Bài Tập Áp Dụng Định Lý Pytago: Lý Thuyết Và Lời Giải Chi Tiết

by Thầy Đông · January 14, 2026

Rate this post

Trong thế giới hình học, bài tập áp dụng định lý pytago đóng vai trò nền tảng, giúp học sinh nắm vững cách xác định mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông. Định lý này không chỉ là một công cụ toán học mạnh mẽ mà còn là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết và cung cấp hướng dẫn chi tiết cho các dạng bài tập áp dụng định lý pytago, giúp bạn tự tin chinh phục kiến thức này.

Đề Bài

[MỤC LỤC]
1. Định lý Pytago thuận
2. Định lý Pytago đảo
3. Các dạng bài tập áp dụng Định lí pytago đảo
4. Bài tập tự luyện tại nhà

Định lý pytagoNhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras

1. Định lý Pytago thuận

Định lý Pythagoras:

Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. Định lý này áp dụng cho mọi tam giác vuông, kể cả tam giác vuông cân.

Định lý pytagoMinh họa Định lý Pytago

Chẳng hạn, xét tam giác ABC vuông tại A. Theo định lý Pythagoras, ta có mối quan hệ sau giữa các cạnh:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
Hoặc sử dụng ký hiệu độ dài các cạnh: $a^2 = b^2 + c^2$ , với $a$ là độ dài cạnh huyền BC, $b$ là độ dài cạnh góc vuông AC và $c$ là độ dài cạnh góc vuông AB.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 6 cm và AC = 8 cm. Hãy tính độ dài cạnh BC.

Lời giải:
Vì tam giác ABC vuông tại A, ta áp dụng định lý Pythagoras:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$BC^2 = 6^2 + 8^2$
$BC^2 = 36 + 64$
$BC^2 = 100$
Do đó, độ dài cạnh BC là:
$BC = \sqrt{100} = 10$
Vậy, BC = 10 cm.

2. Định lý Pytago đảo

Phát biểu của định lý Pythagoras đảo như sau: Nếu một tam giác có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại, thì tam giác đó là tam giác vuông. Cạnh có bình phương bằng tổng hai cạnh kia chính là cạnh huyền.

Định lý pytagoMinh họa Định lý Pytago đảo

Ví dụ, xét tam giác CDE. Nếu thỏa mãn điều kiện:
$DE^2 = CD^2 + CE^2$
thì tam giác CDE là tam giác vuông tại đỉnh C.

Ví dụ: Cho tam giác CDE có độ dài các cạnh lần lượt là CD = 7 cm, CE = 24 cm và DE = 25 cm. Hãy xác định xem tam giác CDE có phải là tam giác vuông hay không.

Hướng dẫn giải:
Ta tiến hành kiểm tra điều kiện của định lý Pythagoras đảo:
Tính bình phương cạnh lớn nhất:
$DE^2 = 25^2 = 625$ (cm²)
Tính tổng bình phương hai cạnh còn lại:
$CD^2 + CE^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$ (cm²)
So sánh hai kết quả:
$DE^2 = CD^2 + CE^2$ (vì 625 = 625)
Do đó, theo định lý Pythagoras đảo, tam giác CDE là tam giác vuông tại đỉnh C.

3. Các dạng bài tập áp dụng Định lí pytago đảo

Định lý Pythagoras đảo thường được sử dụng để chứng minh một tam giác có phải là tam giác vuông hay không, dựa trên độ dài ba cạnh của nó.

Phương pháp chung:

Tính bình phương độ dài ba cạnh của tam giác.
So sánh bình phương cạnh lớn nhất với tổng bình phương của hai cạnh còn lại.
Nếu hai giá trị này bằng nhau, kết luận tam giác đó là tam giác vuông, và cạnh lớn nhất chính là cạnh huyền.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 6 cm và AC = 8 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:
Đây là bài toán áp dụng trực tiếp định lý Pytago thuận.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$BC^2 = 6^2 + 8^2$
$BC^2 = 36 + 64$
$BC^2 = 100$
$BC = \sqrt{100} = 10$
Vậy, BC = 10 cm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là AC = 5 cm, BC = 3 cm và AB = 4 cm. Hãy xác định loại tam giác ABC.

Giải:
Ta kiểm tra điều kiện của định lý Pytago đảo:
Tính bình phương các cạnh:
$AC^2 = 5^2 = 25$
$BC^2 = 3^2 = 9$
$AB^2 = 4^2 = 16$
So sánh:
$BC^2 + AB^2 = 9 + 16 = 25$
Ta thấy $AC^2 = BC^2 + AB^2$ (vì 25 = 25).
Do đó, theo định lý Pythagoras đảo, tam giác ABC vuông tại đỉnh B.

4. Bài tập tự luyện tại nhà

Dưới đây là một số bài tập giúp bạn củng cố kiến thức về định lý Pytago.

Bài 1: Cho tam giác ABC có góc B = 90 độ. Khi đó, hằng đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. $AB^2 + BC^2 = AC^2$
B. $AB^2 - BC^2 = AC^2$
C. $AB^2 + AC^2 = BC^2$
D. $AB^2 = AC^2 + BC^2$

Lời giải:
Tam giác ABC vuông tại B. Theo định lý Pytago, bình phương cạnh huyền (AC) bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông (AB và BC).
Vậy, $AB^2 + BC^2 = AC^2$ . Chọn đáp án A.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Tính độ dài cạnh huyền BC biết AB = AC = 2 dm.
A. BC = 4 dm
B. BC = $\sqrt{6}$ dm
C. BC = 8 dm
D. BC = $\sqrt{8}$ dm

Lời giải:
Tam giác ABC vuông cân tại A, nên AB = AC. Áp dụng định lý Pytago:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$BC^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$
$BC = \sqrt{8}$ dm.
Chọn đáp án D.

Bài 3: Một tam giác vuông có cạnh huyền độ dài bằng 26 cm và có độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông.
A. 10 cm, 22 cm
B. 10 cm, 24 cm
C. 12 cm, 24 cm
D. 15 cm, 24 cm

Lời giải:
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là $x$ và $y$ ( $x, y > 0$ ).
Theo định lý Pytago: $x^2 + y^2 = 26^2 = 676$ (1)
Theo đề bài, tỉ lệ hai cạnh góc vuông là 5/12, giả sử $x/y = 5/12$ , suy ra $x = \frac{5y}{12}$ (2).
Thay (2) vào (1):
$\left(\frac{5y}{12}\right)^2 + y^2 = 676$
$\frac{25y^2}{144} + y^2 = 676$
$25y^2 + 144y^2 = 676 \times 144$
$169y^2 = 97344$
$y^2 = \frac{97344}{169} = 576$
$y = \sqrt{576} = 24$ cm.
Thay $y = 24$ vào (2):
$x = \frac{5 \times 24}{12} = 5 \times 2 = 10$ cm.
Vậy hai cạnh góc vuông là 10 cm và 24 cm. Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho $triangle ABC$ vuông tại A có AC = 20 cm. Kẻ AH vuông góc với đoạn BC (H thuộc BC). Biết BH = 9 cm, HC = 16 cm. Tính độ dài các cạnh AB, AH.
A. AH = 12 cm, AB = 15 cm
B. AH = 10 cm, AB = 15 cm
C. AH = 15 cm, AB = 12 cm
D. AH = 12 cm, AB = 13 cm

Lời giải:
Đầu tiên, ta tính độ dài cạnh huyền BC:
$BC = BH + HC = 9 + 16 = 25$ cm.
Xét $triangle ABC$ vuông tại A, áp dụng định lý Pytago:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$AB^2 = BC^2 - AC^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225$
$AB = \sqrt{225} = 15$ cm.
Xét $triangle ABH$ vuông tại H, áp dụng định lý Pytago:
$AH^2 + BH^2 = AB^2$
$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$
$AH = \sqrt{144} = 12$ cm.
Vậy AH = 12 cm và AB = 15 cm. Chọn đáp án A.

Bài 5: Cho $triangle ABC$ vuông tại B, biết BA = 12 cm, AC = 13 cm. Tính BC.
A. x = 10 cm
B. x = 11 cm
C. x = 8 cm
D. x = 5 cm

Lời giải:
Xét $triangle ABC$ vuông tại B. Áp dụng định lý Pytago:
$BA^2 + BC^2 = AC^2$
$12^2 + BC^2 = 13^2$
$144 + BC^2 = 169$
$BC^2 = 169 - 144 = 25$
$BC = \sqrt{25} = 5$ cm.
Chọn đáp án D.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 14, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.