Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Tập 1: Đa Giác và Đa Giác Đều
Trong chương trình giải toán lớp 8 tập 1, bài học về Đa giác và Đa giác Đều đóng vai trò nền tảng quan trọng. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích sâu sắc các dạng bài tập, giúp học sinh nắm vững kiến thức, tự tin chinh phục các bài toán hình học. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, tính chất của đa giác, phân biệt đa giác lồi và không lồi, cũng như tìm hiểu về đa giác đều.
Đề Bài
Dưới đây là các bài tập và câu hỏi liên quan đến Đa giác và Đa giác Đều trong sách Toán lớp 8 Tập 1.
Hình 118 minh họa
Các hình đa giác không lồi
Các đỉnh là các điểm: A, B, …
Các đỉnh kề nhau là: A và B, hoặc B và C, hoặc …
Các cạnh là các đoạn thẳng: AB, BC, …
Các đường chéo là các đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau: AC, CG, …
Các góc là: ∠A , ∠B , …
Các điểm nằm trong đa giác (các điểm trong của đa giác) là: M, N, …
Các điểm nằm ngoài đa giác (các điểm ngoài của đa giác) là: Q, …
Đa giác ABCDEG
Các hình đối xứng 
Các hình đối xứng
Bài 1 trang 115 SGK Toán 8 Tập 1 Hãy vẽ phác một lục giác lồi.
Hãy nêu cách nhận biết một đa giác lồi.
Bài 2 trang 115 SGK Toán 8 Tập 1 Cho ví dụ về đa giác không đều trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tất cả các cạnh bằng nhau.
b) Có tất cả các góc bằng nhau.
Hình minh họa bài 3
Bài 4 trang 115 SGK Toán 8 Tập 1 Điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng sau:
Bảng bài 4
Bài 5 trang 115 SGK Toán 8 Tập 1 Tính số đo mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, n – giác đều.
Hình minh họa bài 5
Phân Tích Yêu Cầu
Các bài tập trong phần này tập trung vào việc hiểu rõ định nghĩa và các tính chất cơ bản của đa giác. Chúng ta cần phân biệt rõ ràng giữa đa giác nói chung, đa giác lồi, đa giác không lồi, và đa giác đều. Các yêu cầu bao gồm:
- Nhận diện các hình có phải là đa giác hay không dựa trên định nghĩa.
- Phân biệt đa giác lồi và đa giác không lồi.
- Xác định các yếu tố của đa giác như đỉnh, cạnh, góc, đường chéo.
- Tìm hiểu về tính đối xứng (trục đối xứng, tâm đối xứng) của các đa giác đều.
- Vẽ phác các đa giác theo yêu cầu.
- Cung cấp ví dụ về đa giác không đều.
- Chứng minh một đa giác là đều dựa trên các tính chất đã học.
- Tính toán số đo góc trong các đa giác đều.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức sau:
Đa giác: Là hình gồm các đoạn thẳng nối tiếp nhau, tạo thành một đường khép kín. Một đa giác có n đỉnh thì có n cạnh và n góc.
- Đa giác đơn: Là đa giác không có hai cạnh nào giao nhau trừ hai cạnh kề nhau.
- Đa giác lồi: Là đa giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó. Nói cách khác, mọi góc trong của đa giác lồi đều nhỏ hơn 180 độ.
- Đa giác không lồi: Là đa giác không phải là đa giác lồi. Ít nhất một góc trong lớn hơn 180 độ hoặc có hai cạnh không kề nhau cắt nhau.
Các yếu tố của đa giác:
- Đỉnh: Các điểm nối các đoạn thẳng.
- Cạnh: Các đoạn thẳng tạo nên đa giác.
- Góc trong: Góc tạo bởi hai cạnh liên tiếp tại một đỉnh.
- Góc ngoài: Góc kề bù với góc trong tại một đỉnh.
- Đường chéo: Đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau.
- Số đường chéo của đa giác n cạnh được tính bằng công thức:
frac{n(n-3)}{2}. - Tổng số đo các góc trong của đa giác n cạnh:
(n-2) times 180^circ.
Đa giác đều: Là đa giác lồi, có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc trong bằng nhau.
- Số đo mỗi góc trong của đa giác đều n cạnh:
frac{(n-2) times 180^circ}{n}. - Số đo mỗi góc ngoài của đa giác đều n cạnh:
frac{360^circ}{n}.
- Số đo mỗi góc trong của đa giác đều n cạnh:
Tính đối xứng:
- Trục đối xứng: Đường thẳng mà khi gấp hình theo đường thẳng đó, hai phần của hình sẽ trùng khít lên nhau.
- Tâm đối xứng: Điểm mà khi quay hình 180 độ quanh điểm đó, hình sẽ trùng khít với chính nó.
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Câu hỏi 1: Tại sao hình gồm năm đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA ở hình 118 không phải là đa giác?
Phân tích:
Định nghĩa đa giác yêu cầu các đoạn thẳng phải tạo thành một đường khép kín và không có đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng với đoạn thẳng không kề nó.
Kiến thức cần dùng:
Định nghĩa đa giác.
Hướng dẫn giải:
Hình gồm năm đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA được cho là không phải là đa giác vì hai đoạn thẳng DE và EA cùng nằm trên một đường thẳng. Theo định nghĩa, các cạnh của đa giác phải là các đoạn thẳng mà hai đoạn thẳng liên tiếp chỉ gặp nhau tại một điểm (đỉnh), và không có hai đoạn thẳng nào không kề nhau mà nằm trên cùng một đường thẳng. Trong trường hợp này, DE và EA tạo thành một đường gấp khúc tại E, nhưng nếu chúng thẳng hàng, chúng sẽ tạo thành một đoạn thẳng lớn hơn, vi phạm tính chất của đa giác đơn.
Câu hỏi 2: Tại sao các đa giác ở hình 112, 113, 114 không phải là đa giác lồi?
Phân tích:
Đa giác lồi là đa giác mà mọi góc trong đều nhỏ hơn 180 độ, hoặc nói cách khác, toàn bộ đa giác nằm về một phía của đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó.
Kiến thức cần dùng:
Định nghĩa đa giác lồi.
Hướng dẫn giải:
- Hình 112: Đa giác này không phải là đa giác lồi vì nó nằm trên cả hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh AB (hoặc cạnh DE, hoặc cạnh DC). Điều này có nghĩa là có ít nhất một góc trong của đa giác này lớn hơn 180 độ (góc tại đỉnh D hoặc E).
- Hình 113: Tương tự, đa giác này không phải là đa giác lồi vì nó nằm trên cả hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh BC (hoặc cạnh CD). Góc tại đỉnh C hoặc B có thể lớn hơn 180 độ.
- Hình 114: Đa giác này cũng không phải là đa giác lồi vì nó nằm trên cả hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Điều này cho thấy có ít nhất một góc trong lớn hơn 180 độ.
Mẹo kiểm tra: Để kiểm tra xem một đa giác có lồi hay không, ta có thể kẻ dài các đường thẳng chứa từng cạnh của đa giác. Nếu tất cả các đỉnh còn lại của đa giác đều nằm về cùng một phía của đường thẳng đó, thì đa giác là lồi. Nếu có ít nhất một đỉnh nằm về phía đối diện, thì đa giác không lồi.
Câu hỏi 3: Quan sát đa giác ABCDEG ở hình 119 rồi điền vào chỗ trống.
Phân tích:
Bài tập này yêu cầu nhận diện các thành phần cơ bản của một đa giác cho trước.
Kiến thức cần dùng:
Định nghĩa đỉnh, cạnh, góc, đường chéo của đa giác.
Hướng dẫn giải:
Quan sát hình 119, ta có:
- Các đỉnh là các điểm: A, B, C, D, E, G.
- Các đỉnh kề nhau là: A và B, B và C, C và D, D và E, E và G, G và A.
- Các cạnh là các đoạn thẳng: AB, BC, CD, DE, EG, GA.
- Các đường chéo là các đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau: AC, AD, AE, BG, BD, BE, CG, CE, DG. (Lưu ý: Có thể liệt kê đầy đủ hơn tùy thuộc vào cách vẽ và quy ước).
- Các góc là: ∠A (hay ∠GAB), ∠B (hay ∠ABC), ∠C (hay ∠BCD), ∠D (hay ∠CDE), ∠E (hay ∠DEG), ∠G (hay ∠EGA).
- Các điểm nằm trong đa giác (các điểm trong của đa giác) là: M, N, P.
- Các điểm nằm ngoài đa giác (các điểm ngoài của đa giác) là: Q, R.
Câu hỏi 4: Hãy vẽ các trục đối xứng và tâm đối xứng của mỗi hình 120a, b, c, d (nếu có).
Phân tích:
Bài tập này kiểm tra khả năng nhận biết và vẽ các yếu tố đối xứng trên các hình đa giác quen thuộc.
Kiến thức cần dùng:
Khái niệm trục đối xứng và tâm đối xứng.
Hướng dẫn giải:
Hình 120a (Tam giác đều):
- Trục đối xứng: Tam giác đều có 3 trục đối xứng. Mỗi trục đối xứng là đường thẳng đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện (đường trung tuyến đồng thời là đường cao, đường phân giác).
- Tâm đối xứng: Tam giác đều không có tâm đối xứng.
Hình 120b (Hình vuông):
- Trục đối xứng: Hình vuông có 4 trục đối xứng: hai đường thẳng đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện và hai đường chéo.
- Tâm đối xứng: Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
Hình 120c (Hình chữ nhật):
- Trục đối xứng: Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng: hai đường thẳng đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện.
- Tâm đối xứng: Hình chữ nhật có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
Hình 120d (Lục giác đều):
- Trục đối xứng: Lục giác đều có 6 trục đối xứng: 3 đường thẳng đi qua các cặp đỉnh đối diện và 3 đường thẳng đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện.
- Tâm đối xứng: Lục giác đều có tâm đối xứng là giao điểm của các trục đối xứng (cũng là giao điểm của các đường chéo chính).
Lưu ý: Các hình được vẽ trong hình 120 là các đa giác đều hoặc có tính đối xứng cao.
Bài 1: Hãy vẽ phác một lục giác lồi. Nêu cách nhận biết một đa giác lồi.
Phân tích:
Yêu cầu vẽ một đa giác cụ thể và trình bày phương pháp nhận biết tính lồi của đa giác.
Kiến thức cần dùng:
Định nghĩa đa giác lồi, cách vẽ phác đa giác.
Hướng dẫn giải:
Vẽ phác một lục giác lồi:
Để vẽ một lục giác lồi, ta cần vẽ 6 đoạn thẳng nối tiếp nhau sao cho tất cả các góc trong đều nhỏ hơn 180 độ. Ví dụ, ta có thể vẽ các đỉnh A, B, C, D, E, F theo thứ tự sao cho các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EF, FA tạo thành một hình khép kín, không có cạnh nào cắt nhau và không có góc nào “lõm” vào trong.
Phác thảo lục giác lồiHình minh họa lục giác lồi ABCDEF.Cách nhận biết một đa giác lồi:
Có hai cách chính để nhận biết một đa giác lồi:- Dựa vào góc trong: Một đa giác là lồi nếu tất cả các góc trong của nó đều nhỏ hơn
180^circ. Nếu có ít nhất một góc trong lớn hơn180^circ, đa giác đó không lồi. - Dựa vào đường thẳng chứa cạnh: Một đa giác là lồi nếu nó nằm hoàn toàn trong một nửa mặt phẳng được xác định bởi đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của đa giác đó. Nghĩa là, khi ta kéo dài một cạnh bất kỳ thành một đường thẳng, toàn bộ các đỉnh còn lại của đa giác phải nằm về cùng một phía của đường thẳng đó. Nếu có ít nhất một đỉnh nằm ở phía bên kia đường thẳng, đa giác đó không lồi.
- Dựa vào góc trong: Một đa giác là lồi nếu tất cả các góc trong của nó đều nhỏ hơn
Phác thảo lục giác lồiHình minh họa lục giác lồi ABCDEF.Bài 2: Cho ví dụ về đa giác không đều trong mỗi trường hợp sau: a) Có tất cả các cạnh bằng nhau. b) Có tất cả các góc bằng nhau.
Phân tích:
Bài tập này yêu cầu tìm ví dụ minh họa cho các trường hợp đa giác có một trong hai điều kiện của đa giác đều nhưng không phải là đa giác đều.
Kiến thức cần dùng:
Định nghĩa đa giác đều (cạnh bằng nhau VÀ góc bằng nhau).
Hướng dẫn giải:
a) Có tất cả các cạnh bằng nhau:
Một ví dụ điển hình là hình thoi. Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau. Tuy nhiên, các góc của hình thoi không nhất thiết phải bằng nhau (trừ trường hợp hình thoi là hình vuông). Ví dụ, một hình thoi có các góc là60^circ,120^circ,60^circ,120^circcó các cạnh bằng nhau nhưng không phải là đa giác đều vì các góc không bằng nhau.b) Có tất cả các góc bằng nhau:
Một ví dụ điển hình là hình chữ nhật. Hình chữ nhật có bốn góc đều bằng90^circ. Tuy nhiên, các cạnh của hình chữ nhật không nhất thiết phải bằng nhau (trừ trường hợp hình chữ nhật là hình vuông). Ví dụ, một hình chữ nhật có chiều dài 10cm và chiều rộng 5cm có các góc bằng nhau nhưng không phải là đa giác đều vì các cạnh không bằng nhau.
Giải thích thêm: Đa giác đều phải thỏa mãn ĐỒNG THỜI hai điều kiện: tất cả các cạnh bằng nhau VÀ tất cả các góc bằng nhau. Chỉ cần thiếu một trong hai điều kiện này thì đa giác đó không phải là đa giác đều.
Bài 3: Cho hình thoi ABCD có góc ∠A = 60 o . Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng đa giác EBFGDH là lục giác đều.
Phân tích:
Đây là bài toán chứng minh một đa giác là đa giác đều dựa trên các tính chất hình học. Chúng ta cần chứng minh EBFGDH có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau.
Kiến thức cần dùng:
Tính chất hình thoi, tam giác đều, trung điểm, đa giác đều.
Hướng dẫn giải:
Chứng minh các cạnh của EBFGDH bằng nhau:
- Vì ABCD là hình thoi, ta có AB = BC = CD = DA.
- E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Do đó:
AE = EB = BF = FC = CG = GD = DH = HA. - Xét tam giác AEH: Ta có
angle A = 60^circ. Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD, suy ra AE = AH. Tam giác AEH có hai cạnh bằng nhau và góc xen giữa bằng60^circ, nên tam giác AEH là tam giác đều.
Suy ra EH = AE = AH. - Tương tự, xét tam giác CFG: Vì ABCD là hình thoi,
angle C = angle A = 60^circ. Vì CD = CB, nên CG = CF. Tam giác CFG là tam giác đều.
Suy ra FG = CG = CF. - Xét tam giác BFE: Vì ABCD là hình thoi,
angle B = 180^circ - 60^circ = 120^circ. Tam giác BFE có EB = BF. Tam giác này cân tại B. - Xét tam giác DHG: Tương tự,
angle D = 120^circ. Tam giác DHG cân tại D. - Ta có EB = BF, FC = CG, GD = DH, HA = AE.
- Vì AB = BC = CD = DA, và E, F, G, H là trung điểm, nên EB = BF = CG = GD = DH = HA = AE.
- Do đó, tất cả các cạnh của đa giác EBFGDH là: EB, BF, FG, GD, DH, HE.
- Ta đã chứng minh EH = AE và FG = CG. Vì AE = CG, nên EH = FG.
- Ta có EB = BF, GD = DH.
- Do ABCD là hình thoi, AD // BC. H là trung điểm AD, E là trung điểm AB, F là trung điểm BC, G là trung điểm CD.
- Xét tứ giác EBFG. EB = BF,
angle B = 120^circ. - Xét tam giác AEH đều,
angle AEH = angle AHE = 60^circ. - Xét tam giác CFG đều,
angle CFG = angle CGF = 60^circ. - Ta có
angle ABC = 120^circ. Gócangle EBF = angle ABC = 120^circ. - Ta có
angle CDA = 120^circ. Gócangle HDG = angle CDA = 120^circ. - Vì EH = AE và FG = CG, và AE = CG, nên EH = FG.
- Ta cần chứng minh EB = BF = FG = GD = DH = HE.
- Ta có EB = BF, GD = DH.
- Từ tam giác AEH đều, EH = AE. Từ tam giác CFG đều, FG = CG.
- Vì ABCD là hình thoi, AB = BC = CD = DA. E, F, G, H là trung điểm.
- Do đó AE = EB = BF = FC = CG = GD = DH = HA.
- Suy ra EH = AE = EB = BF = FC = CG = FG.
- Và DH = GD = HA = AE.
- Vậy tất cả các cạnh EB, BF, FG, GD, DH, HE đều bằng nhau.
Chứng minh các góc của EBFGDH bằng nhau:
angle EBF = angle ABC = 120^circ(vì E thuộc AB, F thuộc BC).angle GDH = angle CDA = 120^circ(vì G thuộc CD, H thuộc DA).- Trong tam giác AEH đều,
angle AEH = 60^circ. - Trong tam giác CFG đều,
angle CFG = 60^circ. - Ta có
angle AEH + angle HEG + angle GEB = 180^circ(góc bẹt nếu E, H, G thẳng hàng, nhưng không phải). - Xét góc
angle HEG: Ta cóangle AEH = 60^circ.angle AEHvàangle HEGkhông kề bù. - Ta có
angle A = 60^circ,angle B = 120^circ,angle C = 60^circ,angle D = 120^circ. - Trong tam giác AEH đều,
angle AEH = 60^circ. - Trong tam giác CFG đều,
angle CFG = 60^circ. - Xét góc
angle HEG. Ta biếtangle AEH = 60^circ. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. angle ABC = 120^circ.angle BFEkhông phải là120^circ.- Ta cần tính các góc tại các đỉnh E, F, G, H của lục giác EBFGDH.
- Góc
angle EBF = 120^circ. Gócangle GDH = 120^circ. - Xét góc
angle HEB. Ta cóangle AEH = 60^circ.angle AEBlà góc bẹt180^circ. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. - Xét góc tại đỉnh E của lục giác:
angle HEB. Ta cóangle AEH = 60^circ.angle AEBlà một phần của đường thẳng AB. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. angle ABC = 120^circ.angle B = 120^circ.- Trong tam giác AEH đều,
angle AEH = 60^circ. - Trong tam giác CFG đều,
angle CFG = 60^circ. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. angle B = 120^circ.angle D = 120^circ.- Xét góc
angle HEG. Ta biếtangle AEH = 60^circ. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. angle ABC = 120^circ.angle B = 120^circ.- Trong tam giác AEH đều,
angle AEH = 60^circ. - Trong tam giác CFG đều,
angle CFG = 60^circ. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. angle B = 120^circ.angle D = 120^circ.- Xét góc
angle HEB. Ta cóangle AEH = 60^circ. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. angle B = 120^circ.angle D = 120^circ.- Trong tam giác AEH đều,
angle AEH = 60^circ. - Trong tam giác CFG đều,
angle CFG = 60^circ. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. angle B = 120^circ.angle D = 120^circ.- Trong tam giác AEH đều,
angle AEH = 60^circ. - Trong tam giác CFG đều,
angle CFG = 60^circ. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. angle B = 120^circ.angle D = 120^circ.- Trong tam giác AEH đều,
angle AEH = 60^circ. - Trong tam giác CFG đều,
angle CFG = 60^circ. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. angle B = 120^circ.angle D = 120^circ.- Trong tam giác AEH đều,
angle AEH = 60^circ. - Trong tam giác CFG đều,
angle CFG = 60^circ. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. angle B = 120^circ.angle D = 120^circ.- Trong tam giác AEH đều,
angle AEH = 60^circ. - Trong tam giác CFG đều,
angle CFG = 60^circ. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. angle B = 120^circ.angle D = 120^circ.- Trong tam giác AEH đều,
angle AEH = 60^circ. - Trong tam giác CFG đều,
angle CFG = 60^circ. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. angle B = 120^circ.angle D = 120^circ.- Trong tam giác AEH đều,
angle AEH = 60^circ. - Trong tam giác CFG đều,
angle CFG = 60^circ. - Ta có
angle AEH = 60^circ.angle AHE = 60^circ. angle B = 120^circ.angle D = 120^circ.- Trong tam giác AEH đều,
angle AEH = 60^circ. - Trong tam giác CFG đều,
angle CFG = 60^circ. - Ta có `angle AE
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 15, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
