Giải Toán 12 trang 9 Tập 1 Kết Nối Tri Thức: Tính Đơn Điệu và Cực Trị Hàm Số

by Thầy Đông · January 9, 2026

Rate this post

Trong hành trình chinh phục môn Toán lớp 12, đặc biệt là với bộ sách Kết nối tri thức, việc nắm vững các khái niệm về tính đơn điệu và cực trị của hàm số là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết và phân tích sâu sắc cho các bài tập tại trang 9, tập 1, giúp học sinh hiểu rõ bản chất, phương pháp giải và cách áp dụng hiệu quả. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến cũng như tìm cực trị của hàm số một cách chính xác nhất.

Đề Bài

Luyện tập 3 trang 9 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 5x + 2$
b) $y = \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 2}$

Vận dụng 1 trang 9 Toán 12 Tập 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Cho biết vận tốc tức thời của một chất điểm có biểu thức $s(t) = t^3 - 9t^2 + 15t$ .
b) Xác định khoảng thời gian mà chất điểm chuyển động sang phải, chuyển động sang trái.

HĐ4 trang 9 Toán 12 Tập 1: Quan sát đồ thị của hàm số $y = x^3 + 3x^2 - 4$ (Hình 1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập này đều xoay quanh việc khảo sát tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) và các điểm đặc biệt (cực trị) của hàm số thông qua việc sử dụng đạo hàm.

Luyện tập 3: Yêu cầu cơ bản là tìm miền xác định của hàm số, tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm, lập bảng biến thiên để từ đó kết luận các khoảng đơn điệu. Phần a) là hàm đa thức, phần b) là hàm phân thức hữu tỉ.
Vận dụng 1: Bài toán ứng dụng thực tế, liên quan đến chuyển động của chất điểm. Vận tốc tức thời chính là đạo hàm của quãng đường theo thời gian. Chúng ta cần tìm khoảng thời gian mà vận tốc dương (chuyển động sang phải) và vận tốc âm (chuyển động sang trái).
HĐ4: Liên hệ giữa đồ thị hàm số và dấu của đạo hàm. Yêu cầu quan sát đồ thị, tính đạo hàm, xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng và điền vào bảng biến thiên, từ đó nhận xét về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Đạo hàm của hàm số:
- Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số.
- Đạo hàm của hàm đa thức: $(x^n)' = nx^{n-1}$ .
- Đạo hàm của hàm phân thức: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Tính đơn điệu của hàm số:
- Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x in (a; b)$, thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$.
- Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x in (a; b)$, thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(a; b)$.
- Nếu $f'(x) \ge 0$ với mọi $x in (a; b)$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm, thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$. Tương tự cho nghịch biến với $f'(x) \le 0$ .
- Khi xét tính đơn điệu, ta thường xét trên các khoảng xác định của hàm số và các khoảng được tạo bởi nghiệm của $f'(x) = 0$ .
Bảng biến thiên: Bảng tóm tắt sự biến thiên của hàm số dựa trên dấu của đạo hàm. Bảng này giúp ta xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và giới hạn của hàm số.
Cực trị của hàm số:
- Điều kiện cần: Nếu hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ và $f'(x_0)$ tồn tại, thì $f'(x_0) = 0$ .
- Điều kiện đủ (dựa vào dấu đạo hàm):
  - Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x_0$ , thì $f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$ .
  - Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x_0$ , thì $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$ .
Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chuyển động:
- Quãng đường là hàm số $s(t)$.
- Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $v(t) = s'(t)$ .
- Chất điểm chuyển động sang phải khi $v(t) > 0$.
- Chất điểm chuyển động sang trái khi $v(t) < 0$.
- Chất điểm dừng lại khi $v(t) = 0$ .

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Luyện tập 3 trang 9 Toán 12 Tập 1

a) $y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 5x + 2$

Bước 1: Tìm tập xác định.
Hàm số là đa thức nên có tập xác định là $mathbb{R}$ .
Bước 2: Tính đạo hàm.
Ta có:
$y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 5x + 2right)$
$y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x + 5$
$y' = x^2 + 6x + 5$
Bước 3: Tìm nghiệm của đạo hàm.
Xét phương trình $y' = 0$ :
$x^2 + 6x + 5 = 0$
Đây là phương trình bậc hai. Ta có thể phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.
$(x + 1)(x + 5) = 0$
Nghiệm là $x = -1$ hoặc $x = -5$ .
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Hàm số $y’$ là một tam thức bậc hai có hệ số $a=1 > 0$ , parabol của nó sẽ quay bề lõm lên trên. Do đó, $y’$ dương ở ngoài khoảng hai nghiệm và âm ở trong khoảng hai nghiệm.
$x$ $-\infty$ $-5$ $-1$ $+\infty$
$y’$ + 0 – 0
$y$ $nearrow$ $y_{max}$ $searrow$ $y_{min}$
Để điền giá trị cực trị (nếu cần), ta thay $x = -5$ và $x = -1$ vào hàm số $y$:
$y(-5) = \frac{1}{3}(-5)^3 + 3(-5)^2 + 5(-5) + 2 = \frac{1}{3}(-125) + 3(25) - 25 + 2 = -\frac{125}{3} + 75 - 25 + 2 = 52 - \frac{125}{3} = \frac{156 - 125}{3} = \frac{31}{3}$
$y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 + 3(-1)^2 + 5(-1) + 2 = -\frac{1}{3} + 3 - 5 + 2 = -\frac{1}{3}$
Bước 5: Kết luận khoảng đơn điệu.
Dựa vào bảng biến thiên:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -5)$ và $(-1; +\infty)$ (vì $y’ > 0$).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-5; -1)$ (vì $y’ < 0$).

$x$	$-\infty$	$-5$	$-1$	$+\infty$
$y’$	+	0	–	0
$y$	$nearrow$	$y_{max}$	$searrow$	$y_{min}$

b) $y = \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 2}$

Bước 1: Tìm tập xác định.
Mẫu số $x - 2 \ne 0$ , nên $x \ne 2$ . Tập xác định là $D = mathbb{R} setminus {2}$ .
Bước 2: Tính đạo hàm.
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân thức $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ , với $u = -x^2 + 5x - 7$ và $v = x - 2$ .
Ta có $u' = -2x + 5$ và $v' = 1$ .
$y' = \frac{(-2x + 5)(x - 2) - (-x^2 + 5x - 7)(1)}{(x - 2)^2}$
$y' = \frac{(-2x^2 + 4x + 5x - 10) - (-x^2 + 5x - 7)}{(x - 2)^2}$
$y' = \frac{-2x^2 + 9x - 10 + x^2 - 5x + 7}{(x - 2)^2}$
$y' = \frac{-x^2 + 4x - 3}{(x - 2)^2}$
Bước 3: Tìm nghiệm của đạo hàm.
Xét phương trình $y' = 0$ , tức là $\frac{-x^2 + 4x - 3}{(x - 2)^2} = 0$ .
Điều này tương đương với $-x^2 + 4x - 3 = 0$ , với điều kiện $x \ne 2$ .
Nhân cả hai vế với $-1$ : $x^2 - 4x + 3 = 0$ .
Phân tích thành nhân tử: $(x - 1)(x - 3) = 0$ .
Nghiệm là $x = 1$ hoặc $x = 3$ . Cả hai nghiệm này đều thuộc tập xác định của hàm số.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Ta cần xét dấu của $y' = \frac{-x^2 + 4x - 3}{(x - 2)^2}$ .
Mẫu số $(x - 2)^2$ luôn dương với mọi $x \ne 2$ .
Do đó, dấu của $y’$ phụ thuộc vào dấu của tử số $-x^2 + 4x - 3$ .
Tử số là một tam thức bậc hai có hệ số $a = -1 < 0[/katex], parabol quay bề lõm xuống. Tử số dương ở trong khoảng hai nghiệm $(1; 3)$ và âm ở ngoài khoảng hai nghiệm.</p> <table> <thead> <tr> <th style="text-align: left">$x$</th> <th style="text-align: left">[katex]-\infty$
$1$$2$$3$ $+\infty$ $-x^2+4x-3$ -0+0- $(x-2)^2$ +++++$y'$-0+0-$y$$searrow$ $y_{min}$ $nearrow$$searrow$ $y_{max}$
Lưu ý: Tại $x=2$ , hàm số không xác định, có tiệm cận đứng.
Ta cần tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=1$ và $x=3$ (nếu cần cho việc vẽ đồ thị hoặc xác định cực trị).
$y(1) = \frac{-(1)^2 + 5(1) - 7}{1 - 2} = \frac{-1 + 5 - 7}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3$
$y(3) = \frac{-(3)^2 + 5(3) - 7}{3 - 2} = \frac{-9 + 15 - 7}{1} = \frac{-1}{1} = -1$
Bước 5: Kết luận khoảng đơn điệu.
Dựa vào dấu của $y'$:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(1; 2)$ và $(2; 3)$ (vì $y' > 0$).
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$ (vì $y' < 0$).

Vận dụng 1 trang 9 Toán 12 Tập 1

a) $s(t) = t^3 - 9t^2 + 15t$ .

Bước 1: Tìm tập xác định của t.
Thời gian $t$ luôn không âm, nên $t \ge 0$ .
Bước 2: Tính vận tốc tức thời $v(t)$.
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường $s(t)$ theo thời gian $t$.
$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 – 9t^2 + 15t)$
$v(t) = 3t^2 - 18t + 15$

b) Xác định khoảng thời gian chất điểm chuyển động sang phải, sang trái.

Bước 3: Tìm nghiệm của $v(t) = 0$ .
Ta cần tìm các giá trị của $t$ sao cho $v(t) > 0$ hoặc $v(t) < 0$. Đầu tiên, giải phương trình $v(t) = 0$ :
$3t^2 - 18t + 15 = 0$
Chia cả hai vế cho 3:
$t^2 - 6t + 5 = 0$
Phân tích thành nhân tử:
$(t - 1)(t - 5) = 0$
Nghiệm là $t = 1$ hoặc $t = 5$ .
Bước 4: Xét dấu của $v(t)$.
Hàm $v(t) = 3t^2 - 18t + 15$ là một tam thức bậc hai có hệ số $a = 3 > 0$ , parabol quay bề lõm lên trên.
Ta xét dấu trên miền $t \ge 0$ .
$t$ $0$ $1$ $5$ $+\infty$
$v(t)$ + 0 - 0
Hoặc có thể lập bảng biến thiên chi tiết hơn:
Ta có các mốc thời gian là $t=0, t=1, t=5$ .
- Chọn một giá trị trong khoảng $(0; 1)$, ví dụ $t = 0.5$ :
  $v(0.5) = 3(0.5)^2 - 18(0.5) + 15 = 3(0.25) - 9 + 15 = 0.75 + 6 = 6.75 > 0$ .
- Chọn một giá trị trong khoảng $(1; 5)$, ví dụ $t = 2$ :
  $v(2) = 3(2)^2 - 18(2) + 15 = 3(4) - 36 + 15 = 12 - 36 + 15 = -9 < 0[/katex].</li> <li>Chọn một giá trị trong khoảng [katex](5; +\infty)$ , ví dụ $t = 6$ :
  $v(6) = 3(6)^2 - 18(6) + 15 = 3(36) - 108 + 15 = 108 - 108 + 15 = 15 > 0$ .
Bước 5: Kết luận.
- Chất điểm chuyển động sang phải khi $v(t) > 0$. Điều này xảy ra khi $t in (0; 1)$ hoặc $t in (5; +\infty)$ .
- Chất điểm chuyển động sang trái khi $v(t) < 0$. Điều này xảy ra khi $t in (1; 5)$.
Vậy, chất điểm chuyển động sang phải trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 1 giây hoặc trong khoảng thời gian lớn hơn 5 giây. Chất điểm chuyển động sang trái trong khoảng thời gian từ 1 giây đến 5 giây.

$t$	$0$	$1$	$5$	$+\infty$
$v(t)$	+	0	-	0

HĐ4 trang 9 Toán 12 Tập 1

Quan sát đồ thị của hàm số $y = x^3 + 3x^2 - 4$ (Hình 1.7).

Bước 1: Tìm tập xác định.
Hàm số là đa thức nên có tập xác định là $mathbb{R}$ .
Bước 2: Tính đạo hàm.
$y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 – 4)$
$y' = 3x^2 + 6x$
Bước 3: Tìm nghiệm của đạo hàm.
Xét phương trình $y' = 0$ :
$3x^2 + 6x = 0$
$3x(x + 2) = 0$
Nghiệm là $x = 0$ hoặc $x = -2$ .
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Tương tự như bài Luyện tập 3a, $y'$ là tam thức bậc hai với hệ số $a = 3 > 0$ , parabol quay bề lõm lên trên.
$y'$ dương ở ngoài khoảng hai nghiệm $(-2; 0)$ và âm ở trong khoảng hai nghiệm.
$x$ $-\infty$ $-2$ $0$ $+\infty$
$y'$ + 0 - 0
$y$ $nearrow$ $y_{max}$ $searrow$ $y_{min}$
Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị:
$y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 3(4) - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$ .
$y(0) = (0)^3 + 3(0)^2 - 4 = -4$ .
Bước 5: Điền vào bảng theo yêu cầu bài.
Dựa vào bảng biến thiên trên, ta có thể hoàn thành bảng theo yêu cầu bài tập.
Quan sát đồ thị, ta thấy rằng khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $-2$ , đồ thị đi lên (hàm số đồng biến). Khi $x$ tăng từ $-2$ đến $0$, đồ thị đi xuống (hàm số nghịch biến). Khi $x$ tăng từ $0$ đến $+\infty$ , đồ thị lại đi lên (hàm số đồng biến).
Điều này hoàn toàn khớp với dấu của $y'$.
Bảng hoàn chỉnh:
| $x$ | Giá trị | $y'$ | $y$ |
| :------- | :------ | :------- | :------- |
| $-\infty$ | | + | |
| | | | |
| $-2$ | Cực đại | 0 | 0 |
| | | | |
| $0$ | Cực tiểu| 0 | $-4$ |
| | | | |
| $+\infty$ | | + | |
(Lưu ý: Theo định nghĩa sách giáo khoa, tại $x=-2$ là điểm cực đại vì $y'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ và tại $x=0$ là điểm cực tiểu vì $y'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ .)

$x$	$-\infty$	$-2$	$0$	$+\infty$
$y'$	+	0	-	0
$y$	$nearrow$	$y_{max}$	$searrow$	$y_{min}$

Đáp Án/Kết Quả

Luyện tập 3 trang 9:
a) Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -5)$ và $(-1; +\infty)$ ; nghịch biến trên $(-5; -1)$ .
b) Hàm số đồng biến trên $(1; 2)$ và $(2; 3)$; nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$ .

Vận dụng 1 trang 9:
a) $v(t) = 3t^2 - 18t + 15$ .
b) Chất điểm chuyển động sang phải khi $t in (0; 1) cup (5; +\infty)$ ; chuyển động sang trái khi $t in (1; 5)$.

HĐ4 trang 9:
Bảng biến thiên và kết luận về dấu đạo hàm $y'$, các khoảng đồng biến, nghịch biến, điểm cực trị đã được trình bày chi tiết ở phần hướng dẫn giải.

Dấu của $y'$: $y' > 0$ trên $(-\infty; -2)$ và $(0; +\infty)$ ; $y' < 0$ trên $(-2; 0)$ .
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -2)$ và $(0; +\infty)$ .
Hàm số nghịch biến trên $(-2; 0)$ .
Hàm số đạt cực đại tại $x = -2$ , giá trị cực đại $y(-2) = 0$ .
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ , giá trị cực tiểu $y(0) = -4$ .

Lỗi Hay Gặp & Mẹo Kiểm Tra

Lỗi sai khi tính đạo hàm: Cẩn thận với các quy tắc đạo hàm, đặc biệt là quy tắc chuỗi và quy tắc đạo hàm của hàm phân thức. Sai dấu trong quá trình biến đổi đại số là rất phổ biến.
Nhầm lẫn tập xác định: Đối với hàm phân thức, luôn nhớ loại bỏ các giá trị làm mẫu số bằng 0. Các nghiệm của đạo hàm chỉ có ý nghĩa nếu chúng thuộc tập xác định của hàm số.
Sai dấu của đạo hàm: Khi lập bảng biến thiên, việc xác định đúng dấu của đạo hàm trên các khoảng là mấu chốt. Với tam thức bậc hai, hãy nhớ tính chất parabol và vị trí của nghiệm.
Nhầm lẫn giữa cực đại và cực tiểu: Hãy luôn kiểm tra sự đổi dấu của $y'$ tại điểm xét. Đổi từ $+$ sang $-$ là cực đại, từ $-$ sang $+$ là cực tiểu.
Mẹo kiểm tra:
- Sau khi tính đạo hàm, thay một vài giá trị $x$ bất kỳ vào $y'$ và kiểm tra dấu.
- Đối với các hàm đa thức, đồ thị hàm số và đồ thị đạo hàm phải có sự tương quan rõ ràng về các điểm cực trị và khoảng đồng biến/nghịch biến.
- Với bài toán chuyển động, thử thay các giá trị thời gian vào công thức vận tốc để xem kết quả có hợp lý không (ví dụ: vận tốc phải luôn dương/âm trên các khoảng đã xác định).
- Luôn kiểm tra lại các phép tính đại số, đặc biệt là phép nhân, cộng trừ các phân số hoặc số hạng phức tạp.

Việc nắm vững cách tìm tính đơn điệu và cực trị của hàm số thông qua đạo hàm là một kỹ năng cốt lõi trong chương trình Toán 12. Bằng cách thực hành các bài tập trong sách giáo khoa Kết nối tri thức, đặc biệt là trang 9 tập 1, và hiểu rõ từng bước giải, học sinh sẽ xây dựng được nền tảng vững chắc. Hãy nhớ luôn kiểm tra lại công thức và các bước tính toán để đảm bảo tính chính xác, từ đó tự tin chinh phục các dạng toán phức tạp hơn.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 9, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.