Giải Bài Tập Toán Lớp 7 Tập 2 Bài 2: Quan Hệ Giữa Đường Vuông Góc và Đường Xiên, Đường Xiên và Hình Chiếu (Luyện Tập Trang 59-60)

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho giải toán lớp 7 tập 2 bài 2, tập trung vào phần Luyện tập trang 59-60, giúp học sinh nắm vững kiến thức về mối quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu. Chúng tôi sẽ đi sâu vào từng dạng bài tập, phân tích yêu cầu, trình bày kiến thức nền tảng và hướng dẫn giải chi tiết từng bước, kèm theo mẹo kiểm tra và lỗi thường gặp để học sinh tự tin chinh phục dạng bài này.

Đề Bài

Sau đây là các bài tập được trích xuất từ Sách Giáo Khoa Toán lớp 7 Tập 2, trang 59-60.

Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 2 trang 57 – Video giải tại 6:08 : Cho điểm A không thuộc đường thẳng d (h.8).

Hãy dùng êke để vẽ và tìm hình chiếu của điểm A trên d. Vẽ một đường xiên từ A đến d, tìm hình chiếu của đường xiên này trên d.

Để học tốt Toán 7 | Giải toán lớp 7

Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 2 trang 57 – Video giải tại 11:44 : Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được bao nhiêu đường vuông góc và bao nhiêu đường xiên đến đường thẳng d ?

Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 2 trang 58 – Video giải tại 14:24 : Hãy dùng định lí Py-ta-go để so sánh đường vuông góc AH với đường xiên AB kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Để học tốt Toán 7 | Giải toán lớp 7

Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 2 trang 58 – Video giải tại 16:13 : Cho hình 10. Hãy sử dụng định lí Py-ta-go để suy ra rằng:

a) Nếu HB > HC thì AB > AC;

b) Nếu AB > AC thì HB > HC;

c) Nếu HB = HC thì AB = AC, và ngược lại, nếu AB = AC thì HB = HC.

Để học tốt Toán 7 | Giải toán lớp 7

Bài 8 trang 59 sgk Toán lớp 7 Tập 2 – Video giải tại 26:16) : Cho hình 11, biết rằng AB < AC. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Tại sao?

a) HB = HC;

b) HB > HC;

c) HB < HC.

Bài 9 trang 59 sgk Toán lớp 7 Tập 2 – Video giải tại 29:39) : Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C, …(hình 12).

Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi được xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?

Giải bài 9 trang 59 sgk Toán lớp 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trong phần Luyện tập trang 59-60, thuộc giải toán lớp 7 tập 2 bài 2, chủ yếu xoay quanh việc hiểu và vận dụng hai định lý cơ bản về quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu:

Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì đường xiên đó lớn hơn.
- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
- Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu của chúng bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên tương ứng bằng nhau.

Yêu cầu chung của các bài tập là:

Vẽ hình xác định các yếu tố: đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu.
So sánh độ dài các đoạn thẳng dựa vào mối quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu.
Vận dụng định lý Py-ta-go để chứng minh các mối quan hệ về độ dài.
Áp dụng vào các bài toán thực tế để đưa ra kết luận.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu:
- Cho điểm A và đường thẳng d. Nếu kẻ AH vuông góc với d (với H thuộc d), thì AH là đường vuông góc, H là hình chiếu của A trên d.
- Nếu kẻ AB là một đường thẳng đi qua A và cắt d tại B (B khác H), thì AB là đường xiên, HB là hình chiếu của đường xiên AB trên d.
Định lý về quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu:
- Định lý 1: AH là đường ngắn nhất trong tất cả các đường xiên kẻ từ A đến d. Điều này có nghĩa là với mọi điểm B khác H trên d, ta luôn có AH < AB.
- Định lý 2: Mối quan hệ giữa độ dài đường xiên và hình chiếu.
  - Nếu HB > HC thì AB > AC.
  - Nếu AB > AC thì HB > HC.
  - Nếu HB = HC thì AB = AC, và ngược lại.
Định lý Py-ta-go: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Ví dụ, trong tam giác vuông AHB vuông tại H, ta có:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng câu hỏi và bài tập.

Câu hỏi trang 57 (Hình 8)

Đề bài: Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Hãy dùng êke để vẽ và tìm hình chiếu của điểm A trên d. Vẽ một đường xiên từ A đến d, tìm hình chiếu của đường xiên này trên d.

Phân tích: Bài toán yêu cầu thực hành vẽ hình theo đúng định nghĩa về đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu.

Hướng dẫn:

Xác định đường vuông góc và hình chiếu: Dùng êke, đặt một cạnh góc vuông của êke trùng với đường thẳng d. Đặt đỉnh góc vuông của êke tại điểm A sao cho cạnh còn lại của góc vuông cắt đường thẳng d tại một điểm. Gọi điểm cắt này là H. Nối AH. AH là đường vuông góc kẻ từ A đến d, H là hình chiếu của A trên d.
Xác định đường xiên và hình chiếu của đường xiên: Trên đường thẳng d, chọn một điểm B bất kỳ khác điểm H. Nối A với B. Đoạn thẳng AB là một đường xiên từ A đến d. Đoạn thẳng HB chính là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d. Ta có thể vẽ thêm nhiều điểm khác trên d (ví dụ: C, D, E…) và nối A với các điểm đó để có thêm các đường xiên AC, AD, AE… với các hình chiếu tương ứng là HC, HD, HE…

Để học tốt Toán 7 | Giải toán lớp 7

Mẹo kiểm tra: Khi vẽ, đảm bảo cạnh của êke vuông góc với đường thẳng d tại điểm H. Điểm A, H và điểm trên d mà cạnh êke đi qua phải tạo thành một góc vuông.

Lỗi hay gặp: Vẽ đường xiên không xuất phát từ điểm A hoặc không cắt đường thẳng d. Vẽ hình chiếu không vuông góc với đường thẳng d.

Câu hỏi trang 57 (Từ một điểm A đến đường thẳng d)

Đề bài: Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được bao nhiêu đường vuông góc và bao nhiêu đường xiên đến đường thẳng d?

Phân tích: Đây là câu hỏi lý thuyết để củng cố tính duy nhất của đường vuông góc và khả năng có vô số đường xiên.

Hướng dẫn:

Đường vuông góc: Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, chỉ có thể kẻ được duy nhất một đường thẳng đi qua A và vuông góc với d.
Đường xiên: Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, có thể kẻ được vô số đường xiên đến d. Bởi vì trên đường thẳng d có vô số điểm, mỗi điểm ta nối với A sẽ tạo thành một đường xiên.

Câu hỏi trang 58 (So sánh đường vuông góc AH với đường xiên AB)

Đề bài: Hãy dùng định lí Py-ta-go để so sánh đường vuông góc AH với đường xiên AB kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Phân tích: Bài toán yêu cầu vận dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông được tạo thành bởi đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu của nó.

Kiến thức cần dùng: Định lý Py-ta-go trong tam giác vuông.

Hướng dẫn:
Xét tam giác AHB vuông tại H, trong đó AH là đường vuông góc, AB là đường xiên, và HB là hình chiếu của AB trên d.
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHB:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$
Vì $HB^2$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 (do $HB$ là độ dài), và $HB^2$ chỉ bằng 0 khi B trùng H (trường hợp AB chính là đường vuông góc AH), còn nếu B khác H thì $HB^2 > 0$ .
Do đó, ta luôn có:
$AB^2 = AH^2 + HB^2 \ge AH^2$
$AB^2 \ge AH^2$
Vì AB và AH đều là độ dài dương, ta suy ra $AB \ge AH$ .
Dấu bằng xảy ra khi $HB = 0$ , tức là B trùng với H, khi đó AB chính là đường vuông góc AH.
Nếu AB là đường xiên (tức là B khác H), thì $HB > 0$ , suy ra $AB^2 > AH^2$ , hay $AB > AH$ .
Kết luận: Đường vuông góc AH luôn ngắn hơn bất kỳ đường xiên AB nào kẻ từ A đến d (AH < AB).

Để học tốt Toán 7 | Giải toán lớp 7

Mẹo kiểm tra: Luôn nhớ rằng đường vuông góc là đoạn thẳng ngắn nhất từ một điểm đến một đường thẳng.

Lỗi hay gặp: Áp dụng sai định lý Py-ta-go, nhầm lẫn cạnh huyền và cạnh góc vuông.

Câu hỏi trang 58 (Hình 10)

Đề bài: Cho hình 10. Hãy sử dụng định lí Py-ta-go để suy ra rằng:
a) Nếu HB > HC thì AB > AC;
b) Nếu AB > AC thì HB > HC;
c) Nếu HB = HC thì AB = AC, và ngược lại, nếu AB = AC thì HB = HC.

Phân tích: Bài toán này yêu cầu chứng minh Định lý 2 về mối quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu bằng cách sử dụng Định lý Py-ta-go. Tam giác AHB và AHC đều là các tam giác vuông có chung cạnh góc vuông AH.

Kiến thức cần dùng: Định lý Py-ta-go, tính chất của bất đẳng thức.

Hướng dẫn:
Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$ (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
$AC^2 = AH^2 + HC^2$ (2)

a) Chứng minh: Nếu HB > HC thì AB > AC.
Giả sử $HB > HC$ . Vì độ dài là số dương, ta có $HB^2 > HC^2$ .
Cộng $AH^2$ vào cả hai vế của bất đẳng thức:
$AH^2 + HB^2 > AH^2 + HC^2$
Thay thế từ phương trình (1) và (2):
$AB^2 > AC^2$
Do AB và AC là các độ dài dương, ta suy ra:
$AB > AC$ .
Điều này chứng tỏ nếu hình chiếu lớn hơn thì đường xiên tương ứng lớn hơn.

b) Chứng minh: Nếu AB > AC thì HB > HC.
Giả sử $AB > AC$ . Bình phương hai vế (do AB, AC > 0):
$AB^2 > AC^2$
Thay thế từ phương trình (1) và (2):
$AH^2 + HB^2 > AH^2 + HC^2$
Trừ $AH^2$ khỏi cả hai vế:
$HB^2 > HC^2$
Do HB và HC là các độ dài dương, ta suy ra:
$HB > HC$ .
Điều này chứng tỏ nếu đường xiên lớn hơn thì hình chiếu tương ứng lớn hơn.

c) Chứng minh: Nếu HB = HC thì AB = AC, và ngược lại, nếu AB = AC thì HB = HC.

Trường hợp 1: Nếu $HB = HC$ .
Ta có $HB^2 = HC^2$ .
Cộng $AH^2$ vào hai vế:
$AH^2 + HB^2 = AH^2 + HC^2$
Theo phương trình (1) và (2), ta có:
$AB^2 = AC^2$
Do AB và AC là các độ dài dương, ta suy ra $AB = AC$ .
Trường hợp 2: Nếu $AB = AC$ .
Ta có $AB^2 = AC^2$ .
Thay thế từ phương trình (1) và (2):
$AH^2 + HB^2 = AH^2 + HC^2$
Trừ $AH^2$ khỏi cả hai vế:
$HB^2 = HC^2$
Do HB và HC là các độ dài dương, ta suy ra $HB = HC$ .
Cả hai trường hợp đều được chứng minh, khẳng định mối quan hệ tương đương giữa độ dài đường xiên và độ dài hình chiếu.

Để học tốt Toán 7 | Giải toán lớp 7

Mẹo kiểm tra: Luôn vẽ hình chính xác, xác định đúng các tam giác vuông và áp dụng đúng định lý Py-ta-go. Kiểm tra lại các phép biến đổi bất đẳng thức và đẳng thức.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa các đoạn thẳng (đường xiên, hình chiếu, đường vuông góc). Sai sót trong quá trình biến đổi đại số, đặc biệt là khi làm việc với bất đẳng thức.

Bài 8 trang 59 (Hình 11)

Đề bài: Cho hình 11, biết rằng AB < AC. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Tại sao?
a) HB = HC;
b) HB > HC;
c) HB < HC.

Phân tích: Bài toán cho biết mối quan hệ độ dài giữa hai đường xiên AB và AC (AB < AC) và yêu cầu xác định mối quan hệ tương ứng giữa hai hình chiếu HB và HC. Đây là một bài tập vận dụng trực tiếp Định lý 2.

Kiến thức cần dùng: Định lý 2 về mối quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu.

Hướng dẫn:
Quan sát hình vẽ, ta thấy:

AB và AC là hai đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC.
HB là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng BC.
HC là hình chiếu của đường xiên AC trên đường thẳng BC.

Theo Định lý 2, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. Đề bài cho biết AB < AC. Do đó, đường xiên AB có hình chiếu HB sẽ nhỏ hơn hình chiếu HC của đường xiên AC.
Suy ra: HB .

Vậy, kết luận c) HB < HC là đúng.

Mẹo kiểm tra: Hãy nhớ định lý: "Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn". Áp dụng đúng thứ tự so sánh vào bài toán.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa đường xiên và hình chiếu, hoặc áp dụng sai mối quan hệ (ví dụ: cho rằng đường xiên lớn hơn thì hình chiếu nhỏ hơn).

Bài 9 trang 59 (Hình 12)

Đề bài: Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C, ...(hình 12). Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi được xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?

Phân tích: Bài toán mô tả một tình huống thực tế về việc tập luyện. Chúng ta cần phân tích hình vẽ và mối quan hệ hình học để xác định xem Nam có đang tăng dần khoảng cách bơi hay không. Các điểm A, B, C,... nằm trên một đường thẳng, và M là điểm xuất phát. Cần xác định xem khoảng cách MB, MC,... có lớn hơn MA hay không.

Kiến thức cần dùng: Định lý 1 (đường vuông góc là đường ngắn nhất) và Định lý 2 (mối quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

Hướng dẫn:

Xác định các yếu tố hình học:
- Gọi đường thẳng chứa các điểm A, B, C, D,... là đường thẳng d.
- Điểm xuất phát của Nam là M.
- MA là đoạn thẳng kẻ từ M và vuông góc với đường thẳng d (dựa vào hình vẽ, MA vuông góc với d). Do đó, MA là đường vuông góc.
- MB, MC, MD,... là các đoạn thẳng kẻ từ M đến các điểm B, C, D,... trên đường thẳng d. Vì B, C, D,... khác A, nên MB, MC, MD,... là các đường xiên từ M đến d.
- AB là hình chiếu của đường xiên MB trên d.
- AC là hình chiếu của đường xiên MC trên d.
- AD là hình chiếu của đường xiên MD trên d, và cứ tiếp tục như vậy.
Áp dụng các định lý:
- Theo Định lý 1, đường vuông góc là đường ngắn nhất. Do đó, MA là đoạn thẳng ngắn nhất trong tất cả các đoạn thẳng kẻ từ M đến đường thẳng d. Điều này có nghĩa là MA , MA , MA , ...
- Quan sát hình vẽ và các khoảng cách trên đường thẳng d, ta thấy các điểm A, B, C, D,... được sắp xếp theo thứ tự xa dần M. Điều này có nghĩa là độ dài hình chiếu tăng dần: AB .
- Theo Định lý 2, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì đường xiên đó lớn hơn. Vì AB , ta suy ra: MB
Kết luận:
Nam xuất phát từ M. Ngày thứ nhất bơi đến A (khoảng cách MA). Ngày thứ hai bơi đến B (khoảng cách MB). Ngày thứ ba bơi đến C (khoảng cách MC).
Vì MA , nên khoảng cách Nam bơi được mỗi ngày hôm sau đều xa hơn ngày hôm trước. Do đó, bạn Nam tập bơi như vậy là đúng mục đích đề ra.

Giải bài 9 trang 59 sgk Toán lớp 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

Mẹo kiểm tra: Xác định chính xác đâu là đường vuông góc, đâu là đường xiên và đâu là hình chiếu trong tình huống thực tế. So sánh độ dài hình chiếu để suy ra độ dài đường xiên.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn vai trò của các đoạn thẳng (ví dụ: coi MA là đường xiên thay vì đường vuông góc), hoặc không nhận ra rằng thứ tự các điểm trên đường thẳng d tương ứng với thứ tự độ dài hình chiếu.

Đáp Án/Kết Quả

Câu hỏi trang 57 (Hình 8): Hình chiếu của A trên d là điểm H, AH là đường vuông góc. AB là đường xiên, HB là hình chiếu của AB.
Câu hỏi trang 57 (Từ A đến d): Chỉ kẻ được duy nhất một đường vuông góc. Có thể kẻ vô số đường xiên.
Câu hỏi trang 58 (So sánh AH và AB): AH < AB. Đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Câu hỏi trang 58 (Hình 10): Chứng minh được mối quan hệ tương đương giữa độ dài đường xiên và độ dài hình chiếu thông qua Định lý Py-ta-go.
Bài 8 trang 59 (Hình 11): Kết luận c) HB < HC là đúng vì AB < AC.
Bài 9 trang 59 (Hình 12): Bạn Nam tập bơi đúng mục đích. Khoảng cách bơi ngày sau luôn xa hơn ngày trước do độ dài hình chiếu tăng dần, dẫn đến độ dài đường xiên tăng dần.

Kết Luận

Phần Luyện tập trang 59-60 của giải toán lớp 7 tập 2 bài 2 đã giúp chúng ta củng cố sâu sắc các kiến thức về mối quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu. Hiểu rõ hai định lý cơ bản, cùng với việc vận dụng linh hoạt định lý Py-ta-go, sẽ cho phép học sinh tự tin giải quyết các bài toán liên quan, từ việc vẽ hình, so sánh độ dài đến việc ứng dụng vào các tình huống thực tế. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng quan trọng cho các chủ đề hình học tiếp theo.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.