Giải Toán 9 trang 58 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Vậy với 1 < a < 5[/katex], biểu thức A bằng 4.</p> <ul> <li><strong>Mẹo kiểm tra:</strong> Chọn một giá trị [katex]a bất kỳ trong khoảng (1, 5), ví dụ a = 3. Tính |3 - 1| + |3 - 5| = |2| + |-2| = 2 + 2 = 4. Kết quả khớp với đáp án.

b) \frac{5}{\sqrt{6}}
Nhân cả tử và mẫu với \sqrt{6}:
\frac{5}{\sqrt{6}} = \frac{5 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{5sqrt{6}}{6}.

c) \frac{a - \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} với a > 0, a \ne 1.
Mẫu số là 1 - \sqrt{a}, liên hợp là 1 + \sqrt{a}.
Nhân cả tử và mẫu với 1 + \sqrt{a}:
\frac{a - \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} = \frac{(a - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})}{(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})}
Tử số: (a - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a}) = a(1 + \sqrt{a}) - \sqrt{a}(1 + \sqrt{a}) = a + asqrt{a} - \sqrt{a} - a = asqrt{a} - \sqrt{a}.
Mẫu số: (1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a}) = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = 1 - a.
Vậy biểu thức trở thành:
\frac{asqrt{a} - \sqrt{a}}{1 - a}.

• Mẹo kiểm tra: Sau khi trục căn thức, mẫu số sẽ không còn chứa căn. Kiểm tra lại phép nhân và rút gọn.
• Lỗi hay gặp: Quên nhân liên hợp với cả tử và mẫu, hoặc sai sót trong phép nhân đại số, đặc biệt là khi xử lý \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a.

Bài 14: Tính giá trị biểu thức A = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} với a > 0, b > 0, ab = 16.

Để tính A, ta quy đồng mẫu số:
A = \frac{\sqrt{a} \times \sqrt{a}}{\sqrt{b} \times \sqrt{a}} + \frac{\sqrt{b} \times \sqrt{b}}{\sqrt{a} \times \sqrt{b}}
A = \frac{a}{\sqrt{ab}} + \frac{b}{\sqrt{ab}}
A = \frac{a + b}{\sqrt{ab}}.

Ta đã có ab = 16, nên \sqrt{ab} = \sqrt{16} = 4.
Biểu thức trở thành: A = \frac{a + b}{4}.

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tính giá trị cụ thể của A, mà ta chỉ có ab=16 chứ không có giá trị cụ thể của a và b. Xem lại đề gốc.
Kiểm tra lại nguồn gốc bài toán: Các nguồn tham khảo có vẻ sửa đổi đề bài này. Nếu đề gốc là A = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} thì chỉ có thể rút gọn đến \frac{a+b}{4}.
Nếu đề bài gốc có sự nhầm lẫn hoặc thiếu sót, và ví dụ trong nguồn vietjack có đề là A = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} thì có thể đề bài đã bị thay đổi so với bản gốc chuẩn hoặc có lỗi đánh máy. Giả sử theo lời giải của nguồn, biểu thức là A = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}, và cách giải của họ là:
A = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{a+b}{\sqrt{ab}} = \frac{a+b}{4}
Và sau đó, họ dùng hình ảnh chứng tỏ \frac{a+b}{4} là giá trị. Đây có thể là một bài toán sai đề hoặc thiếu dữ kiện.

Giả định theo nguồn gốc: Nếu đề bài yêu cầu tìm giá trị, có thể có cách giải khác hoặc đề bài gốc đã bị thay đổi. Tuy nhiên, dựa trên cách làm trong nguồn, có vẻ như họ đã biến đổi A thành \frac{a+b}{4} và có một suy luận thêm.

Phân tích lại nguồn: Hình ảnh bài 14 (https://vietjack.com/toan-9-ct/images/bai-14-trang-58-toan-lop-9-tap-1.PNG) cho thấy đề bài gốc là:
Biết a > 0, b > 0 và ab = 16. Tính giá trị của biểu thức A = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}
Lời giải của nguồn:
A = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{a+b}{\sqrt{ab}} = \frac{a+b}{4}
Sau đó, họ đưa ra một kết luận "Vậy với a > 0, b > 0 và ab = 16 thì A = \frac{a+b}{4}." Điều này ngụ ý rằng giá trị của A phụ thuộc vào a+b, chứ không phải là một hằng số. Tuy nhiên, đây là bài tập trong sách giáo khoa, thường các bài tập tính giá trị biểu thức sẽ cho kết quả là một số cụ thể. Có thể đề bài này có một cách giải khác hoặc có lỗi trong sách/nguồn.

Xem xét lại khả năng khác: Liệu có thể a và b phải là các số cụ thể thỏa mãn ab=16 và có mối liên hệ để a+b cố định? Không, điều này không xảy ra. Ví dụ: a=4, b=4 thì a+b=8, A=8/4=2. Nhưng nếu a=1, b=16 thì a+b=17, A=17/4.

Vì vậy, chúng ta sẽ giữ nguyên kết quả rút gọn là A = \frac{a+b}{4} và lưu ý rằng đây có thể là một bài toán có lỗi đề hoặc yêu cầu tính giá trị rút gọn, không phải tính một số cụ thể.

Bài 15: Tính \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} - \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}.

Ta quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là (3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3}).
(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3}) = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6.

Biểu thức trở thành:
\frac{(3 + \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} - \frac{(3 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}
= \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{6} - \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{6}

Tính bình phương của tử số:
(3 + \sqrt{3})^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 9 + 6sqrt{3} + 3 = 12 + 6sqrt{3}.
(3 - \sqrt{3})^2 = 3^2 - 2 \times 3 \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 9 - 6sqrt{3} + 3 = 12 - 6sqrt{3}.

Thay vào biểu thức:
= \frac{(12 + 6sqrt{3}) - (12 - 6sqrt{3})}{6}
= \frac{12 + 6sqrt{3} - 12 + 6sqrt{3}}{6}
= \frac{12sqrt{3}}{6}
= 2sqrt{3}.

• Mẹo kiểm tra: Sử dụng công thức x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) và (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2. Kiểm tra kỹ phép trừ hai biểu thức có chứa \pm.
• Lỗi hay gặp: Sai sót trong khai triển bình phương hoặc khi thực hiện phép trừ, đặc biệt là dấu của các số hạng.

Bài 16: Xác định các số thực biểu diễn trên trục số.

a) Đường tròn tâm O bán kính OA cắt trục số tại M và N.
Dựa vào hình vẽ (Hình 1), tam giác vuông tạo bởi O, điểm trên trục tung (tạm gọi là A') và điểm A có các cạnh góc vuông là 3 và 1. Theo định lý Pythagore:
OA^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10.
Vậy bán kính OA = \sqrt{10}.
Do đường tròn có tâm O (gốc tọa độ) và bán kính \sqrt{10}, nên nó cắt trục số tại hai điểm có tọa độ \sqrt{10} và -\sqrt{10}.
Điểm M nằm về phía âm của trục số, điểm N nằm về phía dương.
Vậy M biểu diễn số -\sqrt{10} và N biểu diễn số \sqrt{10}.

b) Đường tròn tâm B bán kính BC cắt trục số tại P và Q.
Dựa vào hình vẽ, điểm B nằm tại vị trí số 6 trên trục số.
Tam giác vuông tạo bởi B, điểm trên trục tung (tạm gọi là B') và điểm C có các cạnh góc vuông là 1 và 1. Theo định lý Pythagore:
BC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2.
Vậy bán kính BC = \sqrt{2}.
Đường tròn có tâm B (tại vị trí số 6) và bán kính \sqrt{2}. Do đó, nó cắt trục số tại hai điểm có tọa độ là 6 + \sqrt{2} và 6 - \sqrt{2}.
Dựa vào hình vẽ, P nằm bên phải B (tức là có tọa độ lớn hơn), Q nằm bên trái B (tức là có tọa độ nhỏ hơn). Tuy nhiên, trong hình vẽ thì P lại có vẻ nằm bên trái B và Q nằm bên phải B. Giả sử theo thứ tự P, Q như đề bài.
Nếu P nằm bên trái B, P biểu diễn 6 - \sqrt{2}.
Nếu Q nằm bên phải B, Q biểu diễn 6 + \sqrt{2}.

Lưu ý về hình ảnh: Hình ảnh có thể gây nhầm lẫn về vị trí P và Q. Dựa trên cách các điểm được đánh dấu và cách người ta thường vẽ trục số, nếu B là tâm, thì P và Q sẽ cách B một khoảng bằng bán kính \sqrt{2} về hai phía. Theo quy ước thông thường P sẽ là điểm có tọa độ nhỏ hơn và Q có tọa độ lớn hơn. Tuy nhiên, cách vẽ trong hình lại ngược lại. Ta tuân theo đề bài "Hai điểm P và Q biểu diễn hai số thực nào?" và logic toán học, tâm B=6, bán kính \sqrt{2}, các điểm cắt trục số sẽ là 6 \pm \sqrt{2}.

Giả sử theo thứ tự đề bài:
P biểu diễn số 6 - \sqrt{2}.
Q biểu diễn số 6 + \sqrt{2}.

• Mẹo kiểm tra: Kiểm tra lại việc tính bình phương các cạnh và áp dụng định lý Pythagore. Đối với trục số, xác định đúng tâm và bán kính, sau đó cộng/trừ bán kính vào tọa độ tâm để tìm hai điểm cắt.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn độ dài các cạnh góc vuông, sai sót trong tính toán bình phương, quên lấy căn bậc hai để tìm bán kính, hoặc xác định sai tọa độ trên trục số.

Bài 17: Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật.

Cho hình hộp chữ nhật có:
Chiều dài l = 12 cm
Chiều rộng w = 8 cm
Chiều cao h = 6 cm

a) Tính thể tích của hình hộp chữ nhật.
Thể tích V của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức: V = l \times w \times h.
V = 12 \times 8 \times 6
V = 96 \times 6
V = 576 \text{cm}^3.

b) Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật.
Diện tích xung quanh S<em>{xq} của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức: S</em>{xq} = 2(l + w) \times h.
S<em>{xq} = 2(12 + 8) \times 6
S</em>{xq} = 2(20) \times 6
S<em>{xq} = 40 \times 6
S</em>{xq} = 240 \text{cm}^2.

Lưu ý về nguồn: Nguồn gốc có một số lỗi tính toán trong bài 17:
a) 12 \times 8 \times 6 = 576, không phải 24.
b) 2(12 + 8) \times 6 = 2(20) \times 6 = 40 \times 6 = 240, không phải 122 + 83.
Ta sẽ cung cấp đáp án chính xác.

• Mẹo kiểm tra: Ghi nhớ công thức tính thể tích và diện tích xung quanh. Kiểm tra lại phép cộng và phép nhân các số.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn công thức tính thể tích và diện tích xung quanh, hoặc sai sót trong các phép tính cơ bản.

Bài 18: Rút gọn các biểu thức.

a) \sqrt{9a} - \sqrt{4a} + \sqrt{a} với a \ge 0.
Ta đưa các hệ số ra ngoài dấu căn:
\sqrt{9a} = \sqrt{9} \times \sqrt{a} = 3sqrt{a}
\sqrt{4a} = \sqrt{4} \times \sqrt{a} = 2sqrt{a}
Biểu thức trở thành:
3sqrt{a} - 2sqrt{a} + \sqrt{a}
= (3 - 2 + 1)\sqrt{a}
= 2sqrt{a}.

b) \frac{\sqrt{a} - asqrt{a}}{1 - a} với a \ge 0, a \ne 1.
Ta có thể đặt nhân tử chung ở tử số:
\sqrt{a} - asqrt{a} = \sqrt{a}(1 - a).
Vậy biểu thức trở thành:
\frac{\sqrt{a}(1 - a)}{1 - a}.
Vì a \ne 1, nên 1 - a \ne 0. Ta có thể rút gọn (1 - a) ở cả tử và mẫu:
= \sqrt{a}.

• Mẹo kiểm tra: Đảm bảo các điều kiện của biến số (ví dụ a \ge 0, a \ne 1) được thỏa mãn. Kiểm tra lại phép đặt nhân tử chung và rút gọn.
• Lỗi hay gặp: Sai sót khi đưa hệ số ra ngoài dấu căn (ví dụ \sqrt{9a} không phải 9sqrt{a} mà là 3sqrt{a}). Sai sót trong việc rút gọn phân thức khi mẫu số và tử số có dạng khác nhau nhưng có thể quy về giống nhau.

Bài 19: Rút gọn biểu thức P = \left(\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1}\right) : \left(\frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}} + \frac{2}{\sqrt{a} + 1}\right) với a > 0, a \ne 1.

a) Rút gọn biểu thức P.
Trước hết, ta rút gọn từng ngoặc:

Ngoặc thứ nhất: \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1}
Mẫu số chung là \sqrt{a}(\sqrt{a} + 1).
= \frac{1(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} + \frac{(\sqrt{a} - 1)\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}
= \frac{\sqrt{a} + 1 + a - \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}
= \frac{a + 1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}.

Ngoặc thứ hai: \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}} + \frac{2}{\sqrt{a} + 1}
Mẫu số chung là \sqrt{a}(\sqrt{a} + 1).
= \frac{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} + \frac{2sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}
= \frac{(\sqrt{a})^2 - 1^2 + 2sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}
= \frac{a - 1 + 2sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}.

Bây giờ ta thực hiện phép chia hai biểu thức vừa rút gọn:
P = \frac{a + 1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} : \frac{a - 1 + 2sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}
P = \frac{a + 1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} \times \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}{a - 1 + 2sqrt{a}}
Ta có thể rút gọn \sqrt{a}(\sqrt{a} + 1) ở tử và mẫu.
P = \frac{a + 1}{a - 1 + 2sqrt{a}}.

Lưu ý: Mẫu số a - 1 + 2sqrt{a} có thể được viết lại là (\sqrt{a} + 1)^2.
(\sqrt{a} + 1)^2 = (\sqrt{a})^2 + 2sqrt{a} + 1^2 = a + 2sqrt{a} + 1.
Vậy P = \frac{a + 1}{(\sqrt{a} + 1)^2}.

b) Tính giá trị của P khi a = 0,25.
Ta có a = 0,25 = \frac{1}{4}. Điều kiện a > 0, a \ne 1 được thỏa mãn.
Ta tính \sqrt{a}: \sqrt{a} = \sqrt{0,25} = 0,5 = \frac{1}{2}.
Thay vào biểu thức P đã rút gọn P = \frac{a + 1}{(\sqrt{a} + 1)^2}:
P = \frac{0,25 + 1}{(0,5 + 1)^2}
P = \frac{1,25}{(1,5)^2}
P = \frac{1,25}{2,25}.

Để tính \frac{1,25}{2,25}, ta có thể nhân cả tử và mẫu với 100:
P = \frac{125}{225}.
Chia cả tử và mẫu cho 25:
125 div 25 = 5
225 div 25 = 9.
Vậy P = \frac{5}{9}.

Kiểm tra lại nguồn: Nguồn vietjack tính ra P = -3 khi a = 0,25. Hãy xem lại cách họ làm.
Họ có P=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}. Điều này sai hoàn toàn với cách rút gọn của tôi.
\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1} = \frac{\sqrt{a}+1 + \sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{\sqrt{a}+1 + a - \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{a+1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}
\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}} + \frac{2}{\sqrt{a}+1} = \frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1) + 2sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{a-1+2sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}
P = \frac{a+1}{a-1+2sqrt{a}} = \frac{a+1}{(\sqrt{a}+1)^2}.
Công thức rút gọn của tôi là đúng.

Bây giờ, kiểm tra lại cách tính của nguồn tại câu b):
a=0,25 implies \sqrt{a}=0,5
P = -\frac{0,25+1}{0,25} = -\frac{1,25}{0,25} = -5 (theo nguồn, họ có P = -\frac{a+1}{a} không biết từ đâu ra).
Và rồi lại có P=-\frac{0,25+1}{0,25} = -5.
Và rồi họ kết luận P=-3. Có vẻ nguồn này có nhiều lỗi đánh máy và tính toán.

Tôi sẽ giữ kết quả rút gọn của mình là P = \frac{a + 1}{(\sqrt{a} + 1)^2} và tính lại giá trị a=0,25.
a = 0,25 implies \sqrt{a} = 0,5
P = \frac{0,25 + 1}{(0,5 + 1)^2} = \frac{1,25}{(1,5)^2} = \frac{1,25}{2,25} = \frac{125}{225} = \frac{5}{9}.

• Mẹo kiểm tra: Chia nhỏ bài toán thành các bước rút gọn từng ngoặc, sau đó mới thực hiện phép chia. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để kiểm tra mẫu số thứ hai. Khi thay số, cẩn thận với phép tính và lũy thừa.
• Lỗi hay gặp: Sai sót trong quy đồng mẫu số, nhầm lẫn các phép toán đại số, quên điều kiện xác định của biến, hoặc sai sót trong tính toán số học khi thay giá trị.

Đáp Án/Kết Quả

Bài 11:
a) x = \pm \sqrt{10}
b) x = \pm 2sqrt{2}
c) x = -0,3
d) x = -\sqrt[3]{2/3}

Bài 12: A = 4.

Bài 13:
a) \frac{\sqrt{3}}{3}
b) \frac{5sqrt{6}}{6}
c) \frac{asqrt{a} - \sqrt{a}}{1 - a}

Bài 14: A = \frac{a+b}{4} (lưu ý: đây là dạng rút gọn, không phải giá trị số cụ thể).

Bài 15: 2sqrt{3}.

Bài 16:
a) M biểu diễn -\sqrt{10}, N biểu diễn \sqrt{10}.
b) P biểu diễn 6 - \sqrt{2}, Q biểu diễn 6 + \sqrt{2}.

Bài 17:
a) Thể tích V = 576 \text{ cm}^3.
b) Diện tích xung quanh S_{xq} = 240 \text{ cm}^2.

Bài 18:
a) 2sqrt{a}.
b) \sqrt{a}.

Bài 19:
a) P = \frac{a + 1}{(\sqrt{a} + 1)^2}.
b) Khi a = 0,25, P = \frac{5}{9}.

Kết Luận

Chúng ta vừa hoàn thành việc giải chi tiết các bài tập Toán 9 trang 58 Tập 1 Chân trời sáng tạo, bao gồm Bài 11 đến Bài 19. Các bài tập này đã giúp chúng ta củng cố kiến thức về căn bậc hai, căn bậc ba, giá trị tuyệt đối, trục căn thức và các phép toán đại số với căn thức. Bên cạnh đó, bài tập về hình hộp chữ nhật cũng giúp ôn lại công thức thể tích và diện tích xung quanh. Việc nắm vững các kiến thức này là nền tảng quan trọng cho các chủ đề toán học tiếp theo.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.