Giải Bài Tập Toán Lớp 7 Bài 8: Tính Chất Ba Đường Trung Trực Của Tam Giác

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Chào mừng các em học sinh lớp 7 đến với chuyên mục giải bài tập Toán lớp 7 bài 8 về tính chất ba đường trung trực của tam giác. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá những kiến thức quan trọng, phương pháp giải bài tập hiệu quả và các ví dụ minh họa chi tiết, giúp các em nắm vững chủ đề này.

Đề Bài

Dưới đây là các bài tập trong Sách Giáo Khoa Toán lớp 7, Tập 2, Bài 8 về tính chất ba đường trung trực của tam giác, cùng với lời giải chi tiết:

Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 8 trang 78: Em hãy vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lý về tính chất ba đường trung trực của tam giác.
Định lý về ba đường trung trực của tam giác Giả thiết: Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung trực ứng với cạnh BC.
Kết luận: AM là trung tuyến ứng với cạnh BC.
Bài 52 trang 79 SGK Toán lớp 7 Tập 2: Chứng minh định lí: “Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân.”
- Lời giải:
  Xét tam giác ABC với AH là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cạnh BC. Theo giả thiết, ta có AH ⊥ BC và HB = HC.
  Xét hai tam giác vuông HAB và HAC. Ta có:
  - HB = HC (theo giả thiết)
  - AH là cạnh chung
    Do đó, ∆HAB = ∆HAC (theo trường hợp hai cạnh góc vuông).
    Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).
    Vậy tam giác ABC cân tại A.
Bài 53 trang 80 SGK Toán lớp 7 Tập 2: Ba gia đình quyết định đào chung một cái giếng. Phải chọn vị trí của giếng ở đâu để các khoảng cách từ giếng đến các nhà bằng nhau?
Vị trí giếng chung cho ba gia đình Hình 50
Sơ đồ vị trí giếng và ba ngôi nhà Lời giải:
Gọi vị trí ba ngôi nhà lần lượt là A, B, C. Gọi vị trí giếng cần đào là O.
Yêu cầu bài toán là tìm điểm O sao cho khoảng cách từ O đến A, B, C là bằng nhau, tức là OA = OB = OC.
Theo tính chất của đường trung trực, điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Vì OA = OB, điểm O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vì OB = OC, điểm O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Do đó, điểm O chính là giao điểm của hai đường trung trực của cạnh AB và cạnh BC (hoặc bất kỳ hai cạnh nào của tam giác ABC).
Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Để xác định vị trí của giếng, ta chỉ cần vẽ hai đường trung trực của hai cạnh bất kỳ (ví dụ AB và BC), giao điểm của chúng chính là vị trí cần tìm.

Phân Tích Yêu Cầu

Bài 8 về tính chất ba đường trung trực của tam giác tập trung vào việc hiểu và vận dụng định lý: “Giao điểm của ba đường trung trực của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó”.

Định lý thuận: Ba đường trung trực của một tam giác thì đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này cách đều ba đỉnh của tam giác. Điểm này gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Định lý đảo: Nếu một điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác thì điểm đó nằm trên ba đường trung trực của tam giác.

Các bài tập yêu cầu học sinh chứng minh định lý, áp dụng định lý vào các bài toán thực tế (tìm vị trí đào giếng) và các bài toán chứng minh tam giác cân.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập trong bài 8, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng: Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
Tính chất của điểm nằm trên đường trung trực: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Tính chất của điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng: Mọi điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Định nghĩa tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác: Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Các Định lý quan trọng:

Định lý 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
- Giả sử d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Nếu M thuộc d thì MA = MB.
Định lý 2: Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
- Giả sử O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Khi đó OA = OB = OC. Ngược lại, nếu điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C thì MA = MB = MC, suy ra M nằm trên đường trung trực của AB, BC, CA.
Định lý 3: Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
- Trong tam giác ABC, gọi d1, d2, d3 lần lượt là đường trung trực của các cạnh AB, BC, CA.
- d1 cắt d2 tại O. Theo Định lý 1, O cách đều A và B (OA = OB), O cách đều B và C (OB = OC).
- Từ OA = OB và OB = OC, suy ra OA = OC.
- Vì OA = OC, theo Định lý 2 đảo, O phải nằm trên đường trung trực của AC (d3).
- Vậy ba đường trung trực d1, d2, d3 đồng quy tại điểm O. Điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C nên nó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ đi sâu vào cách giải từng dạng bài tập liên quan đến tính chất ba đường trung trực.

1. Chứng minh định lý về đường trung trực và tam giác cân (Ví dụ: Trả lời câu hỏi trang 78, Bài 52 trang 79)

Đây là dạng bài chứng minh dựa trên định lý đảo và tính chất của đường trung trực.

Bước 1: Xác định giả thiết và kết luận.
- Đọc kỹ đề bài để xác định các thông tin đã cho (giả thiết) và điều cần chứng minh (kết luận).
- Đối với định lý “Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân”, giả thiết là có một đường AM vừa là trung tuyến (M là trung điểm BC) vừa là đường trung trực (AM ⊥ BC). Kết luận là tam giác ABC cân.
Bước 2: Vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận.
- Vẽ hình minh họa cho tam giác và các đường liên quan.
- Ghi giả thiết (GT) và kết luận (KL) dựa trên đề bài.
Bước 3: Sử dụng tính chất đường trung trực để suy luận.
- Nếu AM là đường trung trực của BC, thì mọi điểm trên AM cách đều B và C. Đặc biệt, A nằm trên AM nên AB = AC.
- Nếu AM là trung tuyến, thì M là trung điểm của BC. Nếu AM cũng là đường trung trực, thì AM ⊥ BC.
- Trong trường hợp bài 52, ta có AH là trung tuyến (HB=HC) và trung trực (AH ⊥ BC). Ta xét hai tam giác vuông HAB và HAC. Hai tam giác này có HB = HC (theo giả thiết) và AH là cạnh chung. Do đó, ∆HAB = ∆HAC (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông). Từ đó suy ra AB = AC, chứng tỏ tam giác ABC cân tại A.
Bước 4: Viết lời chứng minh.
- Trình bày các bước suy luận một cách logic, rõ ràng, sử dụng các ký hiệu toán học chuẩn xác.
- Kết hợp các định lý đã học: tính chất điểm thuộc đường trung trực, dấu hiệu nhận biết tam giác cân, trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

2. Xác định vị trí thỏa mãn điều kiện cách đều (Ví dụ: Bài 53 trang 80)

Đây là dạng bài toán thực tế, yêu cầu tìm một điểm thỏa mãn điều kiện cách đều nhiều điểm cho trước.

Bước 1: Biểu diễn bài toán bằng hình học.
- Gọi các vị trí của các ngôi nhà là các đỉnh của một tam giác (ví dụ: A, B, C).
- Gọi vị trí của cái giếng là một điểm (ví dụ: O).
- Yêu cầu “các khoảng cách từ giếng đến các nhà bằng nhau” có nghĩa là OA = OB = OC.
Bước 2: Áp dụng tính chất đường trung trực.
- Vì OA = OB, điểm O phải nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
- Vì OB = OC, điểm O phải nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.
- Vì OA = OC, điểm O phải nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Bước 3: Tìm giao điểm của các đường trung trực.
- Để xác định vị trí của O, ta chỉ cần vẽ hai trong ba đường trung trực (ví dụ: đường trung trực của AB và đường trung trực của BC).
- Giao điểm của hai đường trung trực này chính là điểm O cần tìm. Theo định lý, ba đường trung trực của tam giác ABC đồng quy tại một điểm, nên giao điểm của hai đường trung trực sẽ nằm trên đường trung trực thứ ba.
- Điểm giao điểm này chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bước 4: Trình bày lời giải.
- Nêu rõ gọi các điểm là gì, điều kiện cách đều tương đương với việc nằm trên đường trung trực nào.
- Kết luận vị trí cần tìm là giao điểm của các đường trung trực.

3. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy (Ứng dụng của Định lý 3)

Bước 1: Xác định các đường thẳng cần chứng minh đồng quy.
- Thông thường, các đường thẳng này là các đường trung trực của các cạnh trong một tam giác.
Bước 2: Lấy giao điểm của hai đường bất kỳ.
- Chọn hai đường trung trực (ví dụ: đường trung trực của AB và BC) và gọi giao điểm của chúng là O.
Bước 3: Chứng minh giao điểm đó thuộc đường thẳng còn lại.
- Sử dụng Định lý 1: Vì O thuộc đường trung trực của AB, nên OA = OB.
- Vì O thuộc đường trung trực của BC, nên OB = OC.
- Suy ra OA = OC. Theo Định lý 2 đảo, điểm O cách đều hai mút của đoạn AC, nên O phải nằm trên đường trung trực của AC.
Bước 4: Kết luận.
- Vậy ba đường trung trực của tam giác đã cho đồng quy tại điểm O.

Mẹo Kiểm Tra

Luôn kiểm tra xem các điểm có thực sự cách đều hay không sau khi tìm được giao điểm.
Trong bài toán tìm vị trí đào giếng, hãy đảm bảo giao điểm nằm “hợp lý” về mặt hình học trên bản vẽ.
Khi chứng minh tam giác cân, hãy chắc chắn bạn đã chỉ ra được hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau một cách logic.

Lỗi Hay Gặp

Nhầm lẫn định nghĩa đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác với đường trung trực. Đường trung trực vuông góc với cạnh tại trung điểm của cạnh đó, không nhất thiết đi qua đỉnh đối diện.
Sai sót trong việc áp dụng định lý. Quên mất điều kiện “cách đều ba đỉnh” hoặc “nằm trên đường trung trực”.
Lỗi trình bày chứng minh: Thiếu giả thiết, kết luận hoặc các bước suy luận logic.
Không sử dụng đúng ký hiệu toán học cho công thức KaTeX: Ví dụ: viết frac thay vì frac, times thay vì times.

Đáp Án/Kết Quả

Bài tập trang 78: Định lý về ba đường trung trực của tam giác phát biểu rằng ba đường trung trực này đồng quy tại một điểm, cách đều ba đỉnh của tam giác. Điểm này là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Bài 52: Chứng minh rằng nếu một tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực của cùng một cạnh, thì tam giác đó cân tại đỉnh đối diện với cạnh đó.
Bài 53: Vị trí của giếng phải là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác tạo bởi ba ngôi nhà. Điểm này cách đều ba ngôi nhà.

Kết Luận

Việc nắm vững tính chất ba đường trung trực của tam giác là vô cùng quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Các bài tập không chỉ giúp củng cố định lý mà còn rèn luyện kỹ năng phân tích, chứng minh và áp dụng kiến thức vào các tình huống thực tế. Hãy thường xuyên luyện tập để làm chủ kiến thức này và tự tin chinh phục các bài toán khó hơn.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.