Hướng Dẫn Chi Tiết Cách Giải Toán Lớp 9 Bằng Lập Hệ Phương Trình

Giải toán bằng cách lập hệ phương trình là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy logic, phân tích và áp dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế. Bài viết này cung cấp phương pháp giải chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để các em nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục dạng toán này.

Đề Bài

A. Phương pháp giải

Trình tự các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

• Bước 1: Lập hệ phương trình.
  • Biểu diễn hai đại lượng phù hợp bằng ẩn số x và y. Đặt đơn vị và điều kiện của ẩn.
  • Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn.
  • Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng và thành lập hệ hai ẩn từ các phương trình vừa tìm.
• Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
• Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán và nêu kết luận của bài toán.

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m. Nếu tăng chiều dài thêm 3m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích tăng thêm 45m2. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn là x và y (m, x > 0, y > 0).

Theo đề bài ta có:

Chu vi hình chữ nhật là: 2(x + y) = 34. (1)

Hình chữ nhật mới có chiều dài (y + 3)m, chiều rộng (x +2)m nên có diện tích là (x + 2)(y + 3). Do hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 45m2 nên ta có phương trình:

(x+2)(y+3)= xy + 45 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\begin{cases} 2(x+y)=34 (x+2)(y+3)=xy+45 \end{cases}

Rút gọn phương trình (1) ta được x+y=17 implies y=17-x.

Khai triển phương trình (2): xy + 3x + 2y + 6 = xy + 45.

3x + 2y = 39.

Thay y=17-x vào phương trình 3x + 2y = 39:

3x + 2(17-x) = 39 3x + 34 - 2x = 39

x = 5.

Suy ra y = 17-x = 17-5 = 12.

Điều kiện $x > 0, y > 0$ thỏa mãn.

Vậy chiều rộng của mảnh vườn là 5m và chiều dài là 12m.

Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 72 và tổng của số mới và số đã cho là 110.

Hướng dẫn giải

Gọi số cần tìm là overline{ab}, với $a$ là chữ số hàng chục và $b$ là chữ số hàng đơn vị.
Điều kiện: a in {1, 2, \ldots, 9}, b in {0, 1, \ldots, 9}.
Số đã cho có giá trị là 10a + b.
Số mới sau khi đổi chỗ hai chữ số là overline{ba}, có giá trị là 10b + a.

Theo đề bài, ta có hai điều kiện:

1. Số mới lớn hơn số đã cho là 72:
   10b + a = (10a + b) + 72
   10b + a - 10a - b = 72
   9b - 9a = 72
   b - a = 8 (1)

2. Tổng của số mới và số đã cho là 110:
   (10b + a) + (10a + b) = 110
   11b + 11a = 110
   b + a = 10 (2)

Ta có hệ phương trình:
\begin{cases} b - a = 8 b + a = 10 \end{cases}
Cộng hai phương trình (1) và (2):
(b - a) + (b + a) = 8 + 10
2b = 18 implies b = 9.

Thay b=9 vào phương trình (2):
9 + a = 10 implies a = 1.

Kiểm tra điều kiện: a=1 (a in {1, \ldots, 9}) và b=9 (b in {0, \ldots, 9}) đều thỏa mãn.
Số cần tìm là overline{ab} = 19.
Số mới sau khi đổi chỗ là overline{ba} = 91.
Kiểm tra lại: 91 = 19 + 72 (đúng) và 91 + 19 = 110 (đúng).

Vậy số cần tìm là 19.

Bài 3: Hai thị xã A và B cách nhau 90km. Một chiếc ôtô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B cùng một lúc ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau ôtô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe máy chạy thêm 2 giờ nữa mới đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của ôtô và xe máy lần lượt là x và y (km/h, x > 0, y > 0).
Gọi thời điểm hai xe gặp nhau là lúc t_g. Giả sử họ gặp nhau tại điểm C.
Quãng đường hai xe đã đi từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau tại C là $AC$ và $BC$.
Ta có: AC + BC = 90.

Sau khi gặp nhau, ôtô đi từ C đến B mất 30 phút, tức là 0,5 giờ. Quãng đường BC = x \times 0,5 = 0,5x.
Sau khi gặp nhau, xe máy đi từ C đến A mất 2 giờ. Quãng đường AC = y \times 2 = 2y.

Do đó, ta có phương trình thứ nhất:
AC + BC = 90 implies 2y + 0,5x = 90 (1)

Thời gian để ôtô đi hết quãng đường AC là \frac{AC}{x} = \frac{2y}{x} (giờ).
Thời gian để xe máy đi hết quãng đường BC là \frac{BC}{y} = \frac{0,5x}{y} (giờ).

Lúc hai xe gặp nhau tại C, thời gian đi của hai xe tính từ lúc xuất phát là như nhau.
Thời gian ôtô đi đến C là t_g = \frac{AC}{x} = \frac{2y}{x}.
Thời gian xe máy đi đến C là t_g = \frac{BC}{y} = \frac{0,5x}{y}.
Do đó, ta có phương trình thứ hai:
\frac{2y}{x} = \frac{0,5x}{y} (2)

Ta có hệ phương trình:
\begin{cases} 2y + 0,5x = 90 quad (1) \frac{2y}{x} = \frac{0,5x}{y} quad (2) \end{cases}
Từ phương trình (2), ta có 2y \cdot y = 0,5x \cdot x implies 2y^2 = 0,5x^2.
Nhân cả hai vế với 2: 4y^2 = x^2.
Vì $x, y > 0$, ta lấy căn bậc hai hai vế: 2y = x.

Thay x = 2y vào phương trình (1):
2y + 0,5(2y) = 90
2y + y = 90
3y = 90 implies y = 30.

Thay y=30 vào x=2y: x = 2 \times 30 = 60.
Kiểm tra điều kiện $x > 0, y > 0$ thỏa mãn.

Vậy vận tốc của ôtô là 60 km/h và vận tốc của xe máy là 30 km/h.

Bài 4: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến B sớm hơn dự định 2 giờ. Nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của người đó.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc dự định là $x$ (km/h) ($x > 0$).
Gọi thời gian dự định là $y$ (giờ) ($y > 0$).
Quãng đường AB là $xy$ (km).

Theo đề bài, ta có các trường hợp sau:

1. Vận tốc tăng thêm 14 km/h:
   Vận tốc mới là x+14 (km/h).
   Thời gian mới là y-2 (giờ).
   Quãng đường vẫn là AB, nên ta có phương trình:
   (x+14)(y-2) = xy (1)

2. Vận tốc giảm đi 4 km/h:
   Vận tốc mới là x-4 (km/h).
   Thời gian mới là y+1 (giờ).
   Quãng đường vẫn là AB, nên ta có phương trình:
   (x-4)(y+1) = xy (2)

Ta có hệ phương trình:
\begin{cases} (x+14)(y-2) = xy quad (1) (x-4)(y+1) = xy quad (2) \end{cases}
Khai triển phương trình (1):
xy - 2x + 14y - 28 = xy
-2x + 14y - 28 = 0
Chia cả hai vế cho 2: -x + 7y - 14 = 0 implies x = 7y - 14. (A)

Khai triển phương trình (2):
xy + x - 4y - 4 = xy
x - 4y - 4 = 0. (B)

Thế phương trình (A) vào phương trình (B):
(7y - 14) - 4y - 4 = 0
3y - 18 = 0
3y = 18 implies y = 6.

Thay y=6 vào phương trình (A) để tìm $x$:
x = 7(6) - 14
x = 42 - 14
x = 28.

Kiểm tra điều kiện $x > 0$ và $y > 0$: x=28 > 0 và y=6 > 0 thỏa mãn.

Vậy vận tốc dự định là 28 km/h và thời gian dự định là 6 giờ.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Hai năm trước đây, tuổi của anh gấp đôi tuổi của em, còn 8 năm trước đây, tuổi của anh gấp 5 lần tuổi em. Hỏi hiện nay anh và em bao nhiêu tuổi.

Bài 2. Có hai loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng của mỗi loại quặng đem trộn để được 25 tấn quặng chứa 66% sắt.

Bài 3. Một hình chữ nhật có chu vi 90m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài đi 15m thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính các cạnh của hình chữ nhật đã cho.

Bài 4. Một người dự định đi xe máy từ A đến B cách nhau 96 km trong thời gian nhất định. Sau khi đi được một nửa quãng đường, người đó dừng lại 18 phút. Do đó để đến B đúng hẹn, người đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường.

Bài 5. Bạn Tuấn vào cửa hàng bách hóa mua một đôi giày và một bộ quần áo thể thao, giá tiền tổng cộng là 148.000 đồng. Một tuần sau trở lại giá mỗi đôi giày giảm 20%, giá mỗi bộ quần áo thể thao đã giảm 40%. Bạn Tuấn đưa cho cô bán hàng 11.000 đồng, cô bán hàng trả lại bạn Tuấn 8.900 đồng. Hỏi giá tiền một đôi giày, giá tiền một bộ quần áo thể thao khi chưa giảm giá là bao nhiêu?

---

Giải toán bằng cách lập hệ phương trình đòi hỏi sự cẩn thận trong việc phân tích đề bài, đặt ẩn và xây dựng các mối quan hệ toán học. Nắm vững các bước giải và luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập khác nhau sẽ giúp các em làm chủ dạng toán này, từ đó nâng cao kỹ năng giải toán tổng thể.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 9, 2026 by Thầy Đông