Giải SBT Toán 7 trang 48 Tập 2 Kết nối tri thức: Quan Hệ Giữa Góc Và Cạnh Đối Diện Trong Tam Giác

by Thầy Đông · January 8, 2026

Rate this post

Trong hành trình chinh phục môn Toán lớp 7, việc nắm vững kiến thức cơ bản và áp dụng linh hoạt vào giải các bài tập là vô cùng quan trọng. Đặc biệt, chủ đề quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác là một nền tảng thiết yếu, giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về cấu trúc và tính chất của hình học. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong Sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2, trang 48, thuộc bộ sách Kết nối tri thức, với trọng tâm là giải SBT Toán 7 trang 48 Tập 2 Kết nối tri thức. Chúng tôi sẽ đi sâu vào phân tích từng bài toán, làm rõ các khái niệm, quy tắc và phương pháp giải, đảm bảo tính chính xác học thuật và dễ hiểu nhất cho học sinh.

Đề Bài

Bài 9.1 trang 48 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có cạnh BC dài nhất. Chứng minh số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60°.

Bài 9.2 trang 48 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai điểm D, E nằm trên đường thẳng BC, D nằm giữa B và C, C nằm giữa D và E. Chứng minh AD < AC < AE.

Bài 9.3 trang 48 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Hãy giải thích tại sao trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất và trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Bài 9.4 trang 48 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC với AB > AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
a) Hãy so sánh hai góc MAB và MAC.
(HD. Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của AP rồi chứng minh hai tam giác AMC và PMB bằng nhau).
b) Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Hỏi D thuộc đoạn thẳng MB hay đoạn thẳng MC? Vì sao?

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trang 48 Sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2 chủ yếu xoay quanh việc củng cố và vận dụng định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác. Yêu cầu chung là chứng minh sự so sánh về độ dài các cạnh hoặc độ lớn của các góc dựa trên các tính chất đã học. Cụ thể:

Bài 9.1: Yêu cầu chứng minh góc đối diện với cạnh lớn nhất (cạnh BC) có số đo lớn nhất và liên hệ nó với một giá trị cụ thể (60°).
Bài 9.2: Chứng minh sự so sánh độ dài các đoạn thẳng liên quan đến một tam giác cân và các điểm nằm trên một đường thẳng.
Bài 9.3: Giải thích hai trường hợp cụ thể là tam giác vuông và tam giác tù về tính chất độ dài cạnh đối diện với góc lớn nhất (góc vuông hoặc góc tù).
Bài 9.4: Bài toán phức tạp hơn, bao gồm hai phần: so sánh góc và xác định vị trí điểm dựa trên tia phân giác, đòi hỏi việc sử dụng các định lý một cách kết hợp và có thể cả phương pháp chứng minh phản chứng hoặc chứng minh bằng cách tạo ra tam giác bằng nhau.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần nhớ và vận dụng thành thạo các định lý và tính chất sau:

Định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác:
- Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
- Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
- Hệ quả: Trong một tam giác, cạnh dài nhất là cạnh đối diện với góc lớn nhất, và góc lớn nhất là góc đối diện với cạnh dài nhất. Ngược lại, cạnh ngắn nhất là cạnh đối diện với góc nhỏ nhất, và góc nhỏ nhất là góc đối diện với cạnh ngắn nhất.
Tổng ba góc trong một tam giác: Tổng số đo ba góc trong một tam giác luôn bằng 180°.
$A^\circ + B^\circ + C^\circ = 180^\circ$
Tính chất tam giác cân:
- Hai cạnh bên bằng nhau.
- Hai góc đáy bằng nhau.
Góc kề bù: Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180°.
Dấu hiệu nhận biết hai tam giác bằng nhau: c.g.c (cạnh-góc-cạnh), g.c.g (góc-cạnh-góc), c.c.c (cạnh-cạnh-cạnh).
Định lý về đường phân giác trong tam giác: Đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn thẳng ấy. Nếu AD là tia phân giác của góc BAC, cắt BC tại D, thì dfrac{BD}{CD} = dfrac{AB}{AC}.
So sánh góc và cạnh trong tam giác: Nếu một góc là góc tù (lớn hơn 90°) hoặc góc vuông (bằng 90°), thì góc đó là góc lớn nhất trong tam giác. Do đó, cạnh đối diện với góc tù hoặc góc vuông sẽ là cạnh lớn nhất.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 9.1 trang 48 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có cạnh BC dài nhất. Chứng minh số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60°.

Phân tích: Đề bài cho biết BC là cạnh dài nhất, suy ra góc đối diện với BC là góc A phải là góc lớn nhất trong tam giác. Ta cần chứng minh A^circ ge 60^circ.
Kiến thức áp dụng: Định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện, tổng ba góc trong tam giác.
Các bước giải:
1. Vì BC là cạnh dài nhất trong tam giác ABC, theo định lý về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện, ta có góc A là góc lớn nhất. Nghĩa là A^circ ge B^circ và A^circ ge C^circ.
2. Xét tổng ba góc trong tam giác ABC: A^circ + B^circ + C^circ = 180^circ.
3. Từ A^circ ge B^circ và A^circ ge C^circ, ta có thể thay thế B^circ và C^circ bằng A^circ để tạo ra một bất đẳng thức.
4. Ta có: A^circ + A^circ + A^circ ge A^circ + B^circ + C^circ
5. Suy ra: 3A^circ ge 180^circ.
6. Chia cả hai vế cho 3: A^circ ge dfrac{180^circ}{3}.
7. Vậy: A^circ ge 60^circ.
Mẹo kiểm tra: Nếu tam giác đều, thì ba góc bằng nhau và bằng 60°. Nếu tam giác không đều nhưng BC là dài nhất, góc A lớn hơn 60°. Ví dụ, nếu B^circ = 30^circ, C^circ = 40^circ thì A^circ = 110^circ. Nếu B^circ = 50^circ, C^circ = 60^circ thì A^circ = 70^circ. Kết quả luôn thoả mãn.
Lỗi hay gặp: Quên mất BC là cạnh dài nhất nên góc A là góc lớn nhất, hoặc nhầm lẫn giữa góc đối diện và cạnh đối diện.

Phân tích: Bài toán yêu cầu chứng minh hai bất đẳng thức về độ dài: AD < AC và AC < AE. Ta cần áp dụng định lý quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Vị trí của các điểm D, C, E trên đường thẳng BC là mấu chốt.
Kiến thức áp dụng: Định lý quan hệ giữa góc và cạnh đối diện, tính chất tam giác cân, góc kề bù.
Các bước giải:
1. Chứng minh AC < AE:
  - Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và angle ABC = angle ACB.
  - Ta có angle ACB là một góc của tam giác ABC. Vì AB = AC, góc A không thể là góc tù hoặc góc vuông (trừ trường hợp tam giác suy biến), nên angle ACB là góc nhọn (nhỏ hơn 90°).
  - Vì E nằm trên đường thẳng BC và C nằm giữa D và E, điểm C nằm giữa B và E. Góc angle ACB và angle ACE là hai góc kề bù. Do đó, angle ACE = 180^circ - angle ACB. Vì angle ACB nhọn, angle ACE sẽ là góc tù (lớn hơn 90°).
  - Xét tam giác ACE, góc angle ACE là góc tù, nên nó là góc lớn nhất trong tam giác ACE.
  - Cạnh đối diện với góc tù angle ACE là cạnh AE. Theo định lý, cạnh AE là cạnh lớn nhất trong tam giác ACE.
  - Do đó, AE > AC (vì AC là một cạnh của tam giác ACE).
2. Chứng minh AD < AC:
  - Ta có D nằm giữa B và C.
  - Xét tam giác ABD, ta có angle ADB là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ADC (nếu xét D là đỉnh). Tuy nhiên, dễ hơn là so sánh góc.
  - Ta có angle BAC = 180^circ - 2angle ABC (vì tam giác ABC cân tại A).
  - Trong tam giác ABD, tổng ba góc là angle BAD + angle ABD + angle ADB = 180^circ.
  - Ta thấy angle ABD = angle ABC.
  - So sánh angle BAD với angle BAC. Vì D nằm giữa B và C, tia AD nằm giữa hai tia AB và AC (trừ trường hợp D trùng B hoặc C, nhưng D nằm giữa B và C nên không xảy ra). Điều này dẫn đến angle BAD < angle BAC.
  - Thay angle BAC bằng 180^circ - 2angle ABC, ta có angle BAD < 180^circ - 2angle ABC.
  - Trong tam giác ABD, angle ADB = 180^circ - angle ABD - angle BAD = 180^circ - angle ABC - angle BAD.
  - So sánh góc angle ABC và angle ADB.
  - Một cách khác, ta có thể xét tam giác ABC. Vì AB = AC, suy ra angle ABC = angle ACB.
  - D là điểm nằm giữa B và C. Xét triangle ABC, ta có angle ACB là một góc.
  - Xét triangle ADC. Góc angle ADB là góc ngoài của triangle ADC tại đỉnh D (nếu D nằm giữa B và C, E xa C hơn). Tuy nhiên, D nằm giữa B và C. Xét triangle ABD, góc angle ADB là góc ngoài của tam giác ADC? Không đúng.
  - Xét triangle ADC. Góc angle ADB là góc ngoài của triangle ADC tại D? Không, vì E nằm xa C hơn D.
  - D nằm giữa B và C. C nằm giữa D và E.
  - Tam giác ABC cân tại A, AB = AC, angle ABC = angle ACB.
  - Trong triangle ABD, angle ABD = angle ABC.
  - Ta cần so sánh AD với AC. Tương đương so sánh angle ABD với angle ADB hoặc angle BAD với angle ADB.
  - Ta biết angle ABC là một góc của tam giác ABC. D nằm giữa B và C.
  - Xét triangle ADC. Góc angle ADB là góc ngoài tại D của tam giác ADC? Không, E ở xa C.
  - Xét triangle ABD. Góc angle ADB là góc ngoài tại D của tam giác ADC? Không.
  - Quan sát hình vẽ: D nằm giữa B và C. C nằm giữa D và E.
  - triangle ABC cân tại A. AB = AC. angle ABC = angle ACB.
  - Xét triangle ABD. angle ABD = angle ABC.
  - angle ADB là góc ngoài của triangle ADC? Không.
  - Trong triangle ABC, angle BAC = 180^circ - 2angle ABC.
  - Trong triangle ABD, angle BAD = 180^circ - angle ABD - angle ADB = 180^circ - angle ABC - angle ADB.
  - Vì D nằm giữa B và C, tia AD nằm trong angle BAC. Do đó, angle BAD < angle BAC.
  - Suy ra: 180^circ - angle ABC - angle ADB < 180^circ - 2angle ABC.
  - -angle ADB < -angle ABC.
  - angle ADB > angle ABC.
  - Trong tam giác ABD, angle ABD = angle ABC. Ta có angle ADB > angle ABD.
  - Theo định lý cạnh đối diện với góc lớn hơn, ta có AB > AD.
  - Vì AB = AC (tam giác ABC cân tại A), suy ra AC > AD, hay AD < AC.
3. Kết hợp hai bất đẳng thức, ta có AE > AC > AD, hay AD < AC < AE.
Mẹo kiểm tra: Vẽ hình chính xác và kiểm tra bằng thước đo góc, thước kẻ. Nếu angle ABC = 70^circ, thì angle ACB = 70^circ, angle BAC = 180^circ - 140^circ = 40^circ. angle ACE = 180^circ - 70^circ = 110^circ (tù). angle ADB sẽ lớn hơn 70°. Góc ADB lớn hơn góc ABD, nên AB > AD. AC = AB, nên AC > AD. AE là cạnh đối diện góc tù ACE nên AE > AC.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn vị trí các điểm D, C, E trên đường thẳng; xác định sai góc tù hoặc góc lớn nhất; áp dụng sai định lý quan hệ cạnh-góc.

Phân tích: Bài toán yêu cầu giải thích hai trường hợp riêng biệt: tam giác vuông và tam giác tù, dựa trên định lý cơ bản về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện.
Kiến thức áp dụng: Tổng ba góc trong tam giác, định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện.
Các bước giải:
1. Trường hợp 1: Tam giác vuông
  - Xét tam giác ABC vuông tại A. Điều này có nghĩa là angle A = 90^circ.
  - Theo định lý về tổng ba góc trong một tam giác, ta có: angle A + angle B + angle C = 180^circ.
  - Thay angle A = 90^circ vào, ta được: 90^circ + angle B + angle C = 180^circ.
  - Suy ra: angle B + angle C = 180^circ - 90^circ = 90^circ.
  - Vì angle B và angle C là các góc của một tam giác, chúng phải có số đo dương. Do đó, 0^circ < angle B < 90^circ và 0^circ < angle C < 90^circ.
  - So sánh các góc: Ta có angle A = 90^circ, trong khi angle B < 90^circ và angle C < 90^circ.
  - Vậy, góc A là góc lớn nhất trong tam giác ABC (angle A > angle B và angle A > angle C).
  - Theo định lý, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất. Cạnh đối diện với góc A là cạnh BC.
  - Do đó, BC là cạnh dài nhất trong tam giác vuông ABC. Cạnh BC chính là cạnh huyền của tam giác vuông này.
  - Kết luận: Trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất.
2. Trường hợp 2: Tam giác tù
  - Xét tam giác MNP tù tại đỉnh M. Điều này có nghĩa là 90^circ < angle M < 180^circ.
  - Theo định lý về tổng ba góc trong một tam giác, ta có: angle M + angle N + angle P = 180^circ.
  - Suy ra: angle N + angle P = 180^circ - angle M.
  - Vì 90^circ < angle M < 180^circ, ta có 0^circ < 180^circ - angle M < 90^circ.
  - Do đó, 0^circ < angle N + angle P < 90^circ.
  - Điều này dẫn đến 0^circ < angle N < 90^circ và 0^circ < angle P < 90^circ.
  - So sánh các góc: Ta có angle M là góc tù (lớn hơn 90°), trong khi angle N và angle P là các góc nhọn (nhỏ hơn 90°).
  - Vậy, góc M là góc lớn nhất trong tam giác MNP (angle M > angle N và angle M > angle P).
  - Theo định lý, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất. Cạnh đối diện với góc M là cạnh NP.
  - Do đó, NP là cạnh dài nhất trong tam giác MNP.
  - Kết luận: Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.
Mẹo kiểm tra: Vẽ các loại tam giác (vuông, tù) và so sánh trực quan các cạnh. Luật quan hệ cạnh-góc luôn đúng trong mọi trường hợp tam giác.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn định nghĩa góc tù, góc vuông, hoặc không nhớ tổng ba góc trong tam giác bằng 180°.

Phân tích: Đây là bài toán kết hợp nhiều kiến thức: chứng minh tam giác bằng nhau, quan hệ giữa góc và cạnh, tính chất đường phân giác.
Kiến thức áp dụng: Chứng minh tam giác bằng nhau (c.g.c), định lý quan hệ cạnh-góc, định lý đường phân giác.
Các bước giải:
a) So sánh hai góc MAB và MAC.
1. Tạo tam giác bằng nhau:
  - Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AP. Điều này có nghĩa là AM = MP và A, M, P thẳng hàng.
  - Xét hai tam giác triangle AMC và triangle PMB:
    - Ta có AM = PM (theo cách dựng).
    - Ta có MC = MB (vì M là trung điểm của BC).
    - Ta có angle AMC = angle PMB (hai góc đối đỉnh).
  - Do đó, triangle AMC = triangle PMB theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c).
2. Suy ra từ tam giác bằng nhau:
  - Từ triangle AMC = triangle PMB, ta suy ra các cặp cạnh và góc tương ứng bằng nhau:
    - AC = PB (cạnh tương ứng).
    - angle MAC = angle MPB (góc tương ứng).
3. So sánh cạnh trong tam giác ABP:
  - Ta được cho AB > AC.
  - Vì AC = PB, nên ta có AB > PB.
  - Xét tam giác ABP, theo định lý về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện, vì AB > PB nên góc đối diện với AB (angle APB) sẽ lớn hơn góc đối diện với PB (angle PAB).
  - Hay angle APB > angle PAB.
4. So sánh hai góc MAB và MAC:
  - Ta đã có angle MAC = angle MPB. Do A, M, P thẳng hàng nên angle MPB chính là angle APB.
  - Vậy, ta có angle MAC = angle APB.
  - Thay vào bất đẳng thức ở bước 3: angle MAC > angle PAB.
  - Góc angle PAB chính là góc angle MAB.
  - Do đó, angle MAC > angle MAB.
b) Hỏi D thuộc đoạn thẳng MB hay đoạn thẳng MC? Vì sao?
1. Sử dụng định lý đường phân giác:
  - AD là tia phân giác của angle BAC, cắt BC tại D.
  - Theo định lý đường phân giác, ta có tỉ lệ: dfrac{BD}{CD} = dfrac{AB}{AC}.
2. So sánh AB và AC:
  - Đề bài cho AB > AC.
3. Suy luận về tỉ lệ:
  - Vì AB > AC, tỉ lệ dfrac{AB}{AC} sẽ lớn hơn 1.
  - Do đó, dfrac{BD}{CD} > 1.
  - Điều này có nghĩa là BD > CD.
4. Xác định vị trí của D:
  - M là trung điểm của BC, nên MB = MC.
  - Vì BD > CD, điểm D phải nằm gần C hơn so với B.
  - Trong đoạn BC, điểm M chia BC thành hai nửa bằng nhau MB và MC. Vì BD > CD, đoạn BD sẽ dài hơn đoạn CD.
  - Nếu D nằm trên MB, thì BD le MB. Nếu D nằm trên MC, thì CD le MC.
  - Ta có BD = BC - CD. Vì BD > CD, nên BC - CD > CD, suy ra BC > 2CD, hay CD < dfrac{BC}{2} = MC.
  - Vì CD < MC, điểm D nằm trên đoạn MC.
Mẹo kiểm tra: Phần a) có thể dùng thước đo góc và thước kẻ để kiểm tra trên hình vẽ. Phần b) có thể thay số: nếu AB = 5, AC = 3, thì BD/CD = 5/3. Nếu BC = 8, thì BD + CD = 8. Ta có BD = 5/3 CD. Thay vào: 5/3 CD + CD = 8 => 8/3 CD = 8 => CD = 3. BD = 5. Vì MC = BC/2 = 4, và CD = 3 < MC = 4, D nằm trên MC.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn trường hợp c.g.c khi chứng minh tam giác bằng nhau; áp dụng sai định lý đường phân giác hoặc so sánh tỉ lệ; quên mất M là trung điểm của BC.

Đáp Án/Kết Quả

Bài 9.1: Số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60°.

Bài 9.2: Ta đã chứng minh được AD < AC < AE.

Bài 9.3:

Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông (90°), góc lớn nhất trong tam giác, nên nó là cạnh dài nhất.
Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù (lớn hơn 90°), góc lớn nhất trong tam giác, nên nó là cạnh lớn nhất.

Bài 9.4:
a) Ta có angle MAC > angle MAB.
b) Điểm D thuộc đoạn thẳng MC vì BD > CD.

Conclusion

Giải các bài tập trong Sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2, trang 48, thuộc bộ sách Kết nối tri thức, đã giúp chúng ta củng cố sâu sắc định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác. Việc hiểu rõ định lý này không chỉ giúp giải quyết các bài toán chứng minh độ dài và độ lớn góc, mà còn là nền tảng để tiếp cận các chủ đề hình học phức tạp hơn. Bằng cách phân tích kỹ đề bài, áp dụng đúng các kiến thức liên quan và thực hiện các bước giải logic, học sinh có thể tự tin chinh phục các dạng bài tập tương tự, từ đó nâng cao năng lực tư duy toán học của mình. Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.