Giải Toán Lũy Thừa Với Số Mũ Tự Nhiên Lớp 6: Lý Thuyết Chi Tiết Và Bài Tập Vận Dụng

by Thầy Đông · January 9, 2026

Rate this post

Giải toán lũy thừa với số mũ tự nhiên là một chủ đề quan trọng, mở ra một phương pháp mới để biểu diễn các phép nhân lặp lại một cách gọn gàng. Trong chương trình Toán lớp 6, khái niệm này là bước đệm thiết yếu cho nhiều kiến thức nâng cao hơn. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về lũy thừa với số mũ tự nhiên, bao gồm định nghĩa, các quy tắc cơ bản, và đặc biệt là hướng dẫn giải chi tiết các dạng bài tập thường gặp, giúp học sinh làm chủ kiến thức này.

Đề Bài

<?xml encoding=”utf-8″ ?>
HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN LỚP 6 CHỦ ĐỀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

Lũy thừa với số mũ tự nhiên là khái niệm hoàn toàn mới với các em học sinh lớp 6. Đây là một trong những kiến thức quan trọng nên các em cần nắm vững. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau tổng hợp lại các kiến thức về lũy thừa với số mũ tự nhiên và làm bài tập áp dụng để các em hiểu rõ hơn.

I – Kiến thức cần nhớ

1, Lũy thừa với số mũ tự nhiên

– Định nghĩa: Lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a$:

$\text{a}^n = underbrace{\text{a.a.a...a}}_{n \text{ số a}} quad (n \ne 0)</code> Trong đó: $a$ được gọi là cơ số, $n$ được gọi là số mũ. Đọc là: $a$ mũ $n$ hoặc $a$ lũy thừa $n$ hoặc lũy thừa bậc $n$ của $a$. <ul> <li> Ví dụ: </li> <li> []2.2.2={{2}^{3}}$ trong đó 2 được gọi là cơ số và 3 được gọi là số mũ.

Đọc là: 2 mũ 3 hoặc 2 lũy thừa 3 hoặc lũy thừa bậc 3 của 2.

${{5}^{20}}=5.5.5....5$ (20 chữ số 5) trong đó 5 được gọi là cơ số và 20 được gọi là số mũ.

Đọc là: 5 mũ 20 hoặc 5 lũy thừa 20 hoặc lũy thừa bậc 20 của 5.

Chú ý:
${{a}^{2}}$ còn được gọi là $a$ bình phương hay bình phương của $a$.
${{a}^{3}}$ còn được gọi là $a$ lập phương hay lập phương của $a$.
Quy ước:
${{a}^{1}}=a$
${{a}^{0}}=1 quad (a \ne 0)$
${{1}^{n}}=1 quad (n in mathbb{N})$

2, Một số công thức liên quan đến lũy thừa

Nhân hai lũy thừa cùng cơ số :
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:

$\text{a}^m \cdot \text{a}^n = \text{a}^{m+n}</code> <ul> <li> Ví dụ: []{{3}^{4}}{{.3}^{5}}={{3}^{4+5}}={{3}^{9}}$ , ${{x}^{3}}.x={{x}^{3}}.{{x}^{1}}={{x}^{3+1}}={{x}^{4}}$

Chia hai lũy thừa cùng cơ số:

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ:

$\text{a}^m : \text{a}^n = \text{a}^{m-n} quad (a \ne 0, m \ge n)</code> <ul> <li> Ví dụ: []{{7}^{8}}:{{7}^{3}}={{7}^{8-3}}={{7}^{5}}$ , ${{x}^{7}}:{{x}^{2}}={{x}^{7-2}}={{x}^{5}} quad (x \ne 0)$

Lũy thừa của lũy thừa: $(\text{a}^m)^n = \text{a}^{m \cdot n}</code> </li> <li> Lũy thừa của một tích: <code>[](a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m</code> </li> </ul> 3, So sánh hai lũy thừa <ul> <li>So sánh hai lũy thừa cùng cơ số, khác số mũ:</li> </ul> Nếu $m > n$ thì []{{a}^{m}} > {{a}^{n}}$ (với $a > 1$)

So sánh hai lũy thừa khác cơ số, cùng số mũ:

Nếu $a > b$ thì ${{a}^{m}} > {{b}^{m}}$ (với $m > 0$)

Ví dụ: ${{2}^{3}} < {{3}^{3}}, quad {{9}^{6}} > {{5}^{6}}$

Phân Tích Yêu Cầu

Chủ đề “Lũy thừa với số mũ tự nhiên” trang bị cho học sinh lớp 6 công cụ để biểu diễn các phép nhân lặp lại một cách ngắn gọn và hiệu quả. Yêu cầu của bài toán này là giúp người học hiểu rõ định nghĩa, nắm vững các quy tắc biến đổi và áp dụng chúng vào giải quyết các bài tập tính toán, rút gọn biểu thức hoặc tìm giá trị chưa biết. Việc hiểu rõ bản chất của lũy thừa và các công thức liên quan là nền tảng để học sinh tiếp thu các kiến thức toán học ở các cấp học cao hơn.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để chinh phục chủ đề lũy thừa với số mũ tự nhiên, học sinh cần nắm vững các khái niệm và quy tắc sau đây:

1. Khái niệm Lũy thừa:

Lũy thừa là một phép toán đặc biệt, giúp viết gọn phép nhân lặp lại của cùng một số.

Định nghĩa: Lũy thừa bậc $n$ của một số $a$, ký hiệu là ${{a}^{n}}$ , là tích của $n$ thừa số $a$.
$\text{a}^n = underbrace{\text{a} \times \text{a} \times \text{a} \times dots \times \text{a}}_{n \text{ thừa số}}</code></li> <li>Trong đó: <ul> <li>$a$ được gọi là cơ số.</li> <li>$n$ được gọi là số mũ.</li> <li>$n$ phải là một số tự nhiên khác 0 (trong định nghĩa cơ bản này).</li> </ul> </li> </ul> Ví dụ minh họa: <ul> <li>[]3 \times 3 \times 3 \times 3 = {{3}^{4}}$ . Ở đây, cơ số là 3, số mũ là 4. Đọc là “3 mũ 4” hoặc “lũy thừa bậc 4 của 3”.
$7 \times 7 = {{7}^{2}}$ . Cơ số là 7, số mũ là 2. Đọc là “7 mũ 2” hay “7 bình phương”.
$5 \times 5 \times 5 = {{5}^{3}}$ . Cơ số là 5, số mũ là 3. Đọc là “5 mũ 3” hay “5 lập phương”.

2. Quy ước về Lũy thừa với Số mũ 0 và 1:

Ngoài định nghĩa cơ bản, có hai quy ước quan trọng cần ghi nhớ:

Bất kỳ số $a$ nào khác 0, khi mũ 1 thì bằng chính nó: {{a}^{1}} = a.
- Ví dụ: ${{10}^{1}} = 10$ , $x^1 = x$ .
Bất kỳ số $a$ nào khác 0, khi mũ 0 thì bằng 1: {{a}^{0}} = 1.
- Ví dụ: ${{5}^{0}} = 1$ , $(-7)^0 = 1$ , $x^0 = 1$ (với $x \ne 0$ ).
Số 1 mũ bất kỳ số tự nhiên $n$ nào cũng bằng 1: {{1}^{n}} = 1.
- Ví dụ: ${{1}^{5}} = 1$ , ${{1}^{2023}} = 1$ .

Mẹo ghi nhớ:

Số mũ 1: “Mũ 1 thì bằng chính nó”.
Số mũ 0: “Mũ 0 thì bằng 1, trừ 0 mũ 0”.

3. Các Quy tắc Nhân, Chia Lũy Thừa Cùng Cơ Số:

Đây là những quy tắc cốt lõi giúp rút gọn biểu thức chứa lũy thừa.

Nhân hai lũy thừa cùng cơ số:
$\text{a}^m \cdot \text{a}^n = \text{a}^{m+n}</code> <ul> <li>Diễn giải: Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số đó và cộng hai số mũ lại với nhau.</li> <li>Ví dụ: []{{3}^{4}} \times {{3}^{5}} = {{3}^{4+5}} = {{3}^{9}}$ .
Ví dụ với biến: ${{x}^{3}} \times x = {{x}^{3}} \times {{x}^{1}} = {{x}^{3+1}} = {{x}^{4}}$ .

Chia hai lũy thừa cùng cơ số:
$\text{a}^m : \text{a}^n = \text{a}^{m-n} quad (\text{với } a \ne 0 \text{ và } m \ge n)</code> <ul> <li>Diễn giải: Khi chia hai lũy thừa có cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ số mũ của số chia cho số mũ của số bị chia. Điều kiện []m \ge n$ đảm bảo kết quả là một số tự nhiên.

Ví dụ:

{{7}^{8}} : {{7}^{3}} = {{7}^{8-3}} = {{7}^{5}}

Ví dụ với biến:

{{x}^{7}} : {{x}^{2}} = {{x}^{7-2}} = {{x}^{5}}

(với

x \ne 0

4. Quy tắc Lũy thừa của Lũy thừa:

Quy tắc này giúp xử lý các biểu thức có dạng lũy thừa lồng nhau.

Công thức: $(\text{a}^m)^n = \text{a}^{m \cdot n}</code> <ul> <li>Diễn giải: Khi ta lấy một lũy thừa []a^m$ rồi nâng lên lũy thừa bậc $n$, ta giữ nguyên cơ số $a$ và nhân hai số mũ $m$ với $n$.
Ví dụ: ${{({{2}^{3}})}^{4}} = {{2}^{3 \times 4}} = {{2}^{12}}$ .

5. Quy tắc Lũy thừa của một Tích/Thương:

Quy tắc này cho phép “phân phối” số mũ vào các thừa số bên trong ngoặc.

Lũy thừa của một tích:
$(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m</code> <ul> <li>Diễn giải: Lũy thừa của một tích bằng tích của các lũy thừa của từng thừa số.</li> <li>Ví dụ: []{{ (2 \cdot 3) }^{4}} = {{2}^{4}} \cdot {{3}^{4}}$ .

Lũy thừa của một thương:

 $(a : b)^m = a^m : b^m quad (\text{với } b \ne 0)</code></p> <ul> <li><strong>Diễn giải:</strong> Lũy thừa của một thương bằng thương của các lũy thừa của số bị chia và số chia.</li> <li><strong>Ví dụ:</strong> []{{ (10 : 2) }^{3}} = {{10}^{3}} : {{2}^{3}}$ .

Lưu ý quan trọng:

Quy tắc lũy thừa của tích không áp dụng cho phép cộng hoặc trừ: ${{ (a+b) }^{m}} \ne {{a}^{m}} + {{b}^{m}}$ . Tương tự, ${{ (a-b) }^{m}} \ne {{a}^{m}} - {{b}^{m}}$ . Đây là lỗi sai rất phổ biến.

6. So sánh hai Lũy Thừa:

Để so sánh hai lũy thừa, ta thường tìm cách đưa chúng về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.

So sánh hai lũy thừa cùng cơ số ($a > 1$):
- Nếu $m > n$ thì ${{a}^{m}} > {{a}^{n}}$ . (Cơ số lớn hơn 1, số mũ càng lớn thì giá trị càng lớn).
- Nếu $m < n$ thì ${{a}^{m}} < {{a}^{n}}[/katex].</li> <li>Ví dụ: [katex]{{5}^{3}} < {{5}^{7}}[/katex] vì $3 < 7$.</li> </ul> </li> <li> So sánh hai lũy thừa cùng số mũ ($m > 0$): <ul> <li>Nếu $a > b$ thì [katex]{{a}^{m}} > {{b}^{m}}$ . (Số mũ dương, cơ số càng lớn thì giá trị càng lớn).
- Nếu $a < b$ thì ${{a}^{m}} < {{b}^{m}}[/katex].</li> <li>Ví dụ: [katex]{{6}^{4}} > {{3}^{4}}$ vì $6 > 3$.
Trường hợp đặc biệt:
- So sánh ${{a}^{m}}$ và ${{b}^{n}}$ khi cả cơ số và số mũ đều khác nhau. Cách làm phổ biến là đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
- Ví dụ so sánh ${{2}^{6}}$ và ${{8}^{2}}$ :
  Ta thấy $8 = {{2}^{3}}$ . Vậy ${{8}^{2}} = ({{2}^{3}})^2 = {{2}^{3 \times 2}} = {{2}^{6}}$ .
  Do đó, ${{2}^{6}} = {{8}^{2}}$ .
- Ví dụ so sánh ${{2}^{6}}$ và ${{6}^{2}}$ :
  Ta tính giá trị cụ thể: ${{2}^{6}} = 64$ và ${{6}^{2}} = 36$ .
  Vì $64 > 36$ nên ${{2}^{6}} > {{6}^{2}}$ .

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào giải quyết các dạng bài tập đã cho, áp dụng các kiến thức vừa học.

Bài 1. Viết gọn các biểu thức sau:

Bài tập này yêu cầu chúng ta biến đổi các phép nhân lặp lại thành dạng lũy thừa.

a) $4.4.4.4.4.4$

Phân tích: Ta đếm số lần số 4 xuất hiện trong phép nhân. Số 4 xuất hiện 6 lần.
Áp dụng định nghĩa lũy thừa: Mỗi thừa số là 4, và có 6 thừa số.
Đáp án: ${{4}^{6}}$

b) $2.4.8.8.8$

Phân tích: Để viết về dạng lũy thừa, các cơ số cần giống nhau. Ta thấy có số 2, 4 và 8. Ta cố gắng biểu diễn tất cả về cùng một cơ số. Cơ số nhỏ nhất là 2. Ta có $4 = {{2}^{2}}$ và $8 = {{2}^{3}}$ .
Biến đổi:
$2.4.8.8.8 = 2 \cdot ({{2}^{2}}) \cdot ({{2}^{3}}) \cdot ({{2}^{3}}) \cdot ({{2}^{3}})$
Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ . Ở đây, cơ số chung là 2. Ta cộng các số mũ lại: $1 + 2 + 3 + 3 + 3$ .
Đáp án: ${{2}^{1+2+3+3+3}} = {{2}^{12}}$

c) $10.100.1000.10000$

Phân tích: Tương tự, ta thấy các số đều là lũy thừa của 10 hoặc có thể biểu diễn thành lũy thừa của 10.
$10 = {{10}^{1}}$
$100 = {{10}^{2}}$
$1000 = {{10}^{3}}$
$10000 = {{10}^{4}}$
Biến đổi:
$10.100.1000.10000 = {{10}^{1}} \cdot {{10}^{2}} \cdot {{10}^{3}} \cdot {{10}^{4}}$
Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: Cộng các số mũ lại: $1 + 2 + 3 + 4$ .
Đáp án: ${{10}^{1+2+3+4}} = {{10}^{10}}$

d) $x.x.x.x+x.x.x.x.x.x.x.x$

Phân tích: Đây là một phép cộng hai tổng của các thừa số $x$. Ta cần viết mỗi tổng thành dạng lũy thừa trước.
Biến đổi phần thứ nhất: $x.x.x.x$ có 4 thừa số $x$, vậy bằng ${{x}^{4}}$ .
Biến đổi phần thứ hai: $x.x.x.x.x.x.x.x$ có 8 thừa số $x$, vậy bằng ${{x}^{8}}$ .
Kết hợp: Phép toán là phép cộng giữa hai lũy thừa này.
Đáp án: ${{x}^{4}}+{{x}^{8}}$

Mẹo kiểm tra: Đối với các bài tập dạng này, hãy kiểm tra lại số lần xuất hiện của cơ số hoặc quy đổi các số về cùng cơ số (thường là cơ số nhỏ nhất hoặc cơ số nguyên tố).

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa phép nhân và phép cộng, hoặc không quy đổi đúng về cùng cơ số.

Bài 2. Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa:

Bài tập này yêu cầu áp dụng các quy tắc nhân, chia lũy thừa và lũy thừa của lũy thừa để rút gọn biểu thức về dạng ${{a}^{n}}$ .

a) ${{4}^{8}} \cdot {{2}^{10}}$

Phân tích: Hai lũy thừa có cơ số khác nhau (4 và 2). Ta đưa về cùng cơ số nhỏ nhất là 2. Ta có $4 = {{2}^{2}}$ .
Biến đổi: ${{4}^{8}} = ({{\text{2}^2}})^8$ .
Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: $({{\text{2}^2}})^8 = {{2}^{2 \times 8}} = {{2}^{16}}$ .
Thay vào biểu thức: Biểu thức trở thành ${{2}^{16}} \cdot {{2}^{10}}$ .
Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: ${{2}^{16}} \cdot {{2}^{10}} = {{2}^{16+10}} = {{2}^{26}}$ .
Đáp án: ${{2}^{26}}$

b) ${{9}^{12}} \cdot {{27}^{4}} \cdot {{81}^{3}}$

Phân tích: Các cơ số là 9, 27, 81. Tất cả đều có thể biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 3.
$9 = {{3}^{2}}$
$27 = {{3}^{3}}$
$81 = {{3}^{4}}$
Biến đổi từng lũy thừa:
${{9}^{12}} = ({{\text{3}^2}})^{12} = {{3}^{2 \times 12}} = {{3}^{24}}$
${{27}^{4}} = ({{\text{3}^3}})^4 = {{3}^{3 \times 4}} = {{3}^{12}}$
${{81}^{3}} = ({{\text{3}^4}})^3 = {{3}^{4 \times 3}} = {{3}^{12}}$
Thay vào biểu thức: Biểu thức trở thành ${{3}^{24}} \cdot {{3}^{12}} \cdot {{3}^{12}}$ .
Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: Cộng các số mũ: $24 + 12 + 12$ .
Đáp án: ${{3}^{24+12+12}} = {{3}^{48}}$

c) ${{x}^{7}} \cdot {{x}^{4}} \cdot {{x}^{2}}$

Phân tích: Đây là phép nhân các lũy thừa có cùng cơ số là $x$.
Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: Cộng các số mũ: $7 + 4 + 2$ .
Đáp án: ${{x}^{7+4+2}} = {{x}^{13}}$

d) ${{4}^{9}} : {{4}^{4}}$

Phân tích: Hai lũy thừa có cùng cơ số là 4.
Áp dụng quy tắc chia lũy thừa cùng cơ số: Trừ các số mũ: $9 - 4$ .
Đáp án: ${{4}^{9-4}} = {{4}^{5}}$

e) ${{2}^{10}} : {{8}^{2}}$

Phân tích: Cơ số khác nhau (2 và 8). Ta đưa về cơ số nhỏ nhất là 2. Ta có $8 = {{2}^{3}}$ .
Biến đổi: ${{8}^{2}} = ({{\text{2}^3}})^2 = {{2}^{3 \times 2}} = {{2}^{6}}$ .
Thay vào biểu thức: Biểu thức trở thành ${{2}^{10}} : {{2}^{6}}$ .
Áp dụng quy tắc chia lũy thừa cùng cơ số: Trừ các số mũ: $10 - 6$ .
Đáp án: ${{2}^{10-6}} = {{2}^{4}}$

f) ${{x}^{6}} : x quad (x \ne 0)$

Phân tích: Ta viết $x$ dưới dạng lũy thừa: $x = {{x}^{1}}$ .
Biến đổi: Biểu thức trở thành ${{x}^{6}} : {{x}^{1}}$ .
Áp dụng quy tắc chia lũy thừa cùng cơ số: Trừ các số mũ: $6 - 1$ .
Đáp án: ${{x}^{6-1}} = {{x}^{5}}$

g) ${{24}^{n}} : {{2}^{2n}}$

Phân tích: Cơ số 24 và 2 khác nhau. Ta phân tích 24 thành thừa số nguyên tố: $24 = 8 \times 3 = {{2}^{3}} \times 3$ .
Biến đổi ${{24}^{n}}$ : ${{24}^{n}} = ({{\text{2}^3}} \cdot 3)^n$ .
Áp dụng quy tắc lũy thừa của một tích: $({{\text{2}^3}} \cdot 3)^n = ({{\text{2}^3}})^n \cdot {{3}^{n}} = {{2}^{3n}} \cdot {{3}^{n}}$ .
Thay vào biểu thức: Biểu thức trở thành $({{2}^{3n}} \cdot {{3}^{n}}) : {{2}^{2n}}$ .
Áp dụng quy tắc chia lũy thừa cùng cơ số: Ta chỉ chia các lũy thừa có cùng cơ số.
$({{2}^{3n}} : {{2}^{2n}}) \cdot {{3}^{n}} = {{2}^{3n-2n}} \cdot {{3}^{n}} = {{2}^{n}} \cdot {{3}^{n}}$ .
Áp dụng quy tắc lũy thừa của một tích (ngược lại): ${{2}^{n}} \cdot {{3}^{n}} = (2 \cdot 3)^n = {{6}^{n}}$ .
Đáp án: ${{6}^{n}}$

Mẹo kiểm tra: Luôn cố gắng đưa về cùng cơ số (thường là cơ số nguyên tố) trước khi áp dụng các quy tắc nhân/chia. Kiểm tra lại các bước lũy thừa của lũy thừa và lũy thừa của tích/thương.

Lỗi hay gặp: Quên điều kiện chia hai lũy thừa $(a \ne 0, m \ge n)$ , nhầm lẫn quy tắc $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ với $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ .

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau (tính hợp lí nếu có thể)

Các bài tập này yêu cầu kết hợp nhiều quy tắc lũy thừa và đôi khi là các phép toán cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia, tính giá trị biểu thức).

a) ${{3}^{2}} \cdot 5 + {{2}^{3}} \cdot 10 - 81 : 3$

Phân tích: Bài toán gồm phép nhân, phép cộng, phép trừ và phép chia. Ta cần ưu tiên tính lũy thừa trước, sau đó thực hiện nhân/chia, cuối cùng là cộng/trừ. Tuy nhiên, có thể "tính hợp lí" bằng cách nhóm các số hạng có nhân tử chung.
Tính giá trị các lũy thừa và phép chia:
${{3}^{2}} = 9$
${{2}^{3}} = 8$
$81 : 3 = {{3}^{4}} : {{3}^{1}} = {{3}^{4-1}} = {{3}^{3}} = 27$
Biểu thức trở thành: $9 \cdot 5 + 8 \cdot 10 - 27$ .
Thực hiện nhân:
$9 \cdot 5 = 45$
$8 \cdot 10 = 80$
Biểu thức trở thành: $45 + 80 - 27$ .
Thực hiện cộng trừ từ trái sang phải:
$45 + 80 = 125$
$125 - 27 = 98$ .
Đáp án: 98

b) ${{5}^{13}} : {{5}^{10}} - {{25}} \cdot {{2}^{2}}$

Phân tích: Ta có phép chia lũy thừa, phép nhân và phép trừ.
Tính phép chia: ${{5}^{13}} : {{5}^{10}} = {{5}^{13-10}} = {{5}^{3}}$ .
Tính phép nhân: Ta có $25 = {{5}^{2}}$ . Vậy ${{25}} \cdot {{2}^{2}} = {{5}^{2}} \cdot {{2}^{2}}$ .
Ta có thể nhóm lại thành $(5 \cdot 2)^2 = {{10}^{2}} = 100$ .
Hoặc tính riêng lẻ: ${{5}^{2}} = 25$ , ${{2}^{2}} = 4$ , vậy $25 \cdot 4 = 100$ .
Biểu thức trở thành: ${{5}^{3}} - 100$ .
Tính ${{5}^{3}}$ : ${{5}^{3}} = 5 \times 5 \times 5 = 125$ .
Thực hiện phép trừ: $125 - 100 = 25$ .
Cách tính hợp lý khác (nhóm nhân tử chung):
${{5}^{13}} : {{5}^{10}} - {{25}} \cdot {{2}^{2}}$
$={{5}^{3}} - {{5}^{2}} \cdot {{2}^{2}}$
$= {{5}^{2}} \cdot 5 - {{5}^{2}} \cdot {{2}^{2}}$
$= {{5}^{2}} \cdot (5 - {{2}^{2}})$ (Đặt {{5}^{2}} làm nhân tử chung)
$= 25 \cdot (5 - 4)$
$= 25 \cdot 1 = 25$ .
Đáp án: 25

c) $84 : 4 + {{3}^{9}} : {{3}^{7}} + {{1999}^{0}}$

Phân tích: Phép chia, phép cộng, phép trừ, lũy thừa với số mũ 0.
Tính các thành phần:
$84 : 4 = 21$
${{3}^{9}} : {{3}^{7}} = {{3}^{9-7}} = {{3}^{2}} = 9$
${{1999}^{0}} = 1$ (theo quy ước $a^0=1$ với $a \ne 0$ )
Biểu thức trở thành: $21 + 9 + 1$ .
Thực hiện phép cộng: $21 + 9 + 1 = 31$ .
Đáp án: 31

d) $({{1}^{3}} + {{2}^{3}} + {{3}^{3}}) \cdot (1 + {{2}^{2}} + {{3}^{2}} + {{4}^{2}}) \cdot ({{3}^{8}} - {{81}^{2}})$

Phân tích: Đây là một tích của ba nhóm biểu thức. Nếu một trong ba nhóm bằng 0, cả tích sẽ bằng 0. Ta xem xét nhóm thứ ba.
Biến đổi nhóm thứ ba: $81 = {{3}^{4}}$ . Vậy ${{81}^{2}} = ({{\text{3}^4}})^2 = {{3}^{4 \times 2}} = {{3}^{8}}$ .
Biểu thức nhóm thứ ba trở thành: ${{3}^{8}} - {{3}^{8}}$ .
Kết quả nhóm thứ ba: ${{3}^{8}} - {{3}^{8}} = 0$ .
Kết luận: Vì một trong các thừa số của phép nhân này bằng 0, nên toàn bộ biểu thức bằng 0.
Đáp án: 0

Mẹo kiểm tra: Luôn tính toán từng phần nhỏ trước, đặc biệt là các lũy thừa và các phép chia/nhân. Đối với các biểu thức phức tạp, hãy tìm cách nhóm các hạng tử hoặc sử dụng tính chất của số 0 trong phép nhân để rút gọn.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn thứ tự thực hiện phép tính (nhân chia trước, cộng trừ sau), tính sai giá trị lũy thừa, hoặc bỏ qua trường hợp đặc biệt (như có thừa số bằng 0).

Bài 4. Tìm $x$ biết:

Dạng bài này yêu cầu sử dụng các quy tắc về lũy thừa để biến đổi phương trình về dạng cơ bản, từ đó tìm được giá trị của $x$.

a) ${{2}^{x}} \cdot {{16}^{2}} = 1024$

Phân tích: Tất cả các số trong phương trình (2, 16, 1024) đều là lũy thừa của 2. Ta cần đưa tất cả về cơ số 2.
$16 = {{2}^{4}}$
$1024 = {{2}^{10}}$ (vì $2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256, 2^9=512, 2^{10}=1024$ ).
Biến đổi phương trình:
${{2}^{x}} \cdot ({{\text{2}^4}})^2 = {{2}^{10}}$
Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: $({{\text{2}^4}})^2 = {{2}^{4 \times 2}} = {{2}^{8}}$ .
Phương trình trở thành: ${{2}^{x}} \cdot {{2}^{8}} = {{2}^{10}}$ .
Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: ${{2}^{x+8}} = {{2}^{10}}$ .
So sánh số mũ (vì cơ số bằng nhau): $x+8 = 10$ .
Giải tìm x: $x = 10 - 8 = 2$ .
Đáp án: $x=2$

b) ${{3}^{4}} \cdot {{3}^{x}} : 9 = {{3}^{7}}$

Phân tích: Tất cả các số đều liên quan đến cơ số 3. Ta biểu diễn 9 dưới dạng lũy thừa của 3.
$9 = {{3}^{2}}$ .
Biến đổi phương trình: ${{3}^{4}} \cdot {{3}^{x}} : {{3}^{2}} = {{3}^{7}}$ .
Áp dụng quy tắc nhân và chia lũy thừa cùng cơ số: ${{3}^{4+x}} : {{3}^{2}} = {{3}^{7}}$ .
${{3}^{4+x-2}} = {{3}^{7}}$ .
${{3}^{2+x}} = {{3}^{7}}$ .
So sánh số mũ: $2+x = 7$ .
Giải tìm x: $x = 7 - 2 = 5$ .
Đáp án: $x=5$

c) ${{ (2x+1) }^{3}} = 125$

Phân tích: Ta cần biểu diễn 125 dưới dạng lũy thừa bậc 3. Ta biết $5 \times 5 \times 5 = 125$ , vậy $125 = {{5}^{3}}$ .
Biến đổi phương trình: ${{ (2x+1) }^{3}} = {{5}^{3}}$ .
So sánh cơ số (vì số mũ bằng nhau): $2x+1 = 5$ .
Giải tìm x:
$2x = 5 - 1$
$2x = 4$
$x = 4 : 2 = 2$ .
Đáp án: $x=2$

d) ${{4}^{x}} = {{19}^{6}} : ({{19}^{3}} \cdot {{19}^{2}}) - 3 \cdot {{1}^{2016}}$

Phân tích: Bên vế phải có phép chia lũy thừa cùng cơ số, phép nhân và phép trừ. Bên vế trái là lũy thừa với cơ số 4.
Tính toán vế phải:
- Phần trong ngoặc: ${{19}^{3}} \cdot {{19}^{2}} = {{19}^{3+2}} = {{19}^{5}}$ .
- Phép chia: ${{19}^{6}} : {{19}^{5}} = {{19}^{6-5}} = {{19}^{1}} = 19$ .
- Phần trừ: $3 \cdot {{1}^{2016}}$ . Ta biết ${{1}^{2016}} = 1$ . Vậy $3 \cdot 1 = 3$ .
- Toàn bộ vế phải: $19 - 3 = 16$ .
Phương trình trở thành: ${{4}^{x}} = 16$ .
Biểu diễn 16 dưới dạng lũy thừa của 4: $16 = {{4}^{2}}$ .
Phương trình trở thành: ${{4}^{x}} = {{4}^{2}}$ .
So sánh số mũ: $x = 2$ .
Đáp án: $x=2$

Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được giá trị của $x$, hãy thay ngược lại vào phương trình ban đầu để kiểm tra xem hai vế có bằng nhau hay không.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn các quy tắc biến đổi khi có cả phép nhân và phép chia trong cùng một vế, tính sai lũy thừa của các số lớn, hoặc bỏ sót các điều kiện đi kèm (nếu có).

Bài 5: So sánh

Dạng bài này yêu cầu dùng các quy tắc lũy thừa để đưa hai số về cùng dạng (cùng cơ số hoặc cùng số mũ) để so sánh.

a) ${{2}^{6}}$ và ${{8}^{2}}$

Phân tích: Ta có cơ số 2 và 8. Ta biết $8 = {{2}^{3}}$ .
Biến đổi ${{8}^{2}}$ về cơ số 2: ${{8}^{2}} = ({{\text{2}^3}})^2 = {{2}^{3 \times 2}} = {{2}^{6}}$ .
So sánh: Bây giờ ta so sánh ${{2}^{6}}$ và ${{2}^{6}}$ .
Kết luận: ${{2}^{6}} = {{8}^{2}}$ .

b) ${{2}^{6}}$ và ${{6}^{2}}$

Phân tích: Cơ số và số mũ đều khác nhau. Ta không thể đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ một cách dễ dàng. Trong trường hợp này, cách tốt nhất là tính giá trị cụ thể của từng biểu thức.
Tính ${{2}^{6}}$ : ${{2}^{6}} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$ .
Tính ${{6}^{2}}$ : ${{6}^{2}} = 6 \times 6 = 36$ .
So sánh: Ta so sánh 64 và 36. Vì $64 > 36$.
Kết luận: ${{2}^{6}} > {{6}^{2}}$ .

Mẹo kiểm tra: Luôn ưu tiên đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ. Nếu không thể, hãy tính giá trị cụ thể. Đối với các số mũ lớn, cẩn thận khi tính nhẩm, có thể nháp ra giấy.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa ${{a}^{m}} \cdot {{a}^{n}}$ và ${{a}^{m}} \cdot {{b}^{m}}$ , hoặc nghĩ rằng nếu $a>b$ thì ${{a}^{m}}>{{b}^{m}}$ mà không xét đến trường hợp số mũ có thể khác nhau.

Bài 6: Cho giá trị của biểu thức $A = 1 + 2 + {{2}^{2}} + {{2}^{3}} + dots + {{2}^{100}}$

Đây là một dạng tổng đặc biệt, gọi là cấp số nhân lùi vô hạn (hoặc hữu hạn trong trường hợp này). Bài toán này dùng phương pháp nhân và trừ để tìm tổng.

Bước 1: Nhân biểu thức với cơ số của lũy thừa lớn nhất.
Ta có biểu thức $A = 1 + 2 + {{2}^{2}} + {{2}^{3}} + dots + {{2}^{100}}$ .
Nhân cả hai vế với 2:
$2A = 2 \times (1 + 2 + {{2}^{2}} + {{2}^{3}} + dots + {{2}^{100}})$
$2A = 2 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times {{2}^{2}} + 2 \times {{2}^{3}} + dots + 2 \times {{2}^{100}}$
$2A = 2 + {{2}^{2}} + {{2}^{3}} + {{2}^{4}} + dots + {{2}^{101}}$
Bước 2: Lấy $2A$ trừ đi $A$.
Ta viết hai biểu thức thẳng hàng nhau để dễ trừ:
2A = 2 + {{2}^{2}} + {{2}^{3}} + dots + {{2}^{100}} + {{2}^{101}}
A = 1 + 2 + {{2}^{2}} + {{2}^{3}} + dots + {{2}^{100}}
Thực hiện phép trừ vế theo vế:
$2A - A = (2 + {{2}^{2}} + {{2}^{3}} + dots + {{2}^{101}}) - (1 + 2 + {{2}^{2}} + dots + {{2}^{100}})$
Hầu hết các số hạng sẽ triệt tiêu nhau:
$A = (2-2) + ({{2}^{2}}-{{2}^{2}}) + dots + ({{2}^{100}}-{{2}^{100}}) + {{2}^{101}} - 1$
$A = 0 + 0 + dots + 0 + {{2}^{101}} - 1$
Bước 3: Kết quả.
$A = {{2}^{101}} - 1$ .

Đáp án: $A = {{2}^{101}} - 1$

Mẹo kiểm tra: Phương pháp này rất hiệu quả cho các tổng dạng $1 + a + a^2 + dots + a^n$ . Hãy kiểm tra xem các số hạng có khớp nhau khi trừ không. Số hạng cuối cùng của $2A$ và số hạng đầu tiên của $A$ sẽ còn lại.

Lỗi hay gặp: Sai sót trong quá trình nhân $2A$ , hoặc sai sót khi thực hiện phép trừ, dẫn đến mất các số hạng trung gian hoặc giữ lại sai số hạng đầu/cuối.

Kết Luận

Việc nắm vững các kiến thức về lũy thừa với số mũ tự nhiên, từ định nghĩa cơ bản đến các quy tắc nhân, chia, lũy thừa của lũy thừa, và cách so sánh, là vô cùng quan trọng cho học sinh lớp 6. Thông qua việc thực hành giải các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao như đã trình bày, các em không chỉ củng cố kiến thức mà còn rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề trong giải toán lũy thừa. Chúc các bạn học sinh ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao!

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 9, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.