưng thực tế đi nửa đầu với vận tốc cao hơn và nửa sau với vận tốc thấp hơn, và đến đúng giờ dự định.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian. Chia quãng đường thành hai phần bằng nhau.
• Giải chi tiết:
  Quãng đường AB dài 60 km.
  Gọi vận tốc ô tô dự định đi là $x$ (km/h). Điều kiện $x > 0$.
  Thời gian dự định đi là t_{dự_định} = \frac{60}{x} (giờ).
  Nửa quãng đường đầu là 60/2 = 30 km.
  Vận tốc đi nửa quãng đường đầu là x + 10 (km/h). Điều kiện x+10>0.
  Thời gian đi nửa quãng đường đầu là t_1 = \frac{30}{x+10} (giờ).
  Nửa quãng đường sau là 30 km.
  Vận tốc đi nửa quãng đường sau là x - 6 (km/h). Điều kiện $x > 6$.
  Thời gian đi nửa quãng đường sau là t_2 = \frac{30}{x-6} (giờ).
  Theo đề bài, ô tô đến đúng dự định, tức là tổng thời gian thực tế bằng thời gian dự định:
  t_1 + t<em>2 = t</em>{dự_định}
  \frac{30}{x+10} + \frac{30}{x-6} = \frac{60}{x}
  Chia cả hai vế cho 30:
  \frac{1}{x+10} + \frac{1}{x-6} = \frac{2}{x}
  Quy đồng vế trái:
  \frac{(x-6) + (x+10)}{(x+10)(x-6)} = \frac{2}{x}
  \frac{2x+4}{x^2 + 4x - 60} = \frac{2}{x}
  Nhân chéo:
  x(2x+4) = 2(x^2 + 4x - 60)
  2x^2 + 4x = 2x^2 + 8x - 120
  4x = 8x - 120
  120 = 8x - 4x
  120 = 4x
  x = 30.
  Kiểm tra điều kiện: x = 30. $30 > 6$. Thỏa mãn.
  Vận tốc dự định là 30 km/h.
  Thời gian dự định đi quãng đường AB là: 60 : 30 = 2 giờ.
• Mẹo kiểm tra: Thời gian dự định là 2 giờ. Nửa đầu đi với 30+10=40 km/h trong 30km mất 30/40 = 0.75 giờ. Nửa sau đi với 30-6=24 km/h trong 30km mất 30/24 = 1.25 giờ. Tổng thời gian thực tế 0.75 + 1.25 = 2 giờ. Đúng với thời gian dự định.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn vận tốc dự định và vận tốc thực tế, hoặc sai sót trong quá trình biến đổi đại số.

Câu 18: Bài toán chuyển động - Giảm tốc cuối, đến muộn hơn dự định

• Phân tích yêu cầu: Ô tô đi \frac{2}{3} quãng đường với vận tốc dự định, sau đó giảm tốc và đến chậm hơn.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian. Chia quãng đường, quản lý thời gian.
• Giải chi tiết:
  Đổi đơn vị: 30 phút = \frac{1}{2} giờ.
  Gọi quãng đường AB là $x$ (km). Điều kiện $x > 0$.
  Vận tốc dự định là 50 km/h.
  Thời gian dự định đi là t_{dự_định} = \frac{x}{50} (giờ).
  Quãng đường đã đi với vận tốc dự định là \frac{2}{3}x (km).
  Thời gian đi quãng đường này là t_1 = \frac{\frac{2}{3}x}{50} = \frac{2x}{150} = \frac{x}{75} (giờ).
  Quãng đường còn lại là x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x (km).
  Vận tốc trên quãng đường còn lại giảm 10 km/h, nên vận tốc mới là 50 - 10 = 40 km/h.
  Thời gian đi quãng đường còn lại là t_2 = \frac{\frac{1}{3}x}{40} = \frac{x}{120} (giờ).
  Tổng thời gian thực tế đi là t_1 + t_2.
  Theo đề bài, ô tô đến B chậm 30 phút (\frac{1}{2} giờ) so với dự định:
  t_1 + t<em>2 = t</em>{dự_định} + \frac{1}{2}
  \frac{x}{75} + \frac{x}{120} = \frac{x}{50} + \frac{1}{2}
  Chuyển các số hạng chứa $x$ về một vế:
  \frac{x}{75} + \frac{x}{120} - \frac{x}{50} = \frac{1}{2}
  Quy đồng mẫu số chung là 600 (Bội chung nhỏ nhất của 75, 120, 50):
  \frac{8x}{600} + \frac{5x}{600} - \frac{12x}{600} = \frac{300}{600}
  \frac{(8+5-12)x}{600} = \frac{300}{600}
  \frac{x}{600} = \frac{300}{600}
  x = 300.
  Kiểm tra điều kiện: x = 300 > 0. Thỏa mãn.
  Quãng đường AB dài 300 km.
• Mẹo kiểm tra: Thời gian dự định là 300/50 = 6 giờ. Đi \frac{2}{3} \times 300 = 200 km với vận tốc 50 km/h mất 200/50 = 4 giờ. Đi \frac{1}{3} \times 300 = 100 km còn lại với vận tốc 50-10=40 km/h mất 100/40 = 2.5 giờ. Tổng thời gian thực tế là 4 + 2.5 = 6.5 giờ. Chậm hơn dự định 30 phút ($0.5$ giờ). Đúng đề bài.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn quãng đường, thời gian của từng giai đoạn hoặc sai sót trong quy đồng, tính toán.

Bài 19: Bài toán chuyển động - Tăng tốc về, thời gian ngắn hơn

• Phân tích yêu cầu: Bài toán tương tự bài 15, cho vận tốc đi, vận tốc về tăng thêm, và hiệu thời gian. Cần tính quãng đường.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian. Đổi đơn vị thời gian.
• Giải chi tiết:
  Đổi đơn vị: 30 phút = \frac{30}{60} = \frac{1}{2} giờ.
  Gọi quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng là $x$ (km). Điều kiện $x > 0$.
  Vận tốc đi từ Hà Nội đến Đền Hùng là 30 km/h.
  Thời gian đi là t<em>{đi} = \frac{x}{30} (giờ).
  Vận tốc từ Đền Hùng về Hà Nội là 30 + 10 = 40 km/h.
  Thời gian về là t</em>{về} = \frac{x}{40} (giờ).
  Theo đề bài, thời gian về ngắn hơn thời gian đi là 30 phút. Ta biết vận tốc về (40 km/h) lớn hơn vận tốc đi (30 km/h) nên thời gian về phải ít hơn thời gian đi.
  t<em>{đi} - t</em>{về} = \frac{1}{2} giờ.
  \frac{x}{30} - \frac{x}{40} = \frac{1}{2}
  Quy đồng mẫu số chung là 120:
  \frac{4x}{120} - \frac{3x}{120} = \frac{60}{120}
  \frac{x}{120} = \frac{60}{120}
  x = 60.
  Kiểm tra điều kiện: x = 60 > 0. Thỏa mãn.
  Quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng là 60 km.
• Mẹo kiểm tra: Thời gian đi: 60/30 = 2 giờ. Thời gian về: 60/40 = 1.5 giờ. Hiệu thời gian: 2 - 1.5 = 0.5 giờ. Đúng với 30 phút.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn vận tốc và thời gian giữa đi và về, hoặc sai sót trong quy đồng.

Bài 20: Bài toán chuyển động - Nửa quãng đường với hai vận tốc khác nhau, sớm hơn dự định

• Phân tích yêu cầu: Người đi xe máy đi nửa quãng đường đầu với vận tốc này, nửa quãng đường sau với vận tốc khác, và đến sớm hơn dự định.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian. Chia quãng đường, so sánh thời gian thực tế và dự định.
• Giải chi tiết:
  Đổi đơn vị: 10 phút = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} giờ.
  Gọi S là độ dài quãng đường AB (km). Điều kiện $S > 0$.
  Vận tốc đi nửa quãng đường đầu là 30 km/h.
  Thời gian đi nửa quãng đường đầu là t_1 = \frac{S/2}{30} = \frac{S}{60} (giờ).
  Vận tốc đi nửa quãng đường sau là 36 km/h.
  Thời gian đi nửa quãng đường sau là t<em>2 = \frac{S/2}{36} = \frac{S}{72} (giờ).
  Tổng thời gian thực tế để đi hết quãng đường là t</em>{thực_tế} = t_1 + t<em>2 = \frac{S}{60} + \frac{S}{72} (giờ).
  Thời gian dự định đi hết quãng đường với một vận tốc chưa biết, nhưng ta biết mối liên hệ giữa thời gian thực tế và dự định. Thay vì tìm vận tốc dự định, ta có thể thiết lập phương trình dựa trên tổng thời gian.
  Nếu gọi vận tốc dự định là v</em>{dự_định}, thì thời gian dự định là t<em>{dự_định} = \frac{S}{v</em>{dự_định}}.
  Theo đề bài, đến sớm hơn dự định 10 phút, nghĩa là:
  t<em>{thực_tế} = t</em>{dự_định} - \frac{1}{6}
  Hoặc t<em>{dự_định} = t</em>{thực_tế} + \frac{1}{6}
  Đây là một dạng bài có thể giải bằng cách tìm S trước, rồi suy ra thời gian dự định nếu ta biết vận tốc dự định. Tuy nhiên, bài toán yêu cầu tính THỜI GIAN DỰ ĐỊNH.
  Ta có thể suy luận như sau: nếu đi toàn bộ quãng đường S với vận tốc trung bình của hai nửa thì sẽ có thời gian nhất định. Tuy nhiên, bài này phức tạp hơn.
  Hãy thử đặt t<em>{dự_định} là ẩn. Ta có S = v</em>{dự_định} \times t<em>{dự_định}.
  Nhưng ta không biết v</em>{dự_định}.
  Xem lại đề bài: "Tính thời gian dự định đi quãng đường AB?".
  Ta có thể thiết lập phương trình với $S$ và suy ra thời gian.
  t<em>{thực_tế} = \frac{S}{60} + \frac{S}{72} = S \times (\frac{1}{60} + \frac{1}{72}) = S \times \frac{6+5}{360} = \frac{11S}{360} (giờ).
  Thời gian dự định t</em>{dự_định} = t<em>{thực_tế} + \frac{1}{6} = \frac{11S}{360} + \frac{1}{6}.
  Ta cần thêm một phương trình nữa.
  Cách giải khác: Gọi vận tốc dự định là $v$. Thời gian dự định là t = S/v.
  Không, đề bài không cho vận tốc dự định.
  Ta quay lại với phương trình ban đầu:
  Thời gian thực tế là \frac{S}{60} + \frac{S}{72} giờ.
  Thời gian dự định là t</em>{dự_định} giờ.
  Ta có: (\frac{S}{60} + \frac{S}{72}) = t<em>{dự_định} - \frac{1}{6}.
  Cần tìm t</em>{dự_định}.
  Xem xét cách giải ở bài gốc:
  \frac{S}{2.30}+\frac{S}{2.36}=\frac{S}{30}-\frac{1}{6}
  Điều này ngụ ý rằng \frac{S}{30} là thời gian dự định, và v<em>{dự_định} là 30 km/h. Tuy nhiên, đề bài nói "Sau khi đi được nửa quãng đường với vận tốc 30 km/h", không nói vận tốc dự định là 30 km/h.
  Đề bài có thể hiểu là: người đó dự định đi quãng đường S với một vận tốc nào đó (gọi là v</em>{dự}) trong thời gian t_{dự}.
  Thực tế:
  Nửa đầu: t_1 = \frac{S/2}{30}
  Nửa sau: t_2 = \frac{S/2}{36}
  t_1 + t<em>2 = t</em>{dự} - \frac{1}{6}
  Ta có t_1 = S/60, t<em>2 = S/72.
  \frac{S}{60} + \frac{S}{72} = t</em>{dự} - \frac{1}{6}
  \frac{11S}{360} = t<em>{dự} - \frac{1}{6}
  Chúng ta không có mối liên hệ giữa S và t</em>{dự} hoặc v<em>{dự}.
  Tuy nhiên, nếu giải theo cách của bài gốc: \frac{S}{60}+\frac{S}{72}=\frac{S}{30}-\frac{1}{6}. Phương trình này được lập dựa trên giả định rằng vận tốc dự định là 30 km/h.
  Nếu vận tốc dự định là 30 km/h, thì thời gian dự định đi hết quãng đường S là \frac{S}{30} giờ.
  Vậy, ta có:
  \frac{S}{60} + \frac{S}{72} = \frac{S}{30} - \frac{1}{6}
  Quy đồng:
  S \times (\frac{1}{60} + \frac{1}{72} - \frac{1}{30}) = -\frac{1}{6}
  S \times (\frac{6}{360} + \frac{5}{360} - \frac{12}{360}) = -\frac{1}{6}
  S \times \frac{6+5-12}{360} = -\frac{1}{6}
  S \times \frac{-1}{360} = -\frac{1}{6}
  S = \frac{1}{6} \times 360 = 60 km.
  Quãng đường AB là 60 km.
  Nếu vận tốc dự định là 30 km/h, thì thời gian dự định đi quãng đường AB là t</em>{dự_định} = \frac{S}{30} = \frac{60}{30} = 2 giờ.
  Kiểm tra lại cách hiểu này: "Sau khi đi được nửa quãng đường với vận tốc 30 km/h". Điều này có nghĩa là nửa quãng đường đầu đi với vận tốc 30 km/h. Vận tốc dự định có thể khác. Nhưng nếu đề bài ngụ ý rằng thời gian ban đầu nó dự định đi là \frac{S}{30} thì cách giải này hợp lý.
  • Mẹo kiểm tra: Quãng đường 60km. Dự định đi với vận tốc 30km/h mất 2 giờ. Thực tế: Nửa quãng đường đầu (30km) đi với vận tốc 30km/h mất 30/30 = 1 giờ. Nửa quãng đường sau (30km) đi với vận tốc 36km/h mất 30/36 = 5/6 giờ. Tổng thời gian thực tế 1 + 5/6 = 11/6 giờ. Thời gian dự định là 2 giờ. 11/6 giờ = 1 giờ $50$ phút. $2$ giờ = 120 phút. 11/6 \approx 1.833 giờ. $2$ giờ. Thời gian thực tế $approx 1.833$ giờ. $2$ giờ là $120$ phút. 11/6 giờ là 11/6 \times 60 = 110 phút. Sớm hơn 120 - 110 = 10 phút. Đúng đề bài.
  • Lỗi hay gặp: Diễn giải sai mối quan hệ giữa vận tốc, thời gian thực tế và dự định, hoặc sai sót trong đại số.

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi phân tích chi tiết và giải từng bài toán, ta đã xác định được kết quả cụ thể cho mỗi bài tập từ 1 đến 20. Các phương pháp sử dụng đều dựa trên nguyên tắc lập phương trình toán học, kết hợp với các công thức liên quan đến số học, hình học và chuyển động. Việc nắm vững các dạng bài này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự trong chương trình và các kỳ thi quan trọng.

Conclusion

Việc thành thạo kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình toán 8 là chìa khóa để chinh phục các dạng toán nâng cao hơn và đạt kết quả cao trong học tập. Các bài tập được trình bày chi tiết ở trên cung cấp một lộ trình học tập rõ ràng, giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc về tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Hãy luyện tập thường xuyên để làm chủ chuyên đề quan trọng này.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.